第四章 第2讲 抛体运动-【勤径学升】2026年高考物理一轮总复习教师用书word（人教版2019）

第2讲　抛体运动 1．掌握平抛运动的规律，会用运动的合成与分解方法分析平抛运动。 2．会处理平抛运动中的临界、极值问题。 [对应学生用书P65] 【微点辨析】 (1)以一定初速度水平抛出的物体所做的运动就是平抛运动。(×) (2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。(×) (3)做平抛运动的物体的初速度越大，水平位移越大。(×) (4)做平抛运动的物体的初速度越大，在空中飞行时间越长。(×) (5)若不计空气阻力，则从同一高度平抛的物体，在空中飞行的时间是相同的。(√) (6)平抛运动和斜抛运动都是匀变速曲线运动。(√) (7)做平抛运动的物体在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。(√) [对应学生用书P66] 考点 平抛运动基本规律的应用(互动共研) 1．飞行时间和水平射程 (1)飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。 (2)水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定。 2．速度和位移的变化规律 (1)速度的变化规律 任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向均竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt。 (2)位移变化规律 ①任一相等时间间隔内，水平位移相同，即Δx＝v0Δt。 ②连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝g(Δt)2。 3．两个重要推论 (1)做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置处)，有tan θ＝2tan α。(如图所示) (2)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，如图所示，即xB＝。 考向1　单物体的平抛运动 [例1]　(2024·浙江1月选考)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为(　　) A. B. C. D.(＋1)D 解析　水平方向，设出水孔到水桶中心距离为x，则x＝v0 ，落到桶底A点时x＋＝v0，联立解得v0＝ ，故选C。 答案　C 考向2　多物体平抛运动的分析 [例2]　(多选)如图所示，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹。小球a从(0，2L)处抛出，落在(2L，0)处；小球b、c从(0，L)处抛出，分别落在(2L，0)和(L，0)处。不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．b和c运动时间相同 B．a的运动时间是b的两倍 C．a和b加速度相同 D．b的初速度是c的两倍 解析　b、c抛出时的高度相同，小于a抛出时的高度，根据h＝gt2得t＝，知b、c的运动时间相同，a的运动时间是b的运动时间的倍，B错误，A正确；由于a和b都做平抛运动，竖直方向只受重力，故a和b加速度相同，C正确；b、c的运动时间相同，b的水平位移是c的水平位移的两倍，则b的初速度是c的初速度的两倍，D正确。 答案　ACD 1．(2023·湖南卷)如图(a), 我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图 (b) 所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O, 且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2, 其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　) A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于v1 C．两谷粒从O到P的运动时间相等 D．两谷粒从O到P的平均速度相等 解析　抛出的两谷粒在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故谷粒1的加速度等于谷粒2的加速度， A错误； 谷粒2做斜向上抛运动，谷粒1做平抛运动，均从O点运动到P点，故位移相同。在竖直方向上谷粒2做竖直上抛运动，谷粒1做自由落体运动，竖直方向上位移相同，故谷粒2运动时间较长，C错误；谷粒2做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。与谷粒1比较水平位移相同，但运动时间较长，故谷粒2水平方向上的速度较小即最高点的速度小于v1，B 正确；两谷粒从O点运动到P点的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，谷粒1的平均速度大于谷粒2的平均速度，D错误。故选B。 