专题05 概率(6大考点经典基础练+优选提升练)-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（ 甘肃专用）

专题05 概 率 题型概览 题型01有限样本空间和随机事件 题型02事件的关系和运算 题型03古典概型 题型04概率的基本性质 题型05 相互独立事件 题型06 频率和概率 ( 题型01 ) 有限样本空间和随机事件 1．（22-23高二上·甘肃天水·期末）下面四个选项中，是随机现象的是（    ） A．刻舟求剑 B．水中捞月 C．流水不腐 D．守株待兔 【答案】D 【分析】根据事件发生的可能性，从而选出正确答案. 【详解】A，B为不可能现象，C为必然现象，D为随机现象 故选：D 2．（23-24高二·甘肃武威·期末）下列事件为确定事件的有（    ）． (1)在一标准大气压下，的纯水结冰 (2)平时的百分制考试中，小白的考试成绩为105分 (3)抛一枚硬币，落下后正面朝上 (4)边长为 的长方形面积为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件，所以确定事件有（1）（2）（4）. 【详解】（1）是不可能事件，（2）是不可能事件，（3）是随机事件，（4）是必然事件， 因为确定事件包括必然事件和不可能事件，所以确定事件有（1）（2）（4）， 故答案为：C 3．（23-24高一下·甘肃定西·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 【答案】A 【分析】根据必然事件，随机事件和不可能事件的定义得到答案. 【详解】①是必然事件；②是随机事件； ③时，，无解，故③是不可能事件． 故选：A． 4．（22-23高二下·甘肃平凉·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 【答案】C 【分析】根据现象的分类逐项分析判断. 【详解】对于选项A：某路口每星期发生交通事故1次，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故A错误； 对于选项B：理想状态下冰水混合物的温度应是，这个事件为不可能现象，故B错误； 对于选项C：三角形的内角和为，这个事件为必然现象，故C正确； 对于选项D：一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象，故D错误； 故选：C. 5．（多选）（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 【答案】CD 【分析】运用必然事件的概念判断即可. 【详解】A为随机事件，B为不可能事件，C，D为必然事件． 故选:CD 6．（多选）（23-24高一下·甘肃嘉峪关·期末）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．2021年8月18日，北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签 D．，则 【答案】AC 【分析】根据随机事件的定义判断即可. 【详解】A与C选项为随机事件，B为不可能事件，D为必然事件. 故选：AC ( 题型02 ) 事件的关系和运算 1．（24-25高一下·甘肃天水·期中）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球 【答案】C 【分析】先写出从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球所包含的基本事件，再根据选项写出各事件的基本事件，利用互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b， 则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab： A、都是黑球的基本事件为ab，至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 两个事件有交事件ab，所以不为互斥事件，故A错误； B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 都是红球的基本事件为AB， 两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误； C、恰有两个黑球的基本事件为ab，恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确； D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件不是互斥事件，故D错误. 故选：C. 2．（23-24高一下·甘肃酒泉·单元测试）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（    ）. A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 C．2次都不中靶 D．只有1次中靶 【答案】C 【分析】根据对立事件的概念可得结果. 【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”. 故选：C. 3．（多选）（22-23高一下·甘肃临夏·期末）下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个互斥事件，则 C．若事件A与B相互对立，则 D．若事件A，B，C两两互斥，则 【答案】BC 【分析】根据互斥事件和对立事件的关系可判断A；根据互斥事件概率加法公式判断B；根据对立事件的概率性质判断C；举反例判断D. 【详解】对于A，A，B为两个互斥事件，但A，B不一定为对立事件， 故“A与B互斥”不是“A与B相互对立”的充分不必要条件，A错误； 对于B，根据互斥事件的概率加法公式可知， 若A，B为两个互斥事件，则，B正确； 对于C，事件A与B相互对立，则，正确； 对于D，取掷骰子试验中，事件A：出现1点，事件B：出现2点，事件C：出现3点， 事件A，B，C两两互斥，且其概率都是， 但，D错误， 故选：BC 4．（多选）（22-23高一下·甘肃·期末）某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（    ） A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件 C． D． 【答案】BC 【分析】根据对立事件判断A,B选项，根据事件的包含关系判断C,D选项. 【详解】因为表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”，但甲可能获得二等奖，即事件A和事件B不是对立事件，A错误， 事件A表示“甲没有中奖”，事件C表示“甲中奖”，则事件A和事件C是互斥且和事件为全集，事件A和事件C是对立事件，B正确． 又因为，所以，C选项正确；，D选项错误； 故选：BC． 5．（多选）（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）现从3名男生和2名女生中选3名同学参加演讲比赛，下列各对事件中为互斥事件的是（    ） A．事件M“选取的3人都是男生”，事件N“2名女生都被选中” B．事件M“选取的3人中至少有1名女生”，事件N“选取的3人中至少有1名男生” C．事件M“选取的3人中恰有1名男生”，事件N“选取的3人中恰有1名女生” D．事件M“选取的3人中至多有1名女生”，事件N“选取的3人中恰有1名男生” 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件的定义逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，“选取的3人都是男生”与“2名女生都被选中”不能同时发生，故为互斥事件，故A正确. 对于B，“选取的3人中至少有1名女生”包含“选取的3人中有2名女生,1名男生”， “选取的3人中至少有1名男生” 包含“选取的3人中有2名女生,1名男生”， 故可同时发生，故不为互斥事件，故B错误. 