专题03 计数原理(11大考点经典基础练+优选提升练)-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（ 甘肃专用）

专题03 计数原理 题型概览 题型01分类加法计数原理 题型02分步乘法计数原理 题型03 排列组合计算 题型04特殊元素优先排序 题型05相邻问题 题型06 不相邻问题 题型07 平均分组问题 题型08 相同元素的隔板法 题型09 二项式定理 题型10 二项式定理的性质 题型11 二项式定理的应用 ( 题型01 ) 分类加法计数原理 1．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·期末）将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【分析】先从球的个数分类，再求出每类放球的方法，结合分类加法计数原理可得答案. 【详解】若两个盒子中都放入2个球，则有3种不同的方法； 若一个盒子中放1个球，另一个盒子中放3个球，则有4种不同的方法． 故不同的放法有7种． 故选：C 2．（22-23高二下·甘肃定西·期中）现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．12种 C．20种 D．60种 【答案】B 【分析】分三类计数相加即可得解. 【详解】分三类： 第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有种； 第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有种； 第三类，从5幅不同的水彩画任选一幅，有种， 根据分类加法计数原理得共有种不同的选法. 故选：B 3．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有 . 【答案】90种 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据分类加法计数原理，得方法种数为（种）. 故答案为：90种 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉著）一书中有关于三阶幻方的问题：将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9分别填入的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等 (如图所示)，我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是 . 8 3 4 1 5 9 6 7 2 【答案】8 【详解】三阶幻方，是最简单的幻方，由1，2，3，4，5，6，7，8，9．其中有8种排法 4 9 2、3 5 7、8 1 6；2 7 6、9 5 1、4 3 8； 2 9 4、7 5 3、6 1 8；4 3 8、9 5 1、2 7 6； 8 1 6、3 5 7、4 9 2；6 1 8、7 5 3、2 9 4； 6 7 2、1 5 9、8 3 4；8 3 4、1 5 9、6 7 2． 故答案为：8． ( 题型02 ) 分步乘法计数原理 1．（24-25高二上·甘肃定西·期末）从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地不同的走法有（    ） A．3种 B．4种 C．7种 D．12种 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理，可直接得出结果. 【详解】由分步乘法计数原理，可知从甲地到丙地不同的走法有种． 故选：D 2．（24-25高二上·甘肃定西·期末）如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 【答案】A 【分析】由题意可得，只需确定区域1，2，3的颜色，即可确定所有区域的涂色．根据分步乘法计算原理运算求解. 【详解】由题意可得，只需确定区域1，2，3的颜色，即可确定所有区域的涂色． 先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择． 故不同的涂色方案有种． 故选：A. 3．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（   ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 【答案】C 【分析】根据题意，由分步乘法计数原理，代入计算，即可得到结果. 【详解】原来有4个广告，则这4个广告之间以及两端共有5个空位插入第一个公益广告， 则有5种方法； 插入第一个公益广告之后，此时包括原来的4个广告和已经插入的第一个公益广告， 共5个元素，它们之间以及两端共有6个空位可以插入第二个公益广告， 则有6种方法； 由分步乘法计数原理可得，将两个公益广告插入的方式有种. 故选：C 4．（24-25高二上·甘肃白银·期末）某城市一地铁站有四个出站口，乘客甲，乙，丙，丁相互独立地任选一个出站口出站，则共有 种出站方法． 【答案】256 【分析】根据分步乘法计数原理来求得正确答案. 【详解】每位乘客都有4种出站选择，根据分步计数原理可得种． 故答案为： ( 题型0 3 ) 排列组合计算 1．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）（    ） A．10 B．5 C．20 D．4 【答案】B 【分析】用排列数公式展开即可求得. 【详解】． 故选：B 2．（23-24高二下·甘肃天水·期末）若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据组合数的性质可得，结合排列数与组合数对计算即可. 【详解】由组合数的性质，得， 所以， 即， 解得或(舍去). 故选：C 3．（多选）（22-23高二下·甘肃定西·期末）下列式子正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】AB选项，根据组合数计算公式求出答案；C选项，根据排列数公式计算即可；D选项，根据阶乘定义计算即可. 【详解】A选项，，故，A正确； B选项，，故，B正确； C选项，，故，C错误； D选项，，， 故，D正确. 故选：ABD 4．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）方程的解为 . 【答案】1或3（只写一个不得分） 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质列式求解. 