专题04 随机变量及其分布(7大考点经典基础练+优选提升练)-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（ 甘肃专用）

专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量及其分布列 题型04离散型随机变量的期望、方差 题型05 二项分布 题型06 超几何分布 题型07 正态分布 ( 题型01 ) 条件概率 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）已知，为某随机试验的两个事件，为事件的对立事件．若，，．则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·甘肃酒泉·期末）现有红、橙、黄、蓝、绿、紫6只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和紫色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二下·甘肃定西·期末）设是一次随机试验中的两个事件，且，则（    ） A．相互独立 B． C． D． ( 题型02 ) 全概率公式 1．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃·期末）两批同种规格的产品，第一批占70%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%．将这两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（   ） A．5.5% B．5.6% C．5.7% D．5.8% 3．（24-25高三上·甘肃白银·期末）甲、乙两人的口袋中均装有3个球，甲的3个球为2个黑球和1个白球．乙的3个球均为黑球（黑球和白球的大小，材质一样）．两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取1个球与对方交换，重复进行这样的操作．第1次交换后，甲的口袋中黑球的个数为3的概率为 ；第3次交换后，甲的口袋中依然只有1个白球的概率为 ． 4．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）某工厂有三个车间加工同一型号的零件，1号车间加工的次品率为2%，2，3号车间加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起．若1，2，3号车间加工的零件数分别占总数的45%，25%，30%．任取一个零件，它是次品的概率为 ． ( 题型03 ) 离散型随机变量及其分布列 1．（23-24高二下·甘肃嘉峪关·期末）随机变量的概率分布列为，其中是常数，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．35 2．（22-23高二下·甘肃天水·阶段练习）若随机变量的分布列如表，则的值为（    ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃张掖·一模）设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，又的数学期望为，则 A． B．0 C． D． 4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）甲､乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关者得-1分；若两人都过关或都未过关，则两人均得0分.甲､乙过关的概率分别为和，在一轮闯关中，甲的得分记为. (1)求的分布列. (2)为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.表示“当甲的累积得分为时，最终认为甲获胜”的概率，则，其中，令.证明：点的中点的横坐标为. (3)在第（2）问的条件下求，并尝试解释游戏规则的公平性. ( 题型04 ) 离散型随机变量的期望、方差 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）离散型随机变量X的分布列如表所示，则（   ） X 0 1 2 4 P a A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列说法正确的是（    ） -2 1 3 0.25 A． B． C． D． 3．（24-25高三上·甘肃武威·期末）年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得100元奖金，最终得4分的人可得50元奖金，其他得分的人可得10元奖金，已知小华获得一次抽奖机会． (1)求小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率； (2)记小华中奖金额为X，求X的分布列及数学期望， 4．（23-24高二下·甘肃·期末）某学校有两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.4；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8． (1)求王同学第二天去餐厅用餐的概率； (2)王同学某次在餐厅就餐，该餐厅提供4种西式点心，2种中式点心，王同学从这些点心中随机选择3种点心，记选择西式点心的种数为，求的分布列和数学期望． ( 题型0 5 ) 二项分布 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为（不考虑平局），则甲以3比1获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二下·甘肃白银·期末）现有大小､形状均相同的4张卡片，其中红卡1张､蓝卡3张，现随机等可能抽取卡片，当有放回依次抽取两张卡片时，记取出的红卡数为；当无放回依次抽取两张卡片时，记取出的红卡数为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图： (1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望； (2)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求证：当时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大. 4．