上海市八年级数学下学期期末模拟卷02（测试范围：沪教版八下全册）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版）

2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷共26题，选择6题，填空12题，解答8题 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 4．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．直线经过一、二、四象限，则k和b应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限． 【详解】解：∵直线经过一、二、四象限， ∴， 故选：C． 2．下列事件中是必然事件的是（    ） A．方程在实数范围内有解 B．在十进制中 C．两个非零实数的积为负 D．平面直角坐标系中，直线不经过第二象限 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式，二进制，有理数的乘法，直线的性质判断即可得出答案． 【详解】解：A、针对于方程x2+a=0，Δ=0-4a=-4a，当a≤0时，方程有两个实数根，当a＞0时，方程没有实数根，故此选项不符合题意； B、在十进制中1+1=10和十进制中的2不能比较大小，故此选项不符合题意； C、两个非零数相乘，同号得正，异号得负，故此选项不符合题意； D、针对于直线y=3x-1，k=3＞0，b=-1＜0，∴直线y=3x-1经过第一、三、四象限，不经过二象限，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二进制，有理数的乘法，一次函数的性质． 3．下列命题中是真命题的是（   ） A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题真假，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解此题的关键． 根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可得出答案． 【详解】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，故原说法错误，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，符合题意． 故选：D． 4．用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握利用换元法，把一个式子做为整体进行替换，将分式方程化简为一元二次方程． 把代入原方程，得出，再进行整理即可． 【详解】解：整理，得， 把代入方程得：， 整理得：． 故选 B． 5．下列说法正确的是（    ） A．是二元二次方程 B．是二项方程 C．是分式方程 D．是无理方程 【答案】C 【分析】本题考查二元二次方程，分式方程，无理方程等概念，根据二元二次方程，分式方程，无理方程等概念逐项判断即可． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项说法错误； B、不是二项方程，故本选项说法错误； C、是分式方程，故本选项说法正确； D、是分式方程，故本选项说法错误． 故选：C 6．已知点，点都在直线上，则，的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小是解题的关键．根据，以及直线中随的增大而减小，即可得到答案． 【详解】解：对于来说， ， 随的增大而减小， 点，点都在直线上，且， ， 故选：A． 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．方程的根是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二项方程，根据及即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 8．桌上有6个同样型号的杯子，其中1杯白糖水、2杯盐水、3杯矿泉水．从这6杯中随机抽取1杯，在下列事件中，发生的可能性最大的是 ．（填序号） ①取到盐水；②取到白糖水；③取到矿泉水；④没有取到盐水；⑤没有取到白糖水；⑥没有取到矿泉水 【答案】⑤ 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，根据概率计算公式分别求出对应的6个事件发生的概率，比较即可得到答案． 【详解】解：取到盐水的概率为，取到白糖水的概率为，取到矿泉水的概率为，没有取到盐水的概率为；没有取到白糖水的概率，没有取到矿泉水， ∴没有取到白糖水的概率最大，即可能性最大， 故答案为：⑤． 9．已知方程 ，如果设，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解可化为一元二次方程的分式方程，掌握换元法是解题关键． 设，则，则原方程化为：，再去分母即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程化为：， 去分母得：， 故答案为：． 10．如果关于x的无理方程没有实数解，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解答方法，无实数根应满足什么条件． 根据，则得到时，无理方程没有实数解，再解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的无理方程没有实数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．一次函数的图象如图所示，那么不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．结合函数图象，写出直线在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集为， 故答案为：． 12．若直线与平行，则 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据坐标系中若两一次函数所在的直线平行，那么这个一次函数的一次项系数相同进行求解即可． 【详解】解∶∵直线与平行， ∴， ∴或， 故答案为∶3或． 13．一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个正多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数是6， 故答案为：6． 14．