25.3 用频率估计概率 课件　2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十五章 概率初步 25.3 用频率估计概率 学习目标 1. 理解知道大量重复试验时，频率趋于一个稳定值这一规律.（重点） 2. 会用频率估计概率.（重点） 3. 通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系.（难点） 探究 掷硬币试验 试验内容：把全班同学分为10组，每组同学抛掷一枚均匀硬币400次，每隔50次记录“正面朝上”的次数，并算出“正面朝上”的频率，完成下表： 抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 “正面向上”的次数m “正面向上” 的频率 情境引入 根据你在表中填写的数据，在下图中标注出对应的点. 0.5 1 y 400 O 100 200 x 300 你发现了什么？ 请同学们根据试验所得的数据以及图象 想一想：“正面向上”的频率有什么规律？ 随着抛掷硬币次数的增加，硬币“正面朝上”的频率会在0.5左右摆动，并且摆动幅度越来越小. 获取新知 历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验， 试验结果如下： 试验者 抛掷次数n “正面向上” 次数m “正面向上”的频率 棣莫弗 2048 1061 0.518 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 0.50 y 0.51 0.49 0.52 O 5000 10000 x 15000 20000 25000 (2048,0.518) (4040,0.5069) (10000,0.4979) (12000,0.5016) (24000,0.5005) 根据上表中的数据，在下图中标注出对应的点 思考：随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势是什么？ 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率稳定于0.5. 在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为概率的估计值. 注意：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的频率都可能不同；而概率是一个确定数，是客观存在的，与每次试验无关. 稳定性 频率 概率 事件发生的频繁程度 事件发生的 可能性大小 大量重复试验 当试验次数足够大时，一个随机事件出现的频率与它的概率有什么关系？ 一般地，在大量重复试验下，随机事件A生的频率 (n是试验总次数，它必须相当大;m是在这n次试验中随机事件A所发生的次数) ，稳定到某个常数P. 于是，我们用P这个常数表示事件A发生的概率， 即: P(A) = P(常数）. 总结： 判断正误 （1）连续掷一枚质地均匀硬币 10 次，结果 10 次全部是正面，则正面向上的概率是 1. （2）小明掷硬币 10000 次，则正面向上的频率在 0.5附近. （3）设一大批灯泡的次品率为 0.01，那么从中抽取1000只灯泡，一定有10只次品. 错误 巩固练习 正确 错误 问题1 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？（幼树移植成活率是实际问题中的一种概率） 获取新知 观察一下，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率有什么趋势？ 移植总数n 成活数m 成活的频率 10 8 0.80 50 47 270 235 0.870 400 369 750 662 1500 1335 0.890 9000 8073 14000 12628 0.902 0.940 0.923 0.883 0.897 　　下表是一张模拟的统计表，请补全表中空缺. 想一想：是否能够据此估计出幼树移植成活的概率？ 在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率 ，随着移植数n越来越大，频率 会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值.所以可以估计幼树移植成活的概率为 . 0.9 问题2 　某水果公司以 2 元/ kg 的成本价新进 10 000 kg柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润 5 000 元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 请你完成下表： 0.10 0.90 由上表估计(精确到 0.01)：柑橘损坏率是 ，完好率是 . 柑橘损坏的频率 损坏柑橘质量 （m）/千克 柑橘总质量 （n）/千克 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 51.54 44.57 39.24 35.32 30.93 24.25 19.42 15.15 10.5 5.50 0.105 0.110 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 解：根据估计的概率可以知道，在10000kg柑橘中完好柑橘的质量为 　　 10 000×0.9＝9 000（kg） 设每千克柑橘售价为X元，则 　　 9 000X-2×10 000＝5 000． 　　解得 X≈ 2.8（元）． 因此，出售柑橘时，每千克定价大约2.8元可获利润 5000元． 课堂小结 大量重复 试验 事件发生的可能性 发生结果等可能 发生结果不等可能 频率值逐渐稳定 概率 转化成数学问题 1.频率与概率的区别与联系 2.用频率估计事件发生的概率 3.用替代物进行模拟试验 课堂练习 知识点1　频率与概率的关系 1. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( ) A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关 C. 概率是随机的，与频率无关 D. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D 2. 在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”，当试验次数足够大 时，数字“6”朝上的频率稳定在______. 　　 知识点2　用频率估计概率 3. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为( ) A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 B 4. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.如图，小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为( ) A. 9.6　 B. 0.6　 C. 6.4　 D. 0.4 A 5. 某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果如下表： 这种绿豆发芽的概率的估计值为__________(精确到0.01). 每批粒数n 2 5 10 50 100 500 1 000 1 500 2 000 3 000 发芽的频数m 2 4 9 44 92 463 928 1 396 1 866 2 794 发芽的频率 (精确到 0.001) 1.000 0.800 0.900 0.880 0.920 0.926 0.928 0.931 0.933 0.931 0.93 6. 一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球4个，它们除颜色外其他都相同，小明将球搅匀后从箱子里随机摸出1个球，记下颜色，再把它放回，不断重复试验，将多次试验结果画成如下的频率折线图. (1)多次摸球试验后发现，摸到白球的 频率将会接近_______(精确到0.01)， 从箱子里摸出1个球，摸到红球的概 率是______. 0.75 　　 解：由频率折线图知，多次摸球试验后，摸到白球的频率将会接近0.75； 从箱子里摸出1个球，摸到红球的概率为1－0.75＝0.25＝. 故答案为0.75，. 6. 一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球4个，它们除颜色外其他都相同，小明将球搅匀后从箱子里随机摸出1个球，记下颜色，再把它放回，不断重复试验，将多次试验结果画成如下的频率折线图. (2)从该箱子里随机摸出1个球，不放 回，再摸出1个球.用画树状图法或列 表法求出摸出 1个红球和1个白球的 概率. 解：由(1)知，箱子里白球的个数为4×0.75＝3，红球的个数为4－3＝1，用列表法表示所有可能出现的结果如下：   白 白 白 红 白   (白，白) (白，白) (红，白) 白 (白，白)   (白，白) (红，白) 白 (白，白) (白，白)   (红，白) 红 (白，红) (白，红) (白，红)   由表知，共有12种等可能的结果，其中摸到1个红球和1个白球的结果有6种， ∴摸到1个红球和1个白球的概率为＝. 7. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是( ) A. 抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 B. 掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上 C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从 中任抽一张牌的花色是红桃 D. 从一个装有2个红球和1个黑球的不透 明袋子中任取1个球，取到的是黑球 D 8. (教材P148习题T5变式)近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多.为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，调查人员从中随机捕捉了40只，戴上识别卡并放回.经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩戴有识别卡，由此估计该湿地有_______只A种候鸟. 800 9. 小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规 则的封闭图形ABC(如图).为了知道它的面积，小 明在封闭图形内画了一个半径为 1 m 的☉O，在 不远处向图形内掷石子，且记录如下： (1)估算＝_______(精确到0.1)； 掷石子次数 50 150 300 500 1 000 石子落在☉O内 (含圆上)的次数m 14 43 93 152 326 石子落在封闭图形ABC 内(含边界)的次数n 29 85 186 300 650 0.5 9. 小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规 则的封闭图形ABC(如图).为了知道它的面积，小 明在封闭图形内画了一个半径为 1 m 的☉O，在 不远处向图形内掷石子，且记录如下： (2)估算出封闭图形ABC的面积为_________. 掷石子次数 50 150 300 500 1 000 石子落在☉O内(含圆上)的次数m 14 43 93 152 326 石子落在封闭图形ABC内(含边界)的次数n 29 85 186 300 650 2π m2 10. 一个不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球上分别标有数字3，4，5，x.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验.试验数据如下表： 解答下列问题： (1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，“和为8”出现的频率将稳定在它的概率附近，估计“和为8”出现的概率是_______(精确到0.01). 摸球总次数 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450 “和为8”出现的频数 2 10 13 24 30 37 58 82 110 150 “和为8”出现的频率(结果精确到0.01) 0.20 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 0.33 10. 一个不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球上分别标有数字3，4，5，x.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验.试验数据如下表： 解答下列问题： (2)如果摸出的这两个小球上的数字之和为9的概率是，那么x的值可以取7吗？请用列表法或画树状图法说明理由.如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x的值. 摸球总次数 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450 “和为8”出现的频数 2 10 13 24 30 37 58 82 110 150 “和为8”出现的频率(结果精确到0.01) 0.20 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 解：x的值不可以取7. 理由：当x＝7时，结果如表所示. 甲 乙 3 4 5 7 3   7 8 10 4 7   9 11 5 8 9   12 7 10 11 12   摸出的这两个小球上的数字之和为9的概率是＝，所以x的值 不可以取7. 当x＝5时，摸出的这两个小球上的数字之和为9的概率是(答案 不唯一). $$