（23-24高二下·甘肃·期末）某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核． (1)求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率； (2)记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为，求的分布列与期望． ( 题型0 6 ) 超几何分布 1．（23-24高二下·甘肃天水·期末）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（   ） A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布 C． D． 2．（23-24高二下·甘肃嘉峪关·期末）从一箱脐橙（共10个，其中7个是大果，3个是中果）中任选3个，则恰有2个中果的概率为 ． 3．（23-24高二下·甘肃定西·期末）一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为 ． 4．（23-24高二下·甘肃陇南·期末）某学校为了了解学生平时的运动时长情况，现从全校名学生中随机抽取名学生，统计出他们的运动时长（单位：分钟），将这些运动时长按、、、分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求出的值，并估计全校学生中运动时长超过分钟的人数； (2)在上述选取的名学生中任意选取名学生，设为运动时长超过分钟的人数，求的分布列与期望； (3)现将运动时长高于分钟的学生称为“热爱运动者”，现从样本中任意选取名学生，求恰有名学生是“热爱运动者”的概率． ( 题型0 7 ) 正态分布 1．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有（    ）    A．， B．， C．， D．， 2．（多选）（24-25高三上·甘肃临夏·期末）随机变量服从正态分布，若，则（    ） （若随机变量服从正态分布，则） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）某班有50名学生，某次数学考试成绩，若P（90≤X≤110）＝0.4，则估计该班学生数学成绩超过110分的人数为 ． 4．（22-23高二下·甘肃白银·期末）世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为. (1)从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率； (2)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率； (3)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，现从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率. 1．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二·甘肃武威·期末）设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.已知某次乒乓球比赛单局赛制为：每两球交换发球权，每赢1球得1分，先得11分者获胜.当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜.若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为.某局打成平后，甲先发球，则“两人又打了4个球且甲获胜”的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知为随机试验的样本空间，事件满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）已知随机变量，则（    ） 附：若随机变量，则． A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174 6．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）若是离散型随机变量，，又已知，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 7．（23-24高二下·甘肃定西·期末）在某次物理测评中，学生的成绩服从正态分布，若参加物理测评的学生有500人，则测评成绩在60分至90分之间的学生约有（    ） 参考数据：若，则，. A．341人 B．409人 C．460人 D．477人 8．（23-24高二下·甘肃平凉·期中）统计某位篮球运动员的罚球命中率，罚中一次的概率是，连续罚中两次的概率是.已知这位篮球运动员第一次罚球命中，则第二次罚球也命中的概率是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（23-24高二下·甘肃·期末）下列结论正确的是（    ） A．由样本数据得到的回归直线必过点 B．已知随机变量，若，则 C．基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立．该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立 D．若散点图中所有点都在直线上，则样本相关系数 10．（多选）（23-24高二下·甘肃·期末）若随机变量，，则（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则 ，若第1轮甲得3分，则 ． 12．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知随机变量X的分布列如下表，则 ． X 0 2 4 P 13．（24-25高三上·甘肃白银·期末）某公司在内部员工团建时，设置了一个抽奖环节，已知奖券藏在如图所示的袋子里面，标号为①②③④⑤的袋子中分别装有价值为（单位：元）的奖券．抽奖规则：每个人只能从其中一串的最下端取一个袋子，得到其中的奖券，若两串都有礼物袋，则每个人等可能选择一串抽取，直到礼物袋取完为止．现甲、乙、丙、丁、戊五人获得抽奖资格，并依次抽奖． (1)求丙取得的奖券为50元的概率； (2)在甲获得的奖券为50元的前提下，求丁获得的奖券为100元的概率； (3)试预测乙、丙两人谁获得的奖券金额更大些，并说明理由. 14．（23-24高二下·云南曲靖·期末）某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有6个灯谜，编号为：个灯谜中猜对1个获“小奖”，猜对3个获“中奖”，猜对6个获“大奖”． (1)小王从6个灯谜中任取3个作答，设选中编号为的灯谜的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望； (2)若小王猜对任一编号灯谜的概率为，求小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率． 