已知平行四边形的周长是，和交于点O，比的周长小3，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的周长，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 根据平行四边形的性质可得，再根据比的周长小3，即可求得． 【详解】解：∵平行四边形的周长是， ∴， ∵比的周长小3， ∴， ∴． 故答案为：4． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴和y轴分别交于点A和点B，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点C作轴，垂足为点F，交于点E，连接，则三角形的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，求一次函数与坐标轴的交点坐标，解本题的关键在熟练掌握相关的性质与判定定理． 首先通过一次函数解析式，得到点A和B的坐标，进而即可得出的长，再过点过点B作平行于，交于N，证明，得出，，再证明四边形为正方形，得到，则，再证明，进而得到，所以，即可算出三角形的周长． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 过点B作平行于，交于N， ∵轴 ∴轴 ∴， ∴； ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴矩形为正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴周长． 故答案为：16． 16．定义：在平面直角坐标系中，距离为1的两条直线叫做“互为伴随线”．如果直线与直线互为伴随线，那么直线的函数解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，由题意得：，，，，为等腰直角三角形，由勾股定理结合等腰直角三角形的性质求出，得到，即可得出解析式，同理计算即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， 同理可得：，即， ∴直线的函数解析式为或， 故答案为：或． 17．直角三角形的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合，点的坐标是且，若将绕着点旋转，点和点分别落在点和点处，那么直线的解析式是 ． 【答案】或或或 【分析】分点C在第一象限和第四象限讨论，然后每种情况分顺时针和逆时针旋转讨论，根据等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等求出点E、F的坐标，然后根据待定系数法求解即可． 【详解】解∶当点C在第一象限时， 若按顺时针旋转，如图，过C作于G，过E作于H， ∵，是直角三角形， ∴是直角三角形， ∴ ∵A、O重合， ， ∴， ∴， ∵绕着点旋转，点和点分别落在点和点处， ∴，，， ∴点F在y的负半轴上， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 若按照逆时针旋转，如图 同理可求，，直线解析式为； 当点C在第四象限时， 若按顺时针旋转，如图， 同理可求，，直线解析式为； 若按逆时针旋转，如图， 同理可求，，直线解析式为； 综上，直线解析式为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，明确题意，灵活应用以上知识，合理分类讨论是解题的关键． 18．如图，在正方形中，点E、F分别为边的中点，点P在边上，如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处，线段的长为1，那么正方形的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握正方形的性质和折叠的不变性． 先得到四边形为矩形，根据正方形的性质以及折叠的性质得到可设，，，在中由勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】解：如图： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点E、F分别为边的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵翻折， ∴， 设正方形的边长为，则，，， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍）， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．解方程（组） (1)解方程： (2)解方程组： (3)解方程： 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了解无理方程，解二元二次方程，解分式方程，熟知相关解方程的方法是解题的关键． （1）把方程两边同时平方得到一个一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）先把方程①的左边利用十字相乘法分解因式，再由②得，把代入①分解因式的方程中求出y的值，进而求出x的值即可； （3）设，则原方程可化为，再去分母得到整式方程，解方程并验证和检验即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或（舍去，算术平方根的非负性）； （2）解： 由①得：③， 由②得：④， 把④代入③中得：， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，， ∴原方程组的解为或． （3）解：设，则原方程可化为， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或， 解方程得或，解方程可得原方程无解， 经检验，和都是原方程的解， ∴原方程的解为或． 20．新定义为一次函数（，a、b为实数）的“关联数”． (1)若“关联数”的一次函数为正比例函数，求b的值． (2)已知直角坐标系中点，点，求图像过A、B两点的一次函数的关联数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，待定系数法求一次函数的解析式，理解新定义是解题的关键； （1）由新定义及正比例函数知，，即可求得b的值； （2）利用待定系数法求出直线的函数解析式，即可求得“关联数”． 【详解】（1）解：∵“关联数”的一次函数为正比例函数， ∴， 解得； （2）解：将，代入中， 得，， 解得； 即图像过A、B两点的一次函数的关联数为． 21．有四张完全相同的卡片、、、，分别面有不同的几何图形：（等边三角形）；（圆）；（矩形）；（等腰梯形），将这四张卡片放在不透明的盒子中洗匀． (1)从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是_____； (2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多少？（请用树形图说明，卡片可用、、、表示） 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先判断（等边三角形）、（圆）、（矩形）、（等腰梯形）都是轴对称图形，再根据概率公式求解； （2）先画出树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片都是中心对称图形的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）∵（等边三角形）、（圆）、（矩形）、（等腰梯形）都是轴对称图形， ∴从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是1； （2）（圆）、（矩形） 是中心对称图形， 所有等可能的情况如图所示：    共有12种等可能的结果数，其中抽取的两张卡片都是中心对称图形的结果有2种， 所以取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是． 【点睛】本题考查了求两次事件的概率，正确理解题意、熟练掌握利用树状图或列表法求解的方法是关键． 22．已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 由平行四边形得到，，，证明出，得到，同理得到，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】∵，点为对角线的中点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴同理可证， ∴ ∴四边形为平行四边形． 23．如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，然后根据等式的性质即可得证； （2）由全等三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据三线合一的性质得出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，结合（1）中即可求解． 【详解】（1）证明∶设、相交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．某公司开发了一款人工智能客户支持系统．该系统总的运行成本与服务的客户数量之间存在函数关系．已知：系统维护有固定成本（即系统没有客户咨询，仍需要支付的成本）；另外每服务一个客户，需要一定的运行成本；且当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本降低2元，假设系统总的运行成本为元，客户的数量为人，请结合函数图像，回答下列问题： (1)系统维护的固定成本是________元． (2)若当客户人数为5000人时，总的运行成本为元，若当客户人数为10000人时，总的运行成本为元，且． ①当客户人数不超过5000人时，求每服务一个客户需要的运行成本． ②如果总的运行成本不少于35000元，求该公司至少服务客户多少人？ 【答案】(1)2000 (2)①6元；②5750人 【分析】本题考查一次函数解决实际问题，读懂题意是解题的关键． （1）由图像与y轴的交点的坐标即可解答； （2）①当客户人数不超过5000人时，设每服务一个客户需要的运行成本n元，得到，，根据得到方程，求解即可； ②先求出当时，；当时，．判断当时，，因此得到，求解即可． 【详解】（1）解：由图像可得，当时，， ∴系统维护的固定成本是2000元． 故答案为：2000； （2）解：①当客户人数不超过5000人时，设每服务一个客户需要的运行成本n元，则当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本为元， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴当客户人数不超过5000人时，每服务一个客户需要的运行成本为6元． ②由①可知：当客户人数不超过5000人时，每服务一个客户需要的运行成本为6元；当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本为4元． ∴当时，； 当时，． ∴当时，， ∴当时，， ∴， 解得． ∴该公司至少服务客户5750人． 25．如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；点的坐标为， (2) (3)当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标及，的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度，由取的中点，连接，可得是等边三角形，进而求出的度数； （2）过点作轴，垂足为点，由，的长度可得出，由，，可得出为等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理可得出的长度，再利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式； （3）分，及三种情况考虑：①当时，点与点重合或点与点重合，进而可得出点的坐标；②当时，由可求出的长度，结合是等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标；③当时，过点作直线，垂足为点，通过解直角三角形可求出的长度，由等腰三角形的性质及的长度可求出的长度，结合为等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标．综上，此题得解． 【详解】（1）解：当时， ，点的坐标为； 当时， 解得： 点的坐标为， 在中，， 如图，取的中点，连接， 是等边三角形， （2）在图中，过点作轴，垂足为点． ，， ， ，， 为等边三角形， （3）∵以、、、为顶点的四边形为菱形， 分三种情况考虑，如图所示． ①当时，点与点重合， 点的坐标为； ②当时， 是等边三角形， ③当时，过点作直线，垂足为点， 在中，，， ， ， ． 为等边三角形， ， ， 点的坐标为． 综上所述：当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，掌握以上知识分类讨论，是解题的关键． 26．