专题05 统计与概率（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（黑龙江专用）

专题05 统计与概率 题型概览 题型01 随机抽样及总体取值规律的估计 题型02 总体百分位数的估计 题型03 总体集中趋势和离散程度的估计 题型04 随机事件与事件的独立性 题型05 频率与概率 题型06 解答题 随机抽样及总体取值规律的估计题型01 1．（23-24高一下·鹤岗市·期末）某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取 人 2．（23-24高一下·黑河市·期末）某高中学校进行问卷调查，用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为 人. 3．（23-24高一下·佳木斯市·期末）（多选）某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度（单位：mm）进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，低于60视为不合格，则下列说法中正确的是（    ） A．长度在的产品数最多 B． C．不合格的产品数为100件 D．产品长度的平均值约为70.5 4．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）某单位共有，两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下．设，两部门的服务满意度得分的中位数分别为，，方差分别为，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 5．（23-24高一下·鹤岗市·期末）（多选）光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（    ）    A．选取的这部分学生的总人数为500人 B．合唱社团的人数占样本总量的 C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人 D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125 5．（23-24高一下·大庆市·期末）2024年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（    ） A．成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B．成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C．高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D．成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多 6．（23-24高一下·鹤岗市·期末）空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，其对应关系如表： AQI指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某科学兴趣小组在校内测得4月1日～20日AQI指数的数据并绘成折线图如图，下列叙述正确的是（    ） A．这20天中没有出现重度污染天气 B．这20天中有5天的空气质量为优 C．4月4日到4月15日，空气质量越来越好 D．总体来说，4月中旬的空气质量比上旬的空气质量好 7．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）制造业指数反映制造业的整体增长或衰退，制造业指数的临界点为．我国年月至年月制造业指数如图所示，则（ ） A．年月中国制造业指数为，比上月下降个百分点，低于临界点 B．年月至年月中国制造业指数的极差为 C．年月至年月中国制造业指数的众数为 D．年月至年月中国制造业指数的标准差小于年月至年月中国制造业指数的标准差 总体百分位数的估计题型02 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（    ） A．90 B．88 C．82 D．76 2．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）样本数据36，27，25，22，20，16，13，12，11的第60百分位数为（    ） A．16 B．21 C．22 D．23.5 3．（23-24高一下·大庆市·期末）一组数据分别是82，84，86，88，94，95，96，则该组数据的上四分位数是 ． 4．（23-24高一下·大庆市·期末）样本数据17，13，22，16，11，20，14，24的分位数为 . 5．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为 ． 6．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度（单位：）的数据分别为42，38，45，43，41，47，44，46，则这组数据中的分位数是（    ） A．44.5 B．45 C．45.5 D．46 7．（23-24高一下·鹤岗市·期末）下图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的分位数为（    ） A．75 B．77.5 C．78 D．78.5 8．（23-24高一下·佳木斯市·期末）某班最近一次化学考试成绩的频率分布直方图如下图所示，若化学老师欲将大家的成绩由高到低排列，并奖励排名在前39%的同学，试估计化学老师选取的学生分数应不低于（    ） A．73 B．75 C．77 D．79 9．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天小颗粒物的浓度（单位：），数据依次为．已知这组数据的极差为，则这组数据的第百分位数为 . 总体集中趋势与离散程度的估计题型03 1．（23-24高一下·佳木斯市·期末）（多选）有“好事者”记录了高州某山地区八月1日至10日的最高温度，分别为：32，33，35，36，34，38，39，36，34，34．（单位为），下列说法正确的有（    ） A．众数为34 B．中位数与第50百分位数相等 C．第80分位数是37 D．极差为6 2．（23-24高一下·大庆市·期末）一组数据：，其中为正整数，且．若该组数据的分位数为，则该组数据的众数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的平均分数为 分． 4．（23-24高一下·佳木斯市·期末）已知甲，乙两名运动员进行射击比赛，每名运动员射击10次，得分情况如下图所示．则根据本次比赛结果，以下说法正确的是（    ） 乙射击环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 2 2 3 A．甲比乙的射击水平更高 B．甲的射击水平更稳定 C．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数 D．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数 5．（23-24高一下·黑河市·期末）（多选）盒子中有编号一次为1,2,3,4,5,6的6个小球（大小相同），从中不放回地抽取4个小球并记下编号，根据以下统计数据，可以判断一定抽出编号为6的小球的是（   ） A．极差为5 B．上四分位数为5 C．平均数为3.5 D．方差为4.25 6．（23-24高一下·鹤岗市·期末）（多选）掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这5次的统计结果，下列选项中有可能出现点数1的是（    ）． A．中位数是3，众数是2 B．平均数是4，中位数是5 C．极差是4，平均数是2 D．平均数是4，众数是5 7．（23-24高一下·大庆市·期末）一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中一定不能出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为4 B．中位数为4，众数为3 C．平均数为2，方差为2.1 D．中位数为3，方差为0.85 8．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）已知一组样本数据的标准差，其平均数，则下列数据的标准差与不相等的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·佳木斯市·期末）下列说法不正确的是（   ） A．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是 B．用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为0.2 C．一组数据4，3，2，6，5，8的60%分位数为6 D．若样本数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数为3 10．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）给出下列说法，其中正确的是（    ） A．数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B．已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20 C．已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一 D．已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则 11．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．用随机抽样方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B．数据的平均数为90，方差为3；数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C．数据的第70百分位数是23 D．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 12．（23-24高一下·鹤岗市·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2 B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17 D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16 13．（23-24高一下·佳木斯市·期末）2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5(单位：十万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩 十万只. 随机事件与事件的独立性题型04 1．（23-24高一下·佳木斯市·期末）按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币，则（    ） A．第一枚正面朝上的概率是 B．“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”不相互独立 C．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”是互斥的 D．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的 2．（23-24高一下·佳木斯市·期末）从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ） A．恰好有1件次品和恰好有2件次品 B．至少有1件次品和全是次品 C．至少有1件正品和至少有1件次品 D．至少有1件次品和全是正品 3．（23-24高一下·鹤岗市·期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件“第一枚向上点数为奇数”，事件“第二枚向上点数为偶数”，事件“两枚骰子向上点数之和为8”，事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则（   ） A．与C互斥 B．A与C相互独立 C．B与D互斥 D．B与D相互独立 4．（23-24高一下·鹤岗市·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是”为事件，“向上的点数是”为事件，则下列选项正确的是（    ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C． D． 5．（23-24高一下·鹤岗市·期末）有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（    ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立 C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 6．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设{两弹都击中飞机}，{两弹都没击中飞机}，{恰有一弹击中飞机}，{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（    ） A．事件A与事件B对立 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C相互独立 D． 8．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）连续地掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，记事件为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件为“两次点数之和为9”，则下列说法不正确的是（    ） A．与不是互斥事件 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 9．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）设，为两个随机事件，且，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则，相互独立 B．若和相互独立，则和一定不互斥 C．若和互斥，则和一定相互独立 D． 10．（23-24高一下·大庆市·期末）将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过2，事件B表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C表示向上的一面出现奇数点，则（    ） A．A与B是对立事件 B．A与B是互斥而非对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 11．（23-24高一下·大庆市·期末）一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 12．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（    ） A．若不放回取球，则甲乙相互独立 B．若有放回取球，则甲乙相互独立 C．若不放回取球，则甲乙为互斥事件 D．若有放回取球，则甲乙为互斥事件 频率与概率题型05 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）若事件与互斥，且，则 . 2．（23-24高一下·黑河市·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·鹤岗市·期末）用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·佳木斯市·期末）一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（    ） A． B． C． D．1 5．（23-24高一下·鹤岗市·期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·黑河市·期末）某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为、、，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为 ．（结果用最简分数表示） 7．（23-24高一下·鹤岗市·期末）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是 ． 8．（23-24高一下·佳木斯市·期末）在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了20组随机数： 6830 3215 7056 6431 7840 4523 7834 2604 5346 0952 6837 9816 5734 4725 6578 5924 9768 6051 9138 6754 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为 ． 9．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（    ） A．的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率 C．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D．若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为 11．（23-24高一下·佳木斯市·期末）（多选）不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球.表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于”，表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5”，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件与相互独立 D． 12．已知数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位长度，则移动4次后仍在原点的概率为 ；记移动次数为，当 时，质点位于数轴上刻度为3处的概率最大． 13．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 解答题题型06 1．（23-24高一下·佳木斯市·期末）寒假即将到来，6 位同学计划外出旅游，其中2人选择去桂林，4人选择去厦门，选择去厦门的同学中有3位女生，选择去桂林的同学中有1位女生. （1）从6人中随机抽取1人，求抽到选择去桂林的女生或选择去厦门的男生的概率； （2）从6人中随机抽取2人，求至少有1人选择去桂林的概率. 2．（23-24高一下·大庆市·期末）若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”． (1)求和的值； (2)求两次摸到的不都是红球的概率． 3．（23-24高一下·大庆市·期末）在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为，该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中： (1)该同学得4分的概率； (2)该同学得分不超过3分的概率. 4．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． (1)求和的值； (2)试求两人共答对3道题的概率． 5．（23-24高一下·佳木斯市·期末）某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中. (1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，设表示“第i次从乙箱中取到填空题”，，2，求第2题抽到的是填空题的概率； (2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目. 设：事件：为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题” 事件：为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题” 事件：为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题” ①求，， ②设事件C为：“第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题”，求的概率. 6．（23-24高一下·鹤岗市·期末）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下： 等级 优 良 中 不及格 人数 5 19 23 3 （1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率； （2）测试成绩为“优”的3名男生记为，，，2名女生记为，．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛．① 写出所有等可能的基本事件；② 求参赛学生中恰有1名女生的概率． 7．（23-24高一下·佳木斯市·期末）杭州亚运会期间，某大学有名学生参加体育成绩测评，将他们的分数单位：分按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的值及这组数据的第百分位数； (2)按分层随机抽样的方法从分数在和内的学生中抽取人，再从这人中任选人，求这人成绩之差的绝对值大于分的概率． 8．（23-24高一下·鹤岗市·期末）2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．   (1)求出直方图中m的值； (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）； (3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个． 9．（23-24高一下·鹤岗市·期末）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本每天阅读时间的第75百分位数； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率. 10．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.    (1)求图中a的值，并求综合评分的平均数； (2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率； (3)已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差. 11．（23-24高一下·大庆市·期末）2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数； (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数； (3)首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）. 12．（23-24高一下·大庆市·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值； (2)若从成绩位于区间和的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在的概率； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 13．（23-24高一下·大庆市·期末）随着人们环保意识的日益增强，越来越多的人开始关注自己的出行方式，绿色出行作为一种环保、健康的出行方式，正逐渐受到人们的青睐，在可能的情况下，我们应当尽量采用绿色出行的方式，如步行、骑自行车或使用公共交通工具．某单位统计了本单位职工两个月以来上下班的绿色出行情况，绘制出了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工两个月以来上下班的绿色出行天数的中位数； (2)若该单位有职工200人，从绿色出行天数大于25的3组职工中用分层随机抽样的方法选取6人参加绿色出行社会宣传活动，再从6人中选取2人担任活动组织者，求这2人的绿色出行天数都在区间（25，30]的概率． 14．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者. (2)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 15．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和分位数（精确到0.1）； (3)在第四､五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 16．（23-24高一下·黑河市·期末）某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，在两类产品中各随机抽取50件产品的性能指标作为样本，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”.此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)从指标在区间样本中随机抽取2件产品，求恰好一件是不合格一件是合格的概率. (2)当漏检率时，求临界值和错检率； (3)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值. 17．（23-24高一下·黑河市·期末）为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 统计与概率 题型概览 题型01 随机抽样及总体取值规律的估计 题型02 总体百分位数的估计 题型03 总体集中趋势和离散程度的估计 题型04 随机事件与事件的独立性 题型05 频率与概率 题型06 解答题 随机抽样及总体取值规律的估计题型01 1．（23-24高一下·鹤岗市·期末）某校高一年级有1200名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有800名学生，现要从该校全体学生中抽取100人进行视力检查，应从高一年级抽取 人 【答案】40 【详解】由题意，应从高一年级抽取的人数为：.故答案为：40. 2．（23-24高一下·黑河市·期末）某高中学校进行问卷调查，用分层随机抽样的方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为 人. 【答案】3600 【详解】高三年级抽取了人，所以抽取比例为，所以则该高中的学生总数为人.故答案为：. 3．（23-24高一下·佳木斯市·期末）（多选）某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度（单位：mm）进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，低于60视为不合格，则下列说法中正确的是（    ） A．长度在的产品数最多 B． C．不合格的产品数为100件 D．产品长度的平均值约为70.5 【答案】ABD 【详解】对于A项，因为频率分布直方图中的矩形的高度最高，所以长度在的产品数最多，故A项正确；对于B项，由得，故B项正确；对于C项，因为，所以不合格产品数为1000件，故C项错误； 对于D项，，故D项正确. 故选：ABD. 4．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）某单位共有，两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下．设，两部门的服务满意度得分的中位数分别为，，方差分别为，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】根据频率分布条形图可知，，，所以，显然部门得分数据较部门更为集中，其方差更小，即.故选：. 5．（23-24高一下·鹤岗市·期末）（多选）光明学校组建了演讲､舞蹈､航模､合唱､机器人五个社团，全校所有学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委在全校学生中随机选取一部分学生（这部分学生人数少于全校学生人数）进行调查，并将调查结果绘制成了如下两个不完整的统计图：则（    ）    A．选取的这部分学生的总人数为500人 B．合唱社团的人数占样本总量的 C．选取的学生中参加机器人社团的学生数为78人 D．选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125 【答案】ABD 【详解】由两个统计图表可得参加演讲的人数为50，占选取的学生的总数的10，所以选取的总人数为人，故选项A正确.合唱社团的人数为200人，则合唱社团的人数占样本总量的，故选B正确.则选取的学生中参加机器人社团的人数占样本总量的 ， 所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为人，故选项C不正确.选取的学生中参加合唱社团的人数为200，参加机器人社团人数为75人，所以选取的学生中参加合唱社团的人数比参加机器人社团人数多125，选项D正确.故选：ABD. 5．（23-24高一下·大庆市·期末）2024年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前200名学生分布的饼状图（如图）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（    ） A．成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多30 B．成绩在第1~50名的学生中，高三最多有32人 C．高一学生成绩在第101~150名的人数一定比高三学生成绩在第1~50名的人数多 D．成绩在第51~100名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【详解】由饼状图可知，成绩在前200名的学生中，高一人数比高二人数多，A正确；成绩在第名的学生中，高一人数为，因此高三最多有32人，B正确；由条形图知高一学生的成绩在第名的人数为，而高三的学生成绩在第名的人数最多为人，故高一学生的成绩在第名的人数一定比高三的学生成绩在第名的人数多，C正确；成绩在第名的学生中，高一人数为，高二成绩在第名的人数最多为，即成绩在第51~100名的学生中，高一的人数一定比高二的人数多，D错误.故选：D. 6．（23-24高一下·鹤岗市·期末）空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，其对应关系如表： AQI指数值 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某科学兴趣小组在校内测得4月1日～20日AQI指数的数据并绘成折线图如图，下列叙述正确的是（    ） A．这20天中没有出现重度污染天气 B．这20天中有5天的空气质量为优 C．4月4日到4月15日，空气质量越来越好 D．总体来说，4月中旬的空气质量比上旬的空气质量好 【答案】B 【详解】对A：由折线图可知这20天中出现了重度污染天气，如15日AQI指数超过250，故A错误； 对B：这20天中，AQI指数小于50的有5天，故有5天的空气质量为优，故B正确； 对C：由折线图可知，4月4日到4月15日，空气质量基本上越来越差，故C错误； 对D：由折线图可知，上旬大部分AQI指数在100以下，中旬AQI指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好，故D错误. 故选：B. 7．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）制造业指数反映制造业的整体增长或衰退，制造业指数的临界点为．我国年月至年月制造业指数如图所示，则（ ） A．年月中国制造业指数为，比上月下降个百分点，低于临界点 B．年月至年月中国制造业指数的极差为 C．年月至年月中国制造业指数的众数为 D．年月至年月中国制造业指数的标准差小于年月至年月中国制造业指数的标准差 【答案】ABD 【详解】对于A，由图可知：年月中国制造业指数为，年月中国制造业指数为，年月中国制造业指数比上月下降个百分点，且低于临界点，A正确； 对于B，年月至年月中国制造业指数的极差为，B正确； 对于C，由图中数据知：众数为，C错误； 对于D，由图中数据波动幅度知：年月至年月中国制造业指数比年月至年月更稳定，年月至年月中国制造业指数的标准差更小，D正确. 故选：ABD. 总体百分位数的估计题型02 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知一组数据：55，64，92，76，88，67，76，90，则这组数据的第百分位数是（    ） A．90 B．88 C．82 D．76 【答案】A 【详解】将数据从小到大排列为：55，64，67，76，76，88，90，92，又，所以这组数据的第百分位数是.故选：A 2．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）样本数据36，27，25，22，20，16，13，12，11的第60百分位数为（    ） A．16 B．21 C．22 D．23.5 【答案】C 【详解】将样本数据从小到大排序得，则，所以第百分位数为第个数，即.故选：C. 3．（23-24高一下·大庆市·期末）一组数据分别是82，84，86，88，94，95，96，则该组数据的上四分位数是 ． 【答案】95 【详解】将数据从小到大排序：82，84，86，88，94，95，96，共7个数； ，为非整数，故上四分位数是第6个数95.故答案为：95． 4．（23-24高一下·大庆市·期末）样本数据17，13，22，16，11，20，14，24的分位数为 . 【答案】 【详解】数据按从小到大排序：11，13，14，16，17，20，22，24，，所以分位数为22. 故答案为：. 5．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知有8个样本数据分别为4，7，8，11，13，15，20，22，则估计该组数据的总体的第三四分位数为 ． 【答案】17.5/ 【详解】由题意，数据的总体的第三四分位数即第75百分位数，又样本数据有8个，所以第三四分位数为.故答案为：17.5. 6．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度（单位：）的数据分别为42，38，45，43，41，47，44，46，则这组数据中的分位数是（    ） A．44.5 B．45 C．45.5 D．46 【答案】C 【详解】将数据从小到大排序为：38，41，42，43，44，45，46，47，因为，所以分位数为.故选：C 7．（23-24高一下·鹤岗市·期末）下图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的分位数为（    ） A．75 B．77.5 C．78 D．78.5 【答案】D 【详解】因为,所以第分位数位于之间，设为，则，解得，所以第分位数为.故选：D 8．（23-24高一下·佳木斯市·期末）某班最近一次化学考试成绩的频率分布直方图如下图所示，若化学老师欲将大家的成绩由高到低排列，并奖励排名在前39%的同学，试估计化学老师选取的学生分数应不低于（    ） A．73 B．75 C．77 D．79 【答案】C 【详解】由题意可知，，解得，化学考试成绩在内的频率为，所以第39百分位数的一定位于内，设第39百分位数为，则，解得.所以估计化学老师选取的学生分数应不低于分.故选：C. 9．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天小颗粒物的浓度（单位：），数据依次为．已知这组数据的极差为，则这组数据的第百分位数为 . 【答案】 【详解】由题意得，数据的极差为，因为数据中最小值为，故应为最大值，为81，则 ，将数据从小到大排列为：，故这组数据的第百分位数为第九个数据.故答案为：79 总体集中趋势与离散程度的估计题型03 1．（23-24高一下·佳木斯市·期末）（多选）有“好事者”记录了高州某山地区八月1日至10日的最高温度，分别为：32，33，35，36，34，38，39，36，34，34．（单位为），下列说法正确的有（    ） A．众数为34 B．中位数与第50百分位数相等 C．第80分位数是37 D．极差为6 【答案】ABC 【详解】将温度数据按从小到大的顺序排列：，，，，，，，，，，对于A：众数为34，故选项A正确；对于B：中位数为，，所以第50百分位数为，所以中位数与第50百分位数相等，故选项B正确；对于C：，所以80分位数是，故选项C正确；对于D：极差为，故选项D不正确，故选：ABC. 2．（23-24高一下·大庆市·期末）一组数据：，其中为正整数，且．若该组数据的分位数为，则该组数据的众数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【详解】，故分位数为第4个数和第5个数的平均数，不妨设， ①若，则，解得，，众数为； ②若，则中位数大于或等于，不成立； ③若，则中位数，不成立； 综上所述：，，众数为；故选：A. 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的平均分数为 分． 【答案】76.2 【详解】样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．所以平均成绩为． 故答案为：76.2. 4．（23-24高一下·佳木斯市·期末）已知甲，乙两名运动员进行射击比赛，每名运动员射击10次，得分情况如下图所示．则根据本次比赛结果，以下说法正确的是（    ） 乙射击环数 6 7 8 9 10 频数 1 2 2 2 3 A．甲比乙的射击水平更高 B．甲的射击水平更稳定 C．甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数 D．甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数 【答案】B 【详解】甲的平均数， 乙的平均数，∵，∴乙的射击水平更高，故A错误； 甲的方差 乙的方差 ∵，∴甲的射击水平更稳定，故B正确； 甲的射击成绩由小到大排列为：，位于第5、第6位的数分别是，所以甲的中位数是；乙的射击成绩由小到大排列为：，位于第5、第6位的数分别是，所以乙的中位数是，故甲射击成绩的中位数与乙射击成绩的中位数相等，故C错误； 甲的众数为9，乙的众数为10，故D错误. 故选：B. 5．（23-24高一下·黑河市·期末）（多选）盒子中有编号一次为1,2,3,4,5,6的6个小球（大小相同），从中不放回地抽取4个小球并记下编号，根据以下统计数据，可以判断一定抽出编号为6的小球的是（   ） A．极差为5 B．上四分位数为5 C．平均数为3.5 D．方差为4.25 【答案】ABD 【详解】假设抽出四张卡牌从小到大排列为．，得，，故A正确；上四分位数为，得，，故B正确；，存在，，，使得不抽出卡牌6，故C错误；若未抽出卡牌6，则方差最大为，，，时，此时，，故D正确.故选：ABD. 6．（23-24高一下·鹤岗市·期末）（多选）掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这5次的统计结果，下列选项中有可能出现点数1的是（    ）． A．中位数是3，众数是2 B．平均数是4，中位数是5 C．极差是4，平均数是2 D．平均数是4，众数是5 【答案】BCD 【详解】对于A，中位数是3，则这5个数从小到大排列后，第3个数是3，第1、2个数是2才能使众数为2，故第1个数不是1，故A不正确，对于B，有可能出现点数1，例如；对于C，有可能出现点数1，例如；对于D，有可能出现点数1，例如；故选：BCD. 7．（23-24高一下·大庆市·期末）一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中一定不能出现点数6的是（    ） A．平均数为3，中位数为4 B．中位数为4，众数为3 C．平均数为2，方差为2.1 D．中位数为3，方差为0.85 【答案】C 【详解】对于A，10次点数为符合题意，故A错误； 对于B，10次点数为符合题意，故B错误； 对于C，设10次点数为，且，平均数为，假设有一次点数为6，不妨设，由，代入，，，则，则最大取4， 不妨设，则，方程无解，故， 当，，最大取3， 不妨设，则，则， 则这10次点数为，但平均数为，不合题意，故； 当时，，方程无解，故； 当时，，方程无解， 综上所述，假设有一次点数为6不成立，故C正确； 对于D，10次点数为符合题意，故D错误； 故选：C． 8．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）已知一组样本数据的标准差，其平均数，则下列数据的标准差与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为的标准差，其平均数，则， 对于A：数据的标准差为，故A符合题意； 对于B：数据的标准差为，故B不符合题意； 对于C：因为 ，又平均数， 设数据的标准差为，则方差， 所以，则，故C符合题意； 对于D：数据的标准差为，故D符合题意； 故选：ACD 9．（23-24高一下·佳木斯市·期末）下列说法不正确的是（   ） A．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是 B．用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为0.2 C．一组数据4，3，2，6，5，8的60%分位数为6 D．若样本数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数为3 【答案】C 【详解】8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是，故A正确；用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则每个个体抽到的概率均为，故B正确；数据4，3，2，6，5，8由小到大排列：2，3，4，5，6，8，∵6×60%＝3.6，∴这组数据的60%分位数为第4个数 5，故C错误；若样本数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数为，故D正确.故选：C. 10．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）给出下列说法，其中正确的是（    ） A．数据0，1，2，4的极差与中位数之积为6 B．已知一组数据的方差是5，则数据的方差是20 C．已知一组数据的方差为0，则此组数据的众数唯一 D．已知一组不完全相同的数据的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，其平均数为，则 【答案】ACD 【详解】对于A，极差为，中位数为，所以极差与中位数之积为，A对； 对于B，根据方差的性质可知，数据的方差是，B错； 对于C，由方差，可得，即此组数据众数唯一，C对； 对于D，，，D对. 故选：ACD 11．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．用随机抽样方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B．数据的平均数为90，方差为3；数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C．数据的第70百分位数是23 D．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 【答案】ABD 【详解】A选项，每个个体被抽到的概率为，故A正确； B选项，的平均数为， 方差，故B正确； C选项，这10个数据从小到大排列为，由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，所以第70百分位数是，故C错误； D选项，不妨设，则，即数据的极差为12，由方差性质知，故D正确． 故选：ABD 12．（23-24高一下·鹤岗市·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体被抽到的概率是0.2 B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17 D．若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16 【答案】AD 【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ，故A正确；对于B，数据1，2，，6，7的平均数是4，，这组数据的方差是，故B错误；对于C，8个数据50百分为，第50百分位数为，故C错误；对于D，依题意，，则，所以数据的标准差为16，D正确；故选：AD. 13．（23-24高一下·佳木斯市·期末）2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国.口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产，设该工厂连续5天生产的口罩数依次为x1，x2，x3，x4，x5(单位：十万只)，若这组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1.44，且x12，x22，x32，x42，x52的平均数为4，则该工厂这5天平均每天生产口罩 十万只. 【答案】1.6 【详解】设该工厂这5天平均每天生产口罩为，由题意可得，则，由，可得，解得.故答案为：1.6 随机事件与事件的独立性题型04 1．（23-24高一下·佳木斯市·期末）按先后顺序抛三枚质地均匀的硬币，则（    ） A．第一枚正面朝上的概率是 B．“第一枚正面朝上”与“三枚硬币朝上的面相同”不相互独立 C．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币正面都朝上”是互斥的 D．“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”是对立的 【答案】D 【详解】对于A中，第一枚正面朝上的概率是，所以A错误；对于B中，第一枚正面朝上的概率为，三枚硬币朝上的面相同的概率为，又由，可得，所以第一枚正面朝上与三枚硬币朝上的面相同相互独立，所以B错误；对于C中，至少一枚正面朝上与三枚硬币正面朝上，可能同时发生，所以两个事件不互斥，所以C错误；对于D中，“至少一枚正面朝上”与“三枚硬币反面都朝上”，不能同时发生，但试验中必有一个事件发生，所以两事件对立，所以D正确.故选D. 2．（23-24高一下·佳木斯市·期末）从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ） A．恰好有1件次品和恰好有2件次品 B．至少有1件次品和全是次品 C．至少有1件正品和至少有1件次品 D．至少有1件次品和全是正品 【答案】A 【详解】A. 由条件可知，恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件，但不是对立事件，故A正确； B.至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，故B错误；C.至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，故C错误；D. 至少有1件次品和全是正品是对立事件，故D错误.故选：A 3．（23-24高一下·鹤岗市·期末）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件“第一枚向上点数为奇数”，事件“第二枚向上点数为偶数”，事件“两枚骰子向上点数之和为8”，事件“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则（   ） A．与C互斥 B．A与C相互独立 C．B与D互斥 D．B与D相互独立 【答案】C 【详解】记表示基本事件：第一枚骰子的点数为，第二枚骰子的点数为.对A：对事件、都包含基本事件，所以与不互斥，故A错误；对B：因为，，事件包含基本事件，，所以，因为，所以不独立，故B错误；对C：若第二枚骰子的点数是偶数，则两枚骰子的点数之积不可能为奇数，所以事件和互斥，故C正确； 对D：因为，，，因为，所以不独立，故D错误.故选：C 4．（23-24高一下·鹤岗市·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是”为事件，“向上的点数是”为事件，则下列选项正确的是（    ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，为不可能事件，表示向上的点数是，所以，事件与事件是互斥事件，不是对立事件.故选：B. 5．