（期末专项复习）专题05 三角形、平行四边形和梯形（知识梳理+易错梳理+真题培优）-2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本（苏教版）

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7、等边三角形。3 条边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形。等边三角形的3个角相等，每个角都是60°。等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 8、平行四边形。两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形有4条边、4个角，两组对边分别平行且相等。 9、平行四边形的底和高。从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。 10、梯形。只有一组对边平行的四边形叫作梯形。梯形也是四边形，有4 条边、4个角;梯形中一组对边平行，另一组对边不平行。 11、梯形的高。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。 12、等腰梯形。两腰相等的梯形是等腰梯形。 02 易错梳理 1、三角形是由3条线段围成的，而且3条线段必须是首尾相连的。 2、从三角形的一个顶点到对边的线段中，只有垂直线段才是高。 3、三角形有三个顶点，三条边，从任意一个顶点都可以作对边的垂直线段，因此三角形有三条高。 4、三角形任意两边之和一定大于第三边。 5、钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°，直角三角形中两个锐角的度数和等于90°。 6、任意一个三角形的内角和都等于180°。 7、三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 8、三角形按角分类时，每一类三角形中都至少有两个锐角。 9、等腰三角形两腰所夹的角叫顶角。 10、两条边相等的三角形叫等腰三角形，与角的大小无关。在钝角三角形、锐角三角形和直角三角形中，如果有两条边相等，就可以称为等腰三角形。 11、不能说三角形分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形，因为它们分类的标准不相同，所以无法这样分类。 12、平行四边形有无数条高，但过一个顶点向每条对边都只能画一条高。 13、平行四边形的两组对边都必须平行。 14、判断梯形的标准是有且只有一组对边平行的四边形。 15、梯形的高必须是垂直于两底的线段。 03 真题培优 一、填空题 1．下面图形中各有多少个三角形？ （ ）个        （ ）个        （ ）个 【答案】8 5 20 【分析】第一个图形中，单独的三角形有4个，两个三角形组成的三角形有4个，则一共有（4＋4）个三角形；第二个图形中单独的三角形有4个，四个三角形组成的大三角形有1个，则一共有（4＋1）个三角形；第三个图形中，单独的小三角形有4个，两个三角形组成的三角形有3个，三个三角形组成的有2个，四个三角形组成1个大三角形，一个三角形和另一个图形组成的三角形有4个，两个三角形和两个其他图形组成的三角形有3个，三个三角形和三个其他图形组成的三角形有2个，大三角形有1个，一共有（4＋3＋2＋1＋4＋3＋2＋1）个三角形。 【解答】4＋4＝8（个） 4＋1＝5（个） 4＋3＋2＋1＋4＋3＋2＋1＝20（个） 2．两根小棒分别长4厘米、7厘米，第三根小棒的长要小于（ ）厘米且大于3厘米，这三根小棒才能围成一个三角形。 【答案】11 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，已知两条边分别是4厘米和7厘米，据此判断第三条边的范围即可。 【解答】7－4＝3（厘米） 7＋4＝11（厘米） 3厘米＜第三根小棒的长度＜11厘米 两根小棒分别长4厘米、7厘米，第三根小棒的长要小于11厘米且大于3厘米，这三根小棒才能围成一个三角形。 3．一个等腰三角形，若一个底角是50°，则顶角是（ ）°；若顶角是50°，则一个底角是（ ）°。 【答案】80 65 【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等；已知一个底角是50°，则用三角形的内角和连续减去两个底角的度数，即可求出这个等腰三角形的顶角是多少度；已知顶角是50°，则用三角形的内角和减去顶角的度数，再除以2，即可求出这个三角形的一个底角的度数。 【解答】180°－50°－50° ＝130°－50° ＝80° （180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 即一个等腰三角形，若一个底角是50°，则顶角是80°；若顶角是50°，则一个底角是65°。 4．在直角三角形中，如果一个锐角是28°，那么另一个锐角是（ ）°；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是（ ）°。 【答案】62 30 【分析】三角形的内角和为180°。在直角三角形中，直角的度数为90°。180°－90°＝90°，那么另外两个锐角的度数之和为90°。由题意得，直角三角形的一个锐角是28°，那么直接用90°减去28°即可算出另一个锐角的度数；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么这两个锐角的度数之和就是较小的那个锐角的度数的3倍，那么直接用90°除以3即可算出较小的锐角的度数。 【解答】90°－28°＝62° 90°÷（1＋2）＝90°÷3＝30° 在直角三角形中，如果一个锐角是28°，那么另一个锐角是62°；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是30°。 5．一个等腰三角形的一条边长9厘米，另一条边长8厘米。围成这个等腰三角形最少需要（ ）厘米长的绳子，最多需要（ ）厘米长的绳子。 【答案】25 26 【分析】等腰三角形的两条腰相等。由题意得，等腰三角形的一条边长9厘米，另一条边长8厘米。要使围成这个等腰三角形的绳子最短，说明第三条边得最短。第三条边和8厘米长的边一样长时，第三条边最短。三条边的长度分别是9厘米，8厘米和8厘米，可以用三角形三边的关系来判断这个假设是否成立。如果假设成立，然后把这三边的长度全部加起来即可算出围成这个等腰三角形最少需要多少厘米的绳子；要使围成这个等腰三角形的绳子最长，说明第三条边最长。第三条边和9厘米长的边一样长时，第三条边最长。三条边的长度分别是9厘米，9厘米和8厘米，可以用三角形三边的关系来判断这个假设是否成立。如果假设成立，然后把这三边的长度全部加起来即可算出围成这个等腰三角形最长需要多少厘米的绳子。据此解答。 【解答】如果第三条边长8厘米： 8＋8＝16（厘米），16＞9，所以这种假设成立。 8＋8＋9＝16＋9＝25（厘米） 如果第三条边长9厘米： 8＋9＝17（厘米），17＞9，所以这种假设成立。 8＋9＋9＝17＋9＝26（厘米） 故围成这个等腰三角形最少需要25厘米长的绳子，最多需要26厘米长的绳子。 6．一张长方形纸长12厘米，宽4厘米。把它三折（三等分）后展开（如下图），以展开图上的8个交点为顶点，可以画出不同的梯形或平行四边形。画出的最大的梯形的上底与下底的和是（ ）厘米，高是（ ）厘米；画出的最小的平行四边形的底是（ ）厘米，高是（ ）厘米。 【答案】20 4 4 4 【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形。只有一组对边平行的四边形是梯形。由题意得，以展开图上的8个交点为顶点，要画一个最大的梯形，那么画出的梯形如下图：      12÷3＝4（厘米），所以每个小正方形的边长都是4厘米。由图可知，梯形的上底是（4＋4）厘米，下底是12厘米，高是4厘米。 要画一个最小的平行四边形，那么画出的平行四边形如下图： 由图可知，平行四边形的底是4厘米，高是4厘米。 【解答】12÷3＝4（厘米） 梯形上底与下底的和：4＋4＋12＝8＋12＝20（厘米） 一张长方形纸长12厘米，宽4厘米。把它三折（三等分）后展开（如下图），以展开图上的8个交点为顶点，可以画出不同的梯形或平行四边形。画出的最大的梯形的上底与下底的和是20厘米，高是4厘米；画出的最小的平行四边形的底是4厘米，高是4厘米。 7．求下面每个图形中∠1和∠2的度数。      ∠1＝（ ）°    ∠1＝（ ）° ∠2＝（ ）°     ∠2＝（ ）° 【答案】65 60 60 40 【分析】（1）仔细观察图形，做∠3、∠4，根据三角形的内角和是180°，即可知∠4＝180°－55°－90°，∠3＝90°－65°＝25°，求出∠2＝∠3＋∠4，∠1＝180°－∠2－55°，列式计算即可。 （2）如图，做∠3，根据三角形的内角和是180°，∠3＝180°－90°－60°，∠1＝90°－∠3，将下来再结合∠1＋∠2＋80°＝180°，就可推导出∠2的度数。 【解答】根据分析可知： 第一个图形： ∠4＝180°－55°－90°＝125°－90°＝35° ∠3＝90°－65°＝25° ∠2＝∠3＋∠4＝35°＋25°＝60° ∠1＝180°－∠2－55°＝180°－60°－55°＝120°－55°＝65° 第二个图形： ∠3＝180°－90°－60°＝90°－60°＝30° ∠1＝90°－∠3＝60° ∠2＝180°－80°－60°＝100°－60°＝40° 8．按要求在括号里填小棒的序号。 （1）围一个钝角三角形，可以选（ ）这三根小棒。 （2）围一个等腰三角形，可以选（ ）这三根小棒。 （3）围一个等腰梯形，可以选（ ）这四根小棒。 【答案】（1）①③④ （2）①④⑥ （3）①③④⑥ 【分析】（1）根据三角形的性质，两边之和大于第三边，同时一个三角形能否构成钝角三角形，取决于其中一个角是否大于90°，如果有一个角大于90°，那么这个三角形就是钝角三角形，围一个钝角三角形，可以选①③④； （2）要围成一个等腰三角形，则其中两条相等的边长只能为8厘米，那么第三条边应满足：8＋8＞第三边，即第三边小于16厘米，据此选择小棒即可； （3）要围成一个等腰梯形，则其中两条相等的腰长只能为8厘米，再在其他4根小棒里任选两根作为上下底即可。 【解答】（1）如下图： 围一个钝角三角形，可以选①③④这三根小棒。（答案不唯一） （2）围一个等腰三角形，可以选①④⑥这三根小棒。（答案不唯一） （3）围一个等腰梯形，可以选①③④⑥这四根小棒。（答案不唯一） 二、选择题 9．如图所示，在正方形纸上像这样剪出一个三角形，那么的度数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】斜折上去的那条边就是正方形下面那条边，因为是对折，所以得到的三角形AOB是等边三角形；由此可知，∠OBA是60°，它的一半是60°÷2＝30°，那么∠1＝90°－30°＝60° ，据此解答。 【解答】根据分析可知，在正方形纸上像这样剪出一个三角形，那么的度数是60°。 故答案为：B 10．王老师准备将一根木条锯成三段，做一个等腰三角形木框。要求其中两边的长分别是8分米和3分米，要准备（    ）分米长的木条。 A．14 B．11 C．19 D．14或19 【答案】C 【分析】这是一个等腰三角形，所以有两条腰相等，又因为有两条边分别是3厘米和8厘米，所以这三条边有两种情况的可能：一是3、3、8，二是8、8、3，根据三角形任两条边的和大于第三边，据此解答。 【解答】这个等腰三角形的三条边有两种可能： 一是：3、3、8，二是：8、8、3， 因为3＋3＝6，6＜8， 所以这种情况不成立； 因为8＋3＝11，11＞8， 所以这种情况成立，周长是8＋8＋3＝19（分米），所以要准备19分米长的木条。 故答案为：C 11．把一个长方形框架拉成一个平行四边形后，它的（    ）。 A．周长变长 B．周长变短 C．周长没有变化 D．面积没有变化 【答案】C 【分析】根据周长的定义：封闭图形一周边线的和是周长；把一个长方形框架拉成一个平行四边形后，四边形四条边的长度不变，所以周长不变，据此解答即可。 【解答】把一个长方形框架拉成一个平行四边形后，它的周长没有变化。 故答案为：C 12．一个等腰三角形的两条边分别是7厘米与15厘米。这个三角形的周长是（    ）。 A．22 B．29 C．37 D．29或37 【答案】C 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；7＋7＝14＜15，判断出该等腰三角形的腰为15厘米，进而根据三角形的周长计算方法解答即可。 【解答】7＋7＝14；14＜15； 等腰三角形的腰是15厘米。 15＋15＋7 ＝30＋7 ＝37（厘米） 一个等腰三角形的两条边分别是7厘米与15厘米。这个三角形的周长是37厘米。 故答案为：C 【点评】熟练掌握三角形三边的关系以及三角形周长公式的应用。 13．5根小棒的长度分别为3厘米，4厘米，7厘米，8厘米，10厘米。从中任选3根围三角形，一共有（    ）种不同的围法。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此选出三根小棒围成三角形。 【解答】3厘米、7厘米、8厘米的三根小棒可以围成三角形，3厘米、8厘米、10厘米的三根小棒可以围成三角形，4厘米、7厘米、8厘米的三根小棒可以围成三角形，4厘米、7厘米、10厘米的三根小棒可以围成三角形，4厘米、8厘米、10厘米的三根小棒可以围成三角形，7厘米、8厘米、10厘米的三根小棒可以围成三角形，共6种围法。 故答案为：C 【点评】本题考查了三角形的三边关系的应用。 14．用如图所示的两个完全相同的三角尺拼一个图形，不能拼成的图形是（    ）。    A．等腰三角形 B．等边三角形 C．长方形 D．正方形 【答案】D 【分析】这个三角尺上3个角的度数分别是90°、60°、30°，三角尺较短的直角边长度是这个直角三角尺斜边长度的一半。把这样的两个完全相同的三角尺进行拼组，看能拼成哪些图形。 【解答】 A．三角尺的较短的直角边重合在一起，直角顶点和直角顶点重合，60°角的顶点和60°角的顶点重合，可以拼成如图所示的等腰三角形。   B．三角尺的较长的直角边重合在一起，直角顶点和直角顶点重合，30°角的顶点和30°角的顶点重合，可以拼成如图所示的等边三角形   C．三角尺的斜边重合在一起，30°角的顶点和60°角的顶点重合，可以拼成如图所示的长方形。   D．正方形三条边都相等，这个三角尺的两条直角边不相等，无论怎么拼组，都不能拼成正方形。 故答案为：D 【点评】解答此题的关键在于要从不同的拼组方法考虑，具体操作一下会更简捷。 15．如图所示的三角形都是等边三角形。两只蚂蚁都从点A去点C。甲蚂蚁从点A直走到点B，然后再直走到点C；乙蚂蚁按照图中箭头所示的路线。下面说法正确的是（    ）。 A．甲蚂蚁走的路长 B．乙蚂蚁走的路长 C．两只蚂蚁走的路一样长 D．无法比较谁走的路长 【答案】C 【分析】等边三角形三条边都相等，所以AE＝AD＝DE＝3厘米，EG＝EF＝FG＝2厘米，GC＝GH＝HC＝1厘米，AB＝AC＝BC＝3＋2＋1＝5＋1＝6（厘米）。甲蚂蚁走的路程是（6＋6）厘米，乙蚂蚁走的路程是（3×2＋2×2＋1×2）厘米，分别算出两只蚂蚁所走的路程，再进行选择。 【解答】6＋6＝12（厘米） 3×2＋2×2＋1×2 ＝6＋4＋2 ＝10＋2 ＝12（厘米） 两只蚂蚁走的路一样长。 故答案为：C 【点评】熟记等边三角形的特征是解题关键。 16．两个完全一样的梯形，上底是4厘米，下底是5厘米。两腰分别长3厘米和4厘米，若把它们拼成一个平行四边形，则这个平行四边形的周长可能是（    ）厘米。 A．24 B．22 C．30 D．23 【答案】A 【分析】根据题意可得，这个平行四边形的两条邻边分别长：5＋4＝9（厘米）、3厘米，或5＋4＝9（厘米）、4厘米。然后根据这个平行四边形的周长＝两条邻边的长度和×2解答即可。 【解答】拼成的平行四边形的两条邻边分别长： 5＋4＝9（厘米）、3厘米，或5＋4＝9（厘米）、4厘米。 所以周长可能是： （9＋3）×2 ＝12×2 ＝24（厘米） （9＋4）×2 ＝13×2 ＝26（厘米） 这个平行四边形的周长可能是24厘米或26厘米。 故答案为：A 【点评】解答本题关键是确定这个平行四边形的两条邻边的长度。 三、计算题 17．求出每个三角形中未知角的度数。 【答案】∠1＝35°；∠2＝122°；∠3＝60° 【分析】根据三角形内角和定理：三角形内角和是180°，用180°减去已知的两个角的度数，求另外一个角的度数即可。 【解答】∠1＝180°－90°－55° ＝90°－55° ＝35° ∠2＝180°－30°－28° ＝150°－28° ＝122° ∠3＝180°－50°－70° ＝130°－70° ＝60° 四、操作题 18．在下面的方格纸上画一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形，并分别画出它们的一条高。 【答案】见详解 【分析】锐角三角形：三个角都是锐角的三角形，叫做锐角三角形； 直角三角形：有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形； 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形，叫做钝角三角形； 作高：找到三角形的一条底边，从底边所对的顶角作一条垂线垂直于底边，并画上垂足符号，这条垂线则为三角形的高； 【解答】根据分析可得：作图如下 五、解答题 19．幸福小区花圃里有一块等腰三角形的警示牌，其中两条边的长分别是25厘米和50厘米。用铝合金条给这块警示牌包上边，至少需要多少厘米的铝合金条？ 【答案】125厘米 【分析】等腰三角形的两腰相等，所以，有两条边长度相等，根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；先根据三边关系求出第三条边的长度，再把三条边的长度相加，即可求出至少需要多少厘米的铝合金条。 【解答】25＋25＝50，不符合三角形的三边关系； 25＋50＞50，符合三角形的三边关系。 25＋50＋50 ＝75＋50 ＝125（厘米） 答：至少需要125厘米的铝合金条。 20．小明用一根长42厘米的铁丝围成一个等腰三角形，它的底比一条腰长6厘米。这个等腰三角形的底是多少厘米？（先画线段图，再解答） 【答案】18厘米 【分析】由题意可知：把腰长看作1份，则底边长度为1份＋6厘米，三角形的周长＝3份＋6厘米，那么用三角形的周长减去6厘米，差相当于三条腰的长度，然后除以3，求出一条腰的长度，再加上6厘米，即可求出底边的长度，据此解答。 【解答】 （42－6）÷3 ＝36÷3 ＝12（厘米） 12＋6＝18（厘米） 答：这个等腰三角形的底是18厘米。 21．用一根20分米的彩带，剪成三段后组成一个三角形，一共有几种不同的剪法？可以组成的三角形的三边长分别是多少分米？（长度为整分米数，写出一组即可） 【答案】8种；2分米、9分米、9分米； 【分析】根据题意可知，三角形三边的长度之和是20分米，再根据三角形三边的关系进行解答。三角形任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此解答。 【解答】9＋2＞9，9－2＜9，因此可以组成的三角形的三边长分别是2分米、9分米、9分米； 8＋3＞9，8－3＜9，因此可以组成的三角形的三边长分别是3分米、8分米、9分米； 8＋4＞8，8－4＜8，因此可以组成的三角形的三边长分别是4分米、8分米、8分米； 7＋4＞9，7－4＜9，因此可以组成的三角形的三边长分别是4分米、7分米、9分米； 6＋5＞9，6－5＜9，因此可以组成的三角形的三边长分别是5分米、6分米、9分米； 7＋5＞8，7－5＜8，因此可以组成的三角形的三边长分别是5分米、7分米、8分米； 6＋6＞8，8－6＜6，因此可以组成的三角形的三边长分别是6分米、6分米、8分米； 6＋7＞7，7－6＜7，因此可以组成的三角形的三边长分别是6分米、7分米、7分米； 答：一共有8种不同的剪法；可以组成的三角形的三边长分别是2分米、9分米、9分米，或3分米、8分米、9分米，或4分米、8分米、8分米，或4分米、7分米、9分米，或5分米、6分米、9分米，或5分米、7分米、8分米，或6分米、6分米、8分米，或6分米、7分米、7分米。 22．李师傅用一根固定长度的铁丝去给同样大小的三角形玻璃片镶边，如下图。围1个三角形玻璃片一圈，铁丝还多出19厘米；围两个三角形玻璃片1圈（两个三角形重合的边只围一次），铁丝还多出11厘米。这根铁丝的长度是多少厘米？（三角形三条边长度相等） 【答案】31厘米 【分析】观察上图可知，围2个三角形玻璃片一圈比围1个三角形玻璃片一圈多2个三角形的边长，多用19－11＝8（厘米）长的铁丝，8除以2即等于三角形的边长，因为三角形三边相等，所以周长等于三边之和，用一个三角形的周长加上19厘米即等于铁丝的长度。 【解答】（19－11）÷2×3＋19 ＝8÷2×3＋19 ＝4×3＋19 ＝12＋19 ＝31（厘米） 答：这根铁丝的长度是31厘米。 23．下面两个三角形都被损坏了一个角，请你算一算被损坏的角是多少度。原来这两个三角形各是什么三角形？ 【答案】110°，钝角三角形；60°，锐角三角形或等边三角形 【分析】三角形内角和为180°，用180°减去两个已知角的度数即可求出被损坏的角是多少度；有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，据此解答即可。 【解答】180°－30°－40°＝150°－40°＝110° 110°＞90°，是钝角三角形。 180°－60°－60°＝120°－60°＝60° 60°＜90°，60°＜90°，60°＜90°，是锐角三角形或等边三角形。 答：左边三角形被损坏的角是110°，是钝角三角形；右边三角形被损坏的角是60°，是锐角三角形或等边三角形。 24．如图，在一个三角形纸板中，∠C＝90°，小宇将这个纸板沿线段DE剪去一个角后变成四边形ABED，那么图中∠1＋∠2是多少度？ 【答案】270° 【分析】根据三角形内角和为180°，在三角形ABC中，由于∠C＝90°，所以∠A＋∠B＝180°－90°＝90°；在四边形ABDE中，根据四边形内角和为360°，∠1＋∠A＋∠B＋∠2＝360°，将∠A＋∠B＝90°代入到∠1＋∠A＋∠B＋∠2＝360°中，得到∠1＋∠2＝360°－90°＝270°；据此解答即可。 【解答】因为三角形内角和为180°，∠C＝90°， 所以∠A＋∠B＝180°－90°＝90°， 因为∠1＋∠A＋∠B＋∠2＝360°， 所以∠1＋∠2＝360°－90°＝270°。 答：图中∠1＋∠2是270°。 25．一个梯形的上底和下底相差12厘米，若将上底扩大到原来的3倍，这个梯形就变成一个平行四边形，这个梯形的上底是多少厘米？下底是多少厘米？ 【答案】上底6厘米；下底18厘米 【分析】平行四边形对边平行且相等，若将梯形上底扩大到原来的3倍，这个梯形就变成一个平行四边形，说明梯形的下底是上底的3倍。差÷倍数差＝小数，上底和下底相差的12厘米除以（3－1）倍，可以算出上底是几厘米，上底乘3即可算出下底是几厘米。 【解答】12÷（3－1） ＝12÷2 ＝6（厘米） 6×3＝18（厘米） 答：这个梯形的上底是6厘米，下底是18厘米。 26．一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长6分米，就成了一个正方形，这个梯形的上底和高各是多少分米？ 【答案】上底3分米；高9分米 【分析】下底是上底的3倍，如果将上底延长6分米，就成了一个正方形，说明延长部分相当于上底的两倍，用6分米除以2即可求出上底；上底乘3求出下底；延长后是正方形则下底和高相等。 【解答】6÷2＝3（分米） 3×3＝9（分米） 答：这个梯形的上底3分米，高是9分米。 【点评】明确延长部分相当于上底的两倍，下底和高相等是解决本题关键。 27．叮叮和咚咚进行比赛，谁先从如图的一个顶点跑到它的对边谁就获胜。这个比赛公平吗？（    ）（填公平或不公平）请画出他们奔跑的最短路线。 【答案】不公平；画图见详解 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离，由此可知，叮叮所跑的最短路线为三角形对应底边的高；咚咚所跑的最短路线为平行四边形对应底边的高。 三角形的高：把三角板的一直角边靠紧三角形的底边，沿三角形的底边滑动三角板，当另一直角边经过三角形底边相对的顶点时，沿这条直角边画的顶点到底边的垂直线段就是该三角形的高，高用虚线表示，依此画图并标上垂直符号即可。 平行四边形的高：在平行四边形底边的对边上任意找一点，过这个点向底边作垂线，这个点到垂足之间的线段就是对应底边上的高，高用虚线表示，并画上垂直符号。依此即可解答。 【解答】这个比赛不公平，画图如下： 28．如图，在三角形中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝120°，∠6是多少度？ 【答案】60度 【分析】根据“三角形的内角和是180°”可知，∠2＋∠3＝180°－120°＝60°，又：∠1＝∠2，∠3＝∠4，即：在三角形ABC中，∠ABC＋∠ACB＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝2×（∠2＋∠3）＝60°×2＝120°，所以∠6＝180°－120° 【解答】∠2＋∠3 ＝180°－120° ＝60° ∠1＝∠2 ∠3＝∠4 ∠1＋∠2＋∠3＋∠4 ＝2×（∠2＋∠3） ＝2×60° ＝120° ∠6＝180°－120° ＝60° 答：∠6是120度。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年四年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年四年级下册数学小马虎错题本专题05 三角形、平行四边形和梯形（知识梳理+易错梳理+真题培优） 01 知识梳理 1、三角形的特点。三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3条边、3个角、3个顶点。 2、三角形的底和高。从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。 3、三角形三条边之间的关系。三角形任意两边长度的和大于第三边。 4、三角形的内角和。三角形的内角和等于180°。 5、三角形的分类。 （1）根据三角形角的特点，可将三角形分为锐角三角形（3个角都是锐角）、直角三角形（有1个角是直角）、钝角三角形（有1个角是钝角）。 （2）根据三角形边的特点，可将三角形分为不等边三角形和等腰三角形。 6、等腰三角形。两条边相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形的底角相等。等腰三角形是轴对称图形。 7、等边三角形。3 条边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形。等边三角形的3个角相等，每个角都是60°。等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 8、平行四边形。两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形有4条边、4个角，两组对边分别平行且相等。 9、平行四边形的底和高。从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。 10、梯形。只有一组对边平行的四边形叫作梯形。梯形也是四边形，有4 条边、4个角;梯形中一组对边平行，另一组对边不平行。 11、梯形的高。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。 12、等腰梯形。两腰相等的梯形是等腰梯形。 02 易错梳理 1、三角形是由3条线段围成的，而且3条线段必须是首尾相连的。 2、从三角形的一个顶点到对边的线段中，只有垂直线段才是高。 3、三角形有三个顶点，三条边，从任意一个顶点都可以作对边的垂直线段，因此三角形有三条高。 4、三角形任意两边之和一定大于第三边。 5、钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°，直角三角形中两个锐角的度数和等于90°。 6、任意一个三角形的内角和都等于180°。 7、三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。 8、三角形按角分类时，每一类三角形中都至少有两个锐角。 9、等腰三角形两腰所夹的角叫顶角。 10、两条边相等的三角形叫等腰三角形，与角的大小无关。在钝角三角形、锐角三角形和直角三角形中，如果有两条边相等，就可以称为等腰三角形。 11、不能说三角形分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形，因为它们分类的标准不相同，所以无法这样分类。 12、平行四边形有无数条高，但过一个顶点向每条对边都只能画一条高。 13、平行四边形的两组对边都必须平行。 14、判断梯形的标准是有且只有一组对边平行的四边形。 15、梯形的高必须是垂直于两底的线段。 03 真题培优 一、填空题 1．下面图形中各有多少个三角形？ （ ）个       （ ）个         （ ）个 2．两根小棒分别长4厘米、7厘米，第三根小棒的长要小于（ ）厘米且大于3厘米，这三根小棒才能围成一个三角形。 3．一个等腰三角形，若一个底角是50°，则顶角是（ ）°；若顶角是50°，则一个底角是（ ）°。 4．在直角三角形中，如果一个锐角是28°，那么另一个锐角是（ ）°；如果一个锐角的度数是另一个锐角的2倍，那么较小的锐角是（ ）°。 