【详解】由及组合数的性质，得或， 整理得或，解得或，所以该方程的解为1或3. 故答案为：1或3 ( 题型0 4 ) 特殊元素优先排序 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 【答案】C 【分析】分两类为都被选出、被选出一辆，再应用分步计数及排列组合数求两类对应方案数，即可得答案. 【详解】若都被选出，把安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的2个有种， 从中选出2辆有种，安排到剩下的2个景区有种， 所以共有种； 若被选出一辆有种，安排到紫蒙湖、美林谷、黄岗梁中的1个有种， 再把安排到剩下的3个景区有种， 所以共有种； 综上，共有72种. 故选：C 2．（24-25高三上·甘肃武威·期末）由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有 个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意） 【答案】27 【分析】用集合的思想，分为四个不同情况并计算出序列种数，再考虑两两之间重复的序列数，然后得到含有连续子序列ABA的序列数 【详解】考虑出现子序列ABA时，可能出现的位置有4个，把依次对应的序列放入集合，，，（ABA×××，×ABA××，××ABA×，×××ABA）中， 记为集合中元素的个数，则. 再考虑重复的序列，，，，任意多于2个集合的交集均为空集. 所以含有连续子序列ABA的序列有个． 故答案为：27. 3．（23-24高二下·甘肃·期末）丝绸之路是文明之路、经济之路，也是东西之间的友谊之路、合作共赢之路．甘肃，作为丝绸之路沿线的重受省份，已成功举办11届敦煌行·丝绸之路国际旅游节，在旅游节期间，需从4位志愿者中选3位安排到甲、乙、丙三个不同的工作岗位，每个岗位1人，其中志愿者不能安排在甲岗位，则不同的安排方法种数为 ． 【答案】18 【分析】方法一利用分步乘法计数原理求解即可，方法二合理分类，利用分类加法计数原理求解即可. 【详解】方法一：运用分步乘法计数原理，先安排甲岗位，再安排乙、丙岗位， 则不同的安排方法共有（种）． 方法二：运用分类加法计数原理， 若不入选，有（种）安排方法； 若入选，则有（种）安排方法， 所以共有（种）不同的安排方法． 故答案为：18 4．（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天的夜班，则这五天排夜班方式的种数为 ． 【答案】864 【分析】所有可能值班安排共有种，减去选一人连排三天、四天、五天夜班的情况得答案. 【详解】所有可能值班安排共有种，若连续安排三天夜班，则连续的工作有三种可能， （1）从四人中选一人连排三天夜班， 若形如▲▲▲□□或□□▲▲▲排列：共有种； 若形如▲▲▲□▲或▲□▲▲▲排列：共有种； 若形如▲▲▲□○或▲▲▲○□或□○▲▲▲或○□▲▲▲排列：共有种； 若形如□▲▲▲□排列：共有种； 若形如○▲▲▲□或□▲▲▲○排列：共有种； 因此，选一人连排三天夜班共有132种． （2）从四人中选一人连排四天夜班，则连续的工作日有两种可能，从四人中选一人连排四天夜班， 形如▲▲▲▲□或□▲▲▲▲排列，共有种． （3）从四人中选一人连排五天夜班，形如▲▲▲▲▲，则只有4种可能． 故满足题意的排夜班方式的种数为． 故答案为：864 ( 题型0 5 ) 相邻问题 1．（23-24高二下·甘肃天水·期中）东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳､刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（    ）种. A．120 B．240 C．480 D．720 【答案】B 【分析】根据米一同学想与佳艳､刘西排一起，且在他们中间，将米、佳艳、刘西捆绑在一起，与剩余4个同学作为5个元素全排列求解. 【详解】解：因为米一同学想与佳艳､刘西排一起， 所以捆绑在一起，与剩余4个同学作为5个元素全排列有种 ， 又因为米一同学想与佳艳､刘西排一起，且在他们中间，则佳艳､刘西全排列有种， 所以全部排法有：种， 故选：B 2．（22-23高二下·甘肃酒泉·期末）现有红、橙、黄、蓝、绿、紫6只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和紫色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率的计算公式及排列组合中相邻问题捆绑法策略即可求解. 【详解】记“黄色杯子和紫色杯子相邻”为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B， 则黄色杯子和紫色杯子相邻，有种； 黄色杯子和紫色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有种； 所以， 故选：D. 3．（多选）（22-23高二下·甘肃白银·期末）某电影院的一个播放厅的座位如图所示（标黑表示该座位的票已被购买），甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，目甲、乙不坐前两排．（    ）    A．若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种 B．若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种 C．若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种 D．若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种 【答案】ABD 【分析】通过每排的可能情况列出后，根据分类计数原理计算即可判断A； 通过“正难则反”的方法考虑反面情况判断B和D；通过先选再排判断C. 【详解】若甲、乙左右相邻，先选座位：在第三排共有10种，在第四排共有种， 在第五排有种， 在第六排有种在第七排有种，共有27种． 再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有54种购票情况，故A正确． 甲、乙在同一列的情况共有种， 则甲、乙不在同一列的情况有种，故B正确． 若甲、乙前后相邻，先选座位：有种， 再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有42种购票情况，故C错误． 中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位．甲、乙分坐于两侧，有种． 