15．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案． 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元； 方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元． (1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差； (3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01条件概率 题型02全概率公式 题型03离散型随机变量及其分布列 题型04离散型随机变量的期望、方差 题型05 二项分布 题型06 超几何分布 题型07 正态分布 ( 题型01 ) 条件概率 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）已知，为某随机试验的两个事件，为事件的对立事件．若，，．则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出，再求出，最后由条件概率公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：D 2．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用条件概率公式，结合列举法求解即可. 【详解】不超过32的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31共11个， 孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和29，29和31，共5种情况， 所以，， 所以． 故选：A. 3．（22-23高二下·甘肃酒泉·期末）现有红、橙、黄、蓝、绿、紫6只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和紫色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率的计算公式及排列组合中相邻问题捆绑法策略即可求解. 【详解】记“黄色杯子和紫色杯子相邻”为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B， 则黄色杯子和紫色杯子相邻，有种； 黄色杯子和紫色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有种； 所以， 故选：D. 4．（多选）（23-24高二下·甘肃定西·期末）设是一次随机试验中的两个事件，且，则（    ） A．相互独立 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用条件概率、独立事件、对立事件、互斥事件的概率公式计算逐项判断可得答案. 【详解】对于A，由题意可知，则， 因此，故A正确； 对于B，， ，故B正确； 对于C，，所以， 因此，故C错误； 对于D，，因此 ， 即，故D正确． 故选：ABD． ( 题型02 ) 全概率公式 1．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，3个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式求得正确答案 【详解】令事件A为“从甲箱中取出一个球是红球”， 事件B为“从甲箱中取出一个球是白球”， 事件C为“从甲箱中取出一个球是黑球”， 事件D为“从乙箱中取出一个球是红球”， 则， 所以 ， 故选；B 2．（23-24高二下·甘肃·期末）两批同种规格的产品，第一批占70%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%．将这两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（   ） A．5.5% B．5.6% C．5.7% D．5.8% 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算即得. 【详解】用事件，分别表示取到的产品来自第一批、第二批，B表示取到次品， 依题意，，，，， 所以由全概率公式得． 故选：C 3．（24-25高三上·甘肃白银·期末）甲、乙两人的口袋中均装有3个球，甲的3个球为2个黑球和1个白球．乙的3个球均为黑球（黑球和白球的大小，材质一样）．两人决定玩一场游戏：两人各从口袋中任取1个球与对方交换，重复进行这样的操作．第1次交换后，甲的口袋中黑球的个数为3的概率为 ；第3次交换后，甲的口袋中依然只有1个白球的概率为 ． 【答案】 【分析】根据全概率公式可得递推关系，即可代入求解. 【详解】次交换后，记甲的口袋中恰有1个白球的概率为，没有白球的概率为，． 当时，， ． 故答案为：， 4．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）某工厂有三个车间加工同一型号的零件，1号车间加工的次品率为2%，2，3号车间加工的次品率均为6%，加工出来的零件混放在一起．若1，2，3号车间加工的零件数分别占总数的45%，25%，30%．任取一个零件，它是次品的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据已知条件及全概率公式即可求解. 【详解】设表示“任取一个零件，它是次品”，表示“零件为第个车间加工”，则 两两互斥，易知, , 由全概率公式可得 . 故答案为：. ( 题型03 ) 离散型随机变量及其分布列 1．（23-24高二下·甘肃嘉峪关·期末）随机变量的概率分布列为，其中是常数，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．35 【答案】A 【分析】运用概率分布列的性质求出参数，结合方差公式和结论即可解题. 【详解】因为，所以，解得， 所以， 所以， 故． 故选：A． 2．（22-23高二下·甘肃天水·阶段练习）若随机变量的分布列如表，则的值为（    ） 1 2 3 4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由求得结果． 【详解】 根据题意可得， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二下·甘肃张掖·一模）设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，又的数学期望为，则 A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】将代入的表达式，利用概率之和为列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得的值. 