答案　B 考点 有约束条件的平抛运动模型(方法模型) 考向1　平抛与竖直面结合 图示 定量关系 水平方向：d＝v0t 竖直方向：h＝gt2 [例3]　用图甲所示的装置研究平抛运动，在水平桌面上放置一个斜面，每次都让小钢球从斜面上的同一位置由静止滚下，滚过桌边后钢球便做平抛运动打在竖直墙壁上，把白纸和复写纸贴在墙上，就可以记录小钢球的落点。改变桌子和墙的距离，就可以得到多组数据。已知四次实验中桌子右边缘离墙的距离分别为10 cm、20 cm、30 cm、40 cm，在白纸上记录的对应落点分别为A、B、C、D，如图乙所示，则B、C、D三点到A点的距离之比为(　　) A．4∶9∶16 B．3∶8∶15 C．3∶5∶7 D．1∶3∶5 解析　根据平抛运动规律得x＝v0t，h＝gt2，可知运动时间之比t1∶t2∶t3∶t4＝1∶2∶3∶4，竖直方向运动距离之比h1∶h2∶h3∶h4＝1∶4∶9∶16，则B、C、D三点到A点的距离之比(h2－h1)∶(h3－h1)∶(h4－h1)＝3∶8∶15，故B正确。 答案　B 考向2　平抛与斜面结合 运动情境 物理量分析 方法归纳 vy＝gt ，tan θ＝＝→t＝→求x、y 分解速度， 构建速度三角形，确定时间，进一步分析位移 x＝v0t，y＝gt2→tanθ＝→t＝→求v0、vy 分解位移，构建位移三角形 tan θ＝＝→t＝ P点处速度方向与斜面平行，分解速度，求经多长时间离斜面最远 落到斜面处的合速度方向与水平方向夹角φ→tan φ＝＝＝＝2tanθ→α＝φ－θ 小球到达斜面时的速度方向与斜面的夹角α为定值，与初速度无关 [例4]　如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球(可视为质点)，落在斜面上某处，记为Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是(　　) A.夹角α将变大 B.夹角α与初速度大小无关 C.小球在空中的运动时间不变 D.PQ间距是原来间距的3倍 解析　根据tan θ＝＝，解得t＝，初速度变为原来的2倍，则小球在空中的运动时间变为原来的2倍，C错误；根据x＝v0t＝知，初速度变为原来的2倍，则水平位移变为原来的4倍，且PQ＝，故PQ间距变为原来间距的4倍，D错误；末速度与水平方向夹角的正切值tan β＝＝＝2tan θ，可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，因为位移与水平方向夹角不变，则末速度与水平方向夹角不变，由几何关系可知α不变，与初速度大小无关，A错误，B正确。 答案　B 2．如图所示，倾斜角为θ的斜面AB，在A点的正上方高度为H的P点以水平初速度v0抛出一个物体M，物体M恰好垂直落到斜面上，现在A点正上方2H的Q点水平抛出另一个物体N，这个物体N也能垂直落在斜面上，那么物体N的初速度大小为(　　) A．2v0 B．v0 C．v0 D．v0 解析　如图，物体M从A点正上方H处的O点平抛，初速度v0，经时间t垂直打在斜面上，水平位移为x，则x＝v0t，H－x tan θ＝gt2，＝tan θ，联立可解得v0＝，同理可得，物体N的初速度vN＝＝v0。 答案　D 考向3　平抛与圆面结合 图示 定量关系 水平方向：R±＝v0t 竖直方向：h＝gt2 [例5]　如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为(　　) A． B． C． D． 解析　由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为α。由tan α＝，x＝v0t，联立解得A、B之间的水平距离为x＝，选项A正确。 答案　A 3．如图所示，科考队员站在半径为10 m的半圆形陨石坑(直径水平)边，沿水平方向向坑中抛出一颗石子(视为质点)，石子在坑中的落点P和圆心O的连线与水平方向的夹角为37°，已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方，且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2 m。取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力。则石子抛出时的速度大小为(　　) A．9 m/s　　　　　　　 B．12 m/s C．15 m/s D．18 m/s 解析　由题意可知，小石子竖直方向的位移h＝h1＋R sin 37°，根据公式可得h＝gt2，代入数据解得t＝1.2 s。小石子水平方向的位移为x＝R＋R cos 37°，又x＝v0t，代入数据可得石子抛出时的速度大小为v0＝15 m/s，故选C。 答案　C 考点 斜抛运动的理解和分析(互动共研) 1．研究方法——运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动。 2．基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。 初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ。 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt 3．逆向思维法处理斜抛问题 对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题。 [例6]　在2023年杭州亚运会女子铅球决赛中，我国运动员巩立姣以19.58 m的成绩成功卫冕。运动员为了寻求最佳效果，训练时会尝试用不同质量的铅球分别以不同夹角抛球的感觉。如图，在某次训练中运动员将质量m＝6 kg的铅球斜向上抛出，铅球离开手的瞬间速度大小v0＝10 m/s，方向与水平方向夹角θ＝37°，铅球离开手时离水平地面的高度h＝2.25 m。取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力。求： (1)铅球离开手瞬间的水平分速度大小v0x和竖直分速度大小v0y。 (2)铅球上升到最高点的时间t和离地面的最大高度H。 (3)运动员抛出的铅球飞出的水平距离。 解析　(1)初速度v0的水平分速度大小v0x＝v0cos 37°＝8 m/s， 初速度v0的竖直分速度大小v0y＝v0sin 37°＝6 m/s。 (2)由逆向思维，铅球上升到最高点的过程的逆过程为平抛运动，由平抛运动竖直方向速度与时间的关系可得铅球上升到最高点的时间t＝＝0.6 s， 设铅球从抛出点上升到最高点的距离为h1，则根据竖直方向的运动有h1＝， 则铅球离地的最大高度H＝h＋h1＝4.05 m。 (3)方法一：设铅球从最高点到落地的时间为t′ 有H＝gt′2，解得t′＝0.9 s， 铅球飞行总时间t总＝t＋t′＝1.5 s， 铅球的水平位移x＝v0x·t总＝12 m； 方法二：选向上为正方向，铅球从离开手到落地的竖直位移为－h， 有－h＝v0yt总－gt，解得t总＝1.5 s， 铅球的水平位移x＝v0xt总＝12 m。 答案　(1)8 m/s　6 m/s　(2)0.6 s　4.05 m　(3)12 m 4．(多选)(2022·山东卷)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为(　　) A．v＝5 m/s　　　　　　 B．v＝3 m/s C．d＝3.6 m D．d＝3.9 m 解析　设网球飞出时的速度为v0，竖直方向的速度 v0竖直2＝2g(H－h)，代入数据得v0竖直＝ m/s＝12 m/s，则v0水平＝ m/s＝5 m/s，网球击出点到P点水平方向的距离x水平＝v0水平t＝v0水平·＝6 m，根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量v0水平⊥＝v0水平·＝4 m/s，平行墙面的速度分量v0水平∥＝v0水平·＝3 m/s，反弹后，垂直墙面的速度分量v水平⊥′＝0.75·v0水平⊥＝3 m/s，则反弹后的网球速度v水平＝＝3 m/s，网球落到地面的时间t′＝ ＝ s＝1.3 s，着地点到墙壁的距离d＝v水平⊥′t′＝3.9 m，故B、D正确，A、C错误。 答案　BD [对应学生用书P69] 体育活动中的抛体运动 1．(投掷飞镖游戏)如图所示是投掷飞镖游戏的示意图，O点距水平地面的高度为h，竖直靶板与O点的距离为x，不计空气阻力。当投掷者从O点以某一速度向右水平掷出飞镖时，飞镖打在靶上距地面的C点。现将竖直靶板向右移动，仍以相同速度从O点掷出飞镖，飞镖打在靶上的位置应该是(　　) A．C点 B．地面与C点之间 C．恰好在靶板与地面的交点处 D．不在靶板上 解析　飞镖打在靶上距地面的C点时，有＝gt12，得t1＝，初速度为v0＝＝x，现将竖直靶板向右移动，则x＝v0t2，y＝gt22，解得y＝h＞h，则飞镖不能打在靶板上，故D正确，A、B、C错误。 答案　D 2．(排球运动)(多选)中国女排享誉世界排坛，曾经取得辉煌的成就。在某次比赛中，运动员将排球从底线A点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB平行于边界CD。已知网高为h，球场的长度为s，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H和水平初速度v分别为(　　) A．H＝h　　　　　　　 B．H＝h C．v＝ D．v＝ 解析　排球被发出后做平抛运动，由平抛运动规律可知gt2＝H，H－h＝g，得H＝h，又知vt＝s，得v＝ ，A、D正确，B、C错误。 答案　AD 平抛运动临界极值问题的分析方法 (1)确定研究对象的运动性质。 (2)根据题意确定临界状态。 (3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。 (4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。 3．(运动会上的跳远比赛)某同学参加学校的跳远比赛，其运动轨迹可以简化为如图所示，该同学以速率v沿与水平地面成某一角度方向跳出，运动过程中离开地面的最大高度为H＝，若该同学可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，则该同学本次跳远的成绩为(　　) A． B． C． D． 解析　本题考查斜抛运动。设速度v与水平方向夹角为θ，则H＝，则有sin θ＝，运动时间t＝×2＝，水平位移x＝v cos θ·t，联立解得x＝，故A正确。 答案　A 课时检测训练14　抛体运动 对应学生用书P350 对点练1　平抛运动基本规律的应用 1．在许多庙会或景区都有套圈的游戏项目，某游客先后从同一位置将大小不同的两个套圈水平抛出，恰好套住同一个玩具。不计套圈所受的空气阻力。以下说法正确的是(　　) A．套圈做变加速运动 B．套圈做匀变速曲线运动 C．大套圈抛出时初速度大 D．小套圈运动的时间短 解析　套圈仅受重力，水平抛出，做平抛运动，即匀变速曲线运动， A 错误， B 正确；根据h＝gt2，x＝v0t可知，抛出位置相同，则运动时间相同，抛出速度相同，CD 错误。故选B。 答案　B 2．有一圆柱形水井，井壁光滑且竖直，过其中心轴的剖面图如图所示。一个质量为m的小球以速度v从井口边缘沿直径方向水平射入水井，小球与井壁做多次弹性碰撞(碰撞前后小球水平方向速度大小不变、方向反向，小球竖直方向速度大小和方向都不变)。不计空气阻力，从小球水平射入水井到落至水面的过程中，下列说法正确的是(　　) A．小球下落时间与小球质量m有关 B．小球下落时间与小球初速度v有关 C．小球下落时间与水井井口直径d有关 D．小球下落时间与水井井口到水面高度差h有关 解析　根据合运动与分运动的独立性，小球在竖直方向的运动为自由落体运动，由h＝gt2知，小球下落时间仅与水井井口到水面高度差h有关，D项正确。 答案　D 3.(2025·黑龙江省建新高中高三月考)如图所示，将a、b两小球(均可视为质点)以大小为20 m/s的初速度分别从A、B两点先后相差1 s水平相向抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a、b两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，g取10 m/s2，则抛出点A、B间的水平距离是(　　) A.85 m B.100 m C.200 m D.180m 解析　a的运动时间为t，则b的运动时间为t－1 s，·＝1，解得t＝5 s，又因为x＝v0t＋v0(t－1 s)，解得x＝180 m，故选D。 答案　D 对点练2　有约束条件的平抛运动 4．如图，两小球P、Q从同一高度分别以v1和v2的初速度水平抛出，都落在了倾角θ＝53°的斜面上的A点，其中小球P垂直打到斜面上，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。则v1、v2大小之比为(　　) A．2∶1 B．3∶2 C．9∶16 D．32∶9 解析　两小球抛出后都做平抛运动，两球从同一高度抛出落到同一点，他们在竖直方向上的位移相等，小球在竖直方向上都做自由落体运动，由于t＝可知，他们的运动时间相等，对Q球tan 53°＝＝＝，解得v2＝；球P垂直打在斜面上，则有v1＝vy tan 53°＝gt tan 53°＝，所以＝，故选D。 答案　D 5．如图所示，a、b两个小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平向左、右抛出，已知半圆轨道的半径与斜面的竖直高度h相等，斜面倾角为30°，重力加速度为g，要使两球同时落到半圆轨道上和斜面上，小球抛出的初速度的大小为(　　) A． B． C． D． 解析　a、b两个小球抛出后做平抛运动，有x＝v0t，y＝gt2，将半圆轨道和斜面重合放置，会发现两轨道交于A点，也就是说当抛出小球的速度恰好为某一值时，两小球会在同时落到半圆轨道上和斜面上，图中的x和y分别为小球做平抛运动的水平位移和竖直位移，根据几何关系可得＝tan 30°，(x－h)2＋y2＝h2，联立解得v0＝，故选C。 答案　C 6．(2023·山西卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少？(不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g) 解析　石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有2gh＝vy2， 可得落到水面上时的竖直速度vy＝， 由题意可知≤tan θ，即v0≥，石子抛出速度的最小值为。 答案　 对点练3　斜抛运动的理解和分析 7．如图，一运动员将篮球从地面上方B点以速度v0斜向上抛出，恰好垂直击中竖直篮板上A点。后来该运动员后撤到更远的C点投篮，仍然将球垂直击中篮板上A点，关于两次投篮的比较，下列说法正确的是(　　) A．在C点抛出速度v0更小，同时抛射角θ更大 B．在C点抛出速度v0更小，同时抛射角θ更小 C．在C点抛出速度v0更大，同时抛射角θ更大 D．在C点抛出速度v0更大，同时抛射角θ更小 解析　运动逆过程相当于从篮板做平抛运动，第一次抛到B点，第二次抛到C点，下落的高度相同，因此运动时间相同，竖直分速度相同，落到C点时水平速度更大，速度与水平夹角更小，因此篮球在C点抛出速度v0更大，同时抛射角θ更小，故选D。 答案　D 8.如图所示，质量相同的A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B沿光滑斜面运动，落地点为P2，P1和P2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是(　　) A.A、B的运动时间相同 B.A、B沿x轴方向的位移相同 C.A、B运动过程中的加速度大小相同 D.A、B落地时速度大小相同 解析　对于A质点，aA＝g，根据h＝gt得tA＝；对于B质点，设斜面倾角为θ，aB＝g sin θ，在沿斜面向下方向上，有＝g sin θ·t，解得tB＝，可知tB＞tA，aA＞aB，故A、C错误；在x轴方向上，有x＝v0t，知B沿x轴的位移大于A沿x轴的位移，故B错误；因为只有重力做功，根据动能定理知mgh＝Ek－Ek0，因重力做功和初动能相同，所以末动能相等，所以A、B落地时的速度大小相等，速度方向不同(不共面)，故D正确。 答案　D 9．(多选)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，《礼记传》中提到：“投壶，射之细也。宴饮有射以乐宾，以习容而讲艺也。”如图所示，甲、乙两人沿水平方向各射出一支箭，箭尖插入壶中时与水平面的夹角分别为53°和37°；已知两支箭质量相同，忽略空气阻力、箭长、壶口大小等因素的影响，下列说法正确的是 (sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　) A．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲、乙所射箭初速度大小之比为9∶16 B．若箭在竖直方向下落的高度相等，则甲、乙所射箭落入壶口时速度大小之比为4∶3 C．若两人站在距壶相同水平距离处射箭，则甲、乙所射箭初速度大小之比为1∶1 D．若两人站在距壶相同水平距离处射箭，则甲、乙所射箭在空中运动时间比为4∶3 解析　若箭在竖直方向下落的高度相等，根据h＝可知甲、乙插入壶中时竖直方向的分速度vy相同，根据tan θ＝可得甲、乙所射箭初速度大小之比为 ＝＝。根据sin θ＝可得甲、乙所射箭落入壶口时速度大小之比为＝＝，故A正确，B错误；若两人站在距壶相同水平距离x处射箭，设插入壶中时甲乙两箭位移与水平方向的夹角为α，速度与水平方向夹角为θ，根据平抛运动推论tan θ＝2tan α＝2·＝，可得箭下落时间为t＝，则甲、乙所射箭在空中运动时间比为＝＝；根据x＝v0t，可得甲、乙所射箭初速度大小之比为＝＝，故C错误，D正确。故选AD。 答案　AD 10．将小球从如图所示的阶梯状平台上以一定的水平初速度v0水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为1.0 m，取g＝10 m/s2，要使小球抛出后落到第三级台阶上，则v0可能为(　　) A．2.5 m/s B．3.5 m/s C．4 m/s D．2 m/s 解析　小球抛出后越过第二台阶，根据平抛运动的特点水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动知h2＝2L＝gt22，x2＝v0t2＞2L，小球抛出后不会越过第三台阶，根据平抛运动的特点水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动知h3＝3L＝gt32，x3＝v0t3≤3L，解得 m/s＜v0≤ m/s，故选B。 答案　B 11．无人机在距离水平地面高度h处，以速度v0水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻力，重力加速度为g。 (1)求包裹释放点到落地点的水平距离x。 (2)求包裹落地时的速度大小v。 (3)以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐标系，写出该包裹运动的轨迹方程。 解析　(1)包裹脱离无人机后做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则h＝gt2，解得t＝，水平方向上做匀速直线运动，所以水平距离为x＝v0t＝v0。 (2)包裹落地时，竖直方向速度为vy＝gt＝g，落地时速度为v＝＝。 (3)包裹做平抛运动，分解位移x＝v0t′，y＝gt′2，包裹的轨迹方程为y＝x2。 答案　(1)v0　(2)　(3)y＝x2 12.滑雪比赛场地如图甲，可简化为如图乙所示的示意图。在比赛的空中阶段可将运动员视为质点，运动员从倾角为α＝30°的斜面顶端O点以v0＝20 m/s的初速度飞出，初速度方向与斜面的夹角为θ＝60°，图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，A为轨迹的最高点，B为轨迹上离斜面最远的点，C为过B点作竖直线与斜面的交点，不计空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。求： (1)运动员从A点运动到B点的时间。 (2)O、C两点间的距离。 解析　(1)A为轨迹的最高点，说明运动员在A点速度方向水平向右，设O到A时间为t1， 由斜抛运动规律，竖直方向上有v0sin (θ－α)＝gt1， 解得t1＝1 s， 运动员从O到B过程，将运动分解为沿斜面向下方向和垂直斜面向上方向，到B点时速度方向平行于斜面向下。 垂直斜面方向，有v1＝v0sin θ，a1＝g cos α，t2＝，解得t2＝2 s， 则运动员从A点运动到B点的时间Δt＝t2－t1＝1 s。 (2)解法一：设运动员落在斜面的D点，由垂直斜面方向运动对称性可得小球从O到B与B到D所用时间相等，平行于斜面方向， xOD＝v2·2t2＋a2(2t2)2， v2＝v0cos θ，a2＝g sin α， 小球在水平方向做匀速直线运动，C为OD中点，则x＝xOD， 代入数据解得x＝40 m。 解法二：小球在水平方向做匀速直线运动，有xOB＝v0cos (θ－α)t2， 由几何关系可得x＝， 解得x＝40 m。 答案　(1)1 s　(2)40 m 学科网（北京）股份有限公司 $$