对于C，“选取的3人中恰有1名男生”即为“选取的3人中1名男生，2名女生”， “选取的3人中恰有1名女生” 即为“选取的3人中1名女生，2名男生”， 不能同时发生，故为互斥事件，故C正确. 对于D，“选取的3人中至多有1名女生”即为“选取的3人中均为男生或2名男生，1名女生”， 故 “选取的3人中至多有1名女生”与“选取的3人中恰有1名男生”不能同时发生， 故为互斥事件，故D正确. 故选：ACD. 6．（多选）（23-24高一下·甘肃张掖·期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件取出的两球同色，取出的2 球中至少有一个黄球，取出的2球中至少有一个白球，取出两个球不同色，取出的球中至多有一个白球.下列判断中正确的是（    ） A．事件与为对立事件 B．事件与是互斥事件 C．事件与为对立事件 D．事件 【答案】AD 【分析】根据对立事件、互斥事件的知识确定正确答案. 【详解】设是样本空间， A选项，由于，所以与是对立事件，A选项正确. B选项，由于“取出的球中，一个黄球一个白球”， 所以与不是互斥事件，B选项错误. C选项，由于“取出的球中，恰好有个白球”， 所以与不是对立事件，C选项错误. D选项，由于，所以，所以D选项正确. 故选：AD ( 题型03 ) 古典概型 1．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）从11，12，13，，30中任意选一个数，则这个数是奇数或能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型计算即可. 【详解】从11，12，13，，30中任意选一个数， 则这个数是奇数或能被3整除有,共14个， 所以. 故选：D. 2．（23-24高一下·甘肃·期末）盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球.则恰好摸出一个红球一个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法求出基本事件总数，再求出符合条件的事件数，结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】记1个白球为，2个红球分别为，，现从中不放回地依次随机摸出2个球， 则可能结果有，共6个， 其中恰好摸出一个红球一个白球的有，共4个， 所以恰好摸出一个红球一个白球的概率，故C正确. 故选：C 3．（多选）（23-24高一下·甘肃白银·期末）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列事件发生的概率为的是（    ） A． B． C． D．方程有实数解 【答案】BCD 【分析】利用列举法及古典概型概率公式逐项分析可得答案. 【详解】先后抛掷一枚骰子两次，得到基本事件总数有36种. 对于选项A，满足的有，，，，，共5种， 故概率为，故A错误； 对于选项B，满足的有，，，，，，共6种， 故概率为，故B正确； 对于选项C，满足，即的有，，，，， ，共6种，故概率为，故C正确； 对于选项D，方程有实数解，则，即， 符合题意的有，，，，，，共6种，故概率为，故D正确. 故选：BCD. 4．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）已知四位数，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为 . 【答案】/ 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】任意交换两个数的位置之后有：，，，，，，共种， 两个奇数相邻有，，共种， 所以两个奇数相邻的概率为. 故答案为： 5．（23-24高一下·甘肃白银·期末）甲袋子中装有2个红球、1个白球，乙袋子中装有1个红球、2个白球（袋子不透明，球除颜色外完全一样）. (1)现从甲、乙两个袋子中各任选1个球，求选出的2个球的颜色相同的概率； (2)从甲、乙两袋6个球中任选2个球，求选出的2个球来自同一袋子的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由列举法求解古典概型概率即可； （2）直接由列举法求解古典概型概率即可. 【详解】（1）甲袋子中2个红球分别用A，B表示，白球用C表示，乙袋子中红球用D表示，2个白球分别用E，F表示. 从甲、乙两袋中各任选1个球的所有可能结果为，，，，，，，，，共9种， 从中选出的2个球的颜色相同的有，，，，共4种， 故选出的2个球的颜色相同的概率. （2）从6个球中任选2个球的所有可能结果为 ，，，，，（B，C），，，，，，，，，，共15种， 从中选出2个球来自同一袋子的结果有，，，，，，共6种， 所以选出的2个球来自同一袋子的概率. 6．（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）本学期初，某校对全校高一学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分五组，得到如图所示频率分布直方图． (1)求a的值，并估计该校高一学生数学成绩的平均数和分位数； (2)为进一步了解学困生的学习情况，从上述数学成绩低于70分的学生中，分层抽样抽出6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率． 【答案】(1)，平均数，分位数 (2) 【分析】（1）根据频率之和为1求得，根据平均数、百分位数的求法求得正确答案； （2）根据分层抽样、古典概型的知识求得正确答案． 【详解】（1）解：由， 解得； 该校高一学生数学成绩的平均数为． 前3组的频率和为， 所以分位数为； （2）解：分层抽样抽取的6人中，的有人，记为1，2， 的有人，记为3，4，5，6， 从6人中任取2人，基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种， 其中2人分数都在的有34，35，36，45，46，56共6种， 所以从6人中任取2人，分数都在的概率为． ( 题型04 ) 概率的基本性质 1．（23-24高一下·甘肃天水·期末）下列说法正确的是（    ） A．某事件发生的频率为 B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1 C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件 D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 【答案】B 【分析】利用事件的概念及概率与频率的关系进行判断即可. 【详解】解：对于A，事件发生的频率为，故A错误； 对于B，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故B正确； 对于C，小概率事件是指发生可能性极小的事件，是可能发生的，并不是不可能发生的事件，大概率事件就是发生可能性很大的事件，也可能不发生，并不是必然要发生的事件，故C错误； 对于D，概率是稳定值，是频率的理想值，并不会随着频率变化而变化，故与试验次数无关，故D错误. 故选：B. 2．（23-24高一下·甘肃定西·期末）袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则 ①恰有1个白球和全是白球； ②至少有1个白球和全是黑球； ③至少有1个白球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个黑球． 在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为（    ） A．② B．① C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可. 