【详解】依题意可的的分布列为 1 2 3 4 依题意得 ，解得，故.所以选A. 【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列，考查概率之和为，考查离散型随机变量的数学期望，还考查了方程的思想.属于基础题. 4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）甲､乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关者得-1分；若两人都过关或都未过关，则两人均得0分.甲､乙过关的概率分别为和，在一轮闯关中，甲的得分记为. (1)求的分布列. (2)为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.表示“当甲的累积得分为时，最终认为甲获胜”的概率，则，其中，令.证明：点的中点的横坐标为. (3)在第（2）问的条件下求，并尝试解释游戏规则的公平性. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)0.12，答案见解析 【分析】（1）由题意得：分别求出相应的概率，由此能求出的分布列； （2）由题意得，计算出的值，推导出，根据中点公式能证明点的中点横坐标为； （3）由及，求出，由此推导出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的. 【详解】（1），，， 的分布列为 -1 0 1 （2）由题意得 ， ， . 于是有，整理可得， 根据中点公式有， 故的中点的横坐标为. （3）由（2）可知，于是， 又，所以， 表示最终认为甲获胜的概率， 由计算结果可以看出，当甲过关的概率为0.5，乙过关的概率为0.6时， 当甲的累计得分为分时，认为甲获胜的概率为， 此时得出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的. ( 题型04 ) 离散型随机变量的期望、方差 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）离散型随机变量X的分布列如表所示，则（   ） X 0 1 2 4 P a A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据概率和为1，可求a的值，判断A；由互斥事件的概率加法公式判断B；根据期望，方差的公式进行计算，判断C，D. 【详解】根据题意，，所以，A正确； ，B错误； ，C正确； ，D正确. 故选：ACD 2．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知离散型随机变量的分布列如下所示，则下列说法正确的是（    ） -2 1 3 0.25 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据分布列的性质求，再计算的期望，方差，有关概率进行判断. 【详解】由题意：. 所以； 所以； . 故选：ACD 3．（24-25高三上·甘肃武威·期末）年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得100元奖金，最终得4分的人可得50元奖金，其他得分的人可得10元奖金，已知小华获得一次抽奖机会． (1)求小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率； (2)记小华中奖金额为X，求X的分布列及数学期望， 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）由古典概率模型结合组合数计算即可； （2）先由古典概率结合组合数计算出X的所有可能取值对应的概率，列出分布列，再由期望公式求出期望即可； 【详解】（1）由题可得小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率为． （2）由题可知X的所有可能取值为10，50，100． ，，． X的分布列为 X 10 50 100 P ． 4．（23-24高二下·甘肃·期末）某学校有两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐．如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.4；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.8． (1)求王同学第二天去餐厅用餐的概率； (2)王同学某次在餐厅就餐，该餐厅提供4种西式点心，2种中式点心，王同学从这些点心中随机选择3种点心，记选择西式点心的种数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)0.6； (2)分布列见解析，数学期望2. 【分析】（1）设“第一天去餐厅用餐”，“第一天去餐厅用餐”，“第二天去餐厅用餐”，根据题意求出，，然后根据全概率公式可求得答案； （2）由题意得可以取1，2，3，再根据题意求出相应的概率，从而可求出的分布列和数学期望． 【详解】（1）设“第一天去餐厅用餐”，“第一天去餐厅用餐”，“第二天去餐厅用餐”， 根据题意得，， 由全概率公式，得， 所以王同学第二天去餐厅用餐的概率为0.6． （2）由题意，得可以取1，2，3． ， ， ． 所以的分布列为 1 2 3 所以． ( 题型0 5 ) 二项分布 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为（不考虑平局），则甲以3比1获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析前4局甲的胜负情况，再根据二项分布计算即可. 【详解】若甲以3比1获胜，则甲、乙两人共比赛4局，其中前3局中甲胜2局，第4局甲必胜， 故所求概率为. 故选：. 2．（多选）（23-24高二下·甘肃白银·期末）现有大小､形状均相同的4张卡片，其中红卡1张､蓝卡3张，现随机等可能抽取卡片，当有放回依次抽取两张卡片时，记取出的红卡数为；当无放回依次抽取两张卡片时，记取出的红卡数为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出可得答案. 【详解】服从二项分布， 则； 的可能取值为0，1， ， 故. 故. 故选：AC. 3．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如下的频率分布直方图： (1)从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于和的两组学生中抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，用表示这3人中属于的人数，求的分布列和数学期望； (2)以这100名学生体育活动时间的频率估计该校学生体育活动时间的概率，若从该校学生中随机抽取且名学生，求证：当时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大. 【答案】(1)分布列见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）利用分层抽样得到抽取的12名学生中位于和的人数，得到可能取值和对应的概率，得到分布列，计算出数学期望； （2）由频率分布直方图求解出每天的运动时间不低于40分钟的频率，得到，故，令，得到不等式组，计算出答案. 【详解】（1）因为体育活动时间位于和的频率分别为0.28和0.2， 所以抽取的12名学生中位于的有人， 位于的有人， 所以随机变量所有可能取值为，且服从超几何分布， 故， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. （2）由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为： . 设“抽取的名学生中每天的运动时间不低于40分钟的人数”为，则， ， 设， 则当“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大时， 有， 即， 化简得，解得， 因为且，所以时，“抽取的名学生中恰有5人每天的体育活动时间不低于40分钟”的概率最大. 4．（23-24高二下·甘肃·期末）某种专业技能资格考核分，，三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过，，三个项目考核的概率分别为，，，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核． (1)求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率； (2)记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为，求的分布列与期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望. 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算即得. （2）由（1）中信息，求出的可能值，利用二项分布求出分布列及期望. 【详解】（1）甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率； 甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元， 概率， 所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为. （2）由（1）知，不需要培训就获得资格证书的概率为， X的可能取0，1，2，3，显然， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. ( 题型0 6 ) 超几何分布 1．（23-24高二下·甘肃天水·期末）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（   ） A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布 C． D． 【答案】ABD 【分析】由二项分布的定义判断A，由超几何分布的定义判断B，根据二项分布与超几何分布的均值公式求得均值判断D，利用概率与均值的关系可通过D来反证说明C． 【详解】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确； 对于D选项，该批产品有M件，员工A有放回地抽取一件产品为次品的概率为，抽取3件产品，次品数，则， 员工B无放回地随机抽取3件，因此次品数服从超几何分布，，（）， ，因此D正确； 对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误． 故选：ABD. 2．（23-24高二下·甘肃嘉峪关·期末）从一箱脐橙（共10个，其中7个是大果，3个是中果）中任选3个，则恰有2个中果的概率为 ． 【答案】/0.175 【分析】根据超几何分布的概率公式即可求解. 【详解】恰有2个中果的概率为． 故答案为： 3．（23-24高二下·甘肃定西·期末）一个袋子中共有6个大小相同的球，其中3个红球，3个白球，从中随机摸出2个球，设取到白球的个数为X，则的方差为 ． 【答案】 【分析】根据超几何分布的概率求解分布列，进而根据方差的计算公式可得，由方差性质即可求解. 【详解】由题意，X满足超几何分布，且X的取值为0，1，2， 则，，， ，， 所以． 故答案为： 4．（23-24高二下·甘肃陇南·期末）某学校为了了解学生平时的运动时长情况，现从全校名学生中随机抽取名学生，统计出他们的运动时长（单位：分钟），将这些运动时长按、、、分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求出的值，并估计全校学生中运动时长超过分钟的人数； (2)在上述选取的名学生中任意选取名学生，设为运动时长超过分钟的人数，求的分布列与期望； (3)现将运动时长高于分钟的学生称为“热爱运动者”，现从样本中任意选取名学生，求恰有名学生是“热爱运动者”的概率． 【答案】(1)，全校学生运动时长超过分钟的人数约为 (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，结合频率分布直方图可求得全校学生中运动时长超过分钟的人数； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）计算出运动时长超过分钟的人数以及运动时间不超过分钟的人数，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为， 则． 全校学生运动时长超过分钟的人数约为． （2）由图可知，运动时长超过分钟的人数为， 运动时长不超过分钟的人数为， 由题意可知的可能取值为、、， 则，，， 所以的分布列为 所以． （3）运动时长超过分钟的人数为， 运动时长不超过分钟的人数为， 所以从样本中任意选取名学生， 恰有名学生是“热爱运动者”的概率． ( 题型0 7 ) 正态分布 1．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据正态分布密度曲线中，的意义进行判断即可. 