专题01 导数（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（青海专用）

专题01 导数 题型概览 题型01导数的概念与运算 题型04函数的极值、最值 题型02曲线的切线问题 题型05利用函数的性质求参数的取值范围 题型03函数的单调性 题型06利用导数证明不等式 导数的概念与运算题型01 1. （23-24高二下·海南州·期末）一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：，的单位：），则时的瞬时速度为（ ） A. 14 B. 26 C. 29 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】根据瞬时速度和导数的关系，带值计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2. （23-24高二下·西宁市·期末）节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积（单位：与半径（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据瞬时变化率的定义结合导数的运算求解即可. 【详解】由，求导得， 所以时体积关于半径的瞬时变化率为. 故选：B. 3. （23-24高二下·西宁市·期末）已知函数，为的导函数，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的乘法运算法则求导，再代入求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 曲线的切线问题题型02 4. （23-24高二下·西宁市·期末）曲线在点处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：B 5. （23-24高二下·西宁市·期末）已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，然后令，可得出关于的等式，求出的值，进而可求出函数的图象在点处的切线斜率 【详解】∵，∴，∴，解得，∴，因此，函数的图象在点处的切线斜率为 故选C 【点睛】本题考查函数的切线斜率的求解，考查计算能力，属于基础题. 6. （23-24高二下·海南州·期末）已知函数的图象在点处的切线方程是，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】由导数的几何意义求出，又因为切点坐标满足切线方程可得. 【详解】由导数的几何意义可得，， 又点在切线上，所以，则． 函数的单调性题型03 7. （23-24高二下·西宁市·期末）（多选）若函数在上单调递减，则a的取值可以是（ ） A. 0.39 B. C. 0.42 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出导函数，根据恒成立确定出的范围，即可得． 【详解】. 当，时，，所以对恒成立， 设，则且， 则解得. 故选：BCD． 函数的极值、最值题型04 8. （23-24高二下·海南州·期末）已知函数在处取得极大值，则实数（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】先由在处取得极大值求得值，再分别分析与时的在处的极值情况，从而得解. 【详解】因为， 所以， 因为在处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意； 当时，， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意； 综上，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是求得值后，要进行检验满足题意与否，从而得解. 9. （23-24高二下·西宁市·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有2个极值点 C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据的图象判断其符号，进而可知的单调性和极值，结合选项分析判断即可. 【详解】由的图象可知：当或时，；当时，； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 则函数有且仅有两个极值点， 结合选项可知：ABC正确；D错误； 故选：D. 10. （23-24高二下·西宁市·期末）（多选）已知函数有2个极值点，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意转化为判断导函数有2个变号零点，根据选项判断. 【详解】由题意得的导函数有两个变号零点． 由，得恒成立，单调递增，无极值点，A错误． 由，得，令，得，而且是导函数的变号零点，所以有2个极值点，B正确． 由，得，令，得，因为，所以有两个异号零点，所以函数有2个极值点，C正确． 由，得，令，得，是唯一的变号零点，所以函数只有1个极值点，D错误． 故选：BC 11. （23-24高二下·海南州·期末）（多选）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确； 对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误； 对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确； 对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确. 故选：ACD． 12. （23-24高二下·西宁市·期末）函数的极值点为____________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用导数，结合极值点的定义得解. 【详解】， ，令解得，令解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极值点为0. 故答案为：0. 13. （23-24高二下·西宁市·期末）已知，在与处都取得极值. （1）求实数，的值； （2）若对任意，，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2），，. 【解析】 【分析】（1）由题知，与是的两根，再利用韦达定理即可得解； （2）原问题可转化为；由（1）知，，令，则或，然后列表写出和随在，上的变化情况，求得最大值后，解关于的不等式即可. 【详解】解：（1），， 在与处都取得极值， 与是的两根，即， 解得，. （2）由（1）知，，， 令，则或， 和随在，上的变化情况如下表所示： ， ， ， 1 ， 0 0 极小值 极大值 ，极大值为（1）， 在，上的最大值为， 对任意，，都有成立， ，解得或. 故实数的取值范围为，，. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和恒成立问题，将原问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想､逻辑推理能力和运算能力，属于中档题. 