专题02 一元函数的导数及其应用(12大考点经典基础练+优选提升练)-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（ 甘肃专用）

专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01变化率问题和导数的概念 题型02导数的计算 题型03导数的几何意义 题型04 导数求函数单调性 题型05 极值和最值 题型06 导数中恒成立、能成立问题 题型07 导数研究函数零点 题型08 导数研究函数图像和性质 题型9 双变量问题 题型10 构造函数 题型11 导数的实际应用 题型12 导数新概念 ( 题型01 ) 变化率问题和导数的概念 1．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）已知函数在处的导数为1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 2．（22-23高二下·甘肃酒泉·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．2 B．1 C．-2 D．-1 3．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）若函数在区间的平均变化率为0，则d= ．（写出一个符合条件的值即可） 4．（21-22高二下·甘肃金昌·期末）已知为可导函数，且，则 ． ( 题型0 2 ) 导数的计算 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）函数，则（   ） A． B．1 C．0 D． 2．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（22-23高二下·甘肃临夏·期末）下列函数求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（22-23高二下·甘肃酒泉·期末）若函数在R上可导，且，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 3 ) 导数的几何意义 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·甘肃·期末）已知直线与曲线相切，则的值为 ． 4．（19-20高二下·甘肃白银·期末）已知函数，若，，则曲线在点处切线的斜率为 . ( 题型0 4 ) 导数求函数单调性 1．（23-24高二下·甘肃白银·期末）若函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D．2 2．（22-23高二下·甘肃临夏·期末）已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知函数，当时，下列式子大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知函数，则不等式的解集为 . ( 题型0 5 ) 极值和最值 1．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）若函数，则（    ） A．存在最大值，且最大值为 B．不存在最小值 C．存在最小值，且最小值为5 D．存在最小值，且最小值为 2．（多选）（24-25高三上·甘肃临夏·期末）若函数，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于点对称 C．函数的极大值为 D．函数有且仅有两个零点 3．（24-25高三上·甘肃定西·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 4．（24-25高二上·甘肃武威·期末）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)当时，求函数的最值. ( 题型0 6 ) 导数中恒成立、能成立问题 1．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 3．（23-24高二下·甘肃·期末）设函数，函数． (1)求的单调区间； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 4．（23-24高三上·甘肃武威·期末）已知函数在处取得极值. (1)求在上的单调区间； (2)若对任意,不等式恒成立，求实数的取值范围. ( 题型0 7 ) 导数研究函数零点 1．（23-24高二下·甘肃平凉·期末）已知函数，若函数有四个零点，则实数a的取值范围是 . 2．（23-24高二下·甘肃·期末）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当恒成立时，判断的零点个数． 3．（22-23高二下·甘肃天水·期末）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求在的最大值和最小值，并说明函数零点个数； (3)求证：曲线在抛物线的上方． 4．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有三个零点，求的取值范围． ( 题型0 8 ) 导数研究函数图像和性质 1．（23-24高二下·甘肃嘉峪关·期末）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ）    A．  B．   C．   D．   2．（23-24高二下·甘肃白银·期末）函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 3．（24-25高二下·甘肃定西·期中）函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）若不等式（其中）的解集中恰有一个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 题型 9 ) 双变量问题 1．（23-24高二下·甘肃嘉峪关·期末）已知为不相等的正实数，，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二下·甘肃平凉·期末）已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·甘肃白银·期中）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． (2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 4．（23-24·甘肃兰州·期末）已知函数 （1）若存在极值点为，求的值； （2）若存在两个不同的零点，，求证： ( 题型 10 ) 构造函数 1．（24-25高二下·甘肃白银·期中）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·甘肃兰州·期末）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二上·甘肃金昌·期末）已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． ( 题型 11 ) 导数的实际应用 1．