【详解】根据正态分布的密度函数的性质，正态分布曲线是一条关于对称， 在处取得最大值的连续钟形曲线，所以； 越大，曲线的最高点越低且曲线较平缓，反过来，越小，曲线的最高点越高且曲线较陡峭，所以. 故选：A. 2．（多选）（24-25高三上·甘肃临夏·期末）随机变量服从正态分布，若，则（    ） （若随机变量服从正态分布，则） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用正态分布曲线的对称性求得，即可判断B项，利用随机变量的方差定义即可判断A项，根据正态曲线对称性即可求得概率，判断C,D. 【详解】对于B，由可得，解得，故B正确； 对于A，因,而，故A错误； 对于C，因,故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 3．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）某班有50名学生，某次数学考试成绩，若P（90≤X≤110）＝0.4，则估计该班学生数学成绩超过110分的人数为 ． 【答案】15 【分析】根据对称性求出该班学生数学成绩超过110分的分以上的概率即可求解 【详解】因为数学成绩，所以， 因为，所以， 所以， 所以该班学生数学成绩超过110分的人数为． 故答案为：15. 4．（22-23高二下·甘肃白银·期末）世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为. (1)从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率； (2)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率； (3)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，现从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据概率公式，先算出该居民是各社区且每周运动时间没有超过5小时的概率，由对立事件的概率公式求解即可； （2）由于三个社区的居民人数之比为，设出三个社区的居民人数，计算出各社区每周运动总时间超过5小时的人数，然后由频率估计概率即可； （3）由正态分布的性质结合条件求解即可. 【详解】（1）设从三个社区中各选取的1名居民的每周运动总时间超过5小时分别为事件， 则. 设选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时为事件， 则事件的对立事件为选取的3名居民每周运动总时间都没有超过5小时， 所以， 故选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率为. （2）设三个社区的居民人数分别为， 则社区每周运动总时间超过5小时的人数为， 社区每周运动总时间超过5小时的人数为， 社区每周运动总时间超过5小时的人数为， 所以，故从这3个社区中随机抽取1名居民且每周运动总时间超过5小时的概率. （3）因为，所以. 因为，所以， 所以. 1．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助全概率公式与对立事件概率公式计算即可得. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：C. 2．（23-24高二·甘肃武威·期末）设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，其中甲厂、乙厂、丙厂生产的分别为5盒、3盒、2盒，且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由全概率公式即可处理. 【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应） 则,且两两互斥. 由题意可得：, . 故选：A. 3．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.已知某次乒乓球比赛单局赛制为：每两球交换发球权，每赢1球得1分，先得11分者获胜.当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜.若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为.某局打成平后，甲先发球，则“两人又打了4个球且甲获胜”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析出4个球赢球的一方为以下情况，甲乙甲甲，乙甲甲甲，求出两种情况下的概率，相加即可. 【详解】平后，两人又打了4个球，甲获胜，则4个球赢球的一方为以下情况， 甲乙甲甲，乙甲甲甲， 若是甲乙甲甲，则概率为， 若是乙甲甲甲，则概率为， 故两人又打了4个球且甲获胜”的概率为. 故选：B 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知为随机试验的样本空间，事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用条件概率公式计算可得相互独立，再利用相互独立事件的性质及对立事件的概率公式计算得解. 【详解】由，得，即，则事件相互独立， 事件也相互独立，所以. 故选：D 5．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）已知随机变量，则（    ） 附：若随机变量，则． A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为，所以 所以 . 故选：B 6．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）若是离散型随机变量，，又已知，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】先得到随机变量的值只能为，根据期望和方差得到方程组，求出方程的解，得到答案. 【详解】，故随机变量的值只能为， ，解得或， 所以. 故选：B 7．（23-24高二下·甘肃定西·期末）在某次物理测评中，学生的成绩服从正态分布，若参加物理测评的学生有500人，则测评成绩在60分至90分之间的学生约有（    ） 参考数据：若，则，. A．341人 B．409人 C．460人 D．477人 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性及三段区间的概率求，进而估计区间人数. 【详解】由题意知， 所以， 故符合条件的学生人数约为. 故选:B. 8．（23-24高二下·甘肃平凉·期中）统计某位篮球运动员的罚球命中率，罚中一次的概率是，连续罚中两次的概率是.