专题01 平面向量（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（黑龙江专用）

专题01平面向量 题型概览 题型01平面向量的运算 题型02平面向量运算的坐标表示 题型03平面向量的投影向量 题型04平面向量基本定理及其应用 题型05 平面向量中的最值问题 题型06 解答题 平面向量的运算题型01 1．（23-24高一下·大庆市·期末）已知向量的夹角为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为，所以，即，又因为，向量的夹角为， 所以，即，解得. 故选：D. 2．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知向量的夹角为，，则 ． 【答案】 【详解】根据题意，向量的夹角为，，，则，则，所以，故答案为：． 3．（23-24高一下·佳木斯市·期末），，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】,因为，所以.故选：A. 4．（23-24高一下·佳木斯市·期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，因为，，所以，所以，所以，所以，所以， 因为，所以.故选：B 5．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知单位向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，由，得， 所以.故选：C 6．（23-24高一下·大庆市·期末）已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心，所以三角形是等边三角形.故选：D. 7．（23-24高一下·牡丹江市·期末）（多选）下列关于向量，，的运算，一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A：由平面向量数量积的运算性质可以判断本选项一定成立； B：与共线，与共线，而与不一定共线， 所以不一定成立，因此本选项不一定成立； C：，所以本选项一定成立； D：当 时，，所以本选项不一定成立， 故选：AC 8．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）下列关于平面向量的说法中错误的是（    ） A．设，为非零向量，若，则 B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 C．设，， 为非零向量，则 D．若点为的外心，则 【答案】BCD 【详解】对于A，若，则，可得，又，为非零向量，所以，A正确；对于B，若，且，为非零向量，所以，夹角为锐角或者同向，B错；对于C，与共线，与共线，C错；对于D，若点为的重心，延长交于，可得为中点，即有，即有，而为的外心，与重心性质不符，D错.故选：BCD   9．（23-24高一下·鹤岗市·期末）折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】A.，则与不平行，故①错误；B.设，，故②正确； C.，故③正确；D.，故④正确.故选：C 10．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（ ） A．若O为的外心，且，则 B．若O为的内心，，则 C．若O为的重心，，则角A=60° D．若O为的外心，且O到a，b，c三边距离分别为则 【答案】AB 【详解】对于A，设外接圆半径为，因为，所以，则，也即，所以，则，故选项A正确；对于B，取的中点，连接，作，垂足分别为， 因为，所以为的角平分线，所以，又，，所以，则；因为的周长，面积，所以内切圆半径，所以，又，所以，因为，所以，则，，所以，故选项B正确；对于C，因为点为的重心，所以，又因为，令，则，在中，由余弦定理可得，，因为，则，故选项C错误；对于D，设外接圆半径为，因为，， 所以，从而得到，同理可得，所以，故选项D错误，故选：AB. 平面向量运算的坐标表示题型02 1．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：，所以与不共线，故A错误； 对于B：，所以与不垂直，故B错误； 对于C、D：因为，所以，所以，故D正确，C错误. 故选：D 2．（23-24高一下·大庆市·期末）已知向量，若向量与向量平行，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】∵向量,∴,，又向量与向量平行, ∴,，解得.故选：A. 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知向量，若三点共线，则 . 【答案】 【详解】由，又三点共线，所以与共线，得，解得.故答案为： 4．（23-24高一下·双鸭山市·期末）已知向量，，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，解得，可得，所以． 故答案为：. 5．（23-24高一下·佳木斯市·期末）已知向量，则与共线的单位向量是 . 【答案】 【详解】，，与共线的单位向量可表示为：， 故答案为：. 6．（23-24高一下·牡丹江市·期末）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由已知可得，由可得，解得，所以由与的夹角为钝角可得解得，且.因此，当时，与的夹角不一定为钝角，则充分性不成立；当与的夹角为钝角时，，且，即成立，则必要性成立.综上所述，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B． 平面向量的投影向量题型03 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，在上的投影向量为：.故选：A 2．（23-24高一下·大庆市·期末）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量，则向量在向量上的投影向量是.故选：A. 3．（23-24高一下·大庆市·期末）已知向量，则向量在上投影向量的模为 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 则，且，设向量与的夹角为，则向量在上投影向量的模为，故答案为：． 4．（23-24高一下·佳木斯市·期末）已知向量与的夹角为，且，，则= 及在上的投影向量为 (用表示) 【答案】 【详解】因为向量与的夹角为，且，，所以 ，在上的投影向量为.故答案为：； 5．（23-24高一下·黑河市·期末）设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】，在方向上的投影向量为，所以，所以.故选：D 6．（23-24高一下·大庆市·期末）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 【答案】 【详解】由得，因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为，所以，即，所以，所以，故答案为：． 7．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为 ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，所以，即夹角为，故选：C. 8．（23-24高一下·双鸭山市·期末）向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【详解】因为，，所以向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，所以.故选：B. 平面向量基本定理及其应用题型04 1．（23-24高一下·佳木斯市·期末）若，，且三点共线，则为 . 【答案】/ 【详解】因为三点共线，所以存在唯一实数，使，所以，所以，解得.故答案为： 2．（23-24高一下·绥化市·期末）如图，在中，N为线段上靠近A的三等分点，点P在上且则实数m的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，，三点共线，，.故选：D. 3．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（    ） A．50 B．80 C．86 D．110 【答案】B 【详解】因为在中，是上的两个三等分点，， 所以，， 所以.故选：B 4．（23-24高一下·齐齐哈尔市·期末）在中，，，，若点满足，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】.故选：C. 5．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知中，为上一点，且，垂足为，则 ． 【答案】/ 【详解】如图，以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，因为，，所以，则，又，过作于，易知，所以,得到，设，则，所以，  故答案为：. 6．（23-24高一下·佳木斯市·期末）（多选）如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（    ）． A． B． C． D．与夹角的余弦值为 【答案】AC 【详解】对A，，故A正确；对B，设，则由A，，故，因为三点共线，故，解得，故，故，所以，即，故B错误；对C，由余弦定理，，由B有，故，即，所以，故C正确；对D，在中，，，故，故D错误；故选：AC 平面向量中的最值问题题型05 1．（23-24高一下·绥化市·期末）已知：向量与的夹角为锐角．则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】两向量夹角的坐标公式为，因为向量与的夹角为锐角，则，所以.故答案为： 2．（23-24高一下·大庆市·期末）若向量，，若与所成角为锐角，则n的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【详解】由题得.因为与所成角为锐角，所以. 综合得且.故选：B 3．（23-24高一下·佳木斯市·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，由，表示为以为圆心，为半径的圆，圆心到原点的距离为，所以圆上点到原点距离最小为，因为，所以最小值为，故选:A. 4．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（    ）   A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】设为斜边上的高，则圆的半径，设为斜边的中点，，则，因为，，则，故当时，的最小值为.故选：C. 5．（23-24高一下·佳木斯市·期末）如右图，给定两个平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上，且（其中），则满足的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，，由平面向量共线定理知，当在直线上时，，取，过点作的平行线，与扇形交于，由“等和线”结论知，当在直线上时，，故当在弧上时，，易得，，故所求概率为，故选：B 6．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（ ） A．与能构成一组基底 B． C．在向量上的投影向量的模为 D．的最大值为 【答案】BCD 【详解】连接AF，因为，故，因为，故，故，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则 故，故， 所以与平行，不能构成一组基底，A错误；，，，，故，B正确；，，，故在向量上的投影向量的模长为，C正确；取的中点，则，，则，，两式相减得：，当点与点或重合时，最大，最大值为，则的最大值为，D正确. 故选：BCD 解答题题型06 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知向量，． (1)若，求的坐标； (2)若，求与的夹角． 【详解】（1）由题意，设．，， ，或． （2），， ，即，． 设与的夹角为，则． 又，，与的夹角为． 2．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知向量． (1)若三点共线，求的值； (2)若四边形为矩形，求的值． 【详解】（1）因为， 所以，． 又三点共线，所以，所以，解得． （2）由， 若四边形为矩形，则．即，解得． 由，得解得．所以． 3．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知． （1）求与的夹角； （2）若，且，求实数t及． 【详解】（1）由已知，， 所以，又，所以； （2）由题意，解得，， ， 所以． 4．（23-24高一下·佳木斯市·期末）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. (3)求向量与向量的夹角余弦值． 【详解】（1）因为，，所以， ， ∵，∴，解得. （2）由题意得，， ∵，∴，解得. （3）因为，所以，， 又，设向量与向量的夹角为， 所以. 5．（23-24高一下·绥化市·期末）已知向量，． (1)若与的夹角为，求实数m的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量． 【详解】（1）因为，，则， 若与的夹角为，则且， 可得，解得或， 所以实数m的值为或. （2）若，则，解得， 可得， 所以向量在向量上的投影向量为. 6．（23-24高一下·双鸭山市·期末）在中，已知在线段上，且，设． (1)用向量表示； (2)若，求． 【详解】（1）因为，所以，由题得； （2）由已知得， ． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01平面向量 题型概览 题型01平面向量的运算 题型02平面向量运算的坐标表示 题型03平面向量的投影向量 题型04平面向量基本定理及其应用 题型05 平面向量中的最值问题 题型06 解答题 平面向量的运算题型01 1．（23-24高一下·大庆市·期末）已知向量的夹角为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知向量的夹角为，，则 ． 3．（23-24高一下·佳木斯市·期末），，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·佳木斯市·期末）已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知单位向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·大庆市·期末）已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 7．（23-24高一下·牡丹江市·期末）（多选）下列关于向量，，的运算，一定成立的有（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）下列关于平面向量的说法中错误的是（    ） A．设，为非零向量，若，则 B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角 C．设，， 为非零向量，则 D．若点为的外心，则 9．（23-24高一下·鹤岗市·期末）折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（ ） A．若O为的外心，且，则 B．若O为的内心，，则 C．若O为的重心，，则角A=60° D．若O为的外心，且O到a，b，c三边距离分别为则 平面向量运算的坐标表示题型02 1．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·大庆市·期末）已知向量，若向量与向量平行，则的值为（    ） A． B．0 C． D． 3．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知向量，若三点共线，则 . 4．（23-24高一下·双鸭山市·期末）已知向量，，若，则 ． 5．（23-24高一下·佳木斯市·期末）已知向量，则与共线的单位向量是 . 6．（23-24高一下·牡丹江市·期末）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 平面向量的投影向量题型03 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·大庆市·期末）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·大庆市·期末）已知向量，则向量在上投影向量的模为 ． 4．（23-24高一下·佳木斯市·期末）已知向量与的夹角为，且，，则= 及在上的投影向量为 (用表示) 5．（23-24高一下·黑河市·期末）设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（23-24高一下·大庆市·期末）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 7．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为 ，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·双鸭山市·期末）向量在向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C．8 D．12 平面向量基本定理及其应用题型04 1．（23-24高一下·佳木斯市·期末）若，，且三点共线，则为 . 2．（23-24高一下·绥化市·期末）如图，在中，N为线段上靠近A的三等分点，点P在上且则实数m的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（    ） A．50 B．80 C．86 D．110 4．（23-24高一下·齐齐哈尔市·期末）在中，，，，若点满足，则（    ） A． B． C．1 D． 5．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知中，为上一点，且，垂足为，则 ． 6．（23-24高一下·佳木斯市·期末）（多选）如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（    ）． A． B． C． D．与夹角的余弦值为 平面向量中的最值问题题型05 1．（23-24高一下·绥化市·期末）已知：向量与的夹角为锐角．则实数m的取值范围为 ． 2．（23-24高一下·大庆市·期末）若向量，，若与所成角为锐角，则n的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 3．（23-24高一下·佳木斯市·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·大庆市·期末）如图，在中，，，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则的最小值为（    ）   A．0 B． C． D． 5．（23-24高一下·佳木斯市·期末）如右图，给定两个平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上，且（其中），则满足的概率为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）（多选）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（ ） A．与能构成一组基底 B． C．在向量上的投影向量的模为 D．的最大值为 解答题题型06 1．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知向量，． (1)若，求的坐标； (2)若，求与的夹角． 2．（23-24高一下·哈尔滨市·期末）已知向量． (1)若三点共线，求的值； (2)若四边形为矩形，求的值． 3．（23-24高一下·鹤岗市·期末）已知． （1）求与的夹角； （2）若，且，求实数t及． 4．（23-24高一下·佳木斯市·期末）已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. (3)求向量与向量的夹角余弦值． 5．（23-24高一下·绥化市·期末）已知向量，． (1)若与的夹角为，求实数m的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量． 6．（23-24高一下·双鸭山市·期末）在中，已知在线段上，且，设． (1)用向量表示； (2)若，求． 6 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$