专题02 解三角形（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（黑龙江专用）

专题02解三角形 题型概览 题型01解三角形 题型02解三角形的实际应用 题型03 三角形中的最值问题 题型04 解答题 解三角形题型01 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理得，因为，所以.故选：C. 2．（23-24高一下·大庆市·期末）在中，分别为内角的对边，若，，且，则 . 【答案】4 【详解】因为，所以，所以，即，由题干及正弦定理得，①，由余弦定理得，②，由①②得，，即，故答案为：4． 3．（23-24高一下·鹤岗市·期末）若，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】因为，所以，因为，所以，又因为，所以，即，所以，故是等边三角形，故选：D. 4．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（    ） A．当时，有两解 B．当时，有一解 C．当时，无解 D．当时，有两解 【答案】AC 【详解】对于A，由正弦定理得，即，所以，又因为，所以或，有两解，故A正确；对于B，由正弦定理得，无解，故B错误；对于C，由正弦定理得，无解，故C正确；对于D，由正弦定理得，又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误.故选：AC. 5．（23-24高一下·佳木斯市·期末）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的面积是 D．是钝角三角形 【答案】CD 【详解】当时，，显然，由正弦定理得：，所以，与已知矛盾，故A错误；因为，所以不妨设，故，所以，B错误；当时，，则，因为，所以，故，C正确；因为，所以A为钝角，故是钝角三角形,D正确.故选CD 6．（23-24高一下·黑河市·期末）（多选）设的内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．已知，则 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】AD 【详解】选项A：若，则由正弦定理得：则，则选项A正确.选项B：因为在中，则因为所以当时，当时，故选项B错误，选项C：若，则则则无符合条件的故选项C错误.选项D：若则由正弦定理得则则则或则则为等腰三角形或直角三角形,故选项D正确.故选：AD. 7．（23-24高一下·鹤岗市·期末）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，，则只有一解 C．若，则 D．若为锐角三角形，则 【答案】ACD 【详解】对于选项A：由，由正弦定理可得，则，因为，则，可得，即，所以为等腰三角形，故A正确；对于选项B：若，，，则，所以有两解，故B错误；对于选项C：若，有正弦定理可得，则，即，因为，则，可得，所以，故C正确；对于选项D：若为锐角三角形，则，可得，且，，则在上单调递增，所以，又因为，则，可得，所以，故D正确．故选：ACD. 解三角形的实际应用题型02 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底（即小山的最高处）的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为 ；古塔的塔高为 ． 【答案】 / 【详解】如图，在，，由正弦定理， 又， 所以，即，延长交于，则，又无人机飞行的海拔高度为，所以该座小山的海拔为，在中，，又，由正弦定理有，得到，故答案为：，. 2．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000，速度为50.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为（，）（ ） A．7350 B．2650 C．3650 D．4650 【答案】B 【详解】如图，设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，则，所以，在中，，由正弦定理得，则，因为，所以，所以山顶的海拔高度大约为.故选：B. 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（    ） A．80 B． C．160 D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，，所以，又因为，所以，在中，由正弦定理得，所以，在中，，所以.故选：D. 4．（23-24高一下·大庆市·期末）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】由题意，为的中点，由，得，当人在点时，如下图所示， 设，则，在中，，在中，， 因为，所以，解得或，因为，所以，则，则，当人运动到中点时，作于点，如下图所示，则，，所以，在中，.故选：B． 5．（23-24高一下·大庆市·期末）如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，因为，，所以，则，在中，由正弦定理得，，则，得，在直角三角形中，，得.故选：D 解三角形中的最值问题题型03 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 . 【答案】 【详解】中，，，所以，所以， 根据正弦定理，，即，因为，所以，由为三角形内角可知，，根据正弦定理，，所以，其中，，当时取得最大值，所以的最大值为.故答案为： 2．（23-24高一下·黑河市·期末）在中，内角的对边分别为，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 所以，由余弦定理得， 当且仅当，即时，等号成立，所以，所以当时，取得最大值，此时，所以的最大值是．故选：D． 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在锐角，由余弦定理可知，由面积公式可得，代入到已知条件可得，因为，化简可得，根据恒等变换可得，因为锐角，所以，所以可得，所以，则，因为锐角，所以，则，在单调递增，则，令，所以，所以，由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增，当时，是极小值，当或时，最大值，则.故选：C 4．（23-24高一下·大庆市·期末）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则 （用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是 . 【答案】 米 平方米. 【详解】在中，，AP=60米，∴（米）， 在中，可得，由题可知， ∴的面积为：， 又，，∴当，即时，的面积有最大值平方米， 即三角形绿地的最大面积是平方米.故答案为：米；平方米. 解答题题型04 1．（23-24高一下·大庆市·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，且，求的面积． 【详解】（1）因为，，所以由正弦定理得,， 又，所以，又，所以. （2）由，则， 故，，所以，所以， 又，整理得， 则，解得， 所以的面积为． 2．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且. （1）求A； （2）若，的面积为，求的值. 【详解】（1）由题可得. 因为，所以，所以，而，所以. （2）因为，所以. 由余弦定理得：，所以. 3．（23-24高一下·牡丹江市·期末）在中，分别为内角的对边，且． (1)求角A的大小； (2)设角A的内角平分线交于点，若的面积为，求的值． 【详解】（1）由及正弦定理得： ，即． 由余弦定理得，又，所以． （2）由角的内角平分线交于点可知， ，所以． 4．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知面积为，角，，的对边分别为，，，请从以下条件中任选一个，解答下列问题：①；②；③ (1)求角； (2)若，是上的点，平分，的面积为，求角平分线的长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】（1）若选①，则， 可得，又因为，所以； 若选②，由正弦定理可得， 因为，则，所以，所以， 又，则，所以，所以，所以，则； 若选③，由正弦定理可得， 因为，则，所以， 即，所以，即， 又，则，所以，则； （2）因为，是上的点，平分，的面积为， 所以，可得，， 由余弦定理可得，即，解得（负值已舍去），即角平分线的长为. 5．（23-24高一下·佳木斯市·期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足． (1)求角B； (2)若，的面积为，求的周长． 【详解】（1）因，由正弦定理得，， 化简得：，由余弦定理得，， 因，故. （2）由的面积为可得：，即：， 由余弦定理，，即：， 从而，，则. 故的周长为： 6．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，点是线段上的一点，且，求的周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又， 所以，即， 又，所以， 所以，又，所以. （2）由题意知， 又，所以，即. 在中，由余弦定理得，即， 所以，解得或（舍）， 所以的周长为. 7．（23-24高一下·大庆市·期末）在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点. (1)求角的大小； (2)若为角的角平分线，，的周长为15，求的长. 【详解】（1）解：，，且，， 由正弦定理得，， ，， 在三角形中，，，，∵，. （2）解：，， 由余弦定理得，即，解得. 为角的角平分线，，∵， ∴，∴，得 . 8．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，，求边及的面积； (3)在（2）的条件下，求的值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即，即， 又，所以，则，又，所以. （2）由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以的面积. （3）由正弦定理得，即，解得， 因为，故角为锐角，故， 所以，， 所以. 9．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 又，所以， 因为为三角形内角，，所以，可得， 因为，所以； （2）（Ⅰ）此时，，所以，所以， 在中，由正弦定理可得； （Ⅱ）设，由，可得， 化简可得，有， 由于，所以， 所以， 所以． 10．（23-24高一下·鹤岗市·期末）如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点均不重合，落在边上且不与端点重合，设.   （1）若，求此时公共绿地的面积； （2）为方便小区居民的行走，设计时要求的长度最短，求此时绿地公共走道的长度. 【详解】（1）由图得：  ∴， 又  ∴  ∴， ∴； （2）由图得：且 ， ∴ ， 在中，由正弦定理可得: ，∴ ， 记， 又 ，∴ ， ∴时，取最大，最短，则此时. 11．（23-24高一下·黑河市·期末）在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的值．(2)求的取值范围． 【详解】（1）设的外接圆半径为． 由正弦定理，得，，． 因为，则， 整理得， 由余弦定理得，即， 又因为，则，可得，所以． （2）由正弦定理可得，则 因为是锐角三角形，则，解得，则，可得， 所以的取值范围是． 12．（23-24高一下·大庆市·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，      由余弦定理得， 又，所以； （2）因为，所以． 因为D是线段AC的中点，所以， 所以，           由正弦定理得，所以，， 所以   , 又为锐角三角形，所以，解得，所以，        即，则，所以， 即，则BD的长的取值范围是． 13．（23-24高一下·大庆市·期末）在锐角中，角，，的对边为，，，若，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的面积； (3)如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 【详解】（1）因为，， 所以，即， 由余弦定理得，又，∴． （2）因为是的中点，所以，两边平方可得， 即， 又，所以，面积为. （3）设，当DC与外接圆相切时，可得，则， 则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由正弦定理得，所以 因为，所以 又，所以，所以当，即时，有最大值，最大值为. 14．（23-24高一下·大庆市·期末）代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧，例如可以通过拆角转化为，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角的对边分别为． (1)证明：； (2)求角的大小； (3)若点是边（不包含端点）上的一动点，过点向直线作垂线，垂足为，已知，求证：． 【详解】（1）证明： ． （2）因为，所以，因为，所以，所以， 因为，所以，由正弦定理得，， 由（1）得， ， 所以，即， 因为，所以，所以，即． （3）证明：设，，则， 由余弦定理得，， 整理得，，代入， 得，解得，或 因为，所以， 设，则，， 则， 在中，由余弦定理得，，即， 整理得，， 所以 ， 因为， 当且仅当时，即时等号成立， 又， 所以，即， 所以，所以． 15．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，已知S为的面积且满足． (1)若为锐角三角形，求的取值范围； (2)法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．若P是内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立．求的最小值． 【详解】（1），，即，． ，，，，， 为锐角三角形，，，，， 设，则，时， （2）． 又，，，， ． 由三维分式型柯西不等式有． 当且仅当即时等号成立． 由余弦定理得， 所以即，则． 令，则． 因为解得，当且仅当时等号成立． 所以．则．令，则在上递减， 当即时，y有最大值，所以T的最小值为． 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02解三角形 题型概览 题型01解三角形 题型02解三角形的实际应用 题型03 三角形中的最值问题 题型04 解答题 解三角形题型01 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·大庆市·期末）在中，分别为内角的对边，若，，且，则 . 3．（23-24高一下·鹤岗市·期末）若，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（    ） A．当时，有两解 B．当时，有一解 C．当时，无解 D．当时，有两解 5．（23-24高一下·佳木斯市·期末）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的面积是 D．是钝角三角形 6．（23-24高一下·黑河市·期末）（多选）设的内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．已知，则 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 7．（23-24高一下·鹤岗市·期末）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，，则只有一解 C．若，则 D．若为锐角三角形，则 解三角形的实际应用题型02 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底（即小山的最高处）的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为 ；古塔的塔高为 ． 2．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000，速度为50.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为（，）（ ） A．7350 B．2650 C．3650 D．4650 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象．若要测量如图所示的蓝洞的口径，即两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点间的距离为（    ） A．80 B． C．160 D． 4．（23-24高一下·大庆市·期末）某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（   ） A． B． C．5 D． 5．（23-24高一下·大庆市·期末）如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（    ） A． B． C． D． 解三角形中的最值问题题型03 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 . 2．（23-24高一下·黑河市·期末）在中，内角的对边分别为，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·大庆市·期末）某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地，其中在上，，垂足为，，垂足为，设，则 （用表示）；当在上运动时，这块三角形绿地的最大面积是 . 解答题题型04 1．（23-24高一下·大庆市·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，且，求的面积． 2．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A是锐角，且. （1）求A； （2）若，的面积为，求的值. 3．（23-24高一下·牡丹江市·期末）在中，分别为内角的对边，且． (1)求角A的大小； (2)设角A的内角平分线交于点，若的面积为，求的值． 4．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知面积为，角，，的对边分别为，，，请从以下条件中任选一个，解答下列问题：①；②；③ (1)求角； (2)若，是上的点，平分，的面积为，求角平分线的长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 5．（23-24高一下·佳木斯市·期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足． (1)求角B； (2)若，的面积为，求的周长． 6．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，点是线段上的一点，且，求的周长. 7．（23-24高一下·大庆市·期末）在中，角所对的边分别为，向量，，且，为线段上一点. (1)求角的大小； (2)若为角的角平分线，，的周长为15，求的长. 8．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，，求边及的面积； (3)在（2）的条件下，求的值. 9．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 10．（23-24高一下·鹤岗市·期末）如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中.设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形（和）.现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点均不重合，落在边上且不与端点重合，设.   （1）若，求此时公共绿地的面积； （2）为方便小区居民的行走，设计时要求的长度最短，求此时绿地公共走道的长度. 11．（23-24高一下·黑河市·期末）在锐角三角形中，内角A，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的值．(2)求的取值范围． 12．（23-24高一下·大庆市·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 13．（23-24高一下·大庆市·期末）在锐角中，角，，的对边为，，，若，. (1)求角的大小； (2)若为的中点，且，求的面积； (3)如图，过点在所在平面内作，且满足.求线段的最大值. 14．（23-24高一下·大庆市·期末）代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧，例如可以通过拆角转化为，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角的对边分别为． (1)证明：； (2)求角的大小； (3)若点是边（不包含端点）上的一动点，过点向直线作垂线，垂足为，已知，求证：． 15．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，已知S为的面积且满足． (1)若为锐角三角形，求的取值范围； (2)法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．若P是内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立．求的最小值． 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$