第02讲 子集、全集、补集（九大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第02讲 子集、全集、补集 【苏教版2019】 模块一 集合的子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. 3．有限集合的子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【题型1 子集、真子集的确定】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合子集的定义，即可求解. 【解答过程】由集合， 根据集合子集的定义，可得， 故选：D. 【变式1.1】（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，则下列集合中是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据真子集的定义一一判断即可. 【解答过程】对A，两集合相等，故A选项不是集合A的真子集， 对B，由真子集定义知，是集合A的真子集， C和D选项的集合里含有不属于集合A的元素，故C,D错误， 故选：B. 【变式1.2】（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【解题思路】根据子集概念分析即可求解. 【解答过程】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 【变式1.3】（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）已知，，若，则集合中的所有非空子集的元素之和为（   ） A．15 B．30 C．60 D．120 【解题思路】根据给定条件，利用列举法表示出集合，进而求出结果. 【解答过程】由，，得， 含有数1的的子集有：，共8个， 同理含有数2、4、8的的子集都各有8个， 所以集合中的所有非空子集的元素之和为. 故选：D. 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【解题思路】根据条件，先化简集合A，再利用子集个数的计算公式，即可求解. 【解答过程】由， 则集合A的子集个数为. 故选：B. 【变式2.1】（23-24高一上·湖北·阶段练习）集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 【解题思路】根据题意，写出集合，根据集合所包含的元素个数，得到其真子集的个数. 【解答过程】由，， 所以，集合中含有5个元素， 所以集合的真子集个数为个. 故选：C. 【变式2.2】（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 【解题思路】先求出集合，然后分和两种情况由可求出的值，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数. 【解答过程】由，得，解得或， 所以， 当时，，满足， 当时，，因为，所以或，得或， 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为， 故选：C. 【变式2.3】（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【解题思路】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果. 【解答过程】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 模块二 集合间的关系 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩(Venn)图.A是B的子集，可用下图表示： 4．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【题型3 集合的相等】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合中的元素是否相同，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】集合中的元素具有无序性，选项A中两个集合是同一个集合，故A不符题意； 选项B中两个集合都是数集，且范围都是全体实数，故是同一个集合，故B不符题意； 选项C中两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故是同一个集合，故C不符题意； 选项D中两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的， 故两集合不是同一个集合，故D正确． 故选：D. 【变式3.1】（24-25高一上·云南大理·期末）给出以下集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据集合相等的定义逐项判断即可. 【解答过程】对于A，中只有一个元素， 中有两个元素，，故，不是相等的集合； 对于B，，，是空集，中有一个元素， 故，不是相等的集合； 对于C，，，和中各有一个元素，但元素不相同，故，不是相等的集合； 对于D，解一元二次方程可得，或，故， 解一元二次方程可得，或，故， 和都只有两个元素，，所以和是相等的集合． 故选：D． 【变式3.2】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】令或分类讨论即可． 【解答过程】因为集合，， 若，由集合的互异性知，则或． 当时，， ，有，得， 所以； 当时，集合，，有， 又，所以，得，不满足题意． 综上． 故选：C． 【变式3.3】（24-25高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【解题思路】由两集合相等，元素完全一样，则可列出等式，结合集合中元素满足互异性即可解出答案. 【解答过程】因为，所以或，解得或或， 又集合中的元素需满足互异性，所以， 则． 故选：C. 【题型4 空集的判断、性质及应用】 【例4】（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据的定义与性质结合元素与集合的关系逐项分析判断. 【解答过程】因为是不含任何元素的集合，故A正确，C不正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项D：因为是任何集合的子集，所以，故D正确； 故选：C. 【变式4.1】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据元素与集合的关系以及空集的定义逐一判断. 【解答过程】选项，不是的元素，即不成立，则错误； 选项，中没有任何元素，即，则错误； 选项，中没有任何元素，而表示集合里面只有一个元素，即两者不相等，则错误； 选项，元素为集合中的元素，即，则正确； 故选：D. 【变式4.2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】先对方程进行整理，然后根据方程的解为增根即可求解.． 【解答过程】方程整理得， 则有，解得且， 由方程的解集为空集，所以，即. 故选：D. 【变式4.3】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【解答过程】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C. 【题型5 集合关系的Venn图表示】 【例5】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【解答过程】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 【变式5.1】（24-25高一上·河北·阶段练习）已知集合，若关系如图所示，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得到，即可求解. 【解答过程】， 由图可知, 所以， 故选：D. 【变式5.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）请用文氏图表示下列集合关系：，． 【解题思路】根据为的真子集，得到文氏图. 【解答过程】由于高一（1）班班长是高一（1）班班委成员，即为的真子集， 【变式5.3】（24-25高一·全国·随堂练习）举例说明集合间的包含关系与相等关系，并用Venn图直观表示． 【解题思路】根据集合间的包含关系与相等的定义，给合Venn图直观表示即可. 【解答过程】集合之间的包含关系： 例如，，显然，Venn图表示如下图：      集合之间的相等关系： 例如：是两条边相等的三角形，是等腰三角形， Venn图表示如下图： 【题型6 判断集合间的关系】 【例6】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用集合间的包含关系直接判断即可. 【解答过程】由，， 则. 故选：B. 【变式6.1】（24-25高一上·天津·阶段练习）若，则集合间的关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知集合及且，可得结论. 【解答过程】且， 所以. 故选：B. 【变式6.2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若集合，集合则集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出集合，再结合集合间包含关系的定义判断 【解答过程】解：集合 而集合，表示直线上所有点组成的集合， 所以． 故选：B． 【变式6.3】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 【解题思路】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【解答过程】由， 又，， 而为偶数，和为整数，所以. 故选：B. 【题型7 根据集合的关系求参数】 【例7】（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 【解题思路】由集合包含关系，分，两类情况讨论即可. 【解答过程】. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，即，符合题意. 故选：A. 【变式7.1】（24-25高一上·广东东莞·期末）设集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用集合包含关系得不等关系，从而求解． 【解答过程】， ， ， 由题意如图： ，解得a 故选：C． 【变式7.2】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 【解题思路】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可． （2）先化简集合，，再由，能求得的值． 【解答过程】（1）集合， ， ①若，则 则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：，即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且， 则 综上所述，实数的取值范围是或． （2），， 则，即 即0和是方程的两根 解得：或（舍去） 故． 【变式7.3】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【解题思路】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 模块三 补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 【题型8 补集及其运算】 【例8】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据补集的定义求解即可． 【解答过程】因为集合，集合， 所以． 故选：C. 【变式8.1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出集合，再利用补集的定义求解. 【解答过程】依题意，，所以. 故选：D. 【变式8.2】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】因为，由集合相等的定义即可列出方程求出的值，但要注意集合元素具有互异性，所以求出的值之后还要回代到具体集合中验证是否满足元素之间互异. 【解答过程】由题意集合，， 又因为，且全集， 所以，解得， 但当时，集合违背了元素之间的互异性， 而当时，集合，，满足题意, 综上所述：. 故选：A. 【变式8.3】（25-26高一上·福建泉州·阶段练习）设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【解题思路】利用集合补集的定义求解即可. 【解答过程】因为，集合，， 由补集的定义可知的可能取值为3或4， 当即时，不满足题意； 当即时，，此时满足题意， 综上， 故选：C. 【题型9 集合关系中的新定义问题】 【例9】（24-25高一·全国·课后作业）定义，，，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【解题思路】先求出集合A*B＝{1，2，3，4}，由公式求出集合A*B的真子集的个数 【解答过程】∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}， ∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}， 则A*B集合的真子集的个数是24﹣1＝15个， 故选：B. 【变式9.1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（   ） A．31 B．7 C．3 D．1 【解题思路】根据条件确定构成伙伴关系的元素，利用集合关系进行判断即可 【解答过程】若，则， 若，则， 若，则， 则为伙伴关系集合， 共7个， 故选：B. 【变式9.2】（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 【解题思路】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和. 【解答过程】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为； （2）在集合所有非空子集中，数字1与中的元素构成子集， 故数字1在集合所有非空子集中共出现次， 同理2，3，4，5，6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. 【变式9.3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 【解题思路】（1）根据定义计算即可求解； （2）根据定义计算出集合中的元素，再根据的子集个数为4个得出中有2个元素，分别列出方程，求解即可； （3），，根据作差法得出，结合，即可证明． 【解答过程】（1）由题可知： ①当时，， ②当时，， ③当，或时，， 所以． （2）①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或或， 解得或或（舍去）． （3）证明：，， ， ， ，即， ，又，所以， 综上可得． 一、单选题 1．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【解题思路】利用子集的概念及性质可判断①，利用相等集合的概念可判断②，利用空集的定义可判断③、⑥，利用元素与集合的关系进行判断④，利用集合与集合间的关系可判断⑤． 【解答过程】根据任意集合是自身的子集，可知①正确； 根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确； 因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 所以①④⑥正确 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由集合元素的特征和属性进行判断. 【解答过程】A选项：，故A错误； B选项：中的元素为点中的元素为实数 ，故B错误； C选项：,，故C选项正确； D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误． 故选：C. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据真子集的概念，进行求解即可. 【解答过程】因为为M的真子集， 所以，且M中至少还有一个元素．又， 所以或或， 故满足条件的集合M有3个． 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 【解题思路】根据题设有则，结合集合的描述得，即可确定子集个数. 【解答过程】由，则，又，且 所以，故子集个数为. 故选：B. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【解题思路】根据集合中元素的特征分析做出判断． 【解答过程】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且，则， 故选：B． 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分和，根据集合的包含关系分别研究参数范围. 【解答过程】若，则，即当时，满足； 若，则，即当时，由得，所以． 综上，． 故选：D. 7．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可． 【解答过程】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 8．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【解题思路】不妨设，则中其他元素包含2个1和2个，最多共有6个元素，又，，三组元素不正交，所以6个元素中最多只有3个元素在中，即可得到答案. 【解答过程】不妨设， 由，则中最多包含6个元素， 又，，三组元素不正交， 所以6个元素中最多只有3个元素在集合中，如， 若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 【解题思路】按照B为空集和B不为空集，根据集合的包含关系分类讨论求得实数a的值，进而做出正确判断. 【解答过程】若B为空集，则方程无解，解得； 若B不为空集，则，由解得， 所以或，解得或． 综上，a的值可以为，0，． 故选：ABC. 10．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（    ） A．3 B． C．3.5 D．6 【解题思路】利用真子集概念，得出关于的不等式，解之即可判断选项正误. 【解答过程】因为是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 故需使或，解得或； 综上所述：或； 故选：BCD. 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 【解题思路】根据已知条件，利用集合相等或包含关系的条件，分别研究各选项，从而做出正确选择． 【解答过程】选项A，由相等集合的概念可得此方程组无解，故不存在实数a，使得集合，因此A正确； 选项B，由，得即此不等式组无解，因此B错误； 选项C，当时，得为空集，满足，因此C正确； 选项D，当，即时，，符合， 当时，要使，需满足解得，不满足， 故这样的实数a不存在，因此D错误． 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高一上·四川眉山·期末）若集合，A的子集个数是 16 个． 【解题思路】根据题意可知集合A有4个元素，进而可得子集个数. 【解答过程】因为集合A有4个元素，所以A的子集个数是个. 故答案为：16. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 【解题思路】根据题意，求得，分，，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】由方程，解得或，可得集合， 若，则满足，解得，此时满足； 若，当，即时，，满足，符合题意； 当，即时，中有两个元素，，则满足无解， 综上可得，实数的取值范围是． 故答案为：. 14．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为 7 . 【解题思路】由，即为奇数，求得集合，即可得真子集的个数. 【解答过程】∵，∴为奇数，∴， ∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故答案为：7. 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课前预习）观察下列各组集合，你能发现两个集合间的关系吗？ (1)，； (2){等边三角形}，{等腰三角形}； (3)，{偶数}. 【解题思路】根据两个集合中的元素，即可判断. 【解答过程】（1）集合的每个元素都是集合的元素，所以； （2）集合的每个元素都是集合的元素，所以； （3）集合，的元素相同，故. 16．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【解题思路】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围； （2）当时，求得，满足题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【解答过程】解：（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 解：（2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 18．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【解答过程】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故 ，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则 ，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）化简，再结合逐个列举即可； （2）由和两类情况讨论求解. 【解答过程】（1）当时， ， ． 又因为，所以这样的集合P共有6个：，，，，，． （2）当，即，时，，满足题意． 当时，若有两个相等的实数根，即，则， 此时，不满足题意； 若有两个不相等的实数根， 又，结合根与系数的关系可得两根，故，此时． 综上，实数a的取值范围为或． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 子集、全集、补集 【苏教版2019】 模块一 集合的子集 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. 3．有限集合的子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【题型1 子集、真子集的确定】 【例1】（25-26高一上·全国·课后作业）集合的子集为（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【变式1.3】（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）已知，，若，则集合中的所有非空子集的元素之和为（   ） A．15 B．30 C．60 D．120 【题型2 集合的子集（真子集）的个数问题】 【例2】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【变式2.1】（23-24高一上·湖北·阶段练习）集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 【变式2.2】（23-24高一上·重庆渝北·阶段练习）设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 【变式2.3】（24-25高一上·北京通州·期中）设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 模块二 集合间的关系 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩(Venn)图.A是B的子集，可用下图表示： 4．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【题型3 集合的相等】 【例3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项中两个集合不是同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高一上·云南大理·期末）给出以下集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3.2】（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高一·全国·课后作业）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【题型4 空集的判断、性质及应用】 【例4】（23-24高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4.1】（23-24高一上·北京东城·期中）下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）关于x的方程的解集为空集，则k的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4.3】（24-25高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型5 集合关系的Venn图表示】 【例5】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5.1】（24-25高一上·河北·阶段练习）已知集合，若关系如图所示，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）请用文氏图表示下列集合关系：，． 【变式5.3】（24-25高一·全国·随堂练习）举例说明集合间的包含关系与相等关系，并用Venn图直观表示． 【题型6 判断集合间的关系】 【例6】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一上·天津·阶段练习）若，则集合间的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若集合，集合则集合之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合，，，则M，N，P的关系（   ） A． B． C． D． 【题型7 根据集合的关系求参数】 【例7】（24-25高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 【变式7.1】（24-25高一上·广东东莞·期末）设集合，，满足，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）设集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围 【变式7.3】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 模块三 补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 【题型8 补集及其运算】 【例8】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（23-24高一上·江苏南通·开学考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（25-26高一上·福建泉州·阶段练习）设全集，集合，，则的值为（    ） A． B．和 C． D． 【题型9 集合关系中的新定义问题】 【例9】（24-25高一·全国·课后作业）定义，，，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式9.1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（   ） A．31 B．7 C．3 D．1 【变式9.2】（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 【变式9.3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义：若任意（可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． (1)求集合的生成集； (2)若集合，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； (3)若集合，的生成集为，求证． 一、单选题 1．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥；其中正确的个数为（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则集合M的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则集合，且的子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．4 D．6 5．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 6．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．（24-25高一上·北京·期末）正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、多选题 9．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．0 D． 10．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知集合或，，且是的真子集，则的取值可能为（    ） A．3 B． C．3.5 D．6 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，则下列说法正确的是（    ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．当时， D．当时， 三、填空题 12．（24-25高一上·四川眉山·期末）若集合，A的子集个数是 个． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ． 14．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为 . 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课前预习）观察下列各组集合，你能发现两个集合间的关系吗？ (1)，； (2){等边三角形}，{等腰三角形}； (3)，{偶数}. 16．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 17．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集，集合，． (1)若，存在集合P，使得，求出这样的集合P． (2)是否存在集合M，N，满足？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$