【详解】记表示白球，表示黑球，从袋中任取3个球，共包括4个基本事件 分别为 对①，事件“恰有1个白球”包含的基本事件为：，事件“全是白球”包含是基本事件为：，由互斥事件和对立事件的定义可知，事件“恰有1个白球”和“全是白球”互为对立事件，但不是对立事件； 对②，事件“至少有1个白球”包含的基本事件为：，事件“全是黑球”包含的基本事件为：，由互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至少有1个白球”和“全是黑球”互为对立事件，也是对立事件； 对③，事件“至少有1个白球”包含的基本事件为：，事件“至少有2个白球”包含的基本事件为：，由互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至少有1个白球”和“至少有2个白球”，既不是互斥事件也不是对立事件； 对④，事件“至少有1个白球”包含的基本事件为：，事件“至少有1个黑球”包含的基本事件为：，由互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至少有1个白球”和“至少有1个黑球”，既不是互斥事件也不是对立事件； 故选：B 【点睛】本题主要考查了对立事件和互斥事件的判断，属于基础题. 3．（23-24高一下·甘肃白银·期中）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．“至少有1个白球”和“都是红球” B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球” C．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球” D．“至多有1个白球”和“都是红球” 【答案】C 【分析】结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案. 【详解】对于选项A, “至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意; 对于选项B, “至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意; 对于选项C, “恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球, 与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意; 对于选项D, “至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属于基础题. 4．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件利用对立事件的概率计算公式即可计算作答. 【详解】“抽到的产品不是一等品”的事件的对立事件是“抽到一等品”的事件，而事件{抽到一等品}，且， 于是得， 所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为0.35. 故选：B 5．（23-24高一下·甘肃平凉·期末）已知事件M”3粒种子全部发芽”，事件N“3粒种子都不发芽”，那么事件M和N是（　　） A．互斥且对立事件 B．不是互斥事件 C．互斥但不对立事件 D．对立事件 【答案】C 【分析】事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生，而事件M”3粒种子全部发芽”的对立事件为”3粒种子不都发芽”，可得结论． 【详解】事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生，故事件M和事件N互斥 而事件M”3粒种子全部发芽”的对立事件为”3粒种子不都发芽”，有可能1个不发芽，也有可能2个不发芽，也有可能三个不发芽，故事件M和事件N不对立 故事件M和事件N互斥不对立 故选C． 【点睛】本题主要考查了互斥事件与对立事件的概念，弄清事件M的对立事件是关键，属于基础题． 6．（多选）（22-23高一下·甘肃·期末）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①⑤⑥ D．③④⑦ 【答案】AC 【分析】根据互斥事件、对立事件的相关概念对关系式进行判断即可得出结论． 【详解】由题设可知： 表示甲乙两人均未击中靶，因此，故①正确； 表示两人都击中靶，而表示至少有1人击中靶，因此②错误； 表示至少有1人击中靶，因此③正确； 表示至少有1人击中靶，而表示恰一人击中靶，因此④错误； 表示两人中恰好只有1人击中靶，因此⑤正确； 与是对立事件，因此⑥正确； 与不是互斥事件，， 因此⑦错误． 综上可得正确的是①③⑤⑥． 故选：AC． ( 题型0 5 ) 相互独立事件 1．（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若事件与事件是互斥事件，则 C．若事件与事件相互独立，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】ACD 【分析】根据对立事件可判断A；根据互斥事件和独立事件的概率公式即可判断BCD. 【详解】，故A正确； 因为事件与事件是互斥事件，所以，故B错误； 若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立， 所以，故C正确； 因为，所以， 所以事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立，故D正确． 故选：ACD． 2．（23-24高一下·甘肃甘南·期末）甲､乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为 . 【答案】0.34 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算得解. 【详解】设甲，乙两人击中飞碟为事件，依题意，，相互独立， 所以所求事件概率为 . 故答案为：0.34 3．（22-23高一下·甘肃·期末）某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为 ． 【答案】/0.7 【详解】利用概率性质求解 【分析】设掷一枚质地均匀的骰子出现点数为1或2为事件，则， 骰子出现点数为3，4，5，6为事件，则， 甲箱摸出红球为，乙箱摸出红球为，设顾客中奖为事件， 所以，， 所以． 故答案为：． 4．（22-23高一下·甘肃白银·期末）甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比两局，每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，设每局的胜方得3分，负方得﹣1分，若该局为平局，则两人各得2分． (1)求甲、乙各赢一局的概率； (2)求两局结束后甲的最后得分不大于2的概率． 【答案】(1)0.36； (2)0.51． 【分析】（1）先求出每局比赛乙赢的概率，从而根据独立事件的概率公式求解即可； （2）设两局结束后甲的最后得分为X，利用独立事件的概率乘法公式求出，再相加即可求出结果． 【详解】（1）∵每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1， ∴每局比赛乙赢的概率为， ∴甲、乙各赢一局的概率为； （2）设两局结束后甲的最后得分为X，X可取, 则，， ， ∴两局结束后甲的最后得分不大于2的概率为． 5．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励2分、奖励0分、罚2分、罚4分．假设评定为等级为A，B，C的概率分别是，，． (1)若某射击选手射击一次，求其被罚分的概率； (2)若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为0分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件分别表示“被评为等级A，B，C，D”.