甲、乙分坐于两侧且坐同一排（按每一排考虑），有种， 所以甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有种，故D正确． 故选：ABD 4．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）用0，1，2，4，6，7组成无重复数字的四位数，则（    ） A．个位是0的四位数共有60个 B．2与4相邻的四位数共有60个 C．不含6的四位数共有100个 D．比6701大的四位数共有71个 【答案】ABD 【分析】对于A特殊元素法，先排零； 对于B捆绑法，分零是否被选到两种情况讨论； 对于C在0，1，2，4，7选排，先排首位； 对于C，分别考虑首位为7，前两位为67. 【详解】个位是0的四位数共有个，A正确． 若不含0，则2与4相邻的四位数有个；若含0，则2与4相邻的四位数有个，故2与4相邻的四位数共有60个，B正确． 不含6的四位数共有个，C错误． 比6701大的四位数共有个，D正确． 故选：ABD ( 题型0 6 ) 不相邻问题 1．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（    ） A．12种 B．48种 C．72种 D．120种 【答案】C 【分析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节即可得． 【详解】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为. 故选：C． 2．（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将3位摄影师插入站好的7位同学的8个空里. 【详解】先排7位学员，共有种排法，再从8个空位中选3个安排给3位摄影师，故不同排法数为． 故选：A 3．（多选）（24-25高二上·甘肃临夏·期末）3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（    ） A．任意站成一排，有120种排法 B．学生不相邻，有24种排法 C．教师相邻，有48种排法 D．教师不站在两边，有72种排法 【答案】AC 【分析】根据全排列可求得A，根据不相邻问题用插空法可求得B，根据相邻问题用捆绑法可求得C，根据特殊位置优先排可求得D. 【详解】对于A，任意站成一排，是全排列，所以有种排法，故A正确； 对于B，学生不相邻，所以先排老师，然后插空，即种排法，故B错误； 对于C，教师相邻用捆绑，即种排法，故C正确； 对于D，教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即种排法，故D错误； 故选：AC. 4．（23-24高二上·甘肃酒泉·期末）名男生、名女生站成一排，至少有两个女生相邻的站法种数为 （用数字作答）． 【答案】 【分析】分两种情况讨论：只有两个女生相邻、三个女生都相邻，利用捆绑法与插空法可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论： 若只有两个女生相邻，将三个女生分为两组，然后插入名男生所形成的空位中， 此时，不同的站法种数为种； 若三个女生都相邻，将这三个女生视为一个整体，然后插入名男生所形成的空位中， 此时，不同的站法种数为种. 综上所述，至少有两个女生相邻的站法种数为种. 故答案为：. ( 题型0 7 ) 平均分组问题 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 【答案】B 【分析】分类考虑，甲乙有可能各自参加一个足球场或者甲乙有一人和别人一起参加志愿服务，分别求出分配方案的种数，相加即得答案. 【详解】由题意甲、乙不能安排在同一足球场中，故甲、乙各自参加一个足球场的服务时，共有种分配方案， 当甲或乙有一人和丙丁中的一人一起参加一个足球场的服务时，有种分配方案， 故不同的分配方案共有种， 故选：B 2．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先从10人中选出3人上早班，从剩下的7人中选出3人上中班，再从剩下的4人中选出3人上中班，即可得到答案. 【详解】首先从10人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的7人中选出3人上中班，共有种， 再从剩下的4人中选出3人上晚班，共有种， 共有种. 也可以先从10人中选出9人，共有种， 再从9人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的6人中选出3人上中班，共有种， 其余3人上晚班，则共有种排法. 故选：D 3．（多选）（23-24高二上·甘肃白银·期末）6本不同的画册要分给甲､乙､丙三人，每人最少一本，则下列说法正确的为（    ） A．甲分得4本，则不同的分法有30种 B．甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则不同的分法有60种 C．每人2本，则不同的分法有540种 D．甲至少分得3本，则不同的分法有150种 【答案】ABD 【分析】利用分组分配问题的解法即可得解. 【详解】对于A，不同分法有种，故A正确； 对于B，不同的分法有60种，故B正确； 对于C，不同的分法有种，故C错误； 对于D，若甲分得3本，则不同的分法有种， 若甲分得4本，则不同的分法有30种， 故共有种，故D正确． 故选：ABD. 4．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）将4本不同的课外读物全部分给3个同学，每个同学至少分得一本，则不同的分配方法共有 种（用数字作答） 【答案】36 【分析】先将课外读物分为3组，继而分给3个同学，根据分组分配的方法，即可求得答案. 【详解】由题意，将4本不同的课外读物按数量为2、1、1分为3组，有种分法， 再将这3组读物分给3个同学，有种分法， 故共有不同的分配方法， 故答案为：36 ( 题型0 8 ) 相同元素隔板法 1．（23-24高二下·甘肃天水·期末）方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 【答案】B 【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可． 【详解】原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球， 采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可， 故共有种． 故选：B. 2．（23-24高三上·甘肃张掖·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120种 B．