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； (3)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 【答案】(1)，或，或， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键在于构造“一线三等角”的全等． （1）先求出，即，然后分三种情况讨论，利用“一线三等角”的全等进行求解即可； （2）先求出，则，过点作轴于点H，同上可证明：，，再由即可求解； （3）当时，，则可求，过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N，可得，同上可证明：，即可得到，再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当， ∴，即， ①当，记直线交y轴于点D，如图： ∵直线与轴垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； ②，过点F作轴于点D，如图： 同理可证明：， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 当，记直线交y轴于点D，过点A作直线的垂线，垂足为点H，如图： 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 综上所述：，或，或，； （2）解：当，， 解得：， ∴， ∴， 过点作轴于点H， 同上可证明：， ∴， ∴； （3）解：当时，， 令，则， 解得， ∴， 过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N， ∵，， ∴， ∴， 同上可证明：， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入，得：, 解得：， ∴直线表达式为． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期末模拟卷02 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷共26题，选择6题，填空12题，解答8题 2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 4．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．直线经过一、二、四象限，则k和b应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 2．下列事件中是必然事件的是（    ） A．方程在实数范围内有解 B．在十进制中 C．两个非零实数的积为负 D．平面直角坐标系中，直线不经过第二象限 3．下列命题中是真命题的是（   ） A．对角线相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 4．用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．是二元二次方程 B．是二项方程 C．是分式方程 D．是无理方程 6．已知点，点都在直线上，则，的大小关系（   ） A． B． C． D．无法确定 第二部分（非选择题 共82分） 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．方程的根是 ． 8．桌上有6个同样型号的杯子，其中1杯白糖水、2杯盐水、3杯矿泉水．从这6杯中随机抽取1杯，在下列事件中，发生的可能性最大的是 ．（填序号） ①取到盐水；②取到白糖水；③取到矿泉水；④没有取到盐水；⑤没有取到白糖水；⑥没有取到矿泉水 9．已知方程 ，如果设，那么原方程可以变形为关于y的整式方程是 ． 10．如果关于x的无理方程没有实数解，那么m的取值范围是 ． 11．一次函数的图象如图所示，那么不等式的解集是 ． 12．若直线与平行，则 ． 13．一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 14．已知平行四边形的周长是，和交于点O，比的周长小3，则的长为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴和y轴分别交于点A和点B，以为边在直线右侧作正方形，连接，过点C作轴，垂足为点F，交于点E，连接，则三角形的周长为 ． 16．定义：在平面直角坐标系中，距离为1的两条直线叫做“互为伴随线”．如果直线与直线互为伴随线，那么直线的函数解析式为 ． 17．直角三角形的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合，点的坐标是且，若将绕着点旋转，点和点分别落在点和点处，那么直线的解析式是 ． 18．如图，在正方形中，点E、F分别为边的中点，点P在边上，如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处，线段的长为1，那么正方形的边长为 ． 三.解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．解方程（组） (1)解方程： (2)解方程组： (3)解方程： 20．新定义为一次函数（，a、b为实数）的“关联数”． (1)若“关联数”的一次函数为正比例函数，求b的值． (2)已知直角坐标系中点，点，求图像过A、B两点的一次函数的关联数． 21．有四张完全相同的卡片、、、，分别面有不同的几何图形：（等边三角形）；（圆）；（矩形）；（等腰梯形），将这四张卡片放在不透明的盒子中洗匀． (1)从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是_____； (2)小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多少？（请用树形图说明，卡片可用、、、表示） 22．已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 23．如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 24．某公司开发了一款人工智能客户支持系统．该系统总的运行成本与服务的客户数量之间存在函数关系．已知：系统维护有固定成本（即系统没有客户咨询，仍需要支付的成本）；另外每服务一个客户，需要一定的运行成本；且当服务人数超过5000人时，超过部分每服务一个客户的运行成本降低2元，假设系统总的运行成本为元，客户的数量为人，请结合函数图像，回答下列问题： (1)系统维护的固定成本是________元． (2)若当客户人数为5000人时，总的运行成本为元，若当客户人数为10000人时，总的运行成本为元，且． ①当客户人数不超过5000人时，求每服务一个客户需要的运行成本． ②如果总的运行成本不少于35000元，求该公司至少服务客户多少人？ 25．如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 26．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； (3)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$