专题1集合（讲义）- 四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块1集合与充要条件的第1个专题：集合。本专题涵盖集合的概念与表示、集合之间的关系、集合的运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 集合（讲义） 知识点1 集合的概念与表示 1.集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素． 2. 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性． 3.集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法． 4.集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形． 5.常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R；复数集记作C． 6.元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系． 一、单选题 1．（21-22高三·四川·二模）直面坐标平面内，集合的元素所对应的点是（    ） A．第一象限内的点 B．第三象限内的点 C．第一或第三象限内的点 D．非第二，第四象限的点 【答案】D 【分析】根据集合的含义及点在各象限的特点即可求解. 【详解】集合表示满足的点， ∴，或，． ∴可知M的元素所对应点为非第二、四象限的点． 故选：D． 2.（14-15高三·四川泸州·一模）已知集合用列举法表示正确的是（    ） A． B． C． D．，1 【答案】C 【分析】先求集合中元素，然后用列举法写出即可 【详解】，则，所以集合中的元素为，； 列举法为； 故选：. 3.（24-25高三下·江苏·职教高考）下列对象不能组成集合的是（    ） A．乖巧听话的孩子 B．中国古代四大发明 C．小于30的正整数 D．26个小写英文字母 【答案】A 【分析】根据集合中元素的特征，即可求解. 【详解】集合中的元素具有确定性、互异性、无序性． 对于A：“乖巧听话”没有明确的、客观的界定标准，不满足元素的确定性，所以不能组成集合，所以A符合题意； 对于B：“中国古代四大发明”(造纸术、印刷术、火药、指南针)是明确的、确定的，可以组成集合，所以B不符合题意； 对于C：“小于30的正整数”，这些数是明确可确定的，能组成集合，所以C不符合题意； 对于D：“26个小写英文字母”是确定的，也能组成集合，所以D不符合题意. 故选：A. 4.（24-25高三·全国·对口/高职单招）方程的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求方程的解，再用集合表示即可. 【详解】因为方程即， 解得， 所以方程的解集是. 故选：C. 5.（24-25高三·全国·对口/高职单招）设集合，则下列四个关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系及集合与集合的关系即可得解. 【详解】不含任何元素，所以，故A错误； 集合表示所有小于1的实数组成的集合，所以是集合中的元素，所以，故B正确； 集合与集合之间不能用“”连接，故C错误； 元素与集合之间只能用“”“”连接，不能用“”连接，故D错误， 故选：. 一、单选题 1．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见集合的概念及元素与集合的关系可判断结果. 【详解】对于A、是负整数，则，故A错误； 对于B、是分数，则，故B错误； 对于C、是无理数，则，故C正确； 对于D、5是自然数，则，故D错误. 故选：C. 2．下列哪个选项不属于（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常用数集的定义可判断. 【详解】 为有理数集， ，均为有理数， 为无理数， 即不属于 故选： B. 3．已知集合，则集合B中的元素个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据题意求出集合中的元素即可得解. 【详解】集合， 当时，；时，； 时，；时，； 时，， 所以集合，元素个数为个， 故选：. 4．若，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合和元素的概念进行求解. 【详解】由题意得，的元素有两个. 故选：B. 5．已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合之间的关系逐个分析即可. 【详解】选项A，，所以，该选项错误. 选项B，，所以，该选项错误. 选项C，是一个开区间，不包含端点，所以，该选项错误. 选项D，，所以，该选项正确. 故选：D. 6．已知，集合，则与的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系即可求解. 【详解】对A、B：因为，集合，则，所以， 故A项错误，B项正确； 对C：因为只包含1个元素，集合有无数的元素，即，故C项错误； 对D：因为为元素，为集合，所以不能用等于表示，故D项错误. 故选：B. 7．给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集. 其中正确的是（    ） A．只有③④ B．只有②③④ C．只有①② D．只有② 【答案】C 【分析】根据集合的概念可逐一判断. 【详解】是由4个元素组成的集合，①正确； 集合表示仅由一个“1”组成的集合，②正确； 与是同一个集合，③错误； 集合大于3的无理数是一个无限集，④错误. 故选：C. 8．已知集合，若，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系求解即可. 【详解】因为，则或. 当，解得. 当，解得. 综上，或. 若，，不满足集合元素的互异性，舍去. 若，，满足题意. 故选：B. 9．集合中元素的特征（    ） ①确定性    ②互异性    ③整体性    ④无序性 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】利用集合中元素的三个特征即可得解. 【详解】集合中元素的特征是确定性、互异性、无序性，故正确. 故选：C. 10．已知集合，实数x满足的条件是（  ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用集合元素的互异性列出不等式即可求解. 【详解】因为集合， 所以，即. 故选：B. 知识点2 集合之间的关系 1.包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为AB或BA，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”． 2.真包含关系：如果AB，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”． 3.相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元素都是A中的元素，则称这两个集合相等． 4.含有n个元素的集合的子集共有2n个，真子集共有2n－1个，非空子集共有2n－1个，非空真子集有2n－2. 一、单选题 1．（24-25高三上·四川·一模）已知集合，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用元素、集合间的关系判断． 【详解】对于A，集合，，A选项错误； 对于B，，元素与集合不能用符号，B选项错误； 对于C，根据子集的定义，有，C选项正确； 对于D，集合不是集合中的元素，不能用符号，D选项错误． 故选：C． 2．（21-22高三·四川·一模）设全集，集合，则的子集有（    ）． A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】首先根据补集的概念求出，再由子集的个数公式求值即可. 【详解】已知全集，集合， 则，其中有3个元素， 所以的子集有个. 故选：D. 3．（23-24高三·四川·模拟预测）已知集合，，下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合，，通过集合运算依次判断各选项. 【详解】集合，， ，不是的子集，A错误； ，B错误； ，C错误；D正确. 故选：D. 4．