利用函数的性质求参数取值范围题型05 14. （23-24高二下·海南州·期末）已知函数． （1）若在处的切线方程为，求实数，的值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义求导得的值，即可得的值，从而可得切点坐标代入函数可得的值； （2）求导，确定函数在闭区间上的单调性，结合闭区间函数性质可得函数最小值，根据不等式即可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 因为，则， 所以，所以，解得． 所以在处的切线方程为，当时，，所以切点为， 代入曲线中可得，解得； 故，； 【小问2详解】 因为，又，则， 令，解得或，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 所以的最小值为， 所以，解得，即实数的取值范围是． 15. （23-24高二下·西宁市·期末）已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为. 试题解析：（1）定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 利用导数证明不等式题型06 16. （23-24高二下·西宁市·期末）（多选）已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】令，可得在上单调递增，取自变量值可得结果. 【详解】令，所以， 所以在上单调递增， 所以，即，故A错误，B正确； 又，所以， 即，故C正确，D错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数． (3)利用导数研究的单调性或最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 17. （23-24高二下·西宁市·期末）已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围； （3）设是函数的两个极值点，证明： 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导函数，可得切线斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线方程. （2）求出导函数，把所求问题转化为在上有解，即有正零点，根据二次型函数零点分布列式求解即可. （3）由题意是的两个根，则，将所证不等式转化为，令，构造函数，综合导数的运用，求单调性和最值，即可得证. 【小问1详解】 当时，，， 则，， 所以的图象在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ， 因为函数存在单调递减区间，所以在上有解， 因为，设，则， 所以只需或，解得或， 故实数a的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可知，， 因为有两个极值点， 所以是的两个根，则且， 所以 ， 所以要证，即证， 即证，即证，即证， 令，则证明，令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以原不等式成立. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 导数 题型概览 题型01导数的概念与运算 题型04函数的极值、最值 题型02曲线的切线问题 题型05利用函数的性质求参数的取值范围 题型03函数的单调性 题型06利用导数证明不等式 导数的概念与运算题型01 1. （23-24高二下·海南州·期末）一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：，的单位：），则时的瞬时速度为（ ） A. 14 B. 26 C. 29 D. 34 2. （23-24高二下·西宁市·期末）节日里，人们常用放气球的形式庆祝，已知气球的体积（单位：与半径（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 3. （23-24高二下·西宁市·期末）已知函数，为的导函数，则的值为__________. 曲线的切线问题题型02 4. （23-24高二下·西宁市·期末）曲线在点处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. （23-24高二下·西宁市·期末）已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为（ ） A. B. C. D. 6. （23-24高二下·海南州·期末）已知函数的图象在点处的切线方程是，则______． 函数的单调性题型03 7. （23-24高二下·西宁市·期末）（多选）若函数在上单调递减，则a的取值可以是（ ） A. 0.39 B. C. 0.42 D. 函数的极值、最值题型04 8. （23-24高二下·海南州·期末）已知函数在处取得极大值，则实数（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 1或 9. （23-24高二下·西宁市·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有2个极值点 C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值 10. （23-24高二下·西宁市·期末）（多选）已知函数有2个极值点，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 11. （23-24高二下·海南州·期末）（多选）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减 B. 函数在区间上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 12. （23-24高二下·西宁市·期末）函数的极值点为____________. 13. （23-24高二下·西宁市·期末）已知，在与处都取得极值. （1）求实数，的值； （2）若对任意，，都有成立，求实数的取值范围. 利用函数的性质求参数取值范围题型05 14. （23-24高二下·海南州·期末）已知函数． （1）若在处的切线方程为，求实数，的值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 15. （23-24高二下·西宁市·期末）已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 利用导数证明不等式题型06 16. （23-24高二下·西宁市·期末）（多选）已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 17. （23-24高二下·西宁市·期末）已知函数. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围； （3）设是函数的两个极值点，证明： 学科网（北京）股份有限公司 $$