第五单元 认识方程（知识清单）-2024-2025学年四年级数学下学期期末复习讲练测（北师大版）

第五单元 认识方程（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、用字母或者含有字母的式子都可以表示数量，也可以表示数量关系。 2、字母表示数的时候，字母与数字相乘，字母与字母相乘，中间的乘号可以用小圆点代替或者省略。数字一般都写在字母的前面。数字1与字母相乘时，1省略不写，字母按顺序写。 3、用字母表示有关图形的计算公式 ①用C表示长方形的周长，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，长方形周长公式：C=（a+b）×2=2（a+b）。 ②用S表示长方形的面积，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，长方形面积公式：S=a×b=ab。 ③用C表示正方形的周长，a表示正方形的边长，正方形周长公式：C=4×a=4a。 ④用S表示正方形的面积，a表示正方形的边长，正方形面积公式：S=a×a=a2。 4、用含有字母的式子表示运算律 ①加法交换律：a+b=b+a。 ②加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 ③乘法交换律：a×b=b×a。 ④乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）。 ⑤乘法分配律：（a±b）×c=a×c±b×c。 ⑥减法的性质：a-b-c=a-（b+c）。 ⑦除法的性质：a÷b÷c=a÷（b×c） 5、数学术语中的等量关系 一般和差关系或倍数关系，常用“一共有”“比……多”“比……少”“是……的几倍”等术语表示。在解题时可抓住这些术语去找等量关系。 6、常见的数量关系中的等量关系 ①速度×时间=路程 ②单价×数量=总价 ③工作效率×工作时间=工作总量 ④增长后的量=原量×（1+增长率） 7、常用的计算公式中的等量关系： ①正方形周长=边长×4 ②正方形面积=边长×边长 ③长方形周长=（长+宽）×2 ④长方形面积=长×宽 8、方程的含义：含有未知数的等式叫方程。 9、方程必须具备的条件：①必须是等式;②必须含有未知数。 10、看图列方程： 看图列方程的关键是看懂图意，从中找出等量关系，然后再根据等量关系列出方程。 11、方程与等式的联系：方程是等式，但等式却不都是方程。 12、列出的方程要满足的条件 ①未知数写在等号的左边; ②方程无单位; ③等号左右两边是相等的量; ④未知数不能单独放在等号的一边。 13、等式的性质 （1）等式的性质（一） 等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 （2）等式的性质（二） 等式两边都乘（或除以同一个数0除外），等式仍然成立。 14、解方程和方程的解 求方程的解的过程叫做解方程；使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 15、解方程步骤 （1）先写“解”; （2）等号对齐; （3）运用等式性质或者加减乘除各部分间的关系（“直接想”）解方程; （4）代入检验。 02 重点提炼 1、结合具体情境，学会用字母表示数、运算律和有关图形的计算公式。 2、在用多种方法表示等量关系的活动中了解等量关系，知道同一个等量关系可以有不同的表现形式。 3、结合具体情境，了解方程的含义，会用方程表示简单情境中的等量关系。 4、通过观察天平称重的具体情景，类比等式变形的过程，抽象出等式的性质，即等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 5、通过观察天平称重的具体情境，类比等式变形的过程，理解等式的基本性质，即等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。 6、通过猜数游戏，掌握解ax±b=c（a≠0）类型的方程的方法，并会用方程解决简单的实际问题，进一步体会方程的意义。 03 易错集锦 易错点1：不能正确理解字母表示数的意义。 误区点拨： （1）在含有字母的加法算式里，加号省略不写。 （2）相同的字母在不同的情境中表示的含义可能是不一样的。 易错点2：不能正确判断一个式子是不是方程。 误区点拨： （1）判断方程时容易出错，对方程的概念没有掌握。 （2）只有理解了方程的概念才能正确判断一个式子是不是方程，判断一个式子是不是方程主要看两点：一看这个式子是不是等式;二看这个式子中是否含有未知数。 易错点3：不能正确运用等式性质解方程。 误区点拨： （1）运用等式性质（一）一边加一个数，另一边减这个数。运用等式性质（二）一边乘一个数，另一边除以这个数，或者这个数为0。 （2）等式性质（一）是等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，因此运用等式性质（一）解方程时，应该在等式的两边同时加上一个数或者减去一个数。等式性质（二）是等式两边同时乘或除以同一个数（不为0），等式仍然成立，因此运用等式性质（二）解方程时，方程两边应该同时乘或除以同一个数（不为0）。 