由题意，事件两两互斥，然后利用互斥事件的概率加法公求解即可； （2）设事件，且事件互斥，然后分别求出对应的概率，再利用互斥事件的概率加法公求解即可. 【详解】（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”． 由题意得，事件A，B，C，D两两互斥，所以． 又因为被罚分，所以． 因此其被罚分的概率为； （2）设事件，，，表示“第i次被评定为等级A，B，C，D”，，2． 则“两次射击得分之和为0分”为事件，且事件，，互斥， ， ， 所以两次射击得分之和为0分的概率 . 6．（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． (1)若乙投球2次均未命中的概率为，求； (2)若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案； （2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案. 【详解】（1）由题意知，，故； （2）用表示“两人共命中2次”， ． ( 题型0 6 ) 频率和概率 1．（23-24高一下·甘肃张掖·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 2．（23-24高一下·甘肃平凉·期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用频率和概率的关系得到答案. 【详解】10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个， 故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：B 3．（23-24高一·甘肃嘉峪关·期末）下列说法正确的是(　　) A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 【答案】D 【分析】概率表示事件发生的可能性的大小，具有随机性，频率代表实验中事件实际发生的次数与试验总次数之比，为实际值，由此判断即可. 【详解】A选项，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是5场胜3场； B选项，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10人一定有人治愈； C选项，试验的频率可以估计概率，并不等于概率； D选项，概率为90%，即可能性为90%. 故选D. 【点睛】本题考查概率的特点以及概率与频率之间的关系，由概率的随机性即可判断. 4．（23-24高三上·甘肃兰州·期末）我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类.全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类.题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献.《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1634石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷25粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．158石 B．159石 C．160石 D．161石 【答案】D 【解析】利用抽取的米夹谷的频率估计总体的频率计算. 【详解】由题意可知这批米内夹谷约为(石). 故选：D. 【点睛】本题考查简单随机抽样，用样本频率估计总体，属于基础题. 5．（多选）（23-24高一·甘肃金昌·期末）给出下列四个命题,其中正确的命题有 A．做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是 B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C．抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是 D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率 【答案】CD 【解析】根据概率和频率定义,逐项判断,即可求得答案. 【详解】对于A,混淆了频率与概率的区别,故A错误; 对于B,混淆了频率与概率的区别,故B错误; 对于C,抛掷骰子次,得点数是的结果有次,则出现点的频率是,符合频率定义,故C正确; 对于D,频率是概率的估计值,故D正确. 故选:CD. 【点睛】本题考查了频率和概率区别,解题关键是掌握频率和概率的定义,考查了分析能力,属于基础题. 6．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 【答案】 0.21/ 0.18/ 【分析】计算出赔付金额大于投保金额的频率，得到估计赔付金额大于投保金额的概率；在求出投保的新司机人数和赔付金额为4500元的样本车辆中，新司机人数，估计出在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率. 【详解】赔付金额大于投保金额的频率为， 估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21， 在样本车辆中，车主是新司机的占15%， 故投保的新司机人数为， 在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即人， 估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为. 故答案为：0.21，0.18 1．（24-25高三上·甘肃白银·期末）从集合中随机地取一个数，从集合中随机地取一个数，则向量与向量垂直的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出基本事件的个数，然后求解满足向量的个数，结合古典概率的求解公式可求. 【详解】解：从集合中随机地取一个数，中随机地取一个数，共有12种取法， 当向量与向量，，故或共2种取法， 则所求概率. 故选：D. 2．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）下列说法中： （1）某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 （2）做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 （3）若事件两两互斥，则 （4）若事件A，B满足，则A，B互为对立事件正确的说法有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据随机事件的概念即可说明（1）、（2）；举例即可说明（3）；由对立事件的定义判断（4）. 【详解】对于（1）：由于事件结果的随机性，购买100张彩票不一定会中奖，故错误； 对于（2）：做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此， 抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，故错误； 对于（3）：事件两两互斥，比如投掷质地均匀的骰子试验中， 三个事件：投掷出1点，2点，3点，这三个事件两两互斥， 但这三个事件的和事件发生的概率为，故错误； 对于（4）：比如事件“抛掷一枚硬币，正面朝上”， 事件“抛掷一个骰子，出现奇数点”，满足， 但是事件可以同时发生，故错误； 故选：A 3．（23-24高一下·甘肃·期末）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用列举法，求出样本空间的样本点数，再找出满足题意的种数，最后运用古典概型公式求解即可. 