（24-25高三·四川·模拟预测）集合的非空真子集的个数有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】C 【分析】一个集合的元素有n个，其非空真子集有个，从而得解. 【详解】集合的元素有3个， 其非空真子集个数为个. 故选：C. 5．（24-25高三上·安徽宣城·二模）已知集合，且，则（   ） A． B．0 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义求解即可. 【详解】因为集合，且， 所以，则． 故选：B. 一、单选题 1．满足的集合的个数为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系列出集合个数即可求解. 【详解】∵， ∴，，，，， ，，，共8个. 故选：D. 2．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合关系的表示及子集的概念判断. 【详解】A，，故A错误； B，是集合中的元素，，故B错误； C，因为，所以，故C正确； D，，故D错误. 故选：C. 3．已知集合，若，则实数的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】根据题意，结合集合之间的包含关系，即可求解. 【详解】因为集合，且， 所以或. 故选：D. 4．已知集合，，且，则满足条件的实数x的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据集合间的包含关系写出等式，再由集合中元素的互异性即可解得. 【详解】∵，∴或， 当时，或， 其中当时，不满足集合M中元素的互异性，故舍去； 当时，，均满足题意， ∴满足条件的实数x的个数为3． 故选：C. 5．下列四个式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系以及空集的定义依次分析即可求解. 【详解】对于A选项，是空集，是元素，集合与元素之间不能用等号，应为，故A选项错误； 对于B选项，是空集，为集合，集合与集合之间不能用符号，应为，故B选项错误； 对于C选项，元素0属于集合，故C选项正确； 对于D选项，是空集，是元素，空集中不包含任何元素，应为，故D选项错误. 故选：C. 6．下列命题：（1）空集没有子集.（2）任何集合至少有两个子集.（3）空集是任何集合的真子集.（4）若⫋,则.其中正确的命题有（    ）. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】由空集的性质即可得解. 【详解】空集的子集是它本身,故（1）错误. 空集只有一个子集,故（2）错误. 空集是任意一个非空集合的真子集,故（3）错误. 若⫋,则,故（4）正确. 所以正确的个数为个. 故选:. 7．若集合与，且，则实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出集合中的元素，再根据包含关系的概念即可得出结论. 【详解】由集合可知 由可知， 由，可知或， 解得或， 实数组成的集合为. 故选：B. 8．集合的子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据子集的概念写出集合的子集即可得解. 【详解】集合的子集有：，共8个. 故选：B. 9．已知集合，，若，则等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由集合的相等列出方程即可得解. 【详解】因为集合，，. 所以. 解得. 故选：. 10．已知集合，集合，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合与集合，元素与集合之间的关系即可求解. 【详解】对于A选项，因为集合，所以集合A中有元素，所以集合，故A选项错误； 对于B选项，因为集合，集合，所以集合A是集合B的真子集，所以，故B选项错误； 对于C选项，因为集合，集合，所以，故C选项错误； 对于D选项，因为集合，集合，所以，故D选项正确. 故选：D. 知识点3 集合的运算 1.交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}． 2.并集：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． 3.全集：如果集合S含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集． 4.补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做A的补集(或余集)，记作∁SA，即∁SA＝{x|x∈S，但xA}． 5.常用运算性质及一些重要结论 (1) A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A； (2) A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A； (3) A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U； (4) A∩B＝AAB，A∪B＝ABA； (5) ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB) 一、单选题 1．（24-25高三下·四川·职教高考）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集定义求解即可. 【详解】已知集合， 则与的相同元素为， 则. 故选：B. 2．（23-24高三下·四川·职教高考）已知集合，为自然数集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】已知集合，为自然数集， 所以. 故选：B. 3．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法确定集合A中的元素，再由并集的概念运算即可. 【详解】已知集合， 集合，则， 所以. 故选：C. 4．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式结合并集的定义即可得解. 【详解】集合， 由题意得． 故选：. 5．（24-25高三下·四川自贡·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的并集运算求解即可； 【详解】因为集合，， 则， 故选：D 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2．已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合交集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合， 所以． 故选：C. 3．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集、交集的概念及运算可求解. 【详解】因为全集，集合，所以， 所以. 故选：A 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的计算方法，即可求解. 【详解】由题意知集合，， 则. 故选：B. 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】由集合，则， 故选：A. 6．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】因为，， 则， 故选：. 7．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的并集运算易得答案. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 8．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的交并补混合运算即可得解. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以. 故选：B. 9．设全集，集合，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将集合变形为，再由并集和补集的概念运算即可. 【详解】已知集合， 表示直线上，除之外所有的点， 集合，表示不在直线上的所有点， 所以， 故选：B. 10．设集合都是的子集，已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交集和补集运算即可求解，再根据补集的运算即可得解. 【详解】 因为，所以可知中含有2这个元素， 又因为，所以可知中含有1这个元素， 所以，又， 所以，且满足集合A是的子集. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年对口高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含9个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是四川省2026年对口招生一轮复习《数学知识点清单》的模块1集合与充要条件的第1个专题：集合。本专题涵盖集合的概念与表示、集合之间的关系、集合的运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 四川省2026年对口招生 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 集合（讲义） 知识点1 集合的概念与表示 1.集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素． 2.集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性． 3.集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法． 4.集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形． 5.常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R；复数集记作C． 6.元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系． 一、单选题 1．（21-22高三·四川·二模）直面坐标平面内，集合的元素所对应的点是（    ） A．第一象限内的点 B．第三象限内的点 C．第一或第三象限内的点 D．非第二，第四象限的点 2.（14-15高三·四川泸州·一模）已知集合用列举法表示正确的是（    ） A． B． C． D．，1 3.（24-25高三下·江苏·职教高考）下列对象不能组成集合的是（    ） A．乖巧听话的孩子 B．中国古代四大发明 C．小于30的正整数 D．26个小写英文字母 4.（24-25高三·全国·对口/高职单招）方程的解集是（   ） A． B． C． D． 5.（24-25高三·全国·对口/高职单招）设集合，则下列四个关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列哪个选项不属于（    ） A．2 B． C． D． 3．已知集合，则集合B中的元素个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．若，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，集合，则与的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集. 其中正确的是（    ） A．只有③④ B．只有②③④ C．只有①② D．只有② 8．已知集合，若，则（    ） A．2 B． C． D．4 9．集合中元素的特征（    ） ①确定性    ②互异性    ③整体性    ④无序性 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 10．已知集合，实数x满足的条件是（  ） A． B． C．或 D． 知识点2 集合之间的关系 1.包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为AB或BA，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”． 2.真包含关系：如果AB，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”． 3.相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元素都是A中的元素，则称这两个集合相等． 4.含有n个元素的集合的子集共有2n个，真子集共有2n－1个，非空子集共有2n－1个，非空真子集有2n－2. 一、单选题 1．（24-25高三上·四川·一模）已知集合，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三·四川·一模）设全集，集合，则的子集有（    ）． A．3个 B．6个 C．7个 D．8个 3．（23-24高三·四川·模拟预测）已知集合，，下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三·四川·模拟预测）集合的非空真子集的个数有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 5．（24-25高三上·安徽宣城·二模）已知集合，且，则（   ） A． B．0 C．2 D．1 一、单选题 1．满足的集合的个数为（   ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，若，则实数的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 4．已知集合，，且，则满足条件的实数x的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列四个式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题：（1）空集没有子集.（2）任何集合至少有两个子集.（3）空集是任何集合的真子集.（4）若⫋,则.其中正确的命题有（    ）. A．个 B．个 C．个 D．个 7．若集合与，且，则实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 8．集合的子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．已知集合，，若，则等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 10．已知集合，集合，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点3 集合的运算 1.交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}． 2.并集：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． 3.全集：如果集合S含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集． 4.补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫做A的补集(或余集)，记作∁SA，即∁SA＝{x|x∈S，但xA}． 5.常用运算性质及一些重要结论 (1) A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A； (2) A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A； (3) A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U； (4) A∩B＝AAB，A∪B＝ABA； (5) ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB) 一、单选题 1．（24-25高三下·四川·职教高考）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·四川·职教高考）已知集合，为自然数集，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·四川自贡·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 3．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．设，则（    ） A． B． C． D． 9．设全集，集合，，那么（   ） A． B． C． D． 10．设集合都是的子集，已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$