240种 C．360种 D．720种 【答案】A 【分析】应用“隔板法”即可求解. 【详解】先在编2号,3号的盒内分别放入1个球和2个球，还剩17个小球， 三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙， 插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，共有（种）方法． 故选:A. 3．（23-24高三上·甘肃嘉峪关·期中）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为 ． 【答案】 【分析】首先排好4个1,，即可产生5个空，再利用插空法求出2个0相邻与2个0不相邻的排法，再利用古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：将4个1和2个0随机排成一行，4个1产生5个空， 若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法， 所以2个0不相邻的概率为 故答案为： 4．（23-24高二下·甘肃平凉·期中）某教师某天需要给甲、乙2个班级上课，每个班级上1节课，已知一天共7节课，上午4节，下午3节． (1)若要求该教师先给甲班上课，再给乙班上课，试问不同的课表安排有多少种？ (2)若要求该教师不能连上节课（第4节和第5节不算连上），试问不同的课表安排有多少种？ 【答案】(1)种 (2)种 【分析】（1）根据组合数的知识求得正确答案. （2）利用对立事件的方法，结合排列数求得正确答案. 【详解】（1）若要求该教师先给甲班上课，再给乙班上课， 则不同的课表安排有种. （2）如果没有特殊要求，则排课方法有种， 其中连上节课的可能是节、节、节、节，节， 则连上节课的方法数有种， 所以不连上节课的方法有种. ( 题型 9 ) 二项式定理 1．（23-24高二下·甘肃陇南·期末）对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为(　　) A．3 B．6 C．9 D．21 【答案】B 【分析】将转化为，利用二项式展开式的通项公式，可求得的值. 【详解】由于，其展开式的通项为，当时，为，故. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.通过观察已知条件，等式左边是三次方的形式，右边含有这样的式子，故考虑将转化为，利用二项式展开式的通项来求得的值. 2．（多选）（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）对于二项式，下列说法正确的是（   ） A．其展开式一共有项 B．其展开式的二项式系数和为 C．其展开式的所有项的系数和为 D．其展开式的第三项为 【答案】BC 【分析】利用二项展开式的项数可判断A选项；利用二项展开式的二项式系数和可判断B选项；在二项式中，令，结合所有项的系数和可判断C选项；利用二项展开式的通项可判断D选项. 【详解】对于A选项，展开式的项数为，A错； 对于B选项，其展开式的二项式系数和为，B对； 对于C选项，其展开式的所有项的系数和为，C对； 对于D选项，其展开式的第三项为，D错. 故选：BC. 3．（24-25高二上·甘肃定西·期末）二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为 . 【答案】15 【分析】利用二项式的展开式中的指数为得，再令的指数为，求得并代入展开式的通项即可得答案. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，求得， 由展开式中常数项为，得，解得. 令，求得， 所以含项的系数为. 故答案为：15. 4．（23-24高二上·甘肃武威·期末）已知展开式中偶数项二项式系数和比展开式中奇数项二项式系数和小，求： （1）展开式中第三项的系数;（2）展开式的中间项． 【答案】（1）；（2）. 【详解】试题分析：（1）由二项式系数得，解得，再根据二项式定理得第三项的系数（2）展开的中间项为，再根据二项式定理得结果 试题解析：由题意得     即   ∴， （1）展开式的第三项的系数为 （2）展开的中间项为 ( 题型 10 ) 二项式定理的性质 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）的展开式中含项的系数为（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【分析】分别求展开式中含项的系数以及含项的系数，进而可得答案. 【详解】展开式的通项公式为， 展开式中含的项为， 展开式中含的项为， 所以的展开式中含项为， 的展开式中含项的系数5. 故选：A. 2．（24-25高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的通项公式列方程来求得的值. 【详解】的展开式的通项， 所以的展开式中含的系数为， 令，即，解得． 故选：D 3．（多选）（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为16 【答案】ABD 【分析】借助赋值法令可得A；借助二项式的展开式的通项公式计算可得B；借助赋值法令，结合A中所得可得C；借助二项式系数的和的性质可得D. 【详解】对A：令，可得，故，A正确； 对B：，所以，B正确； 对C：令，可得，则，C错误； 对D：展开式中所有项的二项式系数的和为，D正确． 故选：ABD. 4．（24-25高二上·甘肃定西·期末）的展开式中，各项系数的最大值是 ． 【答案】7 【分析】先写出通项公式，列出不等式组，求解出可得答案. 【详解】展开式的通项为且． 设展开式中第项的系数最大，则即， 又，所以或6，故展开式中系数最大的项是第6项或第7项， 且该项系数为． 故答案为：7 ( 题型 11 ) 二项式定理的应用 1．（多选）（24-25高二上·甘肃·期末）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．的展开式中，一共有6项 B．在的展开式中，所有二项式系数的和为64 C．若，则 D．二项式，若，则 【答案】ABC 【分析】应用展开式的性质判断A；利用展开式二项式系数的和公式求解判断B；令与，可求得的值判断C；求得中的系数即可计算判断D. 【详解】对于A，二项式展开式一共有6项，A正确； 对于B，在的展开式中，所有二项式系数的和为，故B正确； 对于C，令，可得， 令，可得，所以，故C正确； 对于D，二项式， 则， 令，得，则，故D不正确. 故选：ABC. 2．（24-25高三上·甘肃武威·期末）除以的余数为 . 【答案】1 【分析】由，利用二项式定理展开计算即可． 【详解】因为 ， 所以除以的余数是 故答案为： 3．（23-24高二上·甘肃白银·期末）（1）求除以15的余数； （2）证明：能被96整除. 【答案】（1）4 （2）证明见解析 【分析】（1）将转化为，然后根据二项式展开式求得正确答案. （2）将转化为然后利用二项式展开式求得正确答案. 【详解】（1） ， 除以15的余数为4. （2）证明： ， 原式能被96整除. 4．（23-24高二下·山东·期中）设展开式中只有第1010项的二项式系数最大． （1）求n； （2）求; （3）求.. 【答案】（1）2018；（2）；（3）-1. 【分析】（1）由二项式系数的对称性，． （2）即为展开式中各项的系数，在中令 ，即可得出． （3）由，令和，可求出与的值． 【详解】（1）由二项式系数的对称性， （2） （3）令 ，得， 令，得， 故. 【点睛】本题考查了二项式定理及其性质，考查了用特殊值求二项展开式的系数的应用问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即可. 【详解】每个毕业生都有4种不同选法，所以不同选法的种数为. 故选：D 2．（24-25高二上·甘肃·期末）已知某校教学楼共有四层，每层有8个班级，先从四个楼层中选取两层，然后从所选的楼层中一层选3个班级，另一层选4个班级进行卫生检查，则不同的选取方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】由组合知识，结合分步计数原理得到答案. 【详解】先从四个楼层中选取两层，方案有种， 从所选的楼层中一层选3个班级，另一层选4个班级进行卫生检查， 方案有种， 综上，不同的选取方式有种. 故选：A 3．（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）展开式中的常数项为（   ） A．480 B． C．240 D．260 【答案】C 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对有， 则有， 即展开式中的常数项为. 故选：C. 4．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）的展开式中的系数为（    ） A．2 B．6 C．4 D．-4 【答案】B 【分析】利用二项式的展开式的通项可求得的展开式中的系数. 【详解】的展开式中的系数即为的展开式中的系数， 又二项式的展开式的通项为， 令，可得， 所以的展开式中的系数为，所以的展开式中的系数. 故选：B. 5．（23-24高二上·甘肃白银·期末）安排5名志愿者完成四项工作，其中项工作需2人，项工作不安排5人中的甲完成，5名志愿者均分配了工作，且每项工作均有人完成，则不同的安排方法共有（    ） A．66种 B．60种 C．54种 D．48种 【答案】D 【分析】根据分类计数原理和分步计数原理，分为甲去完成A项工作和甲不去完成A项工作，进而得到结果. 【详解】甲去完成项工作，有种不同的安排方式； 甲不去完成项工作，又项工作不安排甲完成，有种不同的安排方式， 故共有种不同的安排方式． 故选：D 6．（23-24高二上·甘肃白银·期末）的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B．5 C．15 D．35 【答案】D 【分析】 求出的展开式中的通项，再结合两个式子相乘特点求解即可. 【详解】 二项式的展开式中的通项， 则含的项的系数为. 故选：D 7．（23-24高二下·甘肃金昌·期末）2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（     ）种． A．540 B．480 C．360 D．240 【答案】A 【分析】把6名工作人员分别分为，1，，，2，，，2，三种情况讨论，然后分别计算即可求解． 【详解】解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有：种， 把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有：种， 把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有：种， 综上，不同的安排方式共有种， 故选：A． 8．（23-24高二下·甘肃天水·期末）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数种计算器械的使用方法某研究性学习小组人分工搜集整理种计算器械的相关资料，其中一人种、另两人每人种计算器械，则不同的分配方法有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以得出总的方法数. 【详解】先将种计算器械分为三组，方法数有种，再排给个人，方法数有种，故选A. 【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，考查平均分组要注意的地方，属于基础题. 9．（多选）（24-25高三上·甘肃·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由二项式令可求，取可求所有系数和，由此判断AB；取，结合二项式展开式的通项公式求，判断C，取，结合的值判断D. 【详解】令，得， 令，得， 所以， 所以A正确；B正确； 令，则，所以， 因为二项式的展开式的通项公式为，， 所以，故C不正确； 令，得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选）（24-25高二上·甘肃白银·期末）“六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术，其中射箭､驾车（御战车､驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（    ） A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种 B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为 C．“御､书､数”相邻的培训方法种数为 D．“射”排在最后的培训方法种数为 【答案】BCD 【分析】利用捆绑法可判断AC；定序问题使用除法可判断B；先排“射”，然后全排可判断D. 【详解】对于A，先排“礼、射”有种，然后将“礼、射”看作一个元素，与其余4个全排有， 所以满足条件的培训方法种数为，故A项错误； 对于B，先全排有种，“数”和“乐”的顺序有2种，满足顺序排法相同， 所以满足条件的排法有种，故B项正确； 对于C，先排“御、书、数”有种，然后将“御、书、数”看作一个元素，与其余3个全排有， 所以满足条件的培训方法种数为，故C项正确； 对于D，先排“射”，然后其他5种全排，共有培训方法种数为，故D项正确． 故选：BCD 11．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）用4种不同的颜色对如图所示的6个区域（图中，，，，，）进行着色，要求相邻区域颜色不同，则共有 种不同的着色方法． 【答案】120 【分析】根据，，，，五个区域中必有两组不相邻的区域分别涂同一种颜色分类，再利用分步乘法计数原理列式计算可得答案. 【详解】根据题意，用4种不同颜色标注6个区域，相邻区域颜色不相同， 则，，，，五个区域中必有两组不相邻的区域分别涂同一种颜色， 共有：{“和”且“和”}，{“和”且“和”}，{“和”且“和”}， {“和”且“和”}，{“和”且“和”}5种情况， 所以不同的涂色共有种． 故答案为：120. 12．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】展开式的通项为（其中且）， 令，解得，所以，所以的系数为. 故答案为： 13．（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知二项式. (1)求二项展开式中的常数项； (2)记二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，求. 【答案】(1)70 (2)256 【分析】（1）先求二项展开式的通项公式，令的指数为零即可求出常数项； （2）求出，即可求得的值. 【详解】（1）的二项展开式的通项为， 令，得，所以的二项展开式中的常数项为. （2）的二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为， 因为的二项展开式的通项为， 所以，， . 14．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知件不同的产品中有件次品，现对这件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试. (1)若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分步乘法计数原理可求得结果； （2）分两种情况讨论：（i）测试次找到所有次品；（ii）测试次找到所有的次品.求出两种情况下不同的测试情况种数，相加即可. 【详解】（1）若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品， 则第一、三、四次抽到的都是正品， 由分步乘法计数原理可知，不同的测试情况种数为种. （2）分以下两种情况讨论： （i）测试次找到所有次品，不同的测试情况种数为种； （ii）测试次找到所有的次品，则第三次抽到次品，前两次有一次抽到正品， 则不同的测试情况种数为种. 综上所述，不同的测试情况种数为种. 15．（24-25高二上·甘肃定西·期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． (1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用插空法结合分步乘法计数原理求解； （2）将满足条件的站法分为两类，乙站在排头或排尾，甲、乙都不站排头或排尾，结合捆绑法及分类加法计数原理求解. 【详解】（1）先排丙、丁、戊，有种站法． 再插空排甲、乙．有种站法． 故甲、乙两人不相邻的站法共有种． （2）满足条件的站法可分为两类， 第一类：乙站在排头或排尾，则有种站法． 第二类：甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法． 故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 计数原理 题型概览 题型01分类加法计数原理 题型02分步乘法计数原理 题型03 排列组合计算 题型04特殊元素优先排序 题型05相邻问题 题型06 不相邻问题 题型07 平均分组问题 题型08 相同元素的隔板法 题型09 二项式定理 题型10 二项式定理的性质 题型11 二项式定理的应用 ( 题型01 ) 分类加法计数原理 1．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·期末）将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 2．（22-23高二下·甘肃定西·期中）现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（    ） A．10种 B．12种 C．20种 D．60种 3．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有 . 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）我国古代数学名著《续古摘奇算法》（杨辉著）一书中有关于三阶幻方的问题：将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9分别填入的方格中，使得每一行，每一列及对角线上的三个数的和都相等 (如图所示)，我们规定：只要两个幻方的对应位置（如每行第一列的方格）中的数字不全相同，就称为不同的幻方，那么所有不同的三阶幻方的个数是 . ( 题型02 ) 分步乘法计数原理 1．（24-25高二上·甘肃定西·期末）从甲地到丙地要经过乙地，已知从甲地到乙地有4条路，从乙地到丙地有3条路，则从甲地到丙地不同的走法有（    ） A．3种 B．4种 C．7种 D．12种 2．（24-25高二上·甘肃定西·期末）如图，给编号为1，2，3，…，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 3．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）某电视台连续播放4个广告，现将2个不同的公益广告插入其中，保持原来的4个广告播放顺序不变，不同的播放方式有（   ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 4．（24-25高二上·甘肃白银·期末）某城市一地铁站有四个出站口，乘客甲，乙，丙，丁相互独立地任选一个出站口出站，则共有 种出站方法． ( 题型0 3 ) 排列组合计算 1．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）（    ） A．10 B．5 C．20 D．4 2．（23-24高二下·甘肃天水·期末）若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（多选）（22-23高二下·甘肃定西·期末）下列式子正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）方程的解为 . ( 题型0 4 ) 特殊元素优先排序 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）五一小长假期间，旅游公司决定从5辆旅游大巴中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个学区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这5辆大巴中不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（    ） A．36 B．96 C．72 D．68 2．（24-25高三上·甘肃武威·期末）由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有 个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意） 3．（23-24高二下·甘肃·期末）丝绸之路是文明之路、经济之路，也是东西之间的友谊之路、合作共赢之路．甘肃，作为丝绸之路沿线的重受省份，已成功举办11届敦煌行·丝绸之路国际旅游节，在旅游节期间，需从4位志愿者中选3位安排到甲、乙、丙三个不同的工作岗位，每个岗位1人，其中志愿者不能安排在甲岗位，则不同的安排方法种数为 ． 4．（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）某值班室周一到周五的工作日每天需要一人值夜班，该岗位共有四名工作人员可以排夜班，已知同一个人不能连续安排三天的夜班，则这五天排夜班方式的种数为 ． ( 题型0 5 ) 相邻问题 1．（23-24高二下·甘肃天水·期中）东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳､刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（    ）种. A．120 B．240 C．480 D．720 2．（22-23高二下·甘肃酒泉·期末）现有红、橙、黄、蓝、绿、紫6只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和紫色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（22-23高二下·甘肃白银·期末）某电影院的一个播放厅的座位如图所示（标黑表示该座位的票已被购买），甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，目甲、乙不坐前两排．（    ）    A．若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种 B．若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种 C．若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种 D．若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种 4．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）用0，1，2，4，6，7组成无重复数字的四位数，则（    ） A．个位是0的四位数共有60个 B．2与4相邻的四位数共有60个 C．不含6的四位数共有100个 D．比6701大的四位数共有71个 ( 题型0 6 ) 不相邻问题 1．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（    ） A．12种 B．48种 C．72种 D．120种 2．（22-23高二上·甘肃庆阳·期末）现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高二上·甘肃临夏·期末）3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是（    ） A．任意站成一排，有120种排法 B．学生不相邻，有24种排法 C．教师相邻，有48种排法 D．教师不站在两边，有72种排法 4．（23-24高二上·甘肃酒泉·期末）名男生、名女生站成一排，至少有两个女生相邻的站法种数为 （用数字作答）． ( 题型0 7 ) 平均分组问题 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）甲、乙、丙、丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲、乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．30种 C．36种 D．42种 2．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二上·甘肃白银·期末）6本不同的画册要分给甲､乙､丙三人，每人最少一本，则下列说法正确的为（    ） A．甲分得4本，则不同的分法有30种 B．甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则不同的分法有60种 C．每人2本，则不同的分法有540种 D．甲至少分得3本，则不同的分法有150种 4．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）将4本不同的课外读物全部分给3个同学，每个同学至少分得一本，则不同的分配方法共有 种（用数字作答） ( 题型0 8 ) 相同元素隔板法 1．（23-24高二下·甘肃天水·期末）方程的正整数解的个数为（    ） A．56 B．35 C．70 D．66 2．（23-24高三上·甘肃张掖·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（    ） A．120种 B．240种 C．360种 D．720种 3．（23-24高三上·甘肃嘉峪关·期中）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为 ． 4．（23-24高二下·甘肃平凉·期中）某教师某天需要给甲、乙2个班级上课，每个班级上1节课，已知一天共7节课，上午4节，下午3节． (1)若要求该教师先给甲班上课，再给乙班上课，试问不同的课表安排有多少种？ (2)若要求该教师不能连上节课（第4节和第5节不算连上），试问不同的课表安排有多少种？ ( 题型 9 ) 二项式定理 1．（23-24高二下·甘肃陇南·期末）对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为(　　) A．3 B．6 C．9 D．21 2．（多选）（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）对于二项式，下列说法正确的是（   ） A．其展开式一共有项 B．其展开式的二项式系数和为 C．其展开式的所有项的系数和为 D．其展开式的第三项为 3．（24-25高二上·甘肃定西·期末）二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为 . 4．（23-24高二上·甘肃武威·期末）已知展开式中偶数项二项式系数和比展开式中奇数项二项式系数和小，求： （1）展开式中第三项的系数;（2）展开式的中间项． ( 题型 10 ) 二项式定理的性质 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期末）的展开式中含项的系数为（    ） A．5 B．7 C．8 D．10 2．（24-25高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（多选）（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为16 4．（24-25高二上·甘肃定西·期末）的展开式中，各项系数的最大值是 ． ( 题型 11 ) 二项式定理的应用 1．（多选）（24-25高二上·甘肃·期末）在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．的展开式中，一共有6项 B．在的展开式中，所有二项式系数的和为64 C．若，则 D．二项式，若，则 2．（24-25高三上·甘肃武威·期末）除以的余数为 . 3．（23-24高二上·甘肃白银·期末）（1）求除以15的余数； （2）证明：能被96整除. 4．（23-24高二下·山东·期中）设展开式中只有第1010项的二项式系数最大． （1）求n； （2）求; （3）求.. 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）5名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·甘肃·期末）已知某校教学楼共有四层，每层有8个班级，先从四个楼层中选取两层，然后从所选的楼层中一层选3个班级，另一层选4个班级进行卫生检查，则不同的选取方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）展开式中的常数项为（   ） A．480 B． C．240 D．260 4．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）的展开式中的系数为（    ） A．2 B．6 C．4 D．-4 5．（23-24高二上·甘肃白银·期末）安排5名志愿者完成四项工作，其中项工作需2人，项工作不安排5人中的甲完成，5名志愿者均分配了工作，且每项工作均有人完成，则不同的安排方法共有（    ） A．66种 B．60种 C．54种 D．48种 6．（23-24高二上·甘肃白银·期末）的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B．5 C．15 D．35 7．（23-24高二下·甘肃金昌·期末）2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B、C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（     ）种． A．540 B．480 C．360 D．240 8．（23-24高二下·甘肃天水·期末）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数种计算器械的使用方法某研究性学习小组人分工搜集整理种计算器械的相关资料，其中一人种、另两人每人种计算器械，则不同的分配方法有（　　） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高三上·甘肃·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高二上·甘肃白银·期末）“六艺”即“礼､乐､射､御､书､数”，为春秋战国时期读书人必须学习的六种技艺，分别为礼法､乐舞､射箭､驾车､书法和算术，其中射箭､驾车（御战车､驾车）为军事技能．某国学馆开设“传承优秀文化”专题培训班，对这六种技艺要逐项培训，下列叙述正确的是（    ） A．“礼”与“射”必须相邻的培训方法有种 B．先培训“数”后培训“乐”的培训方法种数为 C．“御､书､数”相邻的培训方法种数为 D．“射”排在最后的培训方法种数为 11．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）用4种不同的颜色对如图所示的6个区域（图中，，，，，）进行着色，要求相邻区域颜色不同，则共有 种不同的着色方法． 12．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）在的展开式中，的系数为 .（用数字作答） 13．（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知二项式. (1)求二项展开式中的常数项； (2)记二项展开式中奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，求. 14．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知件不同的产品中有件次品，现对这件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试. (1)若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 15．（24-25高二上·甘肃定西·期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． (1)甲，乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$