04 巩固拔高 一、填空题 1．用火柴棒照样子摆一摆。 摆1个平行四边形要4根火柴棒，摆2个平行四边形要7根火柴棒，摆5个平行四边形要 根火柴棒。 【答案】16 【分析】根据火柴棒的摆设规律可知，多摆一个平行四边形就需要加3根火柴棒； 摆1个平行四边形要4根火柴棒； 摆2个平行四边形要4＋3×1＝4＋3＝7（根）火柴棒； 摆3个平行四边形要4＋3×2＝4＋6＝10（根）火柴棒； 摆4个平行四边形要4＋3×3＝4＋9＝13（根）火柴棒； 则摆n个平行四边形要4＋3×（n－1）根火柴棒； 据此，将当n＝5，代入上式，计算出数量即可，据此解答。 【解答】根据火柴棒的摆设规律可知，多摆一个平行四边形就需要加3根火柴棒，那么摆5个平行四边形需要火柴棒： 4＋3×（5－1） ＝4＋3×4 ＝4＋12 ＝16（根） 摆5个平行四边形要16根火柴棒。 2．西安是国务院公布的首批国家历史文化名城，历史上有13个朝代在此建都，比在南京建都的朝代多a个，有（ ）个朝代在南京建都。若a＝6，则有（ ）个朝代在南京建都。 【答案】13－a 7 【分析】由题意得，历史上有13个朝代在西安建都，比在南京建都的朝代多a个，那么在南京建都的朝代就比13少a个，直接用13减去a即可表示出有多少个朝代在南京建都。若a＝6，那么直接将这个值代入即可算出具体有多少个朝代在南京建都。 【解答】在南京建都的朝代有：（13－a）个 若a＝6，13－a＝13－6＝7（个） 历史上有13个朝代在西安建都，比在南京建都的朝代多a个，有（13－a）个朝代在南京建都。若a＝6，则有7个朝代在南京建都。 3．买3个笔袋和5支钢笔共花210元；若价格不变，买4个笔袋和10支钢笔共花380元，每支钢笔要（ ）元。 【答案】30 【分析】由题意可知，两次购买中，变化的是笔袋的数量和购买的总价，而钢笔的数量有一定的倍数关系，设每个笔袋x元，每支钢笔y元。第一次购买“买3个笔袋和5支钢笔共花210元”，可得到方程3x＋5y＝210①；第二次购买“买4个笔袋和10支钢笔共花380元”，可得到方程4x＋10y＝380②。据此解方程即可。 【解答】设每个笔袋x元，每支钢笔y元。 3x＋5y＝210① 4x＋10y＝380② 将①式两边同时乘2，得到： 6x＋10y＝420③ 由③式减去②式，可得：（6x＋10y）－（4x＋10y）＝420－380 化简可得：6x＋10y－4x－10y＝40 2x＝40 x＝40÷2 x＝20 把x＝20代入①式3x＋5y＝210中，求每支钢笔的价格y： 3×20＋5y＝210 60＋5y＝210 5y＝210－60 5y＝150 y＝150÷5 y＝30 每支钢笔要30元。 4．鞋的尺码指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用y＝2x－10表示（y表示码数，x表示厘米数）。淘气买了一双34码的鞋，鞋底长（ ）厘米；笑笑的鞋底长23厘米，是（ ）码。 【答案】22 36 【分析】根据“码”或“厘米”之间的关系，用y＝2x－10来表示，所以只要把一个量代入就可以求另外一个量。 【解答】已知鞋34码，所以代入公式可得： y＝2x－10 34＝2x－10 2x＝34＋10 2x＝44 2x÷2＝44÷2 x＝22 所以淘气的鞋底长22厘米。 已知鞋底长23厘米，所以代入公式可得， y＝2x－10 y＝2×23－10 y＝46－10 y＝36（码） 所以笑笑的鞋是36码。 5．一个三位数，a、b、c分别是它的个位、十位、百位上的三个数字，这个三位数用含有字母的式子表示是（ ）。 【答案】100c＋10b＋a 【分析】根据题意，a在个位上，b在十位上则代表b个十，c在百位上则代表c个100，相加即为这个三位数，据此填空即可。 【解答】c×100＋b×10＋a＝100c＋10b＋a 一个三位数，a、b、c分别是它的个位、十位、百位上的三个数字，这个三位数用含有字母的式子表示是100c＋10b＋a。 6．笑笑和淘气做手工游戏，在一个长20厘米，宽厘米的长方形纸板上剪去一个最大正方形，剩余部分的面积是（ ）平方厘米。当时，剩余部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】20－2 96 【分析】原长方形长20厘米，宽厘米（＜20）。剪去的最大正方形边长应等于长方形的宽，即厘米。原长方形面积：20×＝20，正方形面积：×＝2，剩余面积：20－2，把代入剩余面积：20×12－122＝240−144＝96（平方厘米） 【解答】原长方形面积：20×＝20，正方形面积：×＝2，剩余面积：（20－2）平方厘米。 把代入20－2中 20×12－122＝240−144＝96（平方厘米） 剩余部分的面积是（20－2）平方厘米。当时，剩余部分的面积是96平方厘米。 7．妈妈买了3条毛巾，每条毛巾x元，买毛巾一共花了（ ）元；付给售货员50元，找回了14元，求每条毛巾多少元？可列方程（ ）。 【答案】3x 3x＋14＝50/14＋3x＝50/50－3x＝14 【分析】总价＝单价×数量。由题意得，妈妈买了3条毛巾，每条毛巾x元，求买毛巾一共花了多少元，用乘法计算，列式为：x×3。付给售货员50元，找回了14元，据此列出等量关系式：3条毛巾的价钱＋找回的钱数＝一共付的钱或找回的钱数＋3条毛巾的价钱＝一共付的钱或一共付的钱－3条毛巾的价钱＝找回的钱数。最后根据等量关系式列出方程即可。 【解答】x×3＝3x（元） 根据等量关系式列出方程：3x＋14＝50或14＋3x＝50或50－3x＝14 妈妈买了3条毛巾，每条毛巾x元，买毛巾一共花了3x元；付给售货员50元，找回了14元，求每条毛巾多少元？可列方程：3x＋14＝50。 8．根据下图，可以列出方程为（ ），解得x＝（ ）。 【答案】3×3＋2x＝19 5 【分析】图中3个杯子与2盒牛奶的总价是19元，等量关系为：3个杯子的总价＋2盒牛奶的价格＝19元，据此列出方程，先计算出3与3的积是9，根据等式性质1，方程两边同时减9，计算出得数，再根据等式性质2，方程两边同时除以2，即可求出x的值。 【解答】3×3＋2x＝19 解：9＋2x＝19 9＋2x－9＝19－9 2x＝10 2x÷2＝10÷2 x＝5 根据下图，可以列出方程为3×3＋2x＝19，解得x＝5 二、选择题 9．根据以下信息，下列等量关系错误的是（    ）。 信息一：姚明的身高是妹妹的2倍 信息二：淘气比妹妹高4厘米 A．妹妹的身高×2＝姚明的身高 B．淘气的身高－4厘米＝妹妹的身高 C．姚明的身高÷2＝淘气的身高－4厘米 D．妹妹的身高＋4厘米＝姚明的身高÷2 【答案】D 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，用妹妹的身高乘2即可求出姚明的身高；已知一个数的几倍是多少求这个数用除法，用姚明的身高除以2即可求出妹妹的身高；用妹妹的身高加上淘气比妹妹高的4厘米，即可求出淘气的身高，用淘气的身高减去比妹妹高的4厘米，即可求出妹妹的身高，据此分析每个选项先出等量关系错误的即可。 【解答】A．妹妹的身高×2＝姚明的身高，等量关系正确； B．淘气比妹妹高4厘米，则用淘气的身高减去高的4厘米，即可求出妹妹的身高，等量关系正确； C．用姚明的身高除以2可以求出妹妹的身高，用淘气的身高减去比妹妹高的4厘米可以求出妹妹的身高，等量关系正确； D．妹妹的身高加上淘气比妹妹高的4厘米，可以求出淘气的身高，姚明的身高除以2求出的是妹妹的身高，淘气的身高和妹妹的身高不相等，等量关系错误。 等量关系错误的是妹妹的身高＋4厘米＝姚明的身高÷2。 故答案为：D 10．争做环保使者，共创绿色文明。某小学五年级学生收集了106个可回收饮料瓶。比四年级学生收集的个数的2倍还多18个，四年级学生收集了多少个可回收饮料瓶？解：设该小学四年级学生收集了x个可回收饮料瓶。列方程为（    ）。 A．2x＋18＝106 B．2x－18＝106 C．x－2×18＝106 D．x＋2×18＝106 【答案】A 【分析】求一个数的几倍是多少要用乘法计算。四年级学生收集的可回收饮料瓶个数×2＋18个＝五年级学生收集的可回收饮料瓶个数。根据此等量关系式列出方程即可。 【解答】争做环保使者，共创绿色文明。某小学五年级学生收集了106个可回收饮料瓶。比四年级学生收集的个数的2倍还多18个。解：设该小学四年级学生收集了x个可回收饮料瓶。列方程为2x＋18＝106。 故答案为：A 11．根据下面天平的状态，下面等式成立的是（        ）。 A．x÷2＝50×2 B．x－15＝50＋10 C．x＋20＝50＋30 D．x×7＝50×7 【答案】D 【分析】根据天平平衡时左右两边质量相等，可知x克和50克质量相等，即x＝50。然后将x＝50分别代入每个选项，看等式是否成立。 【解答】A．把x＝50代入x÷2＝50×2的左边可得50÷2＝25，右边为：50×2＝100，因为25≠100，所以A选项等式不成立； B．把x＝50代入 x－15＝50＋10的左边得：50－15＝35，右边为：50＋10＝60，因为35≠60，所以B选项等式不成立； C．把x＝50代入x＋20＝50＋30的左边可得：50＋20＝70，右边为：50＋30＝80，因为70≠80，所以C选项等式不成立； D．把x＝50代入x×7＝50×7的左边可得50×7＝350，右边为：50×7＝350，因为350＝350，所以D选项等式成立。 故答案为：D 12．近年来，深圳推进绿色低碳交通发展，新能源车辆等推广应用走在全球前列。深圳某汽车制造厂计划全年生产新能源汽车a辆，实际比计划每月多生产b辆，则该厂实际每月生产新能源汽车（    ）辆。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，深圳某汽车制造厂计划全年生产新能源汽车a辆，实际比计划每月多生产b辆，那么用a÷12求出计划每月生产的辆数，然后再加上b即可算出该厂实际每月生产新能源汽车多少辆。 【解答】根据分析可知：a÷12＋b即该厂实际每月生产新能源汽车的辆数。 故答案为：B 13．某医院第一次购进15箱口罩，第二次又购进2000个口罩，两次一共购进口罩5000个。第一次购进的口罩每箱有（    ）个。 A．150 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】根据题意，两次购进的口罩个数和等于5000，可以设第一次购进的医用口罩平均每箱有x个，则15x加2000等于5000，据此即列方程解答。 【解答】解：设第一次购进的医用口罩平均每箱有x个。 15x＋2000＝5000 15x＋2000－2000＝5000－2000 15x＝3000 15x÷15＝3000÷15 x＝200 某医院第一次购进15箱口罩，第二次又购进2000个口罩，两次一共购进口罩5000个。第一次购进的口罩每箱有200个。 故答案为：B 14．班级图书架的故事书比科普书多45本，______。科普书有多少本？设科普书有x本，列方程为4x－x＝45，则横线上缺少的信息是（    ）。 A．故事书的本数是科普书的4倍 B．科普书的本数是故事书的4倍 C．故事书的本数比科普书多4本 D．科普书的本数比故事书少4本 【答案】A 【分析】设科普书有x本；根据方程4x－x＝45可知，4x表示故事书的本数是科普书的4倍，故事书比科普书多45本，方程用到的等量关系是：故事书的本数－科技书的本数＝45本，缺少的信息是故事书的本数是科普书的4倍，据此解答。 【解答】根据分析可知，班级图书架的故事书比科普书多45本，______。科普书有多少本？设科普书有x本，列方程为4x－x＝45，则横线上缺少的信息是故事书的本数是科普书的4倍。 故答案为：A 15．如图，选项（    ）表示涂色部分的面积。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形可知，阴影部分是一个长方形，长等于b，宽等于（c－a）；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，据此解答。 【解答】阴影部分的长是b，宽是（c－a）。 面积：b（c－a）或（c－a）b。 （c－a）b表示涂色部分的面积。 故答案为：B 16．小明误将错写成，结果与原式比较（    ）。 A．少5 B．少8 C．少32 D．和原来一样 【答案】C 【分析】采用赋值法进行分析，假设＝1，将＝1分别代入和，计算出结果，比较并求差即可。 【解答】假设＝1。 ＝5×1＋8 ＝5＋8 ＝13 13＜45 45－13＝32 结果与原式比较少32。 故答案为：C 三、计算题 17．解方程。 5x－2.5＝17.5       4x＋13＝77       （x＋4.4）÷1.2＝60 【答案】＝4；＝16；＝67.6 【分析】（1）根据等式的性质，方程的两边先同时加2.5，然后方程的两边再同时除以5即可得到未知数的值。 （2）根据等式的性质，方程的两边先同时减13，然后方程的两边再同时除以4即可得到未知数的值。 （3）根据等式的性质，方程的两边先同时乘1.2，然后方程的两边再同时减4.4即可得到未知数的值。 【解答】5－2.5＝17.5 解：5－2.5＋2.5 ＝17.5＋2.5    5＝20                 5÷5＝20÷5             ＝4                    4＋13＝77        解：4＋13－13＝77－13 4＝64      4÷4＝64÷4    ＝16 （＋4.4）÷1.2＝60 解：（＋4.4）÷1.2×1.2＝60×1.2 ＋4.4＝72 ＋4.4－4.4＝72－4.4 ＝67.6 四、解答题 18．中国拥有最庞大的高铁网络、最复杂的高铁运行环境和最庞大的高铁乘客数量，中国高铁平均时速为350千米/时，比普通小轿车的速度的3倍还多65千米/时。普通小轿车每小时行驶多少千米？ 【答案】95千米 【分析】高铁平均时速比普通小轿车的速度的3倍还多65千米/时，高铁的时速＝小轿车的时速×3＋65，可以设普通小轿车每小时行驶x千米，然后3x＋65＝350，再根据等式的性质1和2来解方程。 【解答】解：设普通小轿车每小时行驶x千米。 3x＋65＝350 3x＋65－65＝350－65 3x＝285 3x÷3＝285÷3 x＝95 答：普通小轿车每小时行驶95千米。 19．手工制作。笑笑做5个蝴蝶结和3颗星星共用去248厘米长的丝带，每个蝴蝶结用去丝带34厘米，每颗星星用去丝带多少厘米？（列方程解决问题） 【答案】26厘米 【分析】根据题意可知，每个蝴蝶结用去丝带的厘米数×5＋每颗星星用去丝带的厘米数×3＝丝带的总长度，设每颗星星用去丝带x厘米，根据等量关系式列方程，即可求出每颗星星用去丝带多少厘米，据此解答即可。 【解答】解：设每颗星星用去丝带x厘米。 34×5＋3x＝248 170＋3x＝248 170－170＋3x＝248－170 3x＝78 3x÷3＝78÷3 x＝26 答：每颗星星用去丝带26厘米。 20．为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校举办了以“礼赞新时代·奋进新征程”为主题的合唱表演。张老师给参加这次合唱表演的同学购买服装，买了16件衬衫和9条西裤，一共花了986元。已知衬衫的单价是38元／件，西裤的单价是多少元／条？（列方程解答） 【答案】42元／条 【分析】可以设西裤的单价是x元，然后找到等量关系式，总价＝单价×数量，据此列出衬衫的总价和西裤的总价，然后再根据总价＝衬衫的总价＋西裤的总价进行列方程，然后再利用等式的性质解方程，据此解题。 【解答】解：设西裤的单价是x元／条。 9x＋38×16＝986 9x＋608＝986 9x＋608－608＝986－608 9x＝378 9x÷9＝378÷9 x＝42 答：西裤的单价是42元／条。 21．妙想买了《名人传记》和《安徒生童话》两套丛书，共花了180.6元。一套《名人传记》有3本，每本都是24.2元；一套《安徒生童话》有4本，平均每本多少元？（列方程解） 【答案】27元 【分析】一本《名人传记》的价钱乘买的本数可以算出买一套《名人传记》花了多少元；一本《安徒生童话》的价钱乘买的本数可以算出买一套《安徒生童话》花了多少元；买一套《名人传记》的钱加上买一套《安徒生童话》的钱，就是用去的总钱数。等量关系式是：一本《名人传记》价钱×本数＋一本《安徒生童话》价钱×本数＝总钱数。可以设一本《安徒生童话》x元，根据此等量关系式列出方程并解方程即可。 【解答】解：设平均每本x元。 24.2×3＋4x＝180.6 72.6＋4x＝180.6 72.6＋4x－72.6＝180.6－72.6 4x＝108 4x÷4＝108÷4 x＝27 答：平均每本27元。 22．运城盐湖是我省面积最大的湖泊，有着4600多年的食盐开采史和70年的无机盐开发史，其主要成分分为硫酸盐型、平衡型、氯化钠型和氯化镁型等。运城盐湖水中每千克含盐量高达320克，比普通海水中含盐量的6倍还多32克，由于其盐含量极高，人在水中可以漂浮不沉，被誉为“中国死海”。每千克普通海水中含盐多少千克？（用方程解答） 【答案】48克 【分析】根据题干信息可知，等量关系为：普通海水中含盐量×6＋32＝320克，据此列出方程，根据等式性质1，给方程两边同时减32，计算出得数，再根据等式性质2，给方程两边同时除以6，即可解答。 【解答】解：设每千克普通海水中含盐x克。 6x＋32＝320 6x＋32－32＝320－32 6x＝288 6x÷6＝288÷6 x＝48 答：每千克普通海水中含盐48克。 23．奶奶今年77岁，奶奶的年龄比小红年龄的5倍还大2岁，小红今年多少岁？ （1）请表示出小红和奶奶的年龄之间的等量关系。 （2）小红今年几岁？（列方程解答） 【答案】（1）小红的年龄×5＋2＝奶奶的年龄 （2）15岁 【分析】（1）根据奶奶的年龄比小红年龄的5倍还大2岁可知，用小红的年龄乘5，再加上2，就是奶奶的年龄，据此列出数量关系即可； （2）把小红的年龄设为岁，根据（1）的数量关系式列出方程，再根据等式的性质1和等式性质2解方程即可，求出的数就是小红的年龄。 【解答】（1）小红的年龄×5＋2＝奶奶的年龄。 （2）解：设小红的年龄为岁。 答：小红今年15岁。 24．人心脏每分钟的跳动次数与年龄有关。婴儿每分钟心跳次数是135次，婴儿的心跳次数比青少年的2倍少15次。青少年每分心跳多少次？（用方程解） 【答案】75次 【分析】根据题意可知，青少年每分钟的心跳次数×2－15＝婴儿每分钟心跳的次数，设青少年每分钟心跳x次，根据等量关系式列方程即可解答。 【解答】解：设青少年每分钟心跳x次。 2x－15＝135 2x－15＋15＝135＋15 2x＝150 2x÷2＝150÷2 x＝75 答：青少年每分心跳75次。 25．能力提升题。   贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 【答案】10天 【分析】根据题意可知数量关系为：贝贝已做的120个＋贝贝再做的个数＝丽丽已做的150个＋丽丽再做的个数，并设x天后两人做的兰花数量同样多；根据每天做的个数×做的天数＝再做的个数，分别表示出贝贝再做的个数是15x个，丽丽再做的个数是12x个；根据数量关系列出方程，再根据等式的性质（一）（二）及乘法分配律解方程即可。据此解答。 【解答】解：设x天后两人做的兰花数量同样多； 120＋15x＝150＋12x 120＋15x－120＝150＋12x－120 15x＝150－120＋12x 15x＝30＋12x 15x－12x＝30＋12x－12x （15－12）x＝30 3x＝30 3x÷3＝30÷3 x＝10 答：10天后两人做的兰花数量同样多。 【点评】本题首先要抓住“多少天后两人做的兰花数量同样多”找到等量关系；解方程时，要根据等式的性质把方程两边的数字和未知数分别合并到一起，再根据乘法分配律把两个未知数变成一个未知数，从而把复杂的方程逐步变得简单。 26．在图形里任意选几个，拼成一个长方形，并按要求做题。 （1）我选择（    ）拼成一个长方形。（填序号） （2）画出所拼的这个长方形的示意图。（标上所选择的长方形的序号） （3）所拼的这个长方形两条邻边的长分别是（    ）和（    ），周长是（    ），面积是（    ）。（用含字母的式子表示） 【答案】（1）①和② （2）见详解 （3）m；n＋a；2m＋2n＋2a；mn＋ma 【分析】本题有多种组合的方法，我们就选①和②图形进行组合，把②放在①的上面，这样就组成了长方形，依据长方形的周长及面积公式，分别计算出图形的周长和面积。长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽。 【解答】（1）我选择①和②拼成一个长方形。 （2）拼图如下： （3）（m＋n＋a）×2＝2m＋2n＋2a m（n＋a）＝mn＋ma 所拼的这个长方形两条邻边的长分别是m和n＋a，周长是2m＋2n＋2a，面积是mn＋ma。 【点评】本题考查了学生的动手操作能力，同时考查了长方形的面积公式、周长公式的灵活应用。 27．太阳系八大行星中，离太阳最近的是水星。地球绕太阳一周是365天，比水星绕太阳一周所用的时间的4倍还多13天。水星绕太阳一周是多少天？（列方程解答） （1）画图理解： （2）等量关系： （3）列方程解答： 【答案】见详解 【分析】根据题意，可设水星绕太阳一周是x天。地球绕太阳一周是365天，比水星绕太阳一周所用的时间的4倍还多13天。所以水星绕太阳一周所用的时间×4＋13天＝地球绕太阳一周所用的时间，即4x＋13＝365。解方程即可。 【解答】 （1） （2）等量关系：水星绕太阳一周所用的时间×4＋13天＝地球绕太阳一周所用的时间 （3）解：设水星绕太阳一周是x天。 4x＋13＝365 4x＋13－13＝365－13 4x＝352 4x÷4＝352÷4 x＝88 答：水星绕太阳一周是88天。 【点评】本题解题关键是明确地球绕太阳一周与水星绕太阳一周的时间关系。 28．一辆客车每小时行驶60千米，从甲地到乙地，行驶了t小时。 （1）用含有字母的式子表示出客车从甲地到乙地行驶的总路程？ （2）当t＝4时，客车从甲地到乙地行驶的总路程是多少千米？ 【答案】（1）（60t）千米；（2）240千米 【分析】（1）速度×时间＝路程，据此表示出客车从甲地到乙地行驶的总路程； （2）将t＝4代入（1）得出的式子中，求出客车从甲地到乙地行驶的总路程是多少千米。 【解答】（1）客车从甲地到乙地行驶的总路程用字母表示为（60t）千米。 （2）60t ＝60×4 ＝240（千米） 答：客车从甲地到乙地行驶的总路程是240千米。 29．小明有许多截面是六边形的铅笔，有一天他在做围铅笔游戏。如图，中间有1支铅笔，周围需要用6支铅笔把它围住。 第1圈       第2圈 （1）照这样的围法，你知道围第2圈需要多少支铅笔吗？围第3圈、第4圈呢？围一围，填写下表。 次序 围第1圈 围第2圈 围第3圈 围第4圈 需要的铅笔支数 （2）观察上表，你发现了什么规律？根据这个规律，你能推算出围第5圈、第8圈、第10圈分别需要多少支铅笔吗？ 【答案】（1）见详解 （2）我发现的规律是围第n圈需要6n支铅笔；30支；48支；60支 【分析】（1）围第1圈，仍构成一个正六边形，每边2支铅笔，重复数了6支，用了（2×6－6）支；围第2圈，仍构成一个正六边形，每边3支铅笔，重复数了6支，用了（3×6－6）支；围第3圈，仍构成一个正六边形，每边4支铅笔，重复数了6支，用了（4×6－6）支；围第4圈，仍构成一个正六边形，每边5支铅笔，重复数了6支，用了（5×6－6）支；据此计算出结果填表即可。 （2）观察（1）的表可以发现：围第1圈所需的铅笔支数＝1×6＝6（支），围第2圈所需的铅笔支数＝2×6＝12（支），围第3圈所需的铅笔支数＝3×6＝18（支），围第4圈所需的铅笔支数＝4×6＝24（支），所以围第几圈需要的铅笔支数＝围的圈数×6，代入数据即可求出围第5圈、第8圈、第10圈分别需要多少支铅笔。 【解答】（1） 第1圈： 2×6－6 ＝12－6 ＝6（支） 第2圈： 3×6－6 ＝18－6 ＝12（支） 第3圈： 4×6－6 ＝24－6 ＝18（支） 第4圈： 5×6－6 ＝30－6 ＝24（支） 围前4圈每圈需要的铅笔支数如下表所示： 次序 围第1圈 围第2圈 围第3圈 围第4圈 需要的铅笔支数 6 12 18 24 （2）围第n圈需要的铅笔支数＝n×6＝6n 规律：围第n圈需要6n支铅笔 围第5圈：5×6＝30（支） 围第8圈：8×6＝48（支） 围第10圈：10×6＝60（支） 答：我发现的规律是围第n圈需要6n支铅笔。围第5圈、第8圈、第10圈分别需要30支、48支、60支铅笔。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五单元 认识方程（知识清单） （知识梳理+重点提炼+易错集锦+巩固拔高） 01 知识梳理 1、用字母或者含有字母的式子都可以表示数量，也可以表示数量关系。 2、字母表示数的时候，字母与数字相乘，字母与字母相乘，中间的乘号可以用小圆点代替或者省略。数字一般都写在字母的前面。数字1与字母相乘时，1省略不写，字母按顺序写。 3、用字母表示有关图形的计算公式 ①用C表示长方形的周长，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，长方形周长公式：C=（a+b）×2=2（a+b）。 ②用S表示长方形的面积，a表示长方形的长，b表示长方形的宽，长方形面积公式：S=a×b=ab。 ③用C表示正方形的周长，a表示正方形的边长，正方形周长公式：C=4×a=4a。 ④用S表示正方形的面积，a表示正方形的边长，正方形面积公式：S=a×a=a2。 4、用含有字母的式子表示运算律 ①加法交换律：a+b=b+a。 ②加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 ③乘法交换律：a×b=b×a。 ④乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）。 ⑤乘法分配律：（a±b）×c=a×c±b×c。 ⑥减法的性质：a-b-c=a-（b+c）。 ⑦除法的性质：a÷b÷c=a÷（b×c） 5、数学术语中的等量关系 一般和差关系或倍数关系，常用“一共有”“比……多”“比……少”“是……的几倍”等术语表示。在解题时可抓住这些术语去找等量关系。 6、常见的数量关系中的等量关系 ①速度×时间=路程 ②单价×数量=总价 ③工作效率×工作时间=工作总量 ④增长后的量=原量×（1+增长率） 7、常用的计算公式中的等量关系： ①正方形周长=边长×4 ②正方形面积=边长×边长 ③长方形周长=（长+宽）×2 ④长方形面积=长×宽 8、方程的含义：含有未知数的等式叫方程。 9、方程必须具备的条件：①必须是等式;②必须含有未知数。 10、看图列方程： 看图列方程的关键是看懂图意，从中找出等量关系，然后再根据等量关系列出方程。 11、方程与等式的联系：方程是等式，但等式却不都是方程。 12、列出的方程要满足的条件 ①未知数写在等号的左边; ②方程无单位; ③等号左右两边是相等的量; ④未知数不能单独放在等号的一边。 13、等式的性质 （1）等式的性质（一） 等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 （2）等式的性质（二） 等式两边都乘（或除以同一个数0除外），等式仍然成立。 14、解方程和方程的解 求方程的解的过程叫做解方程；使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 15、解方程步骤 （1）先写“解”; （2）等号对齐; （3）运用等式性质或者加减乘除各部分间的关系（“直接想”）解方程; （4）代入检验。 02 重点提炼 1、结合具体情境，学会用字母表示数、运算律和有关图形的计算公式。 2、在用多种方法表示等量关系的活动中了解等量关系，知道同一个等量关系可以有不同的表现形式。 3、结合具体情境，了解方程的含义，会用方程表示简单情境中的等量关系。 4、通过观察天平称重的具体情景，类比等式变形的过程，抽象出等式的性质，即等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 5、通过观察天平称重的具体情境，类比等式变形的过程，理解等式的基本性质，即等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。 6、通过猜数游戏，掌握解ax±b=c（a≠0）类型的方程的方法，并会用方程解决简单的实际问题，进一步体会方程的意义。 03 易错集锦 易错点1：不能正确理解字母表示数的意义。 误区点拨： （1）在含有字母的加法算式里，加号省略不写。 （2）相同的字母在不同的情境中表示的含义可能是不一样的。 易错点2：不能正确判断一个式子是不是方程。 误区点拨： （1）判断方程时容易出错，对方程的概念没有掌握。 （2）只有理解了方程的概念才能正确判断一个式子是不是方程，判断一个式子是不是方程主要看两点：一看这个式子是不是等式;二看这个式子中是否含有未知数。 易错点3：不能正确运用等式性质解方程。 误区点拨： （1）运用等式性质（一）一边加一个数，另一边减这个数。运用等式性质（二）一边乘一个数，另一边除以这个数，或者这个数为0。 （2）等式性质（一）是等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，因此运用等式性质（一）解方程时，应该在等式的两边同时加上一个数或者减去一个数。等式性质（二）是等式两边同时乘或除以同一个数（不为0），等式仍然成立，因此运用等式性质（二）解方程时，方程两边应该同时乘或除以同一个数（不为0）。 04 巩固拔高 一、填空题 1．用火柴棒照样子摆一摆。 摆1个平行四边形要4根火柴棒，摆2个平行四边形要7根火柴棒，摆5个平行四边形要 根火柴棒。 2．西安是国务院公布的首批国家历史文化名城，历史上有13个朝代在此建都，比在南京建都的朝代多a个，有（ ）个朝代在南京建都。若a＝6，则有（ ）个朝代在南京建都。 3．买3个笔袋和5支钢笔共花210元；若价格不变，买4个笔袋和10支钢笔共花380元，每支钢笔要（ ）元。 4．鞋的尺码指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用y＝2x－10表示（y表示码数，x表示厘米数）。淘气买了一双34码的鞋，鞋底长（ ）厘米；笑笑的鞋底长23厘米，是（ ）码。 5．一个三位数，a、b、c分别是它的个位、十位、百位上的三个数字，这个三位数用含有字母的式子表示是（ ）。 6．笑笑和淘气做手工游戏，在一个长20厘米，宽厘米的长方形纸板上剪去一个最大正方形，剩余部分的面积是（ ）平方厘米。当时，剩余部分的面积是（ ）平方厘米。 7．妈妈买了3条毛巾，每条毛巾x元，买毛巾一共花了（ ）元；付给售货员50元，找回了14元，求每条毛巾多少元？可列方程（ ）。 8．根据下图，可以列出方程为（ ），解得x＝（ ）。 二、选择题 9．根据以下信息，下列等量关系错误的是（    ）。 