（23-24高二上·甘肃平凉·期末）现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为且用料最省，则水桶底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为 A．300万元 B．252万元 C．200万元 D．128万元 3．（22-23高二下·甘肃白银·期末）如图所示的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱组合而成.已知正四棱锥的侧棱长为，正四棱柱的高为，则该几何体的体积的最大值为 .    4．（23-24高二上·甘肃天水·期末）一边长为1米的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为的小正方形，然后做成一个无盖方盒． （1）试把方盒的容积表示为的函数． （2）多大时，方盒的容积最大？ ( 题型 12 ) 导数的新概念 1．（22-23高二下·甘肃兰州·期末）给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的拐点为，则下列结论正确的为（    ） A． B．点在直线上 C． D．点在直线上 2．（多选）（23-24高二下·甘肃白银·期中）设为函数的导函数，若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数．下列结论正确的是（    ） A．函数为上的凹函数 B．函数为上的凸函数 C．函数为上的凸函数 D．函数为上的凹函数 3．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． (1)若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； (2)若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 4．（23-24高二下·甘肃武威·期中）对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称． (1)已知，求函数的“拐点”的坐标； (2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称. 1．（23-24高二下·甘肃甘南·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃定西·期末）若，则的切线的倾斜角满足（    ） A．一定为钝角 B．一定为锐角 C．可能为直角 D．可能为 3．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）对于三次函数给出定义: 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（    ） A．1010 B．2020 C．2023 D．2024 4．（23-24高二下·甘肃金昌·期末）若的两个极值点为，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 5．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·甘肃酒泉·期末）若方程在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知函数，则（    ） A．函数有两个零点 B．函数在区间上单调递增 C．函数的极小值为 D．函数是奇函数 8．（多选）（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．是的极小值点 C．若，则 D．若过点的曲线的切线有且仅有两条，则a的取值范围为 9．（多选）（23-24高二下·甘肃临夏·期末）已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则函数的极大值点为（   ） A． B． C．0 D． 10．（24-25高三上·甘肃定西·期末）若函数的图象与函数的图象的任意连续三个交点的连线构成一个等腰直角三角形，则 ． 11．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数，则函数的最小值为 ；若过原点可向曲线作两条切线，则a的取值范围是 .（注：当时，） 12．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）函数存在唯一的极值点，则实数t的最大值为 ． 13．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的最大值. 14．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 15．（23-24高三上·甘肃兰州·期末）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间; (2)当时，试判断函数零点的个数，并加以证明. 16．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，设． （ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，证明：当时，． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元函数的导数及其应用 题型概览 题型01变化率问题和导数的概念 题型02导数的计算 题型03导数的几何意义 题型04 导数求函数单调性 题型05 极值和最值 题型06 导数中恒成立、能成立问题 题型07 导数研究函数零点 题型08 导数研究函数图像和性质 题型9 双变量问题 题型10 构造函数 题型11 导数的实际应用 题型12 导数新概念 ( 题型01 ) 变化率问题和导数的概念 1．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）已知函数在处的导数为1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据导数的定义将式子变形可得答案. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以. 故选：B 2．（22-23高二下·甘肃酒泉·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．2 B．1 C．-2 D．-1 【答案】A 【分析】根据平均变化率的定义即可求解. 【详解】根据平均变化率的定义可知，. 所以函数在区间上的平均变化率为2. 故选：A 3．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）若函数在区间的平均变化率为0，则d= ．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】π（答案不唯一，） 【分析】利用平均变化率计算即可. 【详解】由平均变化率可知， 故，所以. 故答案为：π（答案不唯一，） 4．（21-22高二下·甘肃金昌·期末）已知为可导函数，且，则 ． 【答案】 【分析】根据函数在处的导数的定义及极限的运算即可求解. 【详解】解：因为. 