【详解】样本空间{（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑）， （小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑）， （芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）}， 共有15个样本点.其中任取2个节气，这2个节气不在同一个月的样本点有12个. 所以这2个节气不在同一个月的概率为. 故选：． 4．（23-24高一下·甘肃·期末）从1，2，3，4中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至少1个数为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件 C．与是互斥事件 D．与是对立事件 【答案】A 【分析】利用互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义来判断各选项. 【详解】根据题意样本空间， ， ， ， ， 则，所以与是互斥事件，正确； ，，所以与是互斥且对立事件，错误； ，所以与不是互斥事件，C错误； ，所以与不是对立事件，D错误. 故选：A. 5．（22-23高一下·甘肃临夏·期末）如图，A，B，C表示某系统的3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.85，0.8，0.75，那么系统可以正常工作的概率为（    ）    A．0.0645 B．0.9955 C．0.4995 D．0.9925 【答案】D 【分析】利用相互独立事件的概率公式及对立事件的概率公式. 【详解】因为A，B，C表示某系统的3个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可， 所以. 故答案为：D 6．（23-24高二下·甘肃白银·期末）从，，，，中任取两个不同的数，记为，则成立的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案. 【详解】从，，，，中任取两个不同的数，记为，共有个基本事件， 分别为，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，， 记“成立”为事件， 若，则且， 所以事件包含个基本事件：，，，，，， 故其概率为． 故选：D 7．（多选）（23-24高一下·甘肃平凉·期末）某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，，只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则下列结论正确的是（    ） A．该选手闯过第一关的概率为 B．该选手单独闯过第二关的概率为 C．该选手能进入第三关的概率为 D．该选手能进入第三关的概率为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】该选手闯过第一关的概率，故正确； 该选手单独闯过第二关的概率，故正确； 该选手能进入第三关的概率，故错误，D正确； 故选：. 8．（多选）（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）实验：甲、乙、丙三名同学各自从、、中选了一个字母（不可重复）.记事件为“乙同学选字母”，事件为“甲同学没有选字母”，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】按照甲乙丙顺序进行罗列情况， 则实验有，，，，，，共6种结果. 其中满足事件的有，，共2种，故； 其中满足事件的有，，，，共4种，故. 则同时发生的有1种，或发生有5种， 则，，则AC正确；BD错误. 故选：AC. 9．（多选）（22-23高一下·甘肃金昌·期末）某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人次数，剩下的为食用米线汉堡等其它食品（每人只选一种），结果如表所示： 总人次数 大米套餐人次数 面食人次数 1000 550 260 假设随机抽取一位同学，记中午吃大米套餐为事件M，吃面食为事件N，吃米线汉堡等其他食品为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用频率求各事件对应的概率，应用互斥事件加法求，判断各项正误. 【详解】用频率估计概率得：，，，故A，B，C正确； 表示事件N发生或事件H发生，且N与H互斥， 故，故D错误， 故选：ABC． 10．（多选）（24-25高一下·甘肃天水·期末）下列说法正确的是（    ） A．抛掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为 B．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，，则题被解出的概率是 C．某小组由5名学生组成，其中3名男生，2名女生，现从中任选两名学生参加演讲比赛，至少有一名男生与至少有一名女生是互斥事件 D．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 【答案】AD 【分析】结合古典概型概率公式求得概率判断AD，由独立事件同时发生的概率公式结合对立事件概率公式求解后判断B，根据互斥事件的定义判断C． 【详解】A．至少有一枚骰子的点数是3，即只有一枚骰子的点数是3，或两枚骰子的点数都是3，概率为，A正确； B．由独立事件同时发生的概率公式得题被解出的概率为，B错； C．如果选出的两名学生是一男一女，则两个事件同时发生，它们不是互斥事件，C错； D．两位男生和两位女生随机排成一列，总排法为，两位女生不相邻的排法为，概率为，D正确． 故选：AD． 11．（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）某科研攻关项目中遇到一个问题，请了甲、乙两位专家单独解决此问题，若甲、乙能解决此问题的概率分别为m，n，则此问题被解决的概率为 【答案】 【分析】利用概率的基本性质及相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】记事件“甲专家独立解决”，事件“乙专家独立解决”， 则，而相互独立，即， 所以，即问题被解决的概率为. 故答案为： 12．（22-23高一下·甘肃临夏·期末）传说伏羲通过龙马身上的图案（河图）画出“八卦”．其结构是一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，如图所示．若从阳数和阴数中分别随机抽出1个，则被抽到的2个数的数字之和大于8且不超过12的概率为 ．    【答案】/ 【分析】由题意可知，阳数分别为1，3，5，7，9，阴数分别为2，4，6，8，10，然后利用列举法求解即可. 【详解】由题意可知，阳数分别为1，3，5，7，9，阴数分别为2，4，6，8，10， 则从阳数和阴数中分别随机抽出1个有所有情况有： ，， ，， ，共25种情况， 其中被抽到的2个数的数字之和大于8且不超过12的有： ，，共9种， 所以所求概率为， 故答案为： 13．（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）某工厂现对一批零件的性能进行抽检，第一次检测每个零件合格的概率是0.8，不合格的零件重新加工后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.9，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理.则每个零件报废的概率为 . 【答案】/ 【分析】利用对立事件概率公式和概率乘法公式求解即可. 【详解】设事件“第一次检测零件合格”为，事件“第二次检测零件合格”为， 则事件“零件报废”可表示为， 由已知， 所以， 所以， 故答案为：. 14．（23-24高一下·甘肃甘南·期末）为进一步加强高层住宅小区消防安全管理，有效保障高层建筑消防安全及设施完好有效，督促物业服务单位落实消防安全责任，全面提升小区火灾抗御能力，南京某消防救援大队对辖区内一小区进行消防安全检查并对物业人员进行消防安全知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在A类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在B类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响． (1)求甲在第一轮比赛中得0分的概率； (2)以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？ 【答案】(1) (2)乙更容易晋级复赛 【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：，其中甲能答对的4个问题的编号为，利用列举法，根据古典概型的概率公式求解即可； （2）根据题意按第一轮得20分且第二轮至少得20和第一轮得0分且第二轮得40分，结合独立事件和对立事件的概率公式，分别计算甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断. 【详解】（1）对A类的5个问题进行编号：，其中甲能答对的4个问题的编号为， 第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，则所选的两个题的情况为： ，共10种， 其中得0分的情况有：，4种， 所以甲在第一轮比赛中得0分的概率为； （2）甲晋级复赛分两种情况： 甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：， 甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：， 所以甲晋级复赛的概率为； 乙晋级复赛分两种情况： 乙第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为： 乙第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：， 所以乙晋级复赛的概率为， 因为，所以乙更容易晋级复赛. 15．（23-24高一下·甘肃白银·期末）由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某个闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，该团队就能进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图，分别如图1、图2所示. (1)若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a，b的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率； (2)若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立，求该团队能进入下一关的概率. 【答案】(1)，，0.7 (2)0.985 【分析】（1）根据频率分布直方图求中位数即可求出，再应用独立事件乘法公式求概率； （2）先求对立事件的概率再求出能进入下一关的概率即可. 【详解】（1）因为甲解开密码锁所需时间的中位数为47， 所以，，解得，. 由直方图可知甲在1分钟内解开密码锁的频率； 乙在1分钟内解开密码锁的频率. （2）由（1）及条件知，甲在1分钟内解开密码锁的概率是0.9，乙是0.7，丙是0.5，且各人是否解开密码锁相互独立. 记“团队能进入下一关”为事件，“不能进入下一关”为事件， 则， 所以该团队能进入下一关的概率. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 概 率 题型概览 题型01有限样本空间和随机事件 题型02事件的关系和运算 题型03古典概型 题型04概率的基本性质 题型05 相互独立事件 题型06 频率和概率 ( 题型01 ) 有限样本空间和随机事件 1．（22-23高二上·甘肃天水·期末）下面四个选项中，是随机现象的是（    ） A．刻舟求剑 B．水中捞月 C．流水不腐 D．守株待兔 2．（23-24高二·甘肃武威·期末）下列事件为确定事件的有（    ）． (1)在一标准大气压下，的纯水结冰 (2)平时的百分制考试中，小白的考试成绩为105分 (3)抛一枚硬币，落下后正面朝上 (4)边长为 的长方形面积为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24高一下·甘肃定西·期末）下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②车辆到达十字路口，遇到红灯；③当时，关于x的方程在实数集内有解，其中是必然事件的有（   ） A．① B．② C．③ D．①② 4．（22-23高二下·甘肃平凉·期末）下列现象是必然现象的是（    ） A．某路口每星期发生交通事故1次 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中7环 5．（多选）（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．明天北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．早晨太阳从东方升起 D．，则的值不小于0 6．（多选）（23-24高一下·甘肃嘉峪关·期末）下列事件中，是随机事件的是（    ） A．2021年8月18日，北京市不下雨 B．在标准大气压下，水在4℃时结冰 C．从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签 D．，则 ( 题型02 ) 事件的关系和运算 1．（24-25高一下·甘肃天水·期中）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球 C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球 2．（23-24高一下·甘肃酒泉·单元测试）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（    ）. A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 C．2次都不中靶 D．只有1次中靶 3．（多选）（22-23高一下·甘肃临夏·期末）下列说法正确的是（    ） A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的充分不必要条件 B．若A，B为两个互斥事件，则 C．若事件A与B相互对立，则 D．若事件A，B，C两两互斥，则 4．（多选）（22-23高一下·甘肃·期末）某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”，“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，则（    ） A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件 C． D． 5．（多选）（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）现从3名男生和2名女生中选3名同学参加演讲比赛，下列各对事件中为互斥事件的是（    ） A．事件M“选取的3人都是男生”，事件N“2名女生都被选中” B．事件M“选取的3人中至少有1名女生”，事件N“选取的3人中至少有1名男生” C．事件M“选取的3人中恰有1名男生”，事件N“选取的3人中恰有1名女生” D．事件M“选取的3人中至多有1名女生”，事件N“选取的3人中恰有1名男生” 6．（多选）（23-24高一下·甘肃张掖·期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件取出的两球同色，取出的2 球中至少有一个黄球，取出的2球中至少有一个白球，取出两个球不同色，取出的球中至多有一个白球.下列判断中正确的是（    ） A．事件与为对立事件 B．事件与是互斥事件 C．事件与为对立事件 D．事件 ( 题型03 ) 古典概型 1．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）从11，12，13，，30中任意选一个数，则这个数是奇数或能被3整除的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·甘肃·期末）盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球.则恰好摸出一个红球一个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·甘肃白银·期末）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列事件发生的概率为的是（    ） A． B． C． D．方程有实数解 4．（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）已知四位数，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为 . 5．（23-24高一下·甘肃白银·期末）甲袋子中装有2个红球、1个白球，乙袋子中装有1个红球、2个白球（袋子不透明，球除颜色外完全一样）. (1)现从甲、乙两个袋子中各任选1个球，求选出的2个球的颜色相同的概率； (2)从甲、乙两袋6个球中任选2个球，求选出的2个球来自同一袋子的概率. 6．（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）本学期初，某校对全校高一学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分五组，得到如图所示频率分布直方图． (1)求a的值，并估计该校高一学生数学成绩的平均数和分位数； (2)为进一步了解学困生的学习情况，从上述数学成绩低于70分的学生中，分层抽样抽出6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率． ( 题型04 ) 概率的基本性质 1．（23-24高一下·甘肃天水·期末）下列说法正确的是（    ） A．某事件发生的频率为 B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1 C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件 D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 2．（23-24高一下·甘肃定西·期末）袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则 ①恰有1个白球和全是白球； ②至少有1个白球和全是黑球； ③至少有1个白球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个黑球． 在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为（    ） A．② B．① C．③ D．④ 3．（23-24高一下·甘肃白银·期中）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．“至少有1个白球”和“都是红球” B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球” C．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球” D．“至多有1个白球”和“都是红球” 4．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·甘肃平凉·期末）已知事件M”3粒种子全部发芽”，事件N“3粒种子都不发芽”，那么事件M和N是（　　） A．互斥且对立事件 B．不是互斥事件 C．互斥但不对立事件 D．对立事件 6．（多选）（22-23高一下·甘肃·期末）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件“甲击中靶”，事件“乙击中靶”，事件“靶未被击中”，事件“靶被击中”，事件“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示的对立事件，表示的对立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正确的关系式的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①⑤⑥ D．③④⑦ ( 题型0 5 ) 相互独立事件 1．（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若事件与事件是互斥事件，则 C．若事件与事件相互独立，则 D．若，则事件与事件相互独立 2．（23-24高一下·甘肃甘南·期末）甲､乙两人向同一飞碟射击，设击中的概率分别为，若只有1人击中，则飞碟被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞碟被击落的概率为0.6，那么飞碟被击落的概率为 . 3．（22-23高一下·甘肃·期末）某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为 ． 4．（22-23高一下·甘肃白银·期末）甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比两局，每局比赛甲赢的概率为0.6，两人平局的概率为0.1，设每局的胜方得3分，负方得﹣1分，若该局为平局，则两人各得2分． (1)求甲、乙各赢一局的概率； (2)求两局结束后甲的最后得分不大于2的概率． 5．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励2分、奖励0分、罚2分、罚4分．假设评定为等级为A，B，C的概率分别是，，． (1)若某射击选手射击一次，求其被罚分的概率； (2)若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为0分的概率． 6．（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． (1)若乙投球2次均未命中的概率为，求； (2)若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． ( 题型0 6 ) 频率和概率 1．（23-24高一下·甘肃张掖·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 2．（23-24高一下·甘肃平凉·期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·甘肃嘉峪关·期末）下列说法正确的是(　　) A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场 B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 4．（23-24高三上·甘肃兰州·期末）我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类.全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类.题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献.《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1634石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷25粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．158石 B．159石 C．160石 D．161石 5．（多选）（23-24高一·甘肃金昌·期末）给出下列四个命题,其中正确的命题有 A．做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正直朝上的概率是 B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C．抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是 D．随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率 6．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为 ；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为 ． 1．（24-25高三上·甘肃白银·期末）从集合中随机地取一个数，从集合中随机地取一个数，则向量与向量垂直的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）下列说法中： （1）某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 （2）做7次拋硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是 （3）若事件两两互斥，则 （4）若事件A，B满足，则A，B互为对立事件正确的说法有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一下·甘肃·期末）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·甘肃·期末）从1，2，3，4中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至少1个数为偶数”，则下列结论正确的是（    ） A．与是互斥事件 B．与是互斥但不对立事件 C．与是互斥事件 D．与是对立事件 5．（22-23高一下·甘肃临夏·期末）如图，A，B，C表示某系统的3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.85，0.8，0.75，那么系统可以正常工作的概率为（    ）    A．0.0645 B．0.9955 C．0.4995 D．0.9925 6．（23-24高二下·甘肃白银·期末）从，，，，中任取两个不同的数，记为，则成立的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（23-24高一下·甘肃平凉·期末）某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，，只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则下列结论正确的是（    ） A．该选手闯过第一关的概率为 B．该选手单独闯过第二关的概率为 C．该选手能进入第三关的概率为 D．该选手能进入第三关的概率为 8．（多选）（23-24高二上·甘肃庆阳·期末）实验：甲、乙、丙三名同学各自从、、中选了一个字母（不可重复）.记事件为“乙同学选字母”，事件为“甲同学没有选字母”，则下列正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（22-23高一下·甘肃金昌·期末）某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人次数，剩下的为食用米线汉堡等其它食品（每人只选一种），结果如表所示： 总人次数 大米套餐人次数 面食人次数 1000 550 260 假设随机抽取一位同学，记中午吃大米套餐为事件M，吃面食为事件N，吃米线汉堡等其他食品为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高一下·甘肃天水·期末）下列说法正确的是（    ） A．抛掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为 B．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，，则题被解出的概率是 C．某小组由5名学生组成，其中3名男生，2名女生，现从中任选两名学生参加演讲比赛，至少有一名男生与至少有一名女生是互斥事件 D．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 11．（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）某科研攻关项目中遇到一个问题，请了甲、乙两位专家单独解决此问题，若甲、乙能解决此问题的概率分别为m，n，则此问题被解决的概率为 12．（22-23高一下·甘肃临夏·期末）传说伏羲通过龙马身上的图案（河图）画出“八卦”．其结构是一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，如图所示．若从阳数和阴数中分别随机抽出1个，则被抽到的2个数的数字之和大于8且不超过12的概率为 ．    13．（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）某工厂现对一批零件的性能进行抽检，第一次检测每个零件合格的概率是0.8，不合格的零件重新加工后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.9，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理.则每个零件报废的概率为 . 14．（23-24高一下·甘肃甘南·期末）为进一步加强高层住宅小区消防安全管理，有效保障高层建筑消防安全及设施完好有效，督促物业服务单位落实消防安全责任，全面提升小区火灾抗御能力，南京某消防救援大队对辖区内一小区进行消防安全检查并对物业人员进行消防安全知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分．若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛．甲和乙同时参赛，已知在A类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在B类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6．甲、乙回答任一问题正确与否互不影响． (1)求甲在第一轮比赛中得0分的概率； (2)以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？ 15．（23-24高一下·甘肃白银·期末）由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某个闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，该团队就能进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图，分别如图1、图2所示. (1)若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a，b的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率； (2)若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立，求该团队能进入下一关的概率. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$