（23-24高一下·鹤岗市·期末）有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（    ） A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立 C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】A 【详解】依题意，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回取球两次的试验的基本事件总数是，显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的球颜色相同含有的基本事件数为， 事件丙的概率，事件丁的概率，对于A，事件甲与乙同时发生所含的基本事件数为6，其概率，甲与乙相互独立，A正确；对于B，事件甲与丙同时发生所含的基本事件数为9，其概率，甲与丙不独立，B错误；对于C，事件乙与丙同时发生所含的基本事件数为8，其概率，乙与丙不独立，C错误；对于D，事件乙与丁同时发生所含的基本事件数为4，其概率，乙与丁不独立，D错误.故选：A 6．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设{两弹都击中飞机}，{两弹都没击中飞机}，{恰有一弹击中飞机}，{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机， 对于A，有，故A正确；对于B，事件B、D不可能同时发生，两事件互斥，所以，故B正确；对于C，成立，故C正确；对于D，{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而为必然事件，故D不正确．故选:D． 7．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（    ） A．事件A与事件B对立 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C相互独立 D． 【答案】BC 【详解】由题意，得，，，对于A，当甲为奇数点，且乙为偶数点时，事件可以同时发生，所以事件A与事件B不互斥，故事件A与事件B不对立，故A错误；由题意知，又，故事件A与事件B相互独立，故B正确；，又，故事件A与事件C相互独立，故C正确；由上知，，故D错误．故选：BC． 8．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）连续地掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，记事件为“第一次出现2点”，事件为“第二次的点数小于等于4点”，事件为“两次点数之和为奇数”，事件为“两次点数之和为9”，则下列说法不正确的是（    ） A．与不是互斥事件 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】B 【详解】依题意，试验的样本空间为，，显然，则；，；，；，. 对于A，因,故与不是互斥事件，A正确； 对于B，因，，而,故与不独立，即B错误； 对于C，因，,故与相互独立，即C正确； 对于D，因，，故与相互独立，即D正确. 故选：B. 9．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）设，为两个随机事件，且，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则，相互独立 B．若和相互独立，则和一定不互斥 C．若和互斥，则和一定相互独立 D． 【答案】AB 【详解】，为两个随机事件，且，，由两个事件相互独立的定义知：若，则，相互独立，故选项A正确；若和相互独立，则的发生对的发生的概率没有影响，所以和一定不互斥，故选项B正确；若和互斥，则，若，相互独立则，若和互斥，则和不相互独立，故选项C不正确；设，则，，则，，可得，而，故选项D不正确.故选：AB. 10．（23-24高一下·大庆市·期末）将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过2，事件B表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C表示向上的一面出现奇数点，则（    ） A．A与B是对立事件 B．A与B是互斥而非对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 【答案】A 【详解】事件包含的基本事件为向上的点数为；事件包含的基本事件为向上的点数为； 事件包含的基本事件为向上的点数为；由于事件，不可能发生，且事件，的和事件为必然事件，与是对立事件，当向上一面的点数为3时，事件，同时发生，则与不互斥也不对立 故选：A 11．（23-24高一下·大庆市·期末）一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【详解】因为A=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到红球”，A与B不相等，D选项错误；则, ,A与B相互独立，C选项正确；A与B可以同时发生，A选项错误；B选项错误；故选：C. 12．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（    ） A．若不放回取球，则甲乙相互独立 B．若有放回取球，则甲乙相互独立 C．若不放回取球，则甲乙为互斥事件 D．若有放回取球，则甲乙为互斥事件 【答案】ACD 【详解】由题记样本点为，分别表示第一次和第二次取到的球，将3个白球2个黑球分别标记为和，则放回抽样样本空间为 共25个样本点，甲事件样本空间为，共10个样本点，则；乙事件样本空间为 共15个样本点，则，共6个样本点， 故甲乙不为互斥事件，且即甲相互独立，故B对、D错； 不放回抽样样本空间为 共20个样本点， 甲事件样本空间为，共8个样本点，则； 乙事件样本空间为 共12个样本点，则，则共6个样本点，故甲乙不为互斥事件，且即甲不相互独立，故A、C错. 故选：ACD. 频率与概率题型05 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）若事件与互斥，且，则 . 【答案】/ 【详解】因为事件与互斥，且，所以. 故答案为： 2．（23-24高一下·黑河市·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故，因为与为互斥事件，故， 所以，故，故.故选：A 3．（23-24高一下·鹤岗市·期末）用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有，共6种， 其中偶数有，共4种，所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为．故选：C． 4．（23-24高一下·佳木斯市·期末）一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】.故选：B 5．（23-24高一下·鹤岗市·期末）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为.故选：C 6．（23-24高一下·黑河市·期末）某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为、、，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为 ．（结果用最简分数表示） 【答案】 【详解】记至少有一次成功的概率为事件，实验甲、乙、丙成功分别为事件，由题意，，，． 故答案为：． 7．（23-24高一下·鹤岗市·期末）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是 ． 【答案】/0.6 【详解】根据题意，设2个白球的编号为，1个红球的编号为c，3个黄球编号为，从中1次随机摸出2个球，共有：，共15种基本事件，其中满足恰有一球是黄球的基本事件有9种，故所求概率．   故恰有一球是黄球的概率为：．故答案为：． 8．（23-24高一下·佳木斯市·期末）在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了20组随机数： 6830 3215 7056 6431 7840 4523 7834 2604 5346 0952 6837 9816 5734 4725 6578 5924 9768 6051 9138 6754 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为 ． 【答案】/ 【详解】在20组数中，6830，7840，7834，5346，0952，5734，4725，5924，6051，9138满足要求，共10个，由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为．故答案为： 9．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记零件或系统能正常工作的概率为，该系统正常工作的概率为: ,故选：C. 10．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（    ） A．的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点 B．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率 C．若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为 D．若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为 【答案】ACD 【详解】对于A，由于的各位数字中，都可能为0或1，则的所有实验结果构成的样本空间中有个样本点，正确；对于B，若的各位数字都是等可能地取值0或1，则，所以的概率等于的概率，错误；对于C，若的各位数字都是等可能地取值为0或1，如果中各位数字之和是4，即5个数字中有4和“1”和1个“0”，可能情况有：，共有5种等可能情况，其概率，正确；对于D，由于，数字中恰有2个0，即在四个数中恰好有2个0,2个1，可能情况有：，共有6种情况，启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为，正确；故选：ACD． 11．（23-24高一下·佳木斯市·期末）（多选）不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球.表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于”，表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5”，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．事件与相互独立 D． 【答案】BC 【详解】由题意，行表示第一次取出数字，列表示第二次取出数字，如下表， 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 两次取出的可能情况有36种，第二次取出的球上标有的数字大于等于的情况有24种，故， 两次取出的球上标有的数字之和为5的情况有，共4种，故，满足事件的情况有，故，所以，满足事件的情况有26种，故，综上，A、D对，B、C错.故选：BC 12．已知数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位长度，则移动4次后仍在原点的概率为 ；记移动次数为，当 时，质点位于数轴上刻度为3处的概率最大． 【答案】 /0.375 7或9 【详解】数轴上有一质点，从原点开始每次等可能的向左或向右移动一个单位长度，移动次有种结果，若质点移动次回到原点，则其中有次是向左移动，次是向右移动，因此，所求概率为 ；移动次有种结果，当质点位于数轴上刻度为3处时，说明有次是向左移动，次是向右移动，因此，所求的概率为，假设最大，则，所以，化简得，又为奇数且为整数，所以或，即当或时，质点位于数轴上刻度为3处的概率最大.故答案为：；7或9. 13．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 【答案】 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有8种，所以的概率为.故答案为：. 解答题题型06 1．（23-24高一下·佳木斯市·期末）寒假即将到来，6 位同学计划外出旅游，其中2人选择去桂林，4人选择去厦门，选择去厦门的同学中有3位女生，选择去桂林的同学中有1位女生. （1）从6人中随机抽取1人，求抽到选择去桂林的女生或选择去厦门的男生的概率； （2）从6人中随机抽取2人，求至少有1人选择去桂林的概率. 【详解】（1）由题意，去桂林旅游的有1为男生和1位女生，去厦门旅游的有1名男生和3名女生， 从6人中随机抽取1人，抽得去桂林的女生的概率为，抽得去厦门的男生的概率为， 所以抽到选择去桂林的女生或选择去厦门的男生的概率为. （2）从6人中随机抽取2人，共有种不同的抽法， 其中不去桂林旅游的抽法有种不同的抽法， 所以至少有1人选择去桂林的概率为. 2．（23-24高一下·大庆市·期末）若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”． (1)求和的值； (2)求两次摸到的不都是红球的概率． 【详解】（1）将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5． 第一次摸球时有5种等可能的结果， 对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果． 将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果， 第一次摸到红球的可能结果有8种，即， 所以． 第二次摸到红球的可能结果也有8种，即， 所以． （2）事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即， 则两次摸到都是红球的概率， 故两次摸到的不都是红球的概率． 3．（23-24高一下·大庆市·期末）在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为，该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中： (1)该同学得4分的概率； (2)该同学得分不超过3分的概率. 【详解】（1）设该同学在A处击中目标为事件A，在B处击中目标为事件B， 在C处击中目标为事件C，事件A，B，C相互独立， 依题意， 则该同学得4分的概率为 . （2）该同学得分不超过3分的情况为得0分、2分，3分， 该同学得0分的概率为； 得2分的概率为； 得3分的概率为； 则该同学得分不超过3分的概率为. 4．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． (1)求和的值； (2)试求两人共答对3道题的概率． 【详解】（1）由题意可得即解得或 由于，所以． （2）设甲同学答对了道题乙同学答对了道题． 由题意得，，． 设甲、乙二人共答对3道题，则． 由于和相互独立，与互斥， 所以 所以甲、乙两人共答对3道题的概率为. 5．（23-24高一下·佳木斯市·期末）某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中. (1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，设表示“第i次从乙箱中取到填空题”，，2，求第2题抽到的是填空题的概率； (2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目. 设：事件：为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题” 事件：为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题” 事件：为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题” ①求，， ②设事件C为：“第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题”，求的概率. 【详解】（1）设表示“第i次从乙箱中取到填空题”，，2， ，，， 由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：； （2）设事件C为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”， 事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”， 则，，彼此互斥，且， ①，，， ②，，， . 6．（23-24高一下·鹤岗市·期末）体育测试成绩分为四个等级：优、良、中、不及格．某班50名学生参加测试的结果如下： 等级 优 良 中 不及格 人数 5 19 23 3 （1）从该班任意抽取1名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率； （2）测试成绩为“优”的3名男生记为，，，2名女生记为，．现从这5人中任选2人参加学校的某项体育比赛．① 写出所有等可能的基本事件；② 求参赛学生中恰有1名女生的概率． 【详解】（1）记“测试成绩为良或中”为事件，“测试成绩为良”为事件，“测试成绩为中” 为事件，事件，是互斥的.由已知，有． 因为当事件，之一发生时，事件发生，所以由互斥事件的概率公式，得 ． （2）① 有10个基本事件：，，，，，， ，，，． ② 记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件．在上述等可能的10个基本事件中，事件包含了，，，，，． 故所求的概率为． 答：（1）这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率为；（2）参赛学生中恰有1名女生的概率为． 7．（23-24高一下·佳木斯市·期末）杭州亚运会期间，某大学有名学生参加体育成绩测评，将他们的分数单位：分按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的值及这组数据的第百分位数； (2)按分层随机抽样的方法从分数在和内的学生中抽取人，再从这人中任选人，求这人成绩之差的绝对值大于分的概率． 【详解】（1）由频率分布直方图可知，，解得， 因为，， 所以这组数据的第百分位数位于，设其为，则， 解得，即这组数据的第百分位数为； （2）由题可知，从分数在内的学生中抽取人，记为，， 则分数在内的学生中抽取人，记为，，，， 从中任选人，则所有可能结果有：，，，，，，，， ，，，，，，共个， 满足这人成绩之差的绝对值大于分的有，，，，，，，共个，故所求的概率． 8．（23-24高一下·鹤岗市·期末）2021年3月18日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图．   (1)求出直方图中m的值； (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）； (3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个． 【详解】（1）由，得． （2）平均数为， 因为，， 所以中位数在第4组，设中位数为n，则，解得， 所以可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33． （3）由频率分布直方图可知：100个口罩中一等品有60个，二等品有40个， 由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品有个，二等品有个， 所以抽取的5个口罩中一等品有3个和二等品有2个． 9．（23-24高一下·鹤岗市·期末）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本每天阅读时间的第75百分位数； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率. 【详解】（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1， 所以，解得. （2）因为成绩落在内的频率为， 落在内的频率为，所以第75百分位数落在. 设第75百分位数为m，由，解得，故第75百分位数为84， 所以估计该地年轻人阅读时间的第75百分位数约为84分钟. （3）由题意，阅读时间位于的人数为， 阅读时间位于的人数为，阅读时间位于的人数为， 所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为，则抽取的5人中位于区间有1人，设为a，位于区间有3人，设为，，，位于区间有1人，设为. 则从5人中任取3人，样本空间共含有10个样本点.设事件A为“恰有2人每天阅读时间在”， ，含有6个样本点.所以， 所以恰好有2人每天阅读时间位于的概率为. 10．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.    (1)求图中a的值，并求综合评分的平均数； (2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率； (3)已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差. 【详解】（1）由频率和为1，得，解得； 设综合评分的平均数为，则， 所以综合评分的平均数为81. （2）由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个， 一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E； 从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间 ，； 记事件“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”， 则，， 所以所求的概率为. （3）由题意可知：落在的频率为，落在的频率为， 所以， . 11．（23-24高一下·大庆市·期末）2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数； (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数； (3)首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）. 【详解】（1）成绩在的人数为（人）， 成绩在的人数为（人）， 则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人，成绩低于50分的人数为（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人； （2）由，得， 则平均数， 故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为分； （3）根据频率分布直方图可知：的频率为，的频率为， 所以入围复赛的成绩一定在，可知入围复赛的成绩的临界值为， 则，解得，故估计入围复赛的成绩为分. 12．（23-24高一下·大庆市·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值； (2)若从成绩位于区间和的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在的概率； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1，则，解得． （2）由题可知，成绩位于区间和的问卷比例为， 因为从成绩位于区间和的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份， 所以在区间抽取5份，设成绩分别为，则区间抽取2份，设成绩分别为， 所以从这7份中随机抽取两份的样本空间为： ， 设“抽取两份答卷的成绩都落在”，则， 所以． （3）因为落在与的频率比为， 所以，． 13．（23-24高一下·大庆市·期末）随着人们环保意识的日益增强，越来越多的人开始关注自己的出行方式，绿色出行作为一种环保、健康的出行方式，正逐渐受到人们的青睐，在可能的情况下，我们应当尽量采用绿色出行的方式，如步行、骑自行车或使用公共交通工具．某单位统计了本单位职工两个月以来上下班的绿色出行情况，绘制出了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工两个月以来上下班的绿色出行天数的中位数； (2)若该单位有职工200人，从绿色出行天数大于25的3组职工中用分层随机抽样的方法选取6人参加绿色出行社会宣传活动，再从6人中选取2人担任活动组织者，求这2人的绿色出行天数都在区间（25，30]的概率． 【详解】（1）由题意得，解得． 由，，知中位数位于（15,20]内．设中位数为，则，解得， 则中位数为． （2）绿色出行天数大于25的共有（人）， 则在区间（25,30]中的有（人），抽取人数为， 在区间（30,35]中的有（人），抽取人数为， 在区间（35,40]中的有（人），抽取人数为． 设从绿色出行天数在（25，30]中抽取的职工为，，，， 从绿色出行天数在（30,35]中抽取的职工为B，从绿色出行天数在（35,40]中抽取的职工为C， 全部可能的结果有（,），（,），（,），（,B），（,C）， （,），（,），（,B），（,C），（,），（,B）， （,C），（,B），（,C），（B,C），样本点总数，满足要求的样本点个数， 则两人均来自（25，30]的概率为，故2人的绿色出行天数都在区间（25,30]的概率为． 14．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. (1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者. (2)若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； (3)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【详解】（1）设这人的平均年龄为，则 （2）由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），，对应的样本空间的样本点为： 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，则，所以 （3）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，则， ， 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10.据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差为10. 15．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. (1)求的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和分位数（精确到0.1）； (3)在第四､五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 【详解】（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7，所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，解得； （2）由（1）知，平均数为； 前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75，所以中位数位于组内， 且，即分位数为69.4； （3）第四､五两组志愿者分别有20人，人， 故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为第五组志愿者人数为1，设为， 这5人选出2人，所有情况有，共10种， 其中选出的2人来自同一组的有，共6种， 所以选出的2人来自同一组的概率为. 16．（23-24高一下·黑河市·期末）某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产品的性能指标有明显差异，在两类产品中各随机抽取50件产品的性能指标作为样本，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品判定为“不合格”，小于或等于的产品判定为“合格”.此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)从指标在区间样本中随机抽取2件产品，求恰好一件是不合格一件是合格的概率. (2)当漏检率时，求临界值和错检率； (3)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值. 【详解】（1）样本中不合格产品在指标为区间的件数是件，记为 合格产品在指标为区间的件数是件，记为，总件数为5件. 从5件中随机抽取2件有：，共10种情况 抽取的两件恰好一件是不合格一件是合格有，共6种情况 故抽取的两件恰好一件是不合格一件是合格概率为. （2）由题意可知：第一个图中第一个矩形面积为，可知， 可得，解得，所以错检率 （3）当时，则， ，可得； 当时，则， ，可得； 所以，当且仅当时，取到最小值0.080. 17．（23-24高一下·黑河市·期末）为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则，因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为．游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为，所以，所以，所以游戏二获胜的概率为． （2）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即． 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：      第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去;当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为． 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$