故答案为：. ( 题型0 2 ) 导数的计算 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）函数，则（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据导数公式求导，再求值即可. 【详解】根据题意，，则， 所以. 故选：D 2．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数的求导公式即可求解. 【详解】因为是一个常值，故，A错，，B错，，D错，，C对， 故选：C 11．（多选）（22-23高二下·甘肃临夏·期末）下列函数求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本初等函数的导数公式以及求导法则计算可得答案. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD 4．（多选）（22-23高二下·甘肃酒泉·期末）若函数在R上可导，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出函数导数，令可求判断A，代入函数解析式后，令求出判断B，计算即可判断CD. 【详解】， ， ，即，故A正确； ，， ，故B正确； ， ，故C错误，D正确. 故选：ABD ( 题型0 3 ) 导数的几何意义 1．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，对函数进行求导，得到，求出切线方程； 【详解】已知，函数定义域为， 可得， 此时， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 故选：B. 2．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 4．（23-24高二下·甘肃·期末）已知直线与曲线相切，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用导数思想来写出函数在某点处的切线方程，再利用题意可得方程组，即可求解. 【详解】由得：， 设切点，又因为，， 所以在点处的切线方程为：， 整理得： 由于是切线，则满足， 则代入得：， 又由于，则． 故答案为：. 4．（19-20高二下·甘肃白银·期末）已知函数，若，，则曲线在点处切线的斜率为 . 【答案】 【分析】由已知依次求得，，，，，再求出，取得答案． 【详解】解：由，且，， 所以，，，…，， 则，所以. 故答案为： 【点睛】本题考查利用导数研究故曲线上某点处的切线方程，考查导数的运算法则，属于基础题． ( 题型0 4 ) 导数求函数单调性 1．（23-24高二下·甘肃白银·期末）若函数的单调递增区间是，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】求导可得，由，可得，可求. 【详解】， 若，则可得在上单调递减， 若，令，可得， 所以在上单调递增， 又因为的单调递增区间是，所以. 故选：D. 2．（22-23高二下·甘肃临夏·期末）已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为，即在上恒成立可求出结果. 【详解】的定义域为， ， 因为在上单调递增，所以，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以. 故选：A 3．（多选）（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知函数，当时，下列式子大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作差比较大小，可得，利用导数研究函数单调性，可得，判断选项即可. 【详解】函数，当时，， 所以，A选项正确B选项错误. 当时， ，在上单调递增. 此时，得，所以，C选项正确D选项错误；. 故选：AC 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用导数判断函数在上的单调性，结合偶函数性质即可将原题不等式等价转换为，从而转换为一元二次不等式即可得解. 【详解】因为，的定义域为全体实数， 所以，即为偶函数， 当时，，令， ，即在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 因为，所以，所以， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. ( 题型0 5 ) 极值和最值 1．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）若函数，则（    ） A．存在最大值，且最大值为 B．不存在最小值 C．存在最小值，且最小值为5 D．存在最小值，且最小值为 【答案】C 【分析】求出函数的导数，再考虑二阶导数符号后可得导数的单调性，从而可判断有最小值5，或者根据解析式表示的几何意义可求最小值点，从而可得最小值. 【详解】法1：， 设，则， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故， 所以为上的增函数，而， 故当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， 当时，， 故选：C. 法2：设，，则． :当时，，故A错误； 要使得存在最小值， 即在上有解， 当时，单调递增， 所以在上至多存在一个零点， 因为，所以在上存在一个零点2， 所以取得最小值为5． 故选：C． 2．（多选）（24-25高三上·甘肃临夏·期末）若函数，则（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于点对称 C．函数的极大值为 D．函数有且仅有两个零点 【答案】ACD 【分析】对于A，当时，可得，从而判断A；求得定义域，可判断B；可得函数为奇函数，结合A可知极值点在，利用导数可求得极大值判断C；求得所有的零点判断D. 【详解】对于A，当时，，所以， 所以函数在区间上单调递增，故A正确； 对于B，由，可得，所以定义域为， 所以函数的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，因为，所以函数为奇函数， 又函数在上单调递增，故函数在上无极值点， 故在上无极值点， 当时，，求导得，令， 可得，当，所以，当时，， 所以函数在处取得极大值，且极大值为， 由奇函数的定义可知有极小值，无极大值，故C正确； 对于D，令，又定义域为，所以， 解得，所以函数有且仅有两个零点，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：利用分类讨论去绝对值符号，进而求解是解决本题的关键. 3．（24-25高三上·甘肃定西·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为，极大值为，极小值为32． 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可; （2）对函数求导，由导数的正负来判断函数的单调区间，从而可求出函数的极值. 【详解】（1）由题意得， 则， 因为，所以切点为， 故曲线在点处的切线方程为，即． （2）． 当或时，单调递增； 当或时，单调递减． 