信息一：姚明的身高是妹妹的2倍 信息二：淘气比妹妹高4厘米 A．妹妹的身高×2＝姚明的身高 B．淘气的身高－4厘米＝妹妹的身高 C．姚明的身高÷2＝淘气的身高－4厘米 D．妹妹的身高＋4厘米＝姚明的身高÷2 10．争做环保使者，共创绿色文明。某小学五年级学生收集了106个可回收饮料瓶。比四年级学生收集的个数的2倍还多18个，四年级学生收集了多少个可回收饮料瓶？解：设该小学四年级学生收集了x个可回收饮料瓶。列方程为（    ）。 A．2x＋18＝106 B．2x－18＝106 C．x－2×18＝106 D．x＋2×18＝106 11．根据下面天平的状态，下面等式成立的是（        ）。 A．x÷2＝50×2 B．x－15＝50＋10 C．x＋20＝50＋30 D．x×7＝50×7 12．近年来，深圳推进绿色低碳交通发展，新能源车辆等推广应用走在全球前列。深圳某汽车制造厂计划全年生产新能源汽车a辆，实际比计划每月多生产b辆，则该厂实际每月生产新能源汽车（    ）辆。 A． B． C． D． 13．某医院第一次购进15箱口罩，第二次又购进2000个口罩，两次一共购进口罩5000个。第一次购进的口罩每箱有（    ）个。 A．150 B．200 C．300 D．400 14．班级图书架的故事书比科普书多45本，______。科普书有多少本？设科普书有x本，列方程为4x－x＝45，则横线上缺少的信息是（    ）。 A．故事书的本数是科普书的4倍 B．科普书的本数是故事书的4倍 C．故事书的本数比科普书多4本 D．科普书的本数比故事书少4本 15．如图，选项（    ）表示涂色部分的面积。 A． B． C． D． 16．小明误将错写成，结果与原式比较（    ）。 A．少5 B．少8 C．少32 D．和原来一样 三、计算题 17．解方程。 5x－2.5＝17.5       4x＋13＝77       （x＋4.4）÷1.2＝60 四、解答题 18．中国拥有最庞大的高铁网络、最复杂的高铁运行环境和最庞大的高铁乘客数量，中国高铁平均时速为350千米/时，比普通小轿车的速度的3倍还多65千米/时。普通小轿车每小时行驶多少千米？ 19．手工制作。笑笑做5个蝴蝶结和3颗星星共用去248厘米长的丝带，每个蝴蝶结用去丝带34厘米，每颗星星用去丝带多少厘米？（列方程解决问题） 20．为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校举办了以“礼赞新时代·奋进新征程”为主题的合唱表演。张老师给参加这次合唱表演的同学购买服装，买了16件衬衫和9条西裤，一共花了986元。已知衬衫的单价是38元／件，西裤的单价是多少元／条？（列方程解答） 21．妙想买了《名人传记》和《安徒生童话》两套丛书，共花了180.6元。一套《名人传记》有3本，每本都是24.2元；一套《安徒生童话》有4本，平均每本多少元？（列方程解） 22．运城盐湖是我省面积最大的湖泊，有着4600多年的食盐开采史和70年的无机盐开发史，其主要成分分为硫酸盐型、平衡型、氯化钠型和氯化镁型等。运城盐湖水中每千克含盐量高达320克，比普通海水中含盐量的6倍还多32克，由于其盐含量极高，人在水中可以漂浮不沉，被誉为“中国死海”。每千克普通海水中含盐多少千克？（用方程解答） 23．奶奶今年77岁，奶奶的年龄比小红年龄的5倍还大2岁，小红今年多少岁？ （1）请表示出小红和奶奶的年龄之间的等量关系。 （2）小红今年几岁？（列方程解答） 24．人心脏每分钟的跳动次数与年龄有关。婴儿每分钟心跳次数是135次，婴儿的心跳次数比青少年的2倍少15次。青少年每分心跳多少次？（用方程解） 25．能力提升题。   贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 26．在图形里任意选几个，拼成一个长方形，并按要求做题。 （1）我选择（    ）拼成一个长方形。（填序号） （2）画出所拼的这个长方形的示意图。（标上所选择的长方形的序号） （3）所拼的这个长方形两条邻边的长分别是（    ）和（    ），周长是（    ），面积是（    ）。（用含字母的式子表示） 27．太阳系八大行星中，离太阳最近的是水星。地球绕太阳一周是365天，比水星绕太阳一周所用的时间的4倍还多13天。水星绕太阳一周是多少天？（列方程解答） （1）画图理解： （2）等量关系： （3）列方程解答： 28．一辆客车每小时行驶60千米，从甲地到乙地，行驶了t小时。 （1）用含有字母的式子表示出客车从甲地到乙地行驶的总路程？ （2）当t＝4时，客车从甲地到乙地行驶的总路程是多少千米？ 29．小明有许多截面是六边形的铅笔，有一天他在做围铅笔游戏。如图，中间有1支铅笔，周围需要用6支铅笔把它围住。 第1圈       第2圈 （1）照这样的围法，你知道围第2圈需要多少支铅笔吗？围第3圈、第4圈呢？围一围，填写下表。 次序 围第1圈 围第2圈 围第3圈 围第4圈 需要的铅笔支数 （2）观察上表，你发现了什么规律？根据这个规律，你能推算出围第5圈、第8圈、第10圈分别需要多少支铅笔吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $$