精品解析：2025年河南省商丘市睢县多乡镇中考二模数学试题

2025年河南省中招极品仿真数学试卷（B） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 数轴上，在原点的左侧，且距原点3个单位长度的点表示的数是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点和数之间的对应关系．数轴上原点左边的数为负数，原点右边的数为正数；到原点的距离表示这个数的绝对值． 【详解】解：在数轴上，离原点3个单位长度的点表示的数是，在原点左侧的为负数，所以是； 故选：A． 2. 端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（ ） A. 长方体 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体，熟练掌握各基本几何体的特征是解题的关键． 根据三棱锥的形态特征进行判断即可． 【详解】解：小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，这个粽子可以近似看作三棱锥， 故选：D． 3. 如图，是的外接圆，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用． 由是的外接圆，，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数． 【详解】解：∵是的外接圆，， ， 故选：C． 4. 河南是我国的“粮仓”．为了解河南玉米的产量，农科院从甲乙两县各随机抽查了10公顷，并将每公顷玉米的产量绘制成如下两个散点图，则每公顷玉米产量较稳定的是（ ） A. 甲县 B. 乙县 C. 一样 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义．根据方差的定义，方差越小数据越稳定． 【详解】解：根据图形可知，乙种甜玉米产量比甲的产量波动小，即方差小，所以产量较为稳定的是乙． 故选：B． 5. 如图，一束平行光线照射平面镜后发生反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，光的反射原理，反射角等于入射角，解答即可． 本题考查了平行线的性质，光的反射原理，熟练掌握性质和原理是解题的关键． 【详解】解：根据光的反射原理，反射角等于入射角，得， ， 根据平行线的性质，得， 故， 故选：C． 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示如下：    ． 故选：A． 7. 如图，在平行四边形中，点是的中点，于点，于点，、分别交于点、．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据，可得，在中，，由此可得，再根据，可得，即可求得，由，即可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用根的判别式，计算判定即可. 本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握判别式的应用是解题的关键. 【详解】解：A. ，且，方程有两个不相等的实数根，本选项不符合题意； B. 且，方程有两个不相等的实数根，本选项不符合题意； C. 且，方程没有的实数根，本选项不符合题意； D. 且，方程有两个相等的实数根，本选项符合题意； 故选：D. 9. 如图，是直径，是的中点，过点作的切线交的延长线于点．若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证明，可得，再进一步可得；连接，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【详解】解：连接， ， ， ∵是的中点， ， ， ， ， 过点作的切线交的延长线于点． ∴， ， 连接交于点， ∵是的直径， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质、扇形的面积公式，矩形的判定和性质等知识点，熟练地掌握切线的性质是解决本题的关键． 10. 光从真空射入介质发生折射现象时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．材料的折射率越高，使入射光发生折射的能力越强．如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为，折射角为，且，，则此玻璃的折射率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角函数相关计算，根据，求得，进而将代入，进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴，， ∵ ∴ 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使分式有意义的的值________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解答本题的关键． 根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件得， ∴可以为1， 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 水滴石穿是一个成语，最早出自东汉·班固《汉书·枚乘传》．该成语的意思是指水滴不断地滴，可以滴穿石头，比喻坚持不懈，集细微的力量也能成就大的功劳．小明同学观察记录后发现，水滴不断地滴在一块石头上，1年后形成了一个深为的小洞，用科学记数法可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 【详解】解：∵， 故答案为：． 13. 年春节电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐》《唐探》与《射雕英雄传：侠之大者》等新片上映．这些影片既有票房与口碑双丰收的表现，也有东方美学的创新表达和技术工业的突破性成就，为中国故事的全球传播写下浓墨重彩的一笔．冉冉和莹莹分别从上述四部影片中随机选择一部观看，则两人选择的影片不同的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列表法求概率．熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，由表可知共有种等可能的情况出现，其中两人选择的影片不同的情况有种，所以两人选择的影片不同的概率为． 【详解】解：设《哪吒之魔童闹海》用表示，《封神第二部：战火西岐》用表示，《唐探》用表示，《射雕英雄传：侠之大者》用表示， 列表如下， A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 由表可知共有种等可能的情况出现，其中两人选择的影片不同的情况有种， 两人选择的影片不同的概率为． 故答案为：． 14. 如图，为的高，，，．为求出的值，小聪把、分别沿、翻折后得，．延长与的延长线交于点，易得四边形为正方形，从而得出的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理等等，由折叠的性质可得 ，，，这可证明，进而可证明矩形是正方形，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵为的高， ∴ 由折叠的性质可得 ，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 15. 三国时期吴国的数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时，以弦为边长得到的正方形是由四个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，称为“赵爽弦图”．弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，，将绕点逆时针旋转，点的对应点为点，则的最小值为________，最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，由题意可得，点在点为圆心，为半径的圆上，当点为弧与的交点时，可知此时的值最小，当点为弧与的延长线的交点时，可知此时的值最大，分别画出图形，利用正方形的性质解答即可求解，由题意得出点的运动轨迹是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，点在点为圆心，为半径的圆上， 当点在线段上时，的值最小，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵和是两个全等的直角三角形，四边形是正方形 ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为； 当点在的延长线上时，的值最大，如图， 此时 即的最大值为， 故答案为：，． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的加减计算，完全平方公式等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算零指数幂、负整数指数幂，特殊角的三角函数，化简二次根式，再进行加减计算； （2）先利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并，最后代入求值即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式， ， 当，时， 原式． 17. 近年来，西峡县坚持“生态经济化、经济生态化”的发展理念，大力发展以猕猴桃为主的生态高效农业，走出了一条生态环境持续改善与经济持续增长良性互动的县域经济科学发展新路子．为了解“海沃德”和“徐香”两种猕猴桃的品质，质检员从两个品种收获的猕猴桃中各随机选取200个，并测量每个猕猴桃的长度（单位：）作为样本数据．整理样本数据，并绘制样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： （1）求“海沃德”样本数据频数直方图中的值． （2）观察“徐香”样本数据频数直方图，其样本数据的中位数会落在________（填正确结论的选项）． A．直径这一组 B．直径这一组 C．直径这一组 D．直径这一组 E．直径这一组 （3）质检员从平均长度、平均甜度两个方面进行了打分，其数值如下表所示．规定“综合得分”为平均长度+平均甜度，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，试估计哪个品质更优． 品种 平均长度 平均甜度 “海沃德” “徐香” 9 【答案】（1）40 （2）C （3）“海沃德”的品质更优，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和中位数，加权平均数的计算，理解题意义求解是解题关键． （1）用总数减去各组数据，求解即可； （2）结合条形统计图求中位数即可； （3）分别求出两种猕猴桃的加权平均数，比较即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 ∵， ∴样本数据的中位数会落在这一组， 故选：C； 【小问3详解】 “海沃德”的综合得分：（分）； “徐香”的综合得分：（分）. ∵， ∴“海沃德”的品质更优． 18. 如图，为了在余料上截出一个较大的菱形，先作的平分线交边于点，再过点作交于点． （1）请你用无刻度的直尺和圆规过点作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，求证四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，菱形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）作即可，则； （2）先根据两组对边分别平行证明为平行四边形，再根据平行线加角平分线证明，即可证明为菱形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所作： 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形为平行四边形. ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴ ∴. ∴平行四边形是菱形． 19. 如图，把直角三角板放在平面直角坐标系中，直角顶点在坐标原点处，，点在反比例函数上．轴，，且点在反比例函数上． （1）求与的值． （2）在反比例函数和反比例函数图象上，是否存在点，（不与，重合）使得？若存在，请直接写出所在直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，，使得，所在的直线解析式为． 【解析】 【分析】（1）如图，在中，，得出．设交轴于点，结合轴，得出轴于点．在中，根据．，得出，．即可得点．把代入中，即可求得．在中，，求出．得出点，把点代入中，即可得． （2）作点，使得点和点关于对称，作点，使得点和点关于对称，轴对称得出，，，，，即可得，．过点作轴于点，证出，得出，即可得，满足在上；同理可得，再根据待定系数法求出所在直线的解析式． 【小问1详解】 解：如图，在直角三角板中，， ∴． 设交轴于点， ∵轴， ∴轴于点． 在中，∵， ∴． ∵， ∴，． ∴点． 把代入中，得． 在中，，即， ∴． ∴点， 把点代入中，得． 【小问2详解】 解：如图，作点，使得点和点关于对称，作点，使得点和点关于对称， ∴，，，， ∴，． 过点作轴于点， 则， ∴， ∴， ∴，满足在上； 同理可得， 设所在直线的解析式为． 分别代入和，得， 解得， ∴所在直线的解析式为． 【点睛】本题是反比例函数几何综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数解析式求解，解直角三角形，一次函数解析式求解，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 20. 2025年是红旗渠通水60周年，这条“人工天河”是39万河南林县农民用双手砸出的“世界第八大奇迹”，更是一座镌刻着“自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献”的精神丰碑．红旗渠是完全依靠重力作用实现的自流灌溉水利工程，全长1500公里，总干渠必须确保8公里渠道只能有1米落差才能顺利通过分水闸，因此精准测量尤为重要．智慧的河南林县人，创造了盆面测量法，又称“水鸭子”测量法．简单地说，就是在一个洗脸盆中盛上半盆水，再在盆里倒放上一只板凳，在木凳两端连接细线，与对面持木棍的人相互配合，通过木棍两端的点和要测定的点共三个点连成一条线，来找到水平面． 如图，小聪同学在处放一“水鸭子”，测得点、标杆上的点、大树底部点都在同一水平线上．而小聪视线从点处向上看时，发现点、标杆上的点、大树顶端点恰在同一直线上．接着，小聪往后退3米到点处，利用“水鸭子”使点、、共线，此时发现点、标杆上的点、大树顶端点也恰在同一直线上．测量得到米，米，米．你能据此算出大树的高度吗？（大树和标杆均与水平面垂直） 【答案】大树的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先证明，，再利用相似三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】解：∵大树和标杆均与水平面垂直， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴，即， 把整理， 得①， 把整理， 得②， 联立， 解得， 答：大树的高度为米． 21. 为了解决初中生画图慢和画图不准的问题，杨老师设计了初中专用套尺，申请了国家专利并投入生产使用．前年生产成本为15万元，今年生产成本达到21.6万元． （1）如果平均每年成本的增长率相同，求这个增长率． （2）投入市场后，每套定价为30元，同时推出两种销售方式： ①每套均按定价的九折销售； ②购买不超过100套时按原价销售，超出100套的部分打八折销售． 某文具店计划购进一批这种初中专用套尺，请你帮文具店分析一下应该选择何种方式购买更优惠． 【答案】（1） （2）该文具店购进这批初中专用套尺数量小于200套时，选第①种方式更优惠；等于200套时，选第①②种方式都可以；大于200套时，选第②种方式更优惠． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用一次函数和不等式解决实际问题，找准等量关系，正确的列出一次函数和不等式是解题的关键． （1）依题意，设每年增长率为，根据前年成本为15万元，今年成本达到了万，列式，再解出的值，即可作答． （2）设该文具店购进这批初中专用套尺的数量为套，分别求出方案①花费钱数；方案②花费钱数，比较不同的求值范围，比较销售的总价格大小，即可得出结论. 【小问1详解】 解：设每年增长率为，由题意可得： ，即， 解得，（舍去）． 答：每年生产成本的增长率为． 【小问2详解】 设该文具店购进这批初中专用套尺的数量为套， 则方案①花费钱数，即； 方案②花费钱数分两种情况， 当时，； 当时，，即， 当时，，选第①种方式更优惠； 当时，若，解得， ∴当时，选第①②两种方式都可以． 若，解得，选第②种方式更优惠； 若，解得，选第①种方式更优惠． 答：该文具店购进这批初中专用套尺的数量小于200套时，选第①种方式更优惠；等于200套时，选第①②种方式都可以；大于200套时，选第②种方式更优惠． 22. 隧道的开通，大大缩短了行车距离，节约了土地资源．截至2025年初，我国的隧道超45000座，这些隧道首尾相连的总长度足以绕地球一圈，展示了我国在隧道建设方面无与伦比的技术实力和恢弘的规模，其中郑万高铁上的香树湾隧道入口处初步设计为抛物线的形状，洞口底部宽，洞顶最高处高度为．