因为，所以是极大值点，极大值为， 是极小值点，极小值为． 故的单调递减区间为，单调递增区间为，极大值为，极小值为32． 4．（24-25高二上·甘肃武威·期末）已知函数在处取得极值. (1)求实数的值； (2)当时，求函数的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】(1)求导，根据函数在处取得极值求解； (2)由(1)得到，利用导数法求解最值. 【详解】（1）， 函数在处取得极值， 所以有，经检验满足题意； （2）由(1)可知：， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故函数在处取得极小值，因此， ，， 故函数的最大值为，最小值为. ( 题型0 6 ) 导数中恒成立、能成立问题 1．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对进行讨论，当时，求导可得函数的最值，进而得，当时，代入验证即可求解. 【详解】若，则显然不能恒成立； 若，则，所以，即， 对于，则，故时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 因此的最大值为，所以；BD可以； 当时，， 可知当时，，此时单调递增，故， 故， 当时，，此时单调递增，故， 故，故时，满足题意，C正确， 当时，，不符合题意，故A错误 故选：A． 2．（24-25高三上·甘肃白银·期末）若存在，使得成立，则实数的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】化简可得，构造函数，然后利用导数求出函数的最小值即可. 【详解】不等式等价于，即. 令，由可知， 在上为增函数， ，，则， 令，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以结合题意可知，即实数的最小值为1. 故选：B 3．（23-24高二下·甘肃·期末）设函数，函数． (1)求的单调区间； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增； (2)． 【分析】（1）利用导数结合对参数范围的讨论求解单调区间即可. （2）分析题意，讨论的不同范围，找到符合题意的范围即可. 【详解】（1）． ①当时，单调递增； ②当时，若，则． - 0 + 单调递减 单调递增 综上，当时，单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由题意得， 由（1）知，①当时，单调递增，， 所以在上单调递增，，所以符合题意； ②当时，在上单调递增，， 所以在上单调递增，，所以符合题意； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，使得，所以在上单调递减， 在上单调递增，则，不满足题意． 综上所述的取值范围为． 4．（23-24高三上·甘肃武威·期末）已知函数在处取得极值. (1)求在上的单调区间； (2)若对任意,不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）. 【分析】(1)求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；(2) 时不等式恒成立等价于恒成立，求得，进而可求实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为, ， 由题设在处取得极值，∴，即或． ∴, 当时，，， ∴； 当时，，，解得，, 故在[0，1]上的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）不等式恒成立， 即恒成立. 又 ∴， 当且仅当时，， 故时，不等式恒成立. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题.利用导数求单调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间. ( 题型0 7 ) 导数研究函数零点 1．（23-24高二下·甘肃平凉·期末）已知函数，若函数有四个零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得到函数为奇函数，转化为时，有两个根，即在上有两个根，设，利用导数求得函数的单调性与极值，结合图象，即可求解. 【详解】由题意知，函数，可得， 所以函数为奇函数， 由题意知时，有两个根， 即在上有两个根， 设，则， 当时，；时，， 所以在区间上是增函数，在上是减函数， 且当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，，时，， 所以函数的图象如图所示， 由函数图象，可得，即. 故答案为：. 2．（23-24高二下·甘肃·期末）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当恒成立时，判断的零点个数． 【答案】(1)当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减. (2)当时，的零点个数为；当时，的零点个数为. 【分析】（1）分类讨论并判断导函数的正负性即可； （2）先通过分类讨论法确定的取值范围，再利用的单调性确定零点的个数. 【详解】（1）由知. 当时，对有，所以在上递增； 当时，对有，对有， 所以在上递增，在上递减. 综上，当时，在上递增； 当时，在上递增，在上递减. （2）当恒成立时， 假设，则. 从而，这与矛盾，所以一定有. 当时，据的单调性有. 故对，有，代入表达式知，即. 所以对都有， 这就得到 . 故恒成立. 综上，的取值范围是. 下面来讨论的零点个数： 当时，根据的单调性，有，所以没有零点； 当时，首先有. 而根据的单调性，对有，所以有唯一的零点即. 综上，当时，的零点个数为；当时，的零点个数为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于先通过恒成立条件确定参数的取值范围，再在这个范围内确定零点个数. 3．（22-23高二下·甘肃天水·期末）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求在的最大值和最小值，并说明函数零点个数； (3)求证：曲线在抛物线的上方． 【答案】(1) (2)最大值为,最小值为，函数有2个零点． (3)证明见解析 【分析】（1）由函数在某点处的切线求解. （2）求导，利用导数研究函数的单调性、最值及零点个数. （3）令，只需证明即可. 【详解】（1），切点 ， 切线方程为． （2），令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，， 所以函数的最大值为；最小值为． ，，所以函数有2个零点． （3）证明：由题意只要证，即证， 令，则， 令，则， 则单调递增，，， 所以在内有唯一解，设为，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故，， 根据二次函数的性质可知，对称轴， 所以二次函数在单调递减， ， 故曲线在抛物线的上方． 4．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)单调递减区间是；单调递增区间是，； (3). 