5．一个等腰三角形的一条边长9厘米，另一条边长8厘米。围成这个等腰三角形最少需要（ ）厘米长的绳子，最多需要（ ）厘米长的绳子。 6．一张长方形纸长12厘米，宽4厘米。把它三折（三等分）后展开（如下图），以展开图上的8个交点为顶点，可以画出不同的梯形或平行四边形。画出的最大的梯形的上底与下底的和是（ ）厘米，高是（ ）厘米；画出的最小的平行四边形的底是（ ）厘米，高是（ ）厘米。 7．求下面每个图形中∠1和∠2的度数。      ∠1＝（ ）°    ∠1＝（ ）° ∠2＝（ ）°     ∠2＝（ ）° 8．按要求在括号里填小棒的序号。 （1）围一个钝角三角形，可以选（ ）这三根小棒。 （2）围一个等腰三角形，可以选（ ）这三根小棒。 （3）围一个等腰梯形，可以选（ ）这四根小棒。 二、选择题 9．如图所示，在正方形纸上像这样剪出一个三角形，那么的度数是（    ）。 A． B． C． D． 10．王老师准备将一根木条锯成三段，做一个等腰三角形木框。要求其中两边的长分别是8分米和3分米，要准备（    ）分米长的木条。 A．14 B．11 C．19 D．14或19 11．把一个长方形框架拉成一个平行四边形后，它的（    ）。 A．周长变长 B．周长变短 C．周长没有变化 D．面积没有变化 12．一个等腰三角形的两条边分别是7厘米与15厘米。这个三角形的周长是（    ）。 A．22 B．29 C．37 D．29或37 13．5根小棒的长度分别为3厘米，4厘米，7厘米，8厘米，10厘米。从中任选3根围三角形，一共有（    ）种不同的围法。 A．4 B．5 C．6 D．7 14．用如图所示的两个完全相同的三角尺拼一个图形，不能拼成的图形是（    ）。    A．等腰三角形 B．等边三角形 C．长方形 D．正方形 15．如图所示的三角形都是等边三角形。两只蚂蚁都从点A去点C。甲蚂蚁从点A直走到点B，然后再直走到点C；乙蚂蚁按照图中箭头所示的路线。下面说法正确的是（    ）。 A．甲蚂蚁走的路长 B．乙蚂蚁走的路长 C．两只蚂蚁走的路一样长 D．无法比较谁走的路长 16．两个完全一样的梯形，上底是4厘米，下底是5厘米。两腰分别长3厘米和4厘米，若把它们拼成一个平行四边形，则这个平行四边形的周长可能是（    ）厘米。 A．24 B．22 C．30 D．23 三、计算题 17．求出每个三角形中未知角的度数。 四、操作题 18．在下面的方格纸上画一个锐角三角形、一个直角三角形和一个钝角三角形，并分别画出它们的一条高。 五、解答题 19．幸福小区花圃里有一块等腰三角形的警示牌，其中两条边的长分别是25厘米和50厘米。用铝合金条给这块警示牌包上边，至少需要多少厘米的铝合金条？ 20．小明用一根长42厘米的铁丝围成一个等腰三角形，它的底比一条腰长6厘米。这个等腰三角形的底是多少厘米？（先画线段图，再解答） 21．用一根20分米的彩带，剪成三段后组成一个三角形，一共有几种不同的剪法？可以组成的三角形的三边长分别是多少分米？（长度为整分米数，写出一组即可） 22．李师傅用一根固定长度的铁丝去给同样大小的三角形玻璃片镶边，如下图。围1个三角形玻璃片一圈，铁丝还多出19厘米；围两个三角形玻璃片1圈（两个三角形重合的边只围一次），铁丝还多出11厘米。这根铁丝的长度是多少厘米？（三角形三条边长度相等） 23．下面两个三角形都被损坏了一个角，请你算一算被损坏的角是多少度。原来这两个三角形各是什么三角形？ 24．如图，在一个三角形纸板中，∠C＝90°，小宇将这个纸板沿线段DE剪去一个角后变成四边形ABED，那么图中∠1＋∠2是多少度？ 25．一个梯形的上底和下底相差12厘米，若将上底扩大到原来的3倍，这个梯形就变成一个平行四边形，这个梯形的上底是多少厘米？下底是多少厘米？ 26．一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长6分米，就成了一个正方形，这个梯形的上底和高各是多少分米？ 27．叮叮和咚咚进行比赛，谁先从如图的一个顶点跑到它的对边谁就获胜。这个比赛公平吗？（    ）（填公平或不公平）请画出他们奔跑的最短路线。 28．如图，在三角形中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝120°，∠6是多少度？ 学科网（北京）股份有限公司 $$