已知这位篮球运动员第一次罚球命中，则第二次罚球也命中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设相应事件，根据条件概率公式运算求解. 【详解】记“第一次罚球命中”为事件A，“第二次罚球命中”为事件B， 由题意可知：， 所以. 故选：C. 9．（多选）（23-24高二下·甘肃·期末）下列结论正确的是（    ） A．由样本数据得到的回归直线必过点 B．已知随机变量，若，则 C．基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立．该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立 D．若散点图中所有点都在直线上，则样本相关系数 【答案】AC 【分析】利用回归直线的性质判断A，利用二项分布的均值和方差建立方程，求解参数判断B，由独立性检验的基本思想判断C，利用相关系数的性质判断D即可. 【详解】对于A，回归直线必过点，故A正确； 对于B，对于二项分布， ，解得，故B错误； 对于C，由独立性检验的基本思想可知其正确；故C正确， 对于D，散点图中所有点都在直线上， 则样本相关系数，故D错误． 故选：AC 10．（多选）（23-24高二下·甘肃·期末）若随机变量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质逐项判断即可得解. 【详解】随机变量，，由正态分布的性质得： 对于A，B，，，A，B正确； 对于C，D，，则，C错误，D正确. 故选：ABD 11．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则 ，若第1轮甲得3分，则 ． 【答案】 【分析】第一空：分析出情况的概率，结合事件的含义求解即可，第二空，列举出具体的样本点，结合二项分布求解即可. 【详解】由题知每一轮甲得3分的概率为，得0分的概率为，得1分的概率为，所以； 若第1轮甲得3分，则对应的甲乙得分情况可能为 所以 ． 故答案为： 12．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知随机变量X的分布列如下表，则 ． X 0 2 4 P 【答案】/ 【分析】先计算出期望，再计算出方差. 【详解】因为， 所以 故答案为： 13．（24-25高三上·甘肃白银·期末）某公司在内部员工团建时，设置了一个抽奖环节，已知奖券藏在如图所示的袋子里面，标号为①②③④⑤的袋子中分别装有价值为（单位：元）的奖券．抽奖规则：每个人只能从其中一串的最下端取一个袋子，得到其中的奖券，若两串都有礼物袋，则每个人等可能选择一串抽取，直到礼物袋取完为止．现甲、乙、丙、丁、戊五人获得抽奖资格，并依次抽奖． (1)求丙取得的奖券为50元的概率； (2)在甲获得的奖券为50元的前提下，求丁获得的奖券为100元的概率； (3)试预测乙、丙两人谁获得的奖券金额更大些，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)预测丙获得的奖券金额可能更大些，理由见解析 【分析】（1）分析出丙要取得50元的奖券，甲、乙、丙抽取的奖券袋子顺序依次只能为①②③，再根据独立事件的概率乘法公式即可求解； （2）分析出在甲获得的奖券为50元的前提下，丁要取得100元的奖券，则乙，丙只能取①号或④号奖券，再根据独立事件的概率乘法公式即可求解； （3）列出甲、乙、丙三人的摸奖的所有可能情况，根据独立事件的概率乘法公式分别计算出乙、丙获得的奖券值的分布列，再计算对应的数学期望，比较大小即可求解. 【详解】（1）由题意知，丙要取得50元的奖券，甲，乙，丙抽取的奖券袋子依次只能为①②③， ∴丙取得的奖券为50元的概率为. （2）丁要想获得100元奖券，则乙，丙只能取①号或④号奖券， ∴丁取得的奖券为100元的概率为. （3）甲，乙，丙三人的摸奖情况如图所示， ∴乙获得的奖券值可能为， 且， 元. 丙获得的奖券值可能为，其中 ，， ，， ， 元. ，∴预测丙获得的奖券金额可能更大些. 14．（23-24高二下·云南曲靖·期末）某工厂在春节期间为职工举办了趣味有奖灯谜活动，有6个灯谜，编号为：个灯谜中猜对1个获“小奖”，猜对3个获“中奖”，猜对6个获“大奖”． (1)小王从6个灯谜中任取3个作答，设选中编号为的灯谜的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望； (2)若小王猜对任一编号灯谜的概率为，求小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由题意得X可取，求出相应的概率，然后可求得X的分布列及数学期望； （2）设“小王猜对号灯谜为”为事件A，“小王获得中奖”为事件B，根据题意求出，然后利用条件概率公式可求得结果. 【详解】（1）由题意得X可取， ， ， 所求分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望 （2）设“小王猜对号灯谜为”为事件A，“小王获得中奖”为事件B， 则， 故， 即小王在猜对编号为的灯谜的条件下，获得“中奖”的概率为． 15．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案． 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元； 方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元． (1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差； (3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 【答案】(1)分布列见解析，， (2)分布列见解析，，． (3)应选择方案一的抽奖方式，理由见解析 【分析】（1）由条件确定的可能取值，求取各值得概率，可得分布列，结合公式求期望和方差； （2）由条件确定的可能取值，判断，结合二项分布的分布列求法确定其分布列，再由公式求期望和方差， （3）通过比较随机变量期望和方差的大小，确定选择方案. 【详解】（1）设方案一摸出的红球个数为X，则X的所有可能取值为， ，，． X的分布列为： X 1 2 3 P 所以，． （2）设方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为． 则， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以，． （3）因为，， 即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定， 所以应选择方案一的抽奖方式． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$