【分析】（1）根据点在函数图像上，再根据导数的几何意义以及极值点处导函数为，联立方程即可得解； （2）根据导数与函数单调性的关系即得； （3）结合函数的性质可得，进而即得. 【详解】（1）由题可得， 由题意得即 解得，，， 所以． （2）因为， 令，得或． 当变化时，，的变化情况如下： －1 ＋ 0 － 0 ＋ 2 所以，的单调递减区间是；单调递增区间是，． （3）因为，， 由（2）可知：在处取得极大值，在处取得极小值， 依题意，要使有三个零点，则， 即， 解得， 所以的取值范围为． ( 题型0 8 ) 导数研究函数图像和性质 1．（23-24高二下·甘肃嘉峪关·期末）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ）    A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可. 【详解】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，只有选项C符合， 故选：C 2．（23-24高二下·甘肃白银·期末）函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性、单调性结合排除法可得答案. 【详解】因为，， 所以是非奇非偶函数，图象不关于轴或原点对称， 排除B，C选项； ， 当时，， 所以在区间上单调递减，排除D选项， 故选：A. 3．（24-25高二下·甘肃定西·期中）函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】求导，分析函数的单调性可排除CD；结合图象与轴交于点可排除B，进而判断即可. 【详解】由，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故CD错误； 当时，，所以函数的图象与轴交于点，故B错误； 令得，所以函数只有1个零点， 当时，，当时，， 综上所述，函数的图象为A． 故选：A. 4．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）若不等式（其中）的解集中恰有一个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而画出图象，令，数形结合列不等式组求解即可. 【详解】令， 当时，，当， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，且， 而当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于0， 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 令，该函数图象为恒过的动直线， 因为不等式的解集中恰有一个整数， 结合图象可得，即，所以. 故选：D ( 题型 9 ) 双变量问题 1．（23-24高二下·甘肃嘉峪关·期末）已知为不相等的正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用构造一个函数，结合求导思想分析单调性，从而可得出选项. 【详解】由得：， 构造函数，则， 可知在上递增， 结合，得 ，即 由基本不等式可知：， 当且仅当时等号成立，所以. 故选：C. 2．（多选）（23-24高二下·甘肃平凉·期末）已知函数，为常数，若函数有两个零点、，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由已知得出，化简变形后可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；利用构造函数法证明CD选项中的不等式，可判断CD选项的正误. 【详解】由可得，可知直线与函数在上的图象有两个交点， ，当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，则， 且当时，，如下图所示：    当时，直线与函数在上的图象有两个交点. 对于A选项，由已知可得，消去可得，A对； 对于B选项，设，取，则，所以，，故，B错； 对于C选项，设，因为，则， 所以，，， 则， 构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递增，故，C对； 对于D选项，， 构造函数，其中 ，则， 所以，函数在上单调递减，则 ，D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 3．（24-25高二下·甘肃白银·期中）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． (2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）由给定的定义把问题转化为方程有唯一零点，再构造函数，利用导数探讨函数的性质求解即可. （2）①根据给定的定义将问题转化为方程有两个不同的零点求解；②由①中信息，利用极值点偏移求解. 【详解】（1）由与为“契合函数”，得，使 ，令，依题意，方程有唯一解， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，时，，， 又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或， 所以实数a的取值范围是. （2）①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”， 得存在，使， 即关于的方程有两个相异正根，令函数， 求导得， 由，得，得当时，；当时，， 则函数在上递增，在上递减，则， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点， 所以b的取值范围是. ②由（1）知，当时，，令， 求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，， 函数在上单调递减，，因此当时，， 而，则，又，于是， 又，函数在上递减，则， 所以. 4．（23-24·甘肃兰州·期末）已知函数 （1）若存在极值点为，求的值； （2）若存在两个不同的零点，，求证： 【答案】（1）1；（2）证明见解析. 【解析】（1）对求导，令，可得的值，再检验即可. （2）求出，通过对讨论，判断单调性，求出函数的极值，利用存在两个不同的零点，可得，作关于直线的对称曲线，令，求出导数，利用单调性即可得证. 【详解】（1）由已知得， 因为存在极值点为，所以，即，当时，， 经检验符合题意，所以. （2）证明：， ①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意； ②当时，由可得， 当时，由，在上为增函数， 当时，由，在上为减函数， 所以当时，取得极小值. 又存在两个不同的零点，， 所以， 即， 整理得， 作关于直线的对称曲线，令， 则， 所以在上单调递增， 不妨设，则， 即， 又 ，，且在上为减函数，所以， 即，又，易知成立，故. 【点睛】本题主要考查函数与导数知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性，考查学生解决问题的综合能力，属于难题 ( 题型 10 ) 构造函数 1．（24-25高二下·甘肃白银·期中）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到的取值情况，从而求出不等式的解集. 【详解】令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 因为，所以， 所以当时，即，当时，即， 不等式，即或，解得， 综上可得不等式的解集为. 故选：A 2．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知函数的导函数为，若对恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数,，求导后利用已知得出其正负，确定出函数的单调性后可得． 【详解】设,，则 ， ， 因为对恒成立，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 可得：，即. . 结合选项可知D一定成立， 故选：D. 3．（多选）（23-24高二下·甘肃兰州·期末）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用导数研究函数的单调性即可求解. 【详解】，则， 因为， 所以，则在上单调递减， 所以，，故A正确B错误； 又，所以，即， 故，故C正确； 由，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 4．（多选）（23-24高二上·甘肃金昌·期末）已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】令，可得在上单调递增，取自变量的值可得结果. 【详解】令，所以， 所以在上单调递增， 所以，即，故A错误，B正确； 又，所以， 即，故C正确，D错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数． (3)利用导数研究的单调性或最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． ( 题型 11 ) 导数的实际应用 1．（23-24高二上·甘肃平凉·期末）现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为且用料最省，则水桶底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设水桶底面半径为，高为，用料面积为，根据题意得到，从而得到，再利用导数单调性和最值求解即可. 【详解】设水桶底面半径为，高为，用料面积为， 由题知：，所以， 所以， ， 因为在为增函数，且， 所以，，为减函数， ，，为增函数. 所以当时，取得最小值. 故选：B 2．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为 A．300万元 B．252万元 C．200万元 D．128万元 【答案】C 【分析】求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，函数，所以， 当时，，函数为单调递增函数； 当时，，函数为单调递减函数， 所以当时，有最大值，此时最大值为200万元，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3．（22-23高二下·甘肃白银·期末）如图所示的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱组合而成.已知正四棱锥的侧棱长为，正四棱柱的高为，则该几何体的体积的最大值为 .    【答案】/ 【分析】设正四棱锥的高为，则，底面积为，设正四棱锥的底面边长为，根据几何关系可得，可得出该几何体的体积关于的函数关系式，利用导数求出的最大值，即为所求. 【详解】设正四棱锥的高为，则，底面积为，设正四棱锥的底面边长为， 则正四棱锥的底面对角线长为， 由勾股定理可得，可得，则. 该几何体的体积. 令函数， 则. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故. 因此，该几何体的体积的最大值为. 故答案为：. 4．（23-24高二上·甘肃天水·期末）一边长为1米的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为的小正方形，然后做成一个无盖方盒． （1）试把方盒的容积表示为的函数． （2）多大时，方盒的容积最大？ 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由已知可得方盒的底面边长为，高为，进而可得答案； （2）利用导数法，可得方盒的容积V的最大值. 【详解】（1）由题意可得方盒的底面边长为，高为， 无盖方盒的容积. （2）因为， 所以， 令，得（舍），或， 当时，，当时，， 因此是函数V的极大值点，也是最大值点， 故当时，方盒的容积最大. ( 题型 12 ) 导数的新概念 1．（22-23高二下·甘肃兰州·期末）给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的拐点为，则下列结论正确的为（    ） A． B．点在直线上 C． D．点在直线上 【答案】B 【分析】求出、，依题意可得，即可判断A，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，即可判断C，再计算，即可判断B、D. 【详解】因为，则，， 依题意可得，则，故A错误； ，故C错误； 又，所以点在直线上，故B正确，D错误； 故选：B 2．（多选）（23-24高二下·甘肃白银·期中）设为函数的导函数，若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数．下列结论正确的是（    ） A．函数为上的凹函数 B．函数为上的凸函数 C．函数为上的凸函数 D．函数为上的凹函数 【答案】ABD 【分析】对于A：求导，直接判断的单调性即可；对于B：求导，令，利用导数判断的单调性即可；对于C：求导，取特指分析判断即可；对于D：求导，令，利用导数判断的单调性即可. 【详解】对于选项A：因为为上的增函数， 所以为上的凹函数，故A正确； 对于选项B：因为，设， 则， 当时，，可知为上的减函数， 即为上的减函数，所以为上的凸函数，故B正确； 对于选项C：因为，设， 则，注意到， 可知在内不是单调递减函数，即在内不是单调递减函数， 所以函数在上不为凸函数，故C错误； 对于选项D：因为，令， 则， 设，则， 当时，，当时，， 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即在上恒成立， 可知为上的单调递增，所以为上的凹函数，故D正确． 故选：ABD. 3．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． (1)若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； (2)若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为和； (2)答案见解析 【分析】（1）根据已知条件及导数法求函数的单调性即可求解； （2）根据（1）的结论及导数法其函数的极值，结合函数零点与最值的关系即可求解. 【详解】（1）由题可知，， ， 因为是函数的“拐点”， 所以，解得． 所以， ． 令，得或， 令，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和. （2）由（1）可知，函数的拐点横坐标为，所以， 令，解得或； 令．解得． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为和， 所以的极小值为， 的极大值为． 当，即时，有三个零点; 当，即时，有两个零点; 当，即时，有一个零点. 4．（23-24高二下·甘肃武威·期中）对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称． (1)已知，求函数的“拐点”的坐标； (2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称. 【答案】(1) (2)的图象关于“拐点”对称 【分析】（1）借助定义求出时的解即可得； （2）计算是否成立即可得. 【详解】（1）由，则，则， 当时，解得，又， 故其拐点为； （2）由（1）知“拐点”坐标是， 又 ， 由定义②知的图象关于“拐点”对称. 1．（23-24高二下·甘肃甘南·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数的导数为， 则曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：B. 2．（23-24高二下·甘肃定西·期末）若，则的切线的倾斜角满足（    ） A．一定为钝角 B．一定为锐角 C．可能为直角 D．可能为 【答案】B 【分析】设，利用导数得出可得答案． 【详解】设，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 而， 所以当时，，所以， 切线斜率均为正数，倾斜角为锐角． 故选：B． 3．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）对于三次函数给出定义: 设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（    ） A．1010 B．2020 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】根据所给条件求出函数的对称中心，即可得到，再由并项求和法计算可得. 【详解】因为， 所以，， 令，即，解得， 又， 由题中给出的结论，可知函数的对称中心为， 所以， 即， 故， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是由题干所给条件推出函数的对称中心为，从而得到. 4．（23-24高二下·甘肃金昌·期末）若的两个极值点为，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，求导即可得到，再由函数极值点的定义，即可得到结果. 【详解】由，得，令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极值点为和1，则． 故选：B． 5．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知方程有三个不同的实数解可转化为的图象与的图象有三个点,根据导数的几何意义，数形结合可得参数范围. 【详解】 由已知方程有三个不同的实数解可转化为的图象与的图象有三个点， 设直线的图象与相切于点， 因为， 所以，解得：， 又函数在单调递减，且， 函数在增，且， 所以函数与在所有且只有一个交点， 要使的图象与的图象有三个交点， 则需， 即实数的取值范围是， 故选：D． 6．（22-23高二下·甘肃酒泉·期末）若方程在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数得，设，，求出其值域，则得到的范围. 【详解】，则， 设，， ，令， 解得（负舍），又因为当，，此时单调递增， 当，，此时单调递减， 则，且，， 则， 若方程在上有解， 则， 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用参数得，再设新函数，，利用导数求出其值域，则得到的范围. 7．（多选）（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知函数，则（    ） A．函数有两个零点 B．函数在区间上单调递增 C．函数的极小值为 D．函数是奇函数 【答案】AC 【分析】求出函数的解析式，可求出函数的零点，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项；利用函数的极值与导数的关系可判断C选项；计算出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 所以，令，可得， 可知函数有两个零点，A对； 对于BC选项，因为，由可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 故在区间上不单调，函数的极小值为，B错C对； 对于D选项，设，若为奇函数，则， 即，但， 所以函数不是奇函数． 故选：AC． 8．（多选）（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的值域为 B．是的极小值点 C．若，则 D．若过点的曲线的切线有且仅有两条，则a的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，判断A，B；由题意得，是函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标，根据函数的图象与函数的图象关于直线对称，可判定C；设出切点，写出切线方程，将点P代入，化简后方程有两根，即可得到的取值范围，判断D. 【详解】根据题意，， 则当时，，所以单调递减， 当时，，所以单调递增， 所以是的极小值点，且， 所以的值域为，A错误，B正确； 由，可得，， 令，是函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标， 因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以，两点关于直线对称， 因此，即，C正确； 设切点为，所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 即方程有两个解，则，解得或，D正确． 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项C中把，看成函数、函数与函数的图象的交点A，B的横坐标，且函数的图象与函数的图象关于直线对称是解题关键点. 9．（多选）（23-24高二下·甘肃临夏·期末）已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则函数的极大值点为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】AD 【分析】根据函数图象求出导函数大于0和小于0的区间，从而确定极大值点. 【详解】由图可知，当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 所以的单调递增区间为,,，单调递减区间为,. 故的极大值点为和. 故选：AD. 10．（24-25高三上·甘肃定西·期末）若函数的图象与函数的图象的任意连续三个交点的连线构成一个等腰直角三角形，则 ． 【答案】 【分析】先求得，由得，取，进而可得，即，进而可得. 【详解】 ． 由可得，即 不妨取，得三个连续的交点依次为， 如图，因为是等腰直角三角形，设线段中点为， 则，，． 由，得， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是找到三个连续的交点，由可得，取，得三个点为， 根据图象确定即为周期，即得. 11．（24-25高三上·甘肃·期末）已知函数，则函数的最小值为 ；若过原点可向曲线作两条切线，则a的取值范围是 .（注：当时，） 【答案】 【分析】(1)求导数，根据单调性，即可求出的最小值；（2）设切点为得切线方程， 将问题转化为关于的方程有两个不同的根即可. 【详解】因为， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为. 因为，所以. 设切点为， 则切线方程为，将原点坐标代入， 化简得，则关于的方程有两个不同的根. 令，则，所以在上单调递减， 在上单调递增.因为，，，， 所以，故的取值范围是. 故答案为：， 12．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）函数存在唯一的极值点，则实数t的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，依题意存在唯一的变号正实根，当符合题意，当时参变分离可得没有除之外的正实根，构造函数，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出的取值范围. 【详解】因为，， 所以， 依题意可得存在唯一的变号正实根， 即存在唯一的变号正实根， 当时，方程只有唯一变号正实根，符合题意， 当，方程，即没有除之外的正实根， 令，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，所以， 则实数t的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 13．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求导，分别令，，可求得单调递减区间和单调递增区间； （2）方法一，利用导数求得的最小值，可得，可求得取值范围； 方法二，分离变量可得，令，求导求得最小值即可. 【详解】（1）当时，，得， 令，解得，令，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）方法一：因为， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 故当时，函数存在最小值，最小值为. 若恒成立，则实数， 即，所以实数的最大值为． 方法二：由题意，当时，恒成立； 当时，解得， 令， 得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，所以， 即，所以的最大值为. 14．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）已知函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先对函数求导，再把代入导函数中可求出切线的斜率，再求出的值，可得切点坐标，从而利用点斜式可求出切线方程； （2）设切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，依题意可得，从而可求出或，进而可求得切线方程. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以切线斜率， 又因为， 所以切点坐标为，所以所求直线方程为， 故曲线在处的切线方程为. （2）因为，设切点为， 则， 所以切线方程为， 则，即，解得或， 所以切点为或，切线的斜率为或， 所以切线方程为或 即切线方程为或， 15．（23-24高三上·甘肃兰州·期末）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间; (2)当时，试判断函数零点的个数，并加以证明. 【答案】(1)的单调递减区间，递增区间， (2)2，证明见解析. 【分析】（1）当时，，设，进而得到单调区间； （2）由，设，得到，再分，，三种情况讨论，分别求出函数的单调性和极值，最终求出结果. 【详解】（1）当时，，则， 设，则， 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增，所以，所以在单调递增； 综上，的单调递减区间，递增区间. （2），当时，，所以是的一个零点， ，设，可得， 因为， 所以①当，，所以在单调递增，，在单调递增，则， 所以在上无零点； ②当时，，则，所以在上无零点； ③当时，，，所以在上单调递增， 又，所以存在唯一实数，使得=0， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一零点， 综上，当时，函数有两个零点. 【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性和零点问题.通常采用分离参数法和分类讨论法. 第一问当时，，设，进而得到单调区间； 第二问由，设，得到，再分，，三种情况讨论，分别求出函数的单调性和极值，最终求出结果. 16．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，设． （ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的零点； （ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，证明：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求导后，求出的两根，再讨论两根的大小可得的单调性； （2）（ⅰ）根据的单调性以及，可证结论成立； （ⅱ）构造函数，转化为证明，转化为证明，再构造函数，利用导数可证不等式成立. 【详解】（1）由，，令，得或. 当时，由，得或，由，得. 所以在和上单调递增，在上单调递减， 当时，由，得， 所以在上单调递增. 当时，由，得或，由，得. 所以在和上单调递增，在 上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 当时，在和上单调递增，在 上单调递减. （2）(i)当时，， 与的单调性相同， 由(1)知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 所以函数在区间内有唯一的零点. (ii)设，则， 由，得， 由，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又因为，所以要证明当时，，即证， 只要证明，即证，即证， 因为，即， 所以只要证明，即证. 因为在上单调递增，所以只需证明. 因为，所以只需证明. 因为，设，， 则， 所以在上单调递增， 所以，所以，得证. 【点睛】关键点点睛：构造函数，转化为证明，转化为证明，再构造函数，利用导数证明不等式成立是解题关键. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$