如图所示，以洞口底部为轴，过洞口顶部的竖直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式． （2）在实地勘探后，因现场施工有难度，有人提议将隧道洞口在原计划位置处向左平移，再向下平移，仍保持原抛物线形状不变，洞底仍在轴上． ①请先画出平移后抛物线的对称轴与顶点，再描出两个格点，画出轴上方抛物线的图象，并求平移后的抛物线解析式； ②我国铁轨标准宽度为，双向铁轨之间安全距离不得少于，郑万高铁设计为双向轨道，通车后车型为型动车组，车高约为，则平移后的隧道是否符合安全标准？ 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）①平移后的抛物线的解析式为；②平移后的隧道符合安全标准； 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）由题意可得抛物线的顶点为，设抛物线解析式为，把代入即可； （2）①先画出平移后抛物线的对称轴与顶点，再描出两个格点和，再进一步求解解析式即可；②把代入中，可得，，进一步求解，再比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵洞顶最高处高度为， ∴抛物线的顶点为． 设抛物线解析式为， ∵洞口底部宽， ∴经过点， 即，解得． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①如图所示： 对称轴为直线，顶点坐标为，描出两个格点和， 画出平移后的抛物线解析式． ∵抛物线的顶点为，且抛物线形状不变， 因此平移后的抛物线的解析式为； ②把代入中，得， 解得：，， 则， ∵米， ∴平移后的隧道符合安全标准． 23. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究． 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”． （1）操作判断 如图1，四边形是“损矩形”，，若，则________． （2）性质探究 在研究图1的“损矩形”时，小明发现：若，则．小明的发现是否正确？请说明理由． （3）拓展应用 如图2，“损矩形”中，，，，连接，当是等腰三角形时，请直接写出“损矩形”的面积． 【答案】（1） （2）正确 （3）或或． 【解析】 【分析】（1）根据四边形内角和等于即可求解； （2）利用直角三角形全等的判定，证明，即可得出结论； （3）当是等腰三角形时，有三种情况，构造直角三角形，利用勾股定理分别求出，，再由求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：结论：小明的发现正确， 证明：连接，如图1， ∵， 在与中，，， ∴， ∴， ∴小明的发现正确． 【小问3详解】 解：连接，在“损矩形”中，，，， ∴， 分三种情况：①如图1，当时， 同理（2），， ∴． ②如图2，当时，过点作于点，交于点，得， ∵，， ∴， ∴ ∴，， 在中，， ∴ 在中，， 在中，， ∴． ③如图3，当时，过点作于点，交于点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为的中位线， 设的长为，则，连接，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴． 综上所述：“损矩形”的面积为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省中招极品仿真数学试卷（B） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 数轴上，在原点左侧，且距原点3个单位长度的点表示的数是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（ ） A. 长方体 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 3. 如图，是的外接圆，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 河南是我国的“粮仓”．为了解河南玉米的产量，农科院从甲乙两县各随机抽查了10公顷，并将每公顷玉米的产量绘制成如下两个散点图，则每公顷玉米产量较稳定的是（ ） A. 甲县 B. 乙县 C. 一样 D. 无法确定 5. 如图，一束平行光线照射平面镜后发生反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，点是的中点，于点，于点，、分别交于点、．若，则为（ ） A. B. C. D. 8. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，是的中点，过点作的切线交的延长线于点．若，，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 光从真空射入介质发生折射现象时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．材料的折射率越高，使入射光发生折射的能力越强．如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为，折射角为，且，，则此玻璃的折射率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个使分式有意义的的值________． 12. 水滴石穿是一个成语，最早出自东汉·班固《汉书·枚乘传》．该成语的意思是指水滴不断地滴，可以滴穿石头，比喻坚持不懈，集细微的力量也能成就大的功劳．小明同学观察记录后发现，水滴不断地滴在一块石头上，1年后形成了一个深为的小洞，用科学记数法可表示为________． 13. 年春节电影《哪吒之魔童闹海》《封神第二部：战火西岐》《唐探》与《射雕英雄传：侠之大者》等新片上映．这些影片既有票房与口碑双丰收的表现，也有东方美学的创新表达和技术工业的突破性成就，为中国故事的全球传播写下浓墨重彩的一笔．冉冉和莹莹分别从上述四部影片中随机选择一部观看，则两人选择的影片不同的概率为________． 14. 如图，为高，，，．为求出的值，小聪把、分别沿、翻折后得，．延长与的延长线交于点，易得四边形为正方形，从而得出的长为________． 15. 三国时期吴国的数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时，以弦为边长得到的正方形是由四个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，称为“赵爽弦图”．弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”．如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，，将绕点逆时针旋转，点的对应点为点，则的最小值为________，最大值为________． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 近年来，西峡县坚持“生态经济化、经济生态化”的发展理念，大力发展以猕猴桃为主的生态高效农业，走出了一条生态环境持续改善与经济持续增长良性互动的县域经济科学发展新路子．为了解“海沃德”和“徐香”两种猕猴桃的品质，质检员从两个品种收获的猕猴桃中各随机选取200个，并测量每个猕猴桃的长度（单位：）作为样本数据．整理样本数据，并绘制样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： （1）求“海沃德”样本数据频数直方图中的值． （2）观察“徐香”样本数据频数直方图，其样本数据的中位数会落在________（填正确结论的选项）． A．直径这一组 B．直径这一组 C．直径这一组 D．直径这一组 E．直径这一组 （3）质检员从平均长度、平均甜度两个方面进行了打分，其数值如下表所示．规定“综合得分”为平均长度+平均甜度，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，试估计哪个品质更优． 品种 平均长度 平均甜度 “海沃德” “徐香” 9 18. 如图，为了在余料上截出一个较大的菱形，先作的平分线交边于点，再过点作交于点． （1）请你用无刻度的直尺和圆规过点作交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，求证四边形是菱形． 19. 如图，把直角三角板放在平面直角坐标系中，直角顶点在坐标原点处，，点在反比例函数上．轴，，且点在反比例函数上． （1）求与的值． （2）在反比例函数和反比例函数图象上，是否存在点，（不与，重合）使得？若存在，请直接写出所在直线的解析式；若不存在，请说明理由． 20. 2025年是红旗渠通水60周年，这条“人工天河”是39万河南林县农民用双手砸出的“世界第八大奇迹”，更是一座镌刻着“自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献”的精神丰碑．红旗渠是完全依靠重力作用实现的自流灌溉水利工程，全长1500公里，总干渠必须确保8公里渠道只能有1米落差才能顺利通过分水闸，因此精准测量尤为重要．智慧的河南林县人，创造了盆面测量法，又称“水鸭子”测量法．简单地说，就是在一个洗脸盆中盛上半盆水，再在盆里倒放上一只板凳，在木凳两端连接细线，与对面持木棍的人相互配合，通过木棍两端的点和要测定的点共三个点连成一条线，来找到水平面． 如图，小聪同学在处放一“水鸭子”，测得点、标杆上的点、大树底部点都在同一水平线上．而小聪视线从点处向上看时，发现点、标杆上的点、大树顶端点恰在同一直线上．接着，小聪往后退3米到点处，利用“水鸭子”使点、、共线，此时发现点、标杆上的点、大树顶端点也恰在同一直线上．测量得到米，米，米．你能据此算出大树的高度吗？（大树和标杆均与水平面垂直） 21. 为了解决初中生画图慢和画图不准问题，杨老师设计了初中专用套尺，申请了国家专利并投入生产使用．前年生产成本为15万元，今年生产成本达到21.6万元． （1）如果平均每年成本的增长率相同，求这个增长率． （2）投入市场后，每套定价为30元，同时推出两种销售方式： ①每套均按定价的九折销售； ②购买不超过100套时按原价销售，超出100套部分打八折销售． 某文具店计划购进一批这种初中专用套尺，请你帮文具店分析一下应该选择何种方式购买更优惠． 22. 隧道的开通，大大缩短了行车距离，节约了土地资源．截至2025年初，我国的隧道超45000座，这些隧道首尾相连的总长度足以绕地球一圈，展示了我国在隧道建设方面无与伦比的技术实力和恢弘的规模，其中郑万高铁上的香树湾隧道入口处初步设计为抛物线的形状，洞口底部宽，洞顶最高处高度为．如图所示，以洞口底部为轴，过洞口顶部的竖直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式． （2）在实地勘探后，因现场施工有难度，有人提议将隧道洞口在原计划位置处向左平移，再向下平移，仍保持原抛物线形状不变，洞底仍在轴上． ①请先画出平移后抛物线的对称轴与顶点，再描出两个格点，画出轴上方抛物线的图象，并求平移后的抛物线解析式； ②我国铁轨标准宽度为，双向铁轨之间的安全距离不得少于，郑万高铁设计为双向轨道，通车后车型为型动车组，车高约为，则平移后的隧道是否符合安全标准？ 23. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究． 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”． （1）操作判断 如图1，四边形是“损矩形”，，若，则________． （2）性质探究 在研究图1的“损矩形”时，小明发现：若，则．小明的发现是否正确？请说明理由． （3）拓展应用 如图2，“损矩形”中，，，，连接，当是等腰三角形时，请直接写出“损矩形”的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $