专题04立体几何初步（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（黑龙江专用）

专题04立体几何初步 题型概览 题型01简单几何体的表面积和体积 题型02空间点线面间的位置关系 题型03空间距离与空间角 题型04内切外接球问题 题型05几何体截面与动点轨迹问题 题型06解答题 简单几何体的表面积和体积题型01 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知一个圆台的轴截面面积为6，轴截面的一个底角为30°，则这个圆台的侧面积是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平面满足，，记平面与直线分别交于点，，则 ，四边形的面积为 ． 3．（23-24高一下·黑河市·期末）如图，在平面四边形中，为钝角三角形，，则四边形的面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 4．（23-24高一下·佳木斯市·期末）如图直角梯形中，，且，以为轴旋转一周，形成的几何体中截一正四棱台的最大体积为（    ）   A． B． C．7 D． 5．（23-24高一下·大庆市·期末）“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下： 24小时降雨量（精确到） 降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（    ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 空间点线面间的位置关系题型02 1．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知a、b为异面直线，P为空间的一点，则过P且与a、b成60°角的直线有（    ） A．3条 B．2条或3条 C．3条或4条 D．2条或3条或4条 2．（23-24高一下·黑河市·期末）已知直线，，平面，则“，”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一下·佳木斯市·期末）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，则 5．（23-24高一下·鹤岗市·期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 7．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 8．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知直线平面，直线平面，则（    ） A．若与垂直，则与一定垂直 B．若与所成的角为30°，则与所成的角也为30° C．是的充分不必要条件 D．若与相交，则为一定是异面直线 10．（23-24高一下·大庆市·期末）已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（    ） A．若，且与不垂直，则与一定不垂直 B．若与不平行，则与一定是异面直线 C．若，且，则与可能平行 D．若，则与可能垂直 11．（23-24高一下·大庆市·期末）设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若不垂直于，则必不垂直于 C．若,，则 D．若是异面直线，，则 空间距离与空间角题型03 1．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，棱长为1的正四面体的底面在平面上，现将正四面体绕棱逆时针旋转，当直线与平面第一次成角时，点A到平面的距离为 ． 2．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）正方体的棱长为2，G为的中点，则直线BD与平面的距离为( ) A． B． C． D． 3．（23-24高一下·鹤岗市·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示，四面体为鳖臑，平面，，，，分别是棱和上的动点，且，则的长最小为 . 4．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·鹤岗市·期末）如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·大庆市·期末）在棱长为2的正方体中，分别是棱上的动点，且，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·鹤岗市·期末）（多选）已知正方体的棱长为，、分别为棱和棱的中点，则下列四个结论正确的是（     ） A．直线与为异面直线 B．直线与所成的角为 C．直线与面所成的角为 D．到面的距离为 内切外接球问题题型04 1．（23-24高一下·大庆市·期末）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 . 2．（23-24高一下·佳木斯市·期末）在直三棱柱中，，，，则这个直三棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为 . 5．（23-24高一下·大庆市·期末）在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 6．（23-24高一下·黑河市·期末）如图，直三棱柱中，⊥，，，点P在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为 ． 7．（23-24高一下·鹤岗市·期末）在边长为的菱形中，，将沿着折叠，得到三棱锥，若，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知球是棱长为12的正四面体的外接球，，，分别是棱，，的中点，则平面截球所得截面的面积是 . 9．（23-24高一下·鹤岗市·期末）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A．26π B．28π C．34π D．14π 10．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·大庆市·期末）已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（    ） A． B．1 C． D．3 12．（23-24高一下·黑河市·期末）已知正四棱柱的所有棱长之和为定值，则当该正四棱柱的外接球表面积为最小值时，其侧棱长为（    ） A．2 B．1 C． D． 13．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知某圆锥底面圆的直径是3，圆锥的母线长为3，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体（每条棱长都为a的三棱锥），并且正四面体内接于圆锥的内切球．圆锥的轴截面如图所示，其中轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，则a的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 14．（23-24高一下·鹤岗市·期末）（多选）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，点P是AD上的动点，将分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点G，则下列结论正确的是（    ） A．BG⊥EF B．G到平面DEF的距离为 C．若BG∥面EFP，则二面角D−EF−P的余弦值为 D．四面体G−DEF外接球表面积为 几何体截面与动点轨迹问题题型05 1．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．三棱锥外接球表面积为 2．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为 C．平面 D．直线与所成的角的取值范围是 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点．则下列结论正确的是（    ） A．若为中点，则平面 B．若为中点，则平面 C．不存在点，使得 D．PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为 4．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在正方体中，为棱的一个三等分点（靠近点），分别为棱，的中点，过三点作正方体的截面，则下列说法正确的是（  ） A．所得截面是六边形 B．截面过棱的中点 C．截面不经过点 D．截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点 5．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（ ）    A．点的运动轨迹为一条线段 B．直线与所成角可以为 C．三棱锥的体积是定值 D．若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为 6．（23-24高一下·牡丹江市·期末）如图，正方体的棱长为分别是棱，的中点，过点的平面分别与棱，交于点，设.给出以下四个命题： ①平面与平面所成角的最大值为45°；②四边形的面积的最小值为； ③四棱锥的体积为；④点到平面的距离的最大值为. 其中命题正确的序号为（    ） A．②③④ B．②③ C．①②④ D．③④ 7．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）在正方体中，是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A．若是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 B．若为线段上的动点，则的最小值为 C．若为线段上的动点，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围为 D．若为线段上的动点，且与平面交于点，则三棱锥的体积为 8．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）如图，在直三棱柱中，，，，是边的中点，过点A，B，D作截面交于点E，则（    ） A． B．平面平面 C．平面 D．点到截面的距离为 9．（23-24高一下·黑河市·期末）（多选）如图，在正三棱台中，，棱的中点分别为，点在侧面内运动（包含边界），且，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．正三棱台的体积为 C．与平面所成角的正切值为 D．动点形成的轨迹长度为 解答题题型06 1．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，分别为，的中点，且． (1)求证：； (2)求三棱锥的体积． 2．（23-24高一下·佳木斯市·期末）一个圆台的母线长为，母线与轴的夹角是两底面的半径之比是． （1）求圆台的高； （2）求截得此圆台的圆锥的母线长． 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，在正方体中，为的中点，为的中点．   (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 4．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，在四棱锥中，M为AP边上的中点，N为CP边上的中点，平面平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； 5．（23-24高一下·佳木斯市·期末）如图，在四棱锥中，，，⊥，平面⊥平面，分别是和的中点． 求证：（1）//平面；（2）平面⊥平面 6．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点. (1)若平面，试确定在上的位置，并说明理由； (2)若，证明：. 7．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线到平面的距离． 8．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，已知平面，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 9．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 10．（23-24高一下·鹤岗市·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. (1)若平面交于点，求证：； (2)求证：平面； (3)判断直线与平面所成角的大小是否可以为？并说明理由. 11．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，平面，，分别为的中点，． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 12．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别为棱BC，的中点，点F是线段CE的中点．   (1)求证：平面； (2)求直线DF与平面ABF所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04立体几何初步 题型概览 题型01简单几何体的表面积和体积 题型02空间点线面间的位置关系 题型03空间距离与空间角 题型04内切外接球问题 题型05几何体截面与动点轨迹问题 题型06解答题 简单几何体的表面积和体积题型01 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知一个圆台的轴截面面积为6，轴截面的一个底角为30°，则这个圆台的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，圆台的高为，所以，由题得，所以这个圆台的侧面积是. 故选：B 2．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平面满足，，记平面与直线分别交于点，，则 ，四边形的面积为 ． 【答案】2 【详解】如图，过点作的平行线分别交的延长线于点，易知分别为的中点．连接，分别交于点，则平面即平面．取的中点，因是正方形，则连接，则，易得，则，所以，所以．连接，因为，平面平面，平面，所以，所以，，由图易得,由可得，由得,从而，由可得为的中点.由可得,,,因,故四边形的面积．故答案为：2；. 3．（23-24高一下·黑河市·期末）如图，在平面四边形中，为钝角三角形，，则四边形的面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】（方法一）设，则， 在中，，因为，所以. 四边形的面积为 ， 当，即时，四边形的面积取得最大值，最大值为. （方法二）四边形的面积.故选：B 4．（23-24高一下·佳木斯市·期末）如图直角梯形中，，且，以为轴旋转一周，形成的几何体中截一正四棱台的最大体积为（    ）   A． B． C．7 D． 【答案】B 【详解】直角梯形，以为轴旋转一周，形成的几何体是上底面半径为1，下底面半径为2，高为1的圆台，该圆台中截取的最大体积的正四棱台如图，上底面边长为，下底面边长为，高为1， 所以正四棱台的最大体积为：. 故选：B. 5．（23-24高一下·大庆市·期末）“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如图所示 由题可知，四边形为等腰梯形，设，因为，所以， 设棱台的高为，体积为，棱台的高为，体积为，则，，所以，又，所以，所以该“方斗”可盛米的总质量为．故选：B． 6．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下： 24小时降雨量（精确到） 降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等级是（    ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】D 【详解】设的面积为，底面水平放置时，液面高为，侧面水平放置时，水的体积为，当底面水平放置时，水的体积为，于是，解得，所以当底面水平放置时，液面高为．故降雨量等级为暴雨，故选：D 空间点线面间的位置关系题型02 1．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知a、b为异面直线，P为空间的一点，则过P且与a、b成60°角的直线有（    ） A．3条 B．2条或3条 C．3条或4条 D．2条或3条或4条 【答案】D 【详解】过空间中任一点，作直线,，作平面，异面直线、成角为，即．如图所示： 当、所成角小于时，在区域和内各一条，故有2条； 当时，一条为和的平分线，在区域和内各一条，故有3条； 当，因为异面直线所成的角，所以满足题意的角，在区域，，，内各有一条直线与，成角，故共有4条. 故选：D. 2．（23-24高一下·黑河市·期末）已知直线，，平面，则“，”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．不充分不必要条件 【答案】D 【详解】若直线，直线且，则直线，可以相交，故不是充分条件；若直线，且，都与平面相交，则也不是必要条件.故选：D 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面a的距离相等”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则A，B两点到平面的距离相等，但反之不成立，因为当，分别在平面a的两侧，且满足，到平面的距离相等时，直线l与平面相交．故选：B． 4．（23-24高一下·佳木斯市·期末）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．，，则 B．，，，，则 C．，，，则 D．，，，则 【答案】D 【详解】对于A，，，则或，A错误；对于B，若，，，，则或相交，只有加上条件相交，结论才成立，B错误；对于C，，，无法得到，只有加上条件才能得出结论，C错误；对于D，，，则，又因为，所以，D正确.故选:D. 5．（23-24高一下·鹤岗市·期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，，则与的位置关系是相交、平行、异面直线，A错误； 对于B，若，，，则与的位置关系是平行或异面直线，B错误； 对于C，若，，，则与平行或相交，相交时也不一定垂直，C错误； 对于D，由，得存在过的平面与相交，令交线为，则，而， 于是，又，因此，而，所以，D正确. 故选：D 6．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 【答案】C 【详解】A：若，则或，故A错误； B：若，则或，故B错误； C：若，则，故C正确； D：若，且，则，故D错误. 故选：C 7．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）已知a，b，c为三条直线，，，为三个平面．下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BCD 【详解】对于A选项，令，，若，则一定有，，而在同一平面的a，b两条直线可以平行，也可以相交，故A错误；对于B选项，这是线面平行的性质定理，故B正确；对于C选项，这是面面垂直的判定定理，故C正确；对于D项，设，，过平面内一点A，分别作，，如图所示，因为，，，，所以，又因为，所以，同理：，又因为，、，所以，故D项正确.故选：BCD. 8．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题错误的是（   ） A．若，则. B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，，，可能，不一定，所以A错； 对于B，，，可能有，不一定，所以B错； 对于C，，，可能有或等，未必有，所以C错； 对于D，设，取不在、、、上点，过作交于，作交于， ，，，设与确定的平面交于点，连，，，， ，，为二面角的平面角， 四点、、、共圆； ，所以D对． 故选：ABC． 9．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知直线平面，直线平面，则（    ） A．若与垂直，则与一定垂直 B．若与所成的角为30°，则与所成的角也为30° C．是的充分不必要条件 D．若与相交，则为一定是异面直线 【答案】C 【详解】对于A，当与垂直时，由线面垂直判定定理可得与不一定垂直，A错误；对于B选项，由线面角的定义可知，与所成的角是直线与平面内所有直线所成角中最小的角，若与所成的角为，则与所成的角满足，B错；对于C选项，若，，，则，即，若，因为，则与平行或异面，即.所以，是的充分不必要条件，C对；对于D选项， 若与相交，则与相交或异面，D错.故选：C. 10．（23-24高一下·大庆市·期末）已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（    ） A．若，且与不垂直，则与一定不垂直 B．若与不平行，则与一定是异面直线 C．若，且，则与可能平行 D．若，则与可能垂直 【答案】D 【详解】对A：在平面内，存在无数条直线和垂直，故A错误； 对B：当时，与不是异面直线，故B错误； 对C：若，且，与为异面直线，故C错误； 对D：若，在内存在直线与垂直，故其可能与垂直，故D正确. 故选：D. 11．（23-24高一下·大庆市·期末）设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若不垂直于，则必不垂直于 C．若,，则 D．若是异面直线，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，，则，可能平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若不垂直于，且，则有可能垂直于，故B错误；对于C，若且，则或，故C错误；对于D，若、是异面直线，，，，，则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，设，又，则，，，所以， 又，，，，所以，故D正确. 故选：D. 空间距离与空间角题型03 1．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，棱长为1的正四面体的底面在平面上，现将正四面体绕棱逆时针旋转，当直线与平面第一次成角时，点A到平面的距离为 ． 【答案】 【详解】取的中点D，折叠后A在平面内的射影为E，则，， 所以．故答案为：. 2．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）正方体的棱长为2，G为的中点，则直线BD与平面的距离为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图易证∥平面，所以BD与平面的距离等于D与平面的距离.设D与平面的距离为h，则.又因为为正方体，所以平面，所以，所以，所以.又正方体的棱长为2，G为的中点，所以，，，所以中边上的高为.所以.故选：B. 3．（23-24高一下·鹤岗市·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示，四面体为鳖臑，平面，，，，分别是棱和上的动点，且，则的长最小为 . 【答案】 【详解】如图，作于点，连接.因为平面，平面，所以，又，所以,，所以平面，又平面，所以.又，，所以,由，得，则，得.设，，得到，， 在中， 由，得到，，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 4．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，分别取棱的中点F，H，连接，设，则． 因为E，F分别是棱的中点，所以，则是异面直线与所成的角或补角．因为H，E分别是棱的中点，所以.因为平面，所以平面.因为平面,所以，则．在中，由余弦定理可得．故选:D. 5．（23-24高一下·鹤岗市·期末）如下图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，，，设异面直线与所成的角为,，则,所以.故选：C 6．（23-24高一下·大庆市·期末）在棱长为2的正方体中，分别是棱上的动点，且，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，由知最大时最大，又，当且仅当即时取等，此时是的中点，，，设到平面的距离为 由得，即，解得，设直线与平面所成角为：.故选： A . 7．（23-24高一下·鹤岗市·期末）（多选）已知正方体的棱长为，、分别为棱和棱的中点，则下列四个结论正确的是（     ） A．直线与为异面直线 B．直线与所成的角为 C．直线与面所成的角为 D．到面的距离为 【答案】ACD 【详解】对于A：因为且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，所以直线与为异面直线，故A正确；对于B：因为、分别为棱和棱的中点，连接、，则，所以即为直线与所成的角，显然为等边三角形，所以，即直线与所成的角为，故B错误； 对于C：连接、交于点，连接，由正方体的性质可得，平面，平面，，又，平面，所以平面，又，所以即为直线与面所成的角，在中，所以，即直线与面所成的角为，故C正确； 对于D：设点到面的距离为，因为，又，所以，因为，所以，解得，即点到面的距离为，故D正确； 故选：ACD 内切外接球问题题型04 1．（23-24高一下·大庆市·期末）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 . 【答案】 【详解】正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为． 2．（23-24高一下·佳木斯市·期末）在直三棱柱中，，，，则这个直三棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直三棱柱中，，，所以，由正弦定理可得，所以，即△的外接圆的半径为，所以三棱柱的外接球的半径，所以．故选：． 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正六棱柱的性质可得为其外接球的球心（如图）, ，由于底面为正六边形，所以为等边三角形，故,所以,所以为外接球的半径，故外接球表面积为，故选：D 4．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】根据题意设底面的外心为G，O为球心，所以平面ABC， 因为平面ABC，所以，设是PA中点，因为，所以，因为平面平面ABC，所以，因此，因此四边形ODAG是平行四边形，故，∵，∴，又外接圆的半径，由正弦定理得，所以该外接球的半径满足，所以外接球的表面积为.故答案为：． 5．（23-24高一下·大庆市·期末）在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 【答案】/ 【详解】因为，所以点在平面上的射影为的外心，如下图，又，所以的外接圆的半径，从而三棱锥的高为.设该三棱锥外接球的半径为，则，即，解得，故球的表面积为.故答案为：. 6．（23-24高一下·黑河市·期末）如图，直三棱柱中，⊥，，，点P在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】由勾股定理得：，设BP=x，，则，，，由得：，解得：，因为，故由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立，将三棱锥补形为长方体，则三棱锥的外接球即该长方体的外接球，其中长方体的外接球的直径为，故半径为，故三棱锥的外接球的表面积为.故答案为： 7．（23-24高一下·鹤岗市·期末）在边长为的菱形中，，将沿着折叠，得到三棱锥，若，则该三棱锥的外接球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在菱形中，，所以和均是边长为的等边三角形， 如图在三棱锥中，设的中点为，连接，，设、分别为、外接圆的圆心，过点、分别作平面、平面的垂线，设两垂线交于点，则点为该三棱锥外接球的球心，连接、，则为外接球的半径，依题意，且、，由余弦定理，所以，由、分别为、外接圆的圆心，所以，，因为，，，所以，所以，所以，所以 ，即外接球的半径，所以外接球的体积.故选：C 8．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知球是棱长为12的正四面体的外接球，，，分别是棱，，的中点，则平面截球所得截面的面积是 . 【答案】 【详解】由正四面体的性质可知：，，因为，在中，由勾股定理得，由平行面分线段成比例可知：，故，，故所求截面面积为.故答案为：.    9．（23-24高一下·鹤岗市·期末）如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（   ） A．26π B．28π C．34π D．14π 【答案】C 【详解】如图，因为面，四边形为正方形，所以可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球.由面，所以就是与平面所成的角，则，所以，设四棱锥的外接球的半径为，因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径，所以，所以，所以四棱锥的外接球的表面积为.故选：C 10．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设AD的中点为E，设交于点O，连接，由于，则,而平面⊥平面，平面平面，平面，故平面，平面，故，,底面为正方形，则，又，故，而，即O为四棱锥的外接球的球心，则外接球的半径为，故四棱锥的外接球的体积为.故选A 11．（23-24高一下·大庆市·期末）已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【详解】，则，则，所以外接圆的半径，设，所以直三棱柱外接球的半径， 球的体积，所以，即，所以三棱柱的体积. 故选：A 12．（23-24高一下·黑河市·期末）已知正四棱柱的所有棱长之和为定值，则当该正四棱柱的外接球表面积为最小值时，其侧棱长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】设正四棱柱底面边长为，侧棱长为，定值为，则，正四棱柱外接球的直径，由题意可知，的最小值为，即的最小值为，，当时，的最小值为，解得：，即，所以侧棱长为.故选：C 13．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知某圆锥底面圆的直径是3，圆锥的母线长为3，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体（每条棱长都为a的三棱锥），并且正四面体内接于圆锥的内切球．圆锥的轴截面如图所示，其中轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，则a的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】依题意该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，圆锥的底面的半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图1所示， 由已知，所以为等边三角形，故P是的中心．连接，则平分，所以，所以，即，即正四面体的外接球的半径．另正四面体可以从正方体中截得，如图2所示，从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以，解得，即a的最大值为.故选：B． 14．（23-24高一下·鹤岗市·期末）（多选）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，点P是AD上的动点，将分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点G，则下列结论正确的是（    ） A．BG⊥EF B．G到平面DEF的距离为 C．若BG∥面EFP，则二面角D−EF−P的余弦值为 D．四面体G−DEF外接球表面积为 【答案】ACD 【详解】A中：连，，可知，因为，，，所以平面，又因为平面，所以，因为，且平面，所以面，又因为面，所以，所以A项正确；B中：因为，，所以为直角三角形，所以，所以故，又因为，故G到面的距离（等体积法），所以B项错误；C中：令，连，，因为面，面，面面，所以，又，，，又因为面，所以，，所以即为二面角的平面角，因为面，所以，在中，可得，又因为，故在中，由余弦定理的推论：，故二面角的余弦值为，所以C项正确；D中：由于，，两两互相垂直，不妨将三棱锥放置于一个长宽均为2、高为4的长方体中，其外接球半径，故其表面积，所以D项正确.故选：ACD. 几何体截面与动点轨迹问题题型05 1．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．三棱锥外接球表面积为 【答案】AD 【详解】对于A，连接，则，因为，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于B，连接，由正方体得，，又，所以，因为平面，即与平面不平行，所以与平面不平行，故B错误；对于C，由题意知，是直线与平面所成的角，且，所以直线与平面所成的角不是，故C错误；对于D，由正方体得，平面，且，，所以三棱锥外接球的直径，所以，外接球表面积为，故D正确；故选：AD． 2．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为 C．平面 D．直线与所成的角的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A，由正方体可得平面平面，且，平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，当与重合时，，所以的最小值不为，故B错误； 对于C，连接，，由正方体可得，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理可得平面 因为，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故C正确： 对于D，因为，所以（或其补角）为直线与所成的角， 由图可得当与重合时，此时最大为，当与重合时，此时最小为0， 所以直线与所成的角的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点．则下列结论正确的是（    ） A．若为中点，则平面 B．若为中点，则平面 C．不存在点，使得 D．PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ABD 【详解】对于A，连接，由于为中点，为线段的中点，故，而平面，平面，故平面，A正确；对于B，在正方体中，连接，则，又平面，平面，故，而平面，故平面，由A的分析可知，故平面，B正确；对于C，在正方体中，为线段的中点，也为为线段的中点，当Q与B重合时，平面，连接，则，又平面，平面，故，而平面，故平面，而平面，故，即，即存在点，使得，C错误；对于D，不妨设正方体棱长为2，作，垂足为H，则H为的中点，由于平面平面，平面平面，且平面，故平面，且，则为PQ与平面所成角，当Q与B重合时，取到最大值BH，此时PB即为PQ的最大值，此时PQ与平面所成角的正弦值取到最小值，为，而,故；作，垂足为G，则，，当Q与G重合时，取到最小值即为HG，此时PG长即为PQ的最小值，此时PQ与平面所成角的正弦值取到最大值，为，即PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为，D正确，故选：ABD 4．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在正方体中，为棱的一个三等分点（靠近点），分别为棱，的中点，过三点作正方体的截面，则下列说法正确的是（  ） A．所得截面是六边形 B．截面过棱的中点 C．截面不经过点 D．截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点 【答案】D 【详解】在正方体中，依题意，直线FG与直线交于点P，显然， 直线FE交DA延长线于点Q，则有，如图， 连接，则有，而平面平面，平面平面， 平面与平面有公共点，则平面与平面必有一条交线，此交线平行于，也平行于，连，因，则四边形是平行四边形，于是得，即平面平面，因此点是平面截正方体的截面的一个顶点，连交分别于点O，H，连接，则五边形是平面截正方体所得的截面，A不正确，C不正确；由知，，即，B不正确；由得，即，则截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点，D正确. 故选：D 5．（23-24高一下·大庆市·期末）（多选）如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面（包括边界）上运动，且∥平面，下面结论正确的是（ ）    A．点的运动轨迹为一条线段 B．直线与所成角可以为 C．三棱锥的体积是定值 D．若正方体的棱长为1，则平面与正方体的截面的面积为 【答案】ACD 【详解】不妨设正方体的棱长为1，对于选项A：取的中点，连接，由题意可知：∥，且，可知为平行四边形，则∥，又因为分别为的中点，则∥，可得∥，且平面，平面，可得∥平面，因为分别为的中点，则∥，且，又因为∥，且，可得∥，且，可知为平行四边形，则∥，且平面，平面，可得∥平面，由，平面，可得平面∥平面，若∥平面，可知平面，且侧面，侧面平面，可知，所以点的运动轨迹为一条线段，故A正确； 对于选项B：因为点的运动轨迹为线段，则直线与所成角为，因为侧面，侧面，则，在中，，又因为，则有：当为线段的中点时，取到最小值；当为线段的端点时，取到最大值；则，即，可知，故B错误； 对于选项C：由选项A可知：平面∥平面，且平面，则∥平面，且，可知点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于选项D：取的中点，连接，因为分别为的中点，则∥，由选项A可知：∥，则∥，所以平面与正方体的截面为四边形，由题意可知：，则等腰梯形的高，所以截面的面积为，故D正确； 故选：ACD. 6．（23-24高一下·牡丹江市·期末）如图，正方体的棱长为分别是棱，的中点，过点的平面分别与棱，交于点，设.给出以下四个命题： ①平面与平面所成角的最大值为45°；②四边形的面积的最小值为； ③四棱锥的体积为；④点到平面的距离的最大值为. 其中命题正确的序号为（    ） A．②③④ B．②③ C．①②④ D．③④ 【答案】A 【详解】对于①,由面面平行的性质定理可得,,可得四边形为平行四边形, 又直角梯形和直角梯形全等,可得,即有四边形为菱形,且, 平面在底面上的射影为四边形,设平面与平面所成角为, 由面积射影公式可得,由,可得, 可得平面与平面所成角的最大值不为,故①错误; 对于②,由,可得菱形的面积的最小值为,故②正确; 对于③,因为四棱锥的体积为,故③正确; 对于④,,,设到平面的距离为,可得,所以(其中, 当即时,取得最大值,故④正确.故选:A. 7．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）在正方体中，是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A．若是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 B．若为线段上的动点，则的最小值为 C．若为线段上的动点，则平面与平面夹角的余弦值的取值范围为 D．若为线段上的动点，且与平面交于点，则三棱锥的体积为 【答案】ACD 【详解】对于A：由正方体的定义可知∥，则是异面直线与所成的角或补角， 因为平面，且平面，则，在中，因为，则，所以，则A正确； 对于B：将平面展开到平面，则，仅当共线时等号成立， 所以的最小值为，故错误； 对于C：过点作∥，交于点，可知：∥∥，则平面即为平面，平面即为平面，则平面平面，且平面，则平面，且平面，则，可知为平面与平面的夹角，因为为线段上的动点，所以为线段上的动点，在正方体，结合对称性可知：当为线段的中点时，取到最大值，取到最小值，此时，则；当为线段的端点重合时，取到最小值，取到最大值；综上所述：，所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为，故C正确； 对于D：设平面与平面的交线为，因为∥平面，平面，则∥，又因为∥，且，可知为平行四边形，则∥，可得∥，因为与平面交于点，即，平面，且平面，可知平面，又因为平面平面，则，可知，且平面，可知三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为，故D正确. 故选：ACD. 8．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）如图，在直三棱柱中，，，，是边的中点，过点A，B，D作截面交于点E，则（    ） A． B．平面平面 C．平面 D．点到截面的距离为 【答案】ABD 【详解】如图，在直三棱柱中，，平面，平面，则有平面，平面，平面平面，可得，故A正确；∵是的中点，，，∴，又，∴，∴，则，∴，∵，，，平面，∴平面，∵平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，故B正确；因为，平面，所以与平面不平行，故C错误；设与交于点，则平面，又因为为的中点，所以点到截面的距离等于点到截面的距离.在中，，由等面积法可得，所以点到截面的距离为，故D正确.故选：ABD. 9．（23-24高一下·黑河市·期末）（多选）如图，在正三棱台中，，棱的中点分别为，点在侧面内运动（包含边界），且，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．正三棱台的体积为 C．与平面所成角的正切值为 D．动点形成的轨迹长度为 【答案】ABD 【详解】对A，如图，延长正三棱台的侧棱，设其相交于点，连结,如下图所示，则有，直线必过点，且，，过点作，，则四边形和均是边长为2的菱形，因为，所以为正三角形，，在中，，即，解得：,所以，所以是边长为6的等边三角形，由正三棱台性质可得， 所以,,所以，因为是边长为6的等边三角形，且是的中点，所以，，在中，由余弦定理可得，，在中，由余弦定理可得，，解得：，满足，所以，由，，，平面，可得平面，又平面，所以，由，，，平面，可得平面，故A正确；对B，因为，所以三棱台的高， 所以三棱台的体积，故B正确；对C，与平面所成的角为，因为，所以，所以，故C错误；对D，因为点在平面内的轨迹为以为圆心的圆被四边形所截的弧和，设的长为，则，所以动点形成的轨迹长度为，故D正确.故选：ABD 解答题题型06 1．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，分别为，的中点，且． (1)求证：； (2)求三棱锥的体积． 【详解】（1）四边形是矩形，， 又平面平面，平面平面，平面，平面， 又平面，， ，，，， ， 平面，平面， 平面，； （2）因为四边形ABCD是矩形，所以，， 因为平面PAD，平面PAD，所以平面， 所以点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离， 由（1）得平面，平面，，则， 又平面，所以，所以三棱锥的体积为． 2．（23-24高一下·佳木斯市·期末）一个圆台的母线长为，母线与轴的夹角是两底面的半径之比是． （1）求圆台的高； （2）求截得此圆台的圆锥的母线长． 【详解】（1）过圆台的轴作截面，如图，截面为等腰梯形，设O，分别为的中点，连接，作于点M．由已知可得腰长．在中，，所以， 所以圆台的高为． （2）延长交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由，可得，即，∴，即截得此圆台的圆锥的母线长为． 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，在正方体中，为的中点，为的中点．   (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【详解】（1）连接交于点，则为的中点，    因为为的中点，则，平面，平面， 因此，平面． （2）因为且，为的中点，为的中点， 所以，，所以，四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面，又平面，， 因此，平面平面． 4．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，在四棱锥中，M为AP边上的中点，N为CP边上的中点，平面平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【详解】（1）在四棱锥中，连接AC，   在中，由M、N为对应边上的中点，即MN为中位线，得， 又平面，平面，所以平面. （2）在四边形中，，，则，由，得， 而，则，于是， 由，得，又平面平面，平面平面， 平面，于是直线平面，又平面，则， 又，平面，所以CD⊥平面． 5．（23-24高一下·佳木斯市·期末）如图，在四棱锥中，，，⊥，平面⊥平面，分别是和的中点． 求证：（1）//平面；（2）平面⊥平面 【详解】（1）∵，，E是的中点， ∴，即是平行四边形．∴． ∵平面平面，∴平面， 又，平面，平面，∴平面， ，平面，且，∴平面平面． ∵平面，∴平面． （2）由题意，平面平面，且两平面交线为，平面，， ∴平面．∴．∴． 又，，平面，且，∴平面． ∵平面，∴平面平面． 6．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，在三棱锥中，是线段的中点，是线段上的一点. (1)若平面，试确定在上的位置，并说明理由； (2)若，证明：. 【详解】（1）是的中点，理由如下： 若平面，由平面，平面平面， 得.又是的中点，在上，∴是的中点. （2）取的中点，连接，， ∵，为中点，∴，， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴. 7．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线到平面的距离． 【详解】（1）连接，交点O，连接，则O是的中点， 因为D是的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为为等边三角形，且D是的中点，所以， 由正三棱柱的性质知平面， 因为平面，所以，又平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. （3）由（1）知平面，以直线到平面的距离等价于点B到平面的距离， 由（2）知平面，所以点A到平面的距离为， 而2，4， 设点B到平面ADC1的距离为d，因为， 所以，即，解得d， 所以直线A1B到平面ADC1的距离为． 8．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，已知平面，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【详解】（1）取中点，连接，，，如图所示， 又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2）因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为，点为的中点，所以， 因为平面平面平面，所以平面， 由（1）得四边形为平行四边形，所以， 所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等， 因为平面，所以即为直线与平面所成角， 因为点为的中点，，所以， 所以，由，所以， 所以直线与平面所成角为． 9．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）是矩形，， 又平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， 又，BC，平面，平面平面， 平面，平面． （2），，即为二面角的平面角， ，又，平面，平面，平面， 又平面，平面平面， 作于，连接，因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为，因为，， 所以，所以直线与平面所成角的正弦值为． 10．（23-24高一下·鹤岗市·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. (1)若平面交于点，求证：； (2)求证：平面； (3)判断直线与平面所成角的大小是否可以为？并说明理由. 【详解】（1）因为为正方形，所以，         因为平面，平面，所以平面， 因为平面交于点，所以平面平面， 因为平面，所以. （2）因为底面，平面，所以，   因为为正方形，所以， 因为，，平面，所以平面，   因为平面，所以， 因为，为线段的中点，所以， 因为，，平面，所以平面. （3）由（2）知，就是直线与平面所成角，所以. 设，则，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以直线与平面所成角的大小不可以为. 11．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，平面，，分别为的中点，． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【详解】（1）设，连接，由平面，平面，得， 因为，，，分别为的中点， 所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，所以， 因为分别是的中点，所以， 已知平面，平面，所以平面平面， 又，为中点，则， 而平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面，所以． （2）在平面内过点作，交延长线于，连接，则， 因为平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，，是的中点，所以， 因为，，平面，， 所以平面，由平面，所以， 所以是二面角的平面角， 设，则，由得，， 在，，所以， 所以二面角的正弦值． 12．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别为棱BC，的中点，点F是线段CE的中点．   (1)求证：平面； (2)求直线DF与平面ABF所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值． 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． 在矩形中，，，点E是棱的中点， 所以，所以是等边三角形， 又点F是线段CE的中点，所以， 又，平面，所以平面． （2）在平面BCE内，过点D作BF的垂线，垂足为H，如图所示． 由（1）知平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以是直线DF与平面ABF所成角． 在中，，，所以， 又点D为棱BC的中点，所以． 因为平面，又平面，所以， 所以，． 在中，由余弦定理得， 所以，即直线DF与平面ABF所成角的正弦值为． （3）在平面内，过点F作AC的垂线，垂足为O，在平面ABC内，过O作AD的垂线，垂足为G，连接FG，如图所示． 因为平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，又，所以为二面角的平面角． 在中，． 因为平面，平面，所以， 又易得，，所以，由等面积法可知． 在中，，，，所以， 所以，即二面角的余弦值为．   33 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$