专题01 高二下学期期末真题精选（考题猜想，常考27大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020）

专题01 高二下学期期末真题精选 (沪教版2020选择性必修第二册) （常考27大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 导数的定义（易错） · 题型二 借助导数求切线（易错） · 题型三 导数的四则运算 · 题型四 利用导数求函数（不含参）的单调区间 · 题型五 由函数在区间上的单调性求参数（高频） · 题型六 函数与导数图象之间的关系（易错） · 题型七 函数的极值问题（重点） · 题型八 函数的最值问题（重点） · 题型九 两个计数原理综合（难点） · 题型十 排列数与组合数的计算（重点） · 题型十一 组合数的性质应用（易错） · 题型十二 相邻与不相邻问题（高频） · 题型十三 特殊元素（位置）优先 · 题型十四 间接法（难点） · 题型十五 分配问题（重点） · 题型十六 涂色问题 · 题型十七 二项展开式的第项（高频） · 题型十八 二项式系数（和）（重点） · 题型十九 系数和，系数最值（重点） · 题型二十 两个二项展开式，三项展开式系数问题（难点） · 题型二十一 条件概率（难点） · 题型二十二 全概率公式和贝叶斯公式（难点） · 题型二十三 二项分布和超几何分布（难点） · 题型二十四 正态分布（难点） · 题型二十五 一元线性回归模型 · 题型二十六 相关系数（难点） · 题型二十七 独立性检验（易错） 题型一、导数的定义（共5小题） 1．（23-24高一下·上海·期末）若，则 . 2．（22-23高二下·上海长宁·期末）已知，则 . 3．（23-24高二下·上海宝山·期末） ． 4．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知，则 ． 5．（22-23高二下·上海普陀·期末）若，则 ． 题型二、借助导数求切线（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期末）对于在定义域上恒大于的函数 ，令 ． 已知 与 的导函数 满足关系式 ． 由此可知，函数 在 处的切线方程为 ． 2．（22-23高二下·上海长宁·期末）若直线l与曲线、曲线都相切，则直线l的方程为 . 3．（22-23高二下·上海静安·期末）已知曲线上一点，则在点处的切线方程为 . 4．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 5．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数在上严格增，求实数的取值范围. 题型三、导数的四则运算（共4小题） 1．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知，，，，则 ； . 2．（23-24高二下·上海浦东新·期末）若，则 ． 3．（22-23高二下·上海·期末）函数的导数是 . 4．（23-24高三上·上海普陀·期末）函数，如果为奇函数，则的取值范围为 题型四、利用导数求函数（不含参）的单调区间（共4小题） 1．（24-25高二下·上海·期中）函数的严格减区间为（   ） A． B． C． D．和 2．（22-23高二下·上海松江·期末）函数的严格增区间为 . 3．（24-25高二下·上海·期中）函数的单调减区间是 . 4．（2023·上海徐汇·模拟预测）函数的单调增区间为 ． 题型五、由函数在区间上的单调性求参数（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期末）“”是“函数是增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（24-25高二上·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 3．（23-24高二下·上海青浦·期末）若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为 ． 4．（22-23高二下·上海松江·期末）函数在上不单调，则实数k的取值范围是 . 5．（23-24高三上·上海静安·期末）记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 题型六、函数与导数图象之间的关系（共5小题） 1．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在区间(-3，3)内有三个零点 B．函数是函数的一个极值点 C．曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D．函数在区间(-1，1)上是严格减函数 2．（23-24高三上·上海松江·期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海青浦·期中）已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海嘉定·期中）函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是 . ①函数在区间上严格递减； ②； ③函数在处取极大值； ④函数在区间内有两个极小值点. 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 ． 题型七、函数的极值问题（共5小题） 1．（23-24高一下·上海·期末）设，则函数的极值点为 . 2．（23-24高二下·上海浦东新·期末）函数的极值点的个数是 ． 3．（22-23高二下·上海徐汇·期末）若是函数的极小值点，则实数的值为 . 4．（23-24高二下·上海·期末）已知函数 (1)求函数的导数； (2)求函数的单调区间和极值点． 5．（23-24高二下·上海静安·期末）记．求函数的导数，讨论函数的单调性和极值． 题型八、函数的最值问题（共5小题） 1．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知，则函数的最小值为 ． 2．（23-24高二下·上海·期末）已知．求： (1)函数的单调区间及极值； (2)函数在区间上的最大值与最小值． 3．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 4．（23-24高二下·上海·期末）求函数在上的最大值和最小值． 5．（22-23高二下·上海静安·期末）设，函数. (1)请讨论该函数的单调性； (2)求该函数在闭区间上的最大值和最小值. 题型九、两个计数原理综合（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期末）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．240 2．（23-24高二下·上海虹口·期末）设实数和均是集合中的两个不同的元素，则方程所表示的不同直线的条数为 . 3．（23-24高二上·上海·期末）某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为 种． 4．（24-25高二上·上海·期末）用0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的个数是 5．（24-25高二上·上海·期末）有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有 种． 题型十、排列数与组合数的计算（共4小题） 1．（24-25高二上·上海·期末）关于正整数的方程是，则 ． 2．（23-24高二下·上海·期末）已知 ，则 ． 3．（23-24高二下·上海·期末）若，则正整数 . 4．（22-23高二下·上海长宁·期末）若，则正整数 . 题型十一、组合数的性质应用（共4小题） 1．（22-23高二下·上海闵行·期末）化简：=（   ）. A． B． C． D． 2．（22-23高二下·上海浦东新·期末）若，则x的值为 . 3．（22-23高三上·上海浦东新·期末）若，则 4．（22-23高二上·上海普陀·期末）若，则的值为 . 题型十二、相邻与不相邻问题（共6小题） 1．（23-24高二下·上海·期末）5个学生排成一排照相，甲、乙相邻的排法共有 种. 2．（22-23高二上·上海宝山·期末）某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生相邻且农场主站在中间的概率等于 （用数字作答）. 3．（23-24高二下·上海宝山·期末）7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有 种． 4．（23-24高二下·上海·期末）某场中国队与巴西队的足球比赛进入了激动人心的点球大战，中国队需要从除守门员外的10名首发队员中选5名队员依次主罚点球. 已知除守门员外的10名首发队员中有2名前锋、4名中场、4名后卫，若要求2名前锋必须入选、且不能相邻，那么主罚点球人员的不同排列方法有 种.（不考虑是否踢进等问题） 5．（23-24高二下·上海·期末）某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，其中共4个语言类节目，3个歌舞类节目，则歌舞类节目互不相邻的概率为 ． 6．（23-24高二上·上海·期末）四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生不相邻，则不同排法的种数是 .（结果用数字作答） 题型十三、特殊元素（位置）优先（共5小题） 1．（23-24高二上·上海·期末）8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人中任意两人都不相邻的排法种数是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·上海闵行·期末）某校从高二年级成绩排在前5名的学生中随机选出2人分别参加市级的古诗词和数学奥林匹克竞赛，每种比赛仅派1人去参加，则一共有 种不同的选法，(用数字回答) 3．（23-24高二下·上海·期末）高三年级毕业活动中，要求，，三个班级各出三人，组成小方阵，班的三位同学既不在同一行，也不在同一列的排法有 种. 4．（22-23高二下·上海静安·期末）7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有 种排法. 5．（22-23高二下·上海长宁·期末）用0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数. (1)组成的四位数中，大于4000的有多少个？ (2)能组成多少个被25整除的四位数？这些数相加，所得的和是多少？ 题型十四、间接法（共3小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为 ． 2．（23-24高二上·上海·期末）空间内7个点，若其中有且只有4点共面，但无3点共线，可组成 个四面体 3．（20-21高二下·上海浦东新·期末）本次数学期末考试共三种题型：填空题、选择题、解答题，其中填空题满分54分，共有12道小题，前6题每小题4分，后6题每小题5分，每小题答对得满分，答错得零分，则学生解答填空题共有 种不同的可能分值. 题型十五、分配问题（共5小题） 1．（22-23高二上·上海宝山·期末）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（    ） A．36 B．64 C．72 D．81 2．（23-24高二上·上海·期末）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有 种.（用数字作答） 3．（22-23高二下·上海奉贤·期末）某校在高二开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为 . 4．（22-23高三上·上海闵行·期末）支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定第一轮4场比赛的分组，再确定第一轮的4支胜者队伍在第二轮2场比赛的分组，最后确定第二轮的2支胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次性完成制定(与具体每场比赛的胜者是谁无关).则赛程表有 种. 5．（22-23高二上·上海杨浦·期末）现有6位教师要带4个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案共有 种. 题型十六、涂色问题（共5小题） 1．（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 2．（22-23高二下·上海嘉定·单元测试）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ）    A．120 B．420 C．300 D．以上都不对 3．（24-25高三下·上海·单元测试）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种(以数字作答)． 4．（23-24高三上·上海闵行·期末）用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果 一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色; b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有 种。 5．（23-24高三上·上海闵行·期中）某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有 种不同的涂色方法. 题型十七、二项展开式的第项（共3小题） 1．（25-26高三上·上海·单元测试）二项式的展开式（按的降幂排列）中的第4项是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海普陀·期末）的常数项为第3项，求 3．（2024·上海奉贤·一模）的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 题型十八、二项式系数（和）（共3小题） 1．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则所有项的系数和等于 2．（23-24高三上·上海青浦·开学考试）已知展开式各项系数之和为，则展开式中第项的二项式系数是 . 3．（25-26高三上·上海·单元测试）已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大．求： (1)的值； (2)展开式中二项式系数最大的项． 题型十九、系数和，系数最值（共8小题） 1．（24-25高二上·上海·期末）已知，则 ． 2．（23-24高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，项的系数为 . 3．（23-24高二下·上海虹口·期末）的二项展开式中的系数为 . 4．（23-24高二下·上海·期末）在的展开式中，的系数为 (以数字作答) 5．（23-24高二下·上海青浦·期末）在的展开式中，含项的系数为 ． 6．（23-24高二下·上海·期末）在二项式的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 7．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 8．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知（为正整数）的二项展开式中. (1)若，求所有项的系数之和； (2)若，求展开式中的有理项的个数； (3)若，求系数最大的项. 题型二十、两个二项展开式，三项展开式系数问题（共5小题） 1．（23-24高三下·上海奉贤·开学考试）在的展开式中，项的系数为 .（结果用数值表示） 2．（23-24高二下·上海·期末）在的展开式中，项的系数为 . 3．（2024·上海青浦·一模）的展开式中，项的系数为 . 4．（2024·上海金山·二模）在的展开式中，记项的系数为，则 ． 5．（25-26高三上·上海·单元测试）的展开式中项的系数为 ． 题型二十一、条件概率 1．（23-24高二下·上海·期末）已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为 ． 2．（23-24高三上·上海普陀·期末）某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为、、，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为、、，结果今天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率为 ． 3．（22-23高二上·江西南昌·期末）一盒子装有5件产品，其中有3件一等品，2件二等品.从中不放回地抽取两次，每次任取一件，设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则条件概率的值为 . 4．（2024·上海嘉定·二模）小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率 ． 5．（2024·上海·一模）一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为 ． 题型二十二、全概率公式和贝叶斯公式 1．（23-24高二下·上海·期末）某张试卷由两位陈老师、一位张老师共同命制，其中第8题从三位老师中随机抽取一位进行命题. 已知若由张老师命题，学生答对这道题的概率是；若由（任意一位）陈老师命题，学生答对这道题的概率是. 那么学生答对第8题的概率是 . 2．（23-24高二下·上海·期末）设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、  ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是 ． 3．（24-25高三上·上海·开学考试）某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率 . 4．（23-24高二上·上海·期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 . 5．（23-24高二下·上海·期末）某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为 ，且这些消费者可以分为三类．其中类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占比，其在一年内再次购买产品的概率为． (1)求与的值． (2)若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是类消费者的概率． 6．（25-26高三上·上海·单元测试）某商店从三个厂购买了一批灯泡，甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，各厂的次品率分别为5%、4%、2%． (1)求消费者买到一只次品灯泡的概率； (2)若消费者买到一只次品灯泡，则它是哪个厂家生产的可能性最大？ 题型二十三、二项分布和超几何分布 1．（25-26高三上·上海·期末）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.若甲、乙两人各投球2次，则共命中2次的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海浦东新·期末）在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为 （结果精确到0.01）． 3．（23-24高二下·上海·期末）袋中装有大小和质地相同的5个球，其中2个黑球，3个白球．从中随机地摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数． (1)采用不放回摸球，求X的分布； (2)采用有放回摸球，求X的分布、期望． 4．（23-24高二下·上海·期末）在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和2名男生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件，第二次抽到男生为事件. (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 5．（2025·上海长宁·二模）为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种） 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理． 6．（2025·上海徐汇·二模）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. (1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； (2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 7．（2024·上海长宁·二模）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球； (1)从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率； (2)从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为，求的分布、期望与方差； 8．（2023·上海长宁·二模）盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品．现从中不放回地随机摸取2次小球，每次一个． (1)记“第二次摸出的小球是正品”为事件B，求证：； (2)用X表示摸出的2个小球中次品的个数，求X的分布列和期望． 9．（2025·上海普陀·二模）某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； (2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 题型二十四、正态分布 1．（24-25高三上·上海杨浦·期末）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 2．（24-25高二上·上海·期末）已知随机变量，且，则 . 3．（23-24高二下·上海金山·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则 . 5．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 6．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）随着5G时代的全面来临，借助手机，网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表. 不了解 了解 合计 女生 20 20 40 男生 10 合计 80 (1)取进行独立性检验，判断该校学生对“反诈”知识的了解与性别是否有关； (2)用频率估计概率，样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为，求的分布及数学期望； (3)为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”. （i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”； （ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，估计参与本次知识竞赛的学生人数.（四舍五入后取整） 附：（1），其中，； （2）若，则：，，. 7．（23-24高二下·上海·期末）某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人） 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 (1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? (2)假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中，．若，，，． 题型二十五、一元线性回归模型 1．（25-26高三上·上海·期末）贵州六马盛产“蜂糖李”，其以果大味甜闻名当地.某电商以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，大力推进绿色发展，现需订购一批苗木，苗木长度与售价如下表.由表可知苗木长度与售价/元之间存在线性相关关系，回归方程为.当苗木长度为120cm时，估计价格为 元. 10 20 30 40 50 60 /元 2 6 10 14 16 18 2．（23-24高二下·上海·期末）某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x（单位：万千米）对应维修保养费用y（单位：万元）的四组数据，这四组数据如下表： 行驶里程万千米/万千米 1 2 4 5 维修保养费用万元/万元 0.50 0.90 2.30 2.70 若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为10万千米时的维修保养费是 ． 3．（23-24高二下·上海长宁·期末）某单位为了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与气温.由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为 度. 气温（℃） 14 12 8 6 用电量（度） 22 26 34 38 4．（23-24高二下·上海·期末）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃ )存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程． x(次数/分钟) 20 30 40 50 60 y(℃) 25 27.5 29 32.5 36 则当蟋蟀每分钟鸣叫62次时，该地当时的气温预报值为 ． 5．（2024·上海·三模）已知x，y是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表： x 1 2 3 4 5 y 4 a 9 b 11 其回归方程为，则 . 6．（2024·上海·一模）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：克每立方米）与样本对原点的距离（单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中）． 6 97.90 0.21 240 0.14 14.12 26.13 (1)利用相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型； (2)根据（1）的结果建立关于的回归方程，并估计样本对原点的距离米时，平均金属含量是多少？ 7．（2023·上海奉贤·一模）某连锁便利店从年到年销售商品品种为种，从年开始，该便利店进行了全面升级，销售商品品种为种.下表中列出了从年到年的利润额. 年份 利润额 /万元 (1)若某年的利润额超过万元，则该便利店当年会被评选为示范店；若利润额不超过万元，则该便利店当年不会被评选为示范店.试完成列联表，并判断商品品种数量与便利店是否为示范店有关？（显著性水平，） 品种为种 品种为种 总计 被评为示范店次数 未被评为示范店次数 总计 (2)请根据年至年（剔除年的数据）的数据建立与的线性回归模型①；根据年至年的数据建立与的线性回归模型②.分别用这两个模型，预测年该便利店的利润额并说明这样的预测值是否可靠？（回归系数精确到，利润精确到万元） 回归系数与的公式如下： 8．（2023·上海杨浦·模拟预测）某科技公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费和年销售量（，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.    12.5 222 3.5 157.5 16800 4.5 1254 270 表中，. (1)根据散点图判断与哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. 题型二十六、相关系数 1．（2025·上海奉贤·二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 2．（23-24高二下·上海·期末）随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径．某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 (1)补全列联表，并根据显著性水平的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ (2)记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模（单位：亿元）与的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m 根据上表数据求得关于的经验回归方程为，求表中m的值，并求相关系数，判断该经验回归方程是否有价值． 参考公式：，其中，． 回归方程，其中，相关系数．若，则认为经验回归方程有价值． 3．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 4．（25-26高三上·上海·单元测试）当前，冷冻冷藏类技术发展迅速且应用广泛．某制冷技术重点实验室研究了不同果蔬在不同冻结速率下的冰点温度，以及低温环境对果蔬热物性的影响．设冻结速率为x（单位：分钟），冰点温度为y（单位：℃），如表为某种水果冰点温度随冻结速率变化的统计数据： x 10 20 30 40 50 y －5 －4.5 －2 1 2 根据以上数据，绘制了散点图： (1)由散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明； (2)求y关于x的线性回归方程，并预测当冻结速率为60分钟时，这种水果的冰点温度． 题型二十七、独立性检验 1．（23-24高二下·上海·期末）某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽取30名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，取显著性水平为，我们可以认为该学校15至16周岁的30名男生的身高是否偏高与体重是否超重 .（填入有关或无关） 身高 体重 超重 不超重 总计 偏高 12 3 15 不偏高 5 10 15 总计 17 13 30 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中 2．（23-24高二下·上海长宁·期末）（1）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个）若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效； 未患病者 患病者 合计 未服用 中草药甲 29 16 45 服用 中草药甲 46 9 55 合计 75 25 100 （2）已知一个盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.现从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X，求X的分布列、期望和方差. 附：，. α 0.100 0.050 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 3．（23-24高二下·上海·期末）随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径．某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 (1)补全列联表，并根据显著性水平的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ (2)记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模（单位：亿元）与的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m 根据上表数据求得关于的经验回归方程为，求表中m的值，并求相关系数，判断该经验回归方程是否有价值． 参考公式：，其中，． 回归方程，其中，相关系数．若，则认为经验回归方程有价值． 4．（23-24高二下·上海·期末）某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示． 评分款式 1分 2分 3分 4分 5分 基础版 基础版1 2 2 3 1 0 基础版2 4 4 5 3 1 豪华版 豪华版1 1 3 5 4 1 豪华版2 0 0 3 5 3 (1)求这四款车得分的平均数． (2)约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下2×2列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由． 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 优秀 合计 (3)为进一步提升产品品质，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，设随机变量X表示其中基础版1车主的人数，求X的分布和期望． 附： ； 5．（2024·上海杨浦·二模）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表： 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 优秀 合格 总计 根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？（.其中，）. 6．（2025·上海金山·二模）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； (2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 (3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 7．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ (3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差 附录：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 $$专题01 高二下学期期末真题精选 (沪教版2020选择性必修第二册) （常考27大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 导数的定义（易错） · 题型二 借助导数求切线（易错） · 题型三 导数的四则运算 · 题型四 利用导数求函数（不含参）的单调区间 · 题型五 由函数在区间上的单调性求参数（高频） · 题型六 函数与导数图象之间的关系（易错） · 题型七 函数的极值问题（重点） · 题型八 函数的最值问题（重点） · 题型九 两个计数原理综合（难点） · 题型十 排列数与组合数的计算（重点） · 题型十一 组合数的性质应用（易错） · 题型十二 相邻与不相邻问题（高频） · 题型十三 特殊元素（位置）优先 · 题型十四 间接法（难点） · 题型十五 分配问题（重点） · 题型十六 涂色问题 · 题型十七 二项展开式的第项（高频） · 题型十八 二项式系数（和）（重点） · 题型十九 系数和，系数最值（重点） · 题型二十 两个二项展开式，三项展开式系数问题（难点） · 题型二十一 条件概率（难点） · 题型二十二 全概率公式和贝叶斯公式（难点） · 题型二十三 二项分布和超几何分布（难点） · 题型二十四 正态分布（难点） · 题型二十五 一元线性回归模型 · 题型二十六 相关系数（难点） · 题型二十七 独立性检验（易错） 题型一、导数的定义（共5小题） 1．（23-24高一下·上海·期末）若，则 . 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义求解即得. 【详解】依题意，. 故答案为： 2．（22-23高二下·上海长宁·期末）已知，则 . 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】先求出，然后代入中求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海宝山·期末） ． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义，以及求导公式，即可求解. 【详解】设，， . 故答案为： 4．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知，则 ． 【答案】1 【知识点】求某点处的导数值、基本初等函数的导数公式、导数定义中极限的简单计算 【分析】直接求导，再根据导数含义即可得到答案. 【详解】,，则 . 故答案为：1. 5．（22-23高二下·上海普陀·期末）若，则 ． 【答案】3 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】根据导数的定义和导数的求导法则计算即可． 【详解】，又，故. 故答案为：3. 题型二、借助导数求切线（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期末）对于在定义域上恒大于的函数 ，令 ． 已知 与 的导函数 满足关系式 ． 由此可知，函数 在 处的切线方程为 ． 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据题意，令，求导得，再通过点斜式方程求切线方程. 【详解】由题意可知，， 令， 又因为， 且， 所以， 又因为， 所以由点斜式方程得：， 故切线方程为：. 故答案为：. 2．（22-23高二下·上海长宁·期末）若直线l与曲线、曲线都相切，则直线l的方程为 . 【答案】或 【知识点】导数的运算法则、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设切点分别为，，分别求出两曲线的切线方程是和，解方程，且，即得解. 【详解】由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：，即； 由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：． 所以，且， 消去得，故或， 所以直线l的方程为：或． 故答案为：或. 3．（22-23高二下·上海静安·期末）已知曲线上一点，则在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数求出曲线在该点的斜率，然后直接求解即可. 【详解】的导数为， 该曲线在处的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为： 4．（23-24高二下·上海虹口·期末）已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）只需分别求得即可得解. （2）利用导数分析函数在给定区间上的单调性，比较极值与端点函数值的大小即可得解. 【详解】（1），故所求为. （2）因为， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 而， 所以， 所以函数在上的最大值与最小值分别为. 5．（22-23高二下·上海浦东新·期末）已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数在上严格增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，即可求出函数在点处的切线方程； （2）求导，由题意，转化为恒成立问题，利用分离参数法，求出函数最值，即可求出的取值范围. 【详解】（1），， 所以，， 即切线的斜率，切点， 所以切线方程为：，即， 故切线方程为； （2）因为函数在上严格增， 所以在恒成立， 所以在恒成立， 即在恒成立， 所以小于等于的最小值，因为， 所以， 故的取值范围为. 题型三、导数的四则运算（共4小题） 1．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知，，，，则 ； . 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】根据给定条件，依次求导，探求出求导后的规律，再按周期性求值即可. 【详解】因为，， ， ， ， 所以， 所以， 所以， ； 所以， ， ， 所以. 【点睛】关键点睛：关键在于求导找到规律，利用规律计算即可 2．（23-24高二下·上海浦东新·期末）若，则 ． 【答案】 【知识点】导数的运算法则 【分析】利用积的导数法则可求解. 【详解】由，可得. 故答案为：. 3．（22-23高二下·上海·期末）函数的导数是 . 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】利用复合函数的导数求导规则即可求得函数的导数. 【详解】 故答案为： 4．（23-24高三上·上海普陀·期末）函数，如果为奇函数，则的取值范围为 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数、导数的乘除法 【分析】求出，结合函数奇偶性的定义判断可得出结果. 【详解】由可得，即函数的定义域为， 则， 又因为函数为奇函数，对任意的， ， 对任意的实数都满足条件，故实数的取值范围是. 故答案为：. 题型四、利用导数求函数（不含参）的单调区间（共4小题） 1．（24-25高二下·上海·期中）函数的严格减区间为（   ） A． B． C． D．和 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，再令导数小于零，即可求出函数的减区间. 【详解】函数的定义域为， ， 令，得或， 所以函数的严格减区间为和. 故选：D. 2．（22-23高二下·上海松江·期末）函数的严格增区间为 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求得，令，即可求得函数的严格增区间. 【详解】由函数，可得， 令，即，解得， 所以函数的严格增区间为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海·期中）函数的单调减区间是 . 【答案】/ 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得，所以的单调递减区间为. 故答案为： 4．（2023·上海徐汇·模拟预测）函数的单调增区间为 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先对求导，再令导数大于0，从而求得函数的单调增区间. 【详解】因为，所以， 令，解得， 所以的单调增区间为. 故答案为：. 题型五、由函数在区间上的单调性求参数（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期末）“”是“函数是增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数，求出是增函数的的取值范围，再用充分性和必要性知识来进行判别即可． 【详解】是增函数，求导，即恒成立， 参变分离即恒成立，则．则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件． 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】由求导得：， 因该函数有三个单调区间，则方程必有两相异实根， 则有，解得. 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海青浦·期末）若函数在区间上是严格单调函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导函数，分在区间单调递增和单调递减两种情况讨论，参变分离，结合正切函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是严格单调函数， 若单调递增，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 若单调递减，则在上恒成立， 因为当时，所以在上恒成立， 又在上单调递增，当时，所以； 综上可得. 故答案为： 4．（22-23高二下·上海松江·期末）函数在上不单调，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】因为函数在区间上不是单调函数，所以导数既有正值也有负值，也即有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间内，再通过分类讨论，求的取值范围即可 【详解】因为，所以， 又因为函数在区间上不单调，所以在内有实数根，且无重根， 即有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间内， ①若，则，， 方程的两个实根0和4均不在区间内，所以； ②若，则，， 方程在区间内有实根，所以可以为； ③若方程有一个实根在区间内，另一个实根在区间外， 则，即，； ④若方程在区间内有两个不相等的实根， 则：，∴， ∴； 综合①②③④得的取值范围是． 故答案为： 5．（23-24高三上·上海静安·期末）记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究能成立问题、导数的运算法则 【分析】由题意推出在区间内有解，分离参数，构造函数，结合函数单调性，求出函数最值，即可求得答案. 【详解】由题意知在区间内有解， 即，即在区间内有解， 设，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 且，故在上的最大值为， 故，即实数的取值范围是， 故答案为： 题型六、函数与导数图象之间的关系（共5小题） 1．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在区间(-3，3)内有三个零点 B．函数是函数的一个极值点 C．曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D．函数在区间(-1，1)上是严格减函数 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解. 【详解】在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，A错误； 在的左右两侧，故不是极值点，故B错误; 根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，C错误； 在恒成立，故在区间上是严格减函数，故D正确. 故选：D 2．（23-24高三上·上海松江·期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系 【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集. 【详解】由图象可知，在区间上， 在区间上， 所以不等式的解集为. 故选：C 3．（24-25高二下·上海青浦·期中）已知定义在区间上的奇函数的导函数是．当时，的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数奇偶性的应用 【分析】结合图象判断函数单调性，可得的函数值正负情况，从而解，可得答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 由于是定义在区间上的奇函数， 故在上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，，此时等号仅在时成立， 故由可知或 得或，即不等式解集为， 故选：C. 4．（24-25高二下·上海嘉定·期中）函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是 . ①函数在区间上严格递减； ②； ③函数在处取极大值； ④函数在区间内有两个极小值点. 【答案】②④ 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】先由图得函数的单调性，进而逐一判断即可. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以函数在 区间递增上，在区间上递减，故①错误，②正确； 所以的极小值点为和，极大值点为，故③错误，④正确. 故答案为：②④. 5．（24-25高二下·上海徐汇·期中）函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 ． 【答案】 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案. 【详解】由函数的图像可知, 在区间上单调递减,在区间上单调递增，即当时, ;当时, . 因为可化为或，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型七、函数的极值问题（共5小题） 1．（23-24高一下·上海·期末）设，则函数的极值点为 . 【答案】. 【知识点】函数极值点的辨析、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据正弦型函数的性质和极值点的定义得到方程，解出即可. 【详解】根据三角函数极值点即为其最值点，则转化为求解其对称轴通式， 令 其对称轴为 则其极值点为. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海浦东新·期末）函数的极值点的个数是 ． 【答案】0 【知识点】求已知函数的极值点、函数极值点的辨析 【分析】利用导数求函数单调区间，判断极值点的个数. 【详解】函数定义域为， 由，函数在和都单调递增，没有极值点， 函数的极值点的个数为0. 故答案为：0. 3．（22-23高二下·上海徐汇·期末）若是函数的极小值点，则实数的值为 . 【答案】2 【知识点】根据极值点求参数、求已知函数的极值 【分析】求导，根据极值点与导函数的关系求的值，并代入原函数结合单调性检验. 【详解】由题意可得： ， 因为，解得或， 若，则， 令，解得或；令，解得； 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是极小值点，符合题意； 若，则， 令，解得或；令，解得； 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是极大值点，不符合题意； 综上所述：实数的值为2. 故答案为：2. 4．（23-24高二下·上海·期末）已知函数 (1)求函数的导数； (2)求函数的单调区间和极值点． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为.极大点为，极小值点为 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数极值点的辨析、导数的运算法则、导数的加减法 【分析】（1）根据导数的运算即可求解； （2）令，求出方程的根，再列表分析即可求解. 【详解】（1）由题得. （2）的定义域为， ， 令，或. 当变化时，的变化情况如下表， 正 0 负 0 正 单调递增 极大值点 单调递减 极小值点 单调递增 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 函数的极大值点为，极小值点为. 5．（23-24高二下·上海静安·期末）记．求函数的导数，讨论函数的单调性和极值． 【答案】答案见详解 【知识点】导数的加减法、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据导数的求导法则求，利用导数求的单调性，进而可得极值. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则函数的极大值为，极小值为. 题型八、函数的最值问题（共5小题） 1．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知，则函数的最小值为 ． 【答案】1 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得最值. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的最小值为. 故答案为：1. 2．（23-24高二下·上海·期末）已知．求： (1)函数的单调区间及极值； (2)函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为；函数极大值为，极小值为. (2)函数在区间上的最大值为，最小值为. 【知识点】求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导数，令，得函数的单调增区间，令，得单调减区间，进而可得函数的极值； （2）结合（1）中单调性，求出端点值，比较大小即可得解． 【详解】（1）的定义域为，， 令，得或，令，得， 函数的单调增区间为和，函数的单调减区间为， 当时，函数取得极大值，当时，函数取到极小值， 函数极大值为，极小值为. （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，， 又, ， 函数在区间上的最大值为，最小值为． 3．（23-24高二下·上海·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间和最值； (2)当时，求函数在上的最小值. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导后，根据导函数在定义域内的正负可确定的单调区间和最值； （2）由（1）可知单调性，分别在、和三种情况下，根据单调性确定最小值点，由此求得最小值. 【详解】（1）由题意得：定义域为， 若，则， 当时，；当时，； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为，函数的最大值为，无最小值. （2）由题意得：定义域为，， 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； ①当，即时，在上单调递减，则； ②当，即时，在上单调递增，则； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则. 因为，， 当，即时，； 当，即时，； 综上所述：当时，；当时，. 【点睛】思路点睛：求解在上的最小值的基本思路是通过分类讨论的方式，确定在上的单调性，由此确定最小值点. 4．（23-24高二下·上海·期末）求函数在上的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为7 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】用导数求出在上单调性，再比较的大小即可求解. 【详解】， 当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为， 又，所以在上的最小值为. 5．（22-23高二下·上海静安·期末）设，函数. (1)请讨论该函数的单调性； (2)求该函数在闭区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)在上递增，在上递减 (2)答案见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后由导数的正负可求出函数的单调区间； （2）根据（1）中的单调性，对进行分类讨论即可求出函数的最大值. 【详解】（1）函数的定义域为， 由，得， 因为， 由，得，得， 由，得，得， 所以在上递增，在上递减； （2）①当时，函数在区间上单调递增， 所以， ， ②当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， ， 由，得时，， 由，得时，， ③当时，函数在区间上单调递减， 所以， ， 综上，当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是正确在对分为，，和四种情况求函数的最值，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题. 题型九、两个计数原理综合（共5小题） 1．（23-24高二下·上海·期末）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．240 【答案】B 【知识点】其他排列模型、排列数的计算、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲乙，再从剩下4名同学任选2人排列即可. 【详解】分步完成： 甲不担任四辩，共有3种选择， 又因为乙也不担任四辩，共有2种选择， 从剩下4名同学任选2人，且任意排序，共有种， 所以一共有种. 故选：B. 2．（23-24高二下·上海虹口·期末）设实数和均是集合中的两个不同的元素，则方程所表示的不同直线的条数为 . 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】用分步乘法计数原理先列出a的情况，再列出b的情况，再相乘即可，注意考虑表示同一直线的情况. 【详解】第一步，给a赋值有4种选择， 第二步，给b赋值有3种选择，由分步乘法计数原理可得：(种). 其中没有表示同一直线的情况， 所以形成不同的直线的条数为. 故答案为： 3．（23-24高二上·上海·期末）某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为 种． 【答案】990 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】将添加的3个与“抗冰救灾”有关的节目按照要求依次插空即可求解 【详解】原准备的节目表中10个节目，可产生9个空位（不包含两端），赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经拍好的10个节目顺序不变，第一个赈灾节目可插入到其中的任何一个位置，共有9种方法； 当第一个赈灾节目插入后，11个节目会产生10个空（不包含两端），第二个赈灾节目可插入到其中的任何一个位置，有10种方法； 当第二个赈灾节目插入后，12个节目会产生11个空（不包含两端），第二个赈灾节目可插入到其中的任何一个位置，有11种方法； 根据分步乘法计数原理，不同的节目表可排出种， 故答案为：990 4．（24-25高二上·上海·期末）用0，1，2，3四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的个数是 【答案】 【知识点】数字排列问题 【分析】通过个位数字是0和2，两类情况讨论即可求解； 【详解】当个数数字是0时，满足条件的四位数由， 当个数数字是2时，满足条件的四位数由， 故满足条件的偶数个数是10， 故答案为：10 5．（24-25高二上·上海·期末）有4名学生报名参加“行知杯”足球赛和“灵辰杯”篮球赛两项比赛，每人至少报一项，每项比赛参加人数不限，则不同的报名结果有 种． 【答案】81 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】求出每名学生报名的种数，再利用分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】依题意，每名学生报名的种数是3，由分步乘法计数原理得不同的报名结果有种. 故答案为：81 题型十、排列数与组合数的计算（共4小题） 1．（24-25高二上·上海·期末）关于正整数的方程是，则 ． 【答案】5 【知识点】排列数的计算 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由得，， ∴，即，解得或， ∵，∴. 故答案为：5. 2．（23-24高二下·上海·期末）已知 ，则 ． 【答案】11 【知识点】排列数方程和不等式、组合数方程和不等式 【分析】根据组合数和排列数公式计算即可. 【详解】化简可得, , , 可得. 故答案为：11. 3．（23-24高二下·上海·期末）若，则正整数 . 【答案】5 【知识点】排列数方程和不等式 【分析】根据排列数公式，展开求解，即得答案. 【详解】由，得， 即， 故答案为：5 4．（22-23高二下·上海长宁·期末）若，则正整数 . 【答案】8 【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【分析】利用排列数和组合数公式求解. 【详解】解：因为， 所以 ， 解得 ， 故答案为：8 题型十一、组合数的性质应用（共4小题） 1．（22-23高二下·上海闵行·期末）化简：=（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】组合数的性质及应用 【分析】利用组合数的性质化简计算得解. 【详解】. 故选：D 2．（22-23高二下·上海浦东新·期末）若，则x的值为 . 【答案】3或4 【知识点】组合数方程和不等式 【分析】根据组合数公式的性质求解即可 【详解】因为，所以或， 故答案为：3或4 3．（22-23高三上·上海浦东新·期末）若，则 【答案】 【知识点】组合数的性质及应用、组合数的计算、组合数方程和不等式 【分析】利用组合数的性质求出的值，即可利用公式计算得出答案. 【详解】由组合数的性质可得，解得， 又因为，所以或， 解得（舍去）或， 所以， 故答案为： 4．（22-23高二上·上海普陀·期末）若，则的值为 . 【答案】20 【知识点】组合数的计算、组合数方程和不等式、组合数的性质及应用 【分析】通过已知得出的值，即可利用公式计算得出答案. 【详解】， ，即， ， ， 故答案为：20. 题型十二、相邻与不相邻问题（共6小题） 1．（23-24高二下·上海·期末）5个学生排成一排照相，甲、乙相邻的排法共有 种. 【答案】48 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】利用捆绑法，即可求得答案； 【详解】将甲、乙捆绑看作一个整体，内部全排列，然后和其他人全排列， 故共有（种）排法， 故答案为：48 2．（22-23高二上·上海宝山·期末）某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生相邻且农场主站在中间的概率等于 （用数字作答）. 【答案】 【知识点】相邻问题的排列问题、计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意，由排列数公式计算“农场主与6名同学站成一排”和“2名女生相邻且农场主站在中间”的站法数目，再由古典概型公式计算即可． 【详解】根据题意，农场主与6名同学站成一排，有种不同的站法， 2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成： 第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种； 第二步：相邻女生排在一起有种； 第三步：4名男生排在剩下的位置有种. 因此2名女生相邻且农场主站在中间共有种站法， 则2名女生相邻且农场主站在中间的概率， 故答案为：． 3．（23-24高二下·上海宝山·期末）7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有 种． 【答案】3600 【知识点】不相邻排列问题 【分析】不相邻问题用“插空法”即可. 【详解】先将除了甲和乙外的5人全排列，有种排法， 这5人排成一排，形成6个空，让甲乙去“插空”有种方法， 故7人站成一排，甲和乙不能相邻有种不同的排法. 故答案为：3600. 4．（23-24高二下·上海·期末）某场中国队与巴西队的足球比赛进入了激动人心的点球大战，中国队需要从除守门员外的10名首发队员中选5名队员依次主罚点球. 已知除守门员外的10名首发队员中有2名前锋、4名中场、4名后卫，若要求2名前锋必须入选、且不能相邻，那么主罚点球人员的不同排列方法有 种.（不考虑是否踢进等问题） 【答案】4032 【知识点】不相邻排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用插空法，先从除2名前锋外的其余8名队员中选3人排列，产生4个空，然后2名前锋从4个空中选2个排列即可. 【详解】由题意得，先从除2名前锋外的其余8名队员中选3人排列，有种， 3人排列后有4个空，然后2名前锋从4个空中选2个排列，则有种， 所以由分步乘法原理可知共有种， 故答案为：4032 5．（23-24高二下·上海·期末）某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，其中共4个语言类节目，3个歌舞类节目，则歌舞类节目互不相邻的概率为 ． 【答案】； 【知识点】计算古典概型问题的概率、不相邻排列问题 【分析】利用插空法求出符合题意的排列情况总数，再结合古典概型的概率公式求解. 【详解】先把4个语言类节目全排列，中间形成5个空，5个空中选3个空排三个歌舞类节目， 共有种情况，又因为7个节目全排列有种情况， 所以所求概率为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·上海·期末）四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生不相邻，则不同排法的种数是 .（结果用数字作答） 【答案】 【知识点】不相邻排列问题 【分析】利用插空法，先排男生再排女生求解即可. 【详解】先排男生，再将女生排到5个空位里，有种情况. 故答案为： 题型十三、特殊元素（位置）优先（共5小题） 1．（23-24高二上·上海·期末）8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人中任意两人都不相邻的排法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题 【分析】根据插空法相关知识直接计算求解即可. 【详解】由题意，先排剩下的5个人，共有种排法， 再将甲乙丙三个人插入剩余的6个空位，共有种排法， 故总共有种排法. 故选：A 2．（22-23高二下·上海闵行·期末）某校从高二年级成绩排在前5名的学生中随机选出2人分别参加市级的古诗词和数学奥林匹克竞赛，每种比赛仅派1人去参加，则一共有 种不同的选法，(用数字回答) 【答案】20 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据题意，可用排列数求解即得. 【详解】依题意，即从5人中选出2人分别参加两项竞赛，故选法数为. 故答案为：20. 3．（23-24高二下·上海·期末）高三年级毕业活动中，要求，，三个班级各出三人，组成小方阵，班的三位同学既不在同一行，也不在同一列的排法有 种. 【答案】 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】先排班的三位同学，再排其他两个班的6人，运用分步计数原理计算. 【详解】先排班的三位同学，第一人有9种方法，第二人有4种，第三人有1种， 共有种， 再排其他两个班的6人，进行全排列有种， 所以共有种. 故答案为：. 4．（22-23高二下·上海静安·期末）7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有 种排法. 【答案】240 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据排列与分步乘法计数原理相关知识，先排特殊位置，再排其他位置即可. 【详解】先排甲和乙，有种排法， 再排其他5人，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种排法. 故答案为：240 5．（22-23高二下·上海长宁·期末）用0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数. (1)组成的四位数中，大于4000的有多少个？ (2)能组成多少个被25整除的四位数？这些数相加，所得的和是多少？ 【答案】(1)360 (2)36，132000 【知识点】数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】（1）根据题意，千位数字可以为4、5或6，有3种情况，从而可解. （2）据题意，能被25整除的四位数其后面两位数字为25或50，从而可解. 【详解】（1）根据题意，四位数大于4000，其千位数字可以为4、5或6，有3种情况，百、十、个位任意排列，有种情况，则大于4000的四位数有个； （2）根据题意，能被25整除的四位数其后面两位数字为25或50， 若后面两位数字为50，有种情况， 若后面两位数字为25，有种情况， 则有个被25整除的四位数， 其和为. 题型十四、间接法（共3小题） 1．（23-24高二下·上海·期中）至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为 ． 【答案】81 【知识点】几何组合计数问题 【分析】利用间接法，根据共面的条件，分析出重复的平面，即可求解. 【详解】共有12条棱，即有12个中点，根据任意3点不共线，故可得个平面， 其中，过4个中点的平面有：正方体的6个面，正方体的3个中截面，与面对角线和棱平行的面有个，共有个， 过6个中点的平面有4个， 所以重复的有个平面， 所以满足条件的平面有个. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用空间想象能力，将过4个点和过6个点的平面中与过3个点的平面重复的找出来. 2．（23-24高二上·上海·期末）空间内7个点，若其中有且只有4点共面，但无3点共线，可组成 个四面体 【答案】34 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】分析题意，用组合数求解即可. 【详解】由题意得空间内7个点，若其中有且只有4点共面，且需围成立体图形，故围成四面体个数为个 故答案为：34 3．（20-21高二下·上海浦东新·期末）本次数学期末考试共三种题型：填空题、选择题、解答题，其中填空题满分54分，共有12道小题，前6题每小题4分，后6题每小题5分，每小题答对得满分，答错得零分，则学生解答填空题共有 种不同的可能分值. 【答案】43 【知识点】分类加法计数原理 【分析】分类计数相加即可. 【详解】设4分题答对的个数为，答对5分题的个数为，则总的分， 当时，，共7个数值； 当时，分别可取7个不同的值， 但， 且 故共有：种不同的结果. 故答案为：43. 题型十五、分配问题（共5小题） 1．（22-23高二上·上海宝山·期末）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（    ） A．36 B．64 C．72 D．81 【答案】A 【知识点】分组分配问题 【分析】通过排列组合，先分组，再分配即可. 【详解】4名同学分成1，1，2三组： 三组去三个不同的小区： 所以全部的种类数：； 故选：A. 2．（23-24高二上·上海·期末）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的选法有 种.（用数字作答） 【答案】96 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】分两种情况，结合组合知识进行求解 【详解】当所选3人中男生1人，女生2人，此时有种选择， 当所选3人中男生2人，女生1人，此时有种选择， 故共有种选择. 故答案为：96 3．（22-23高二下·上海奉贤·期末）某校在高二开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为 . 【答案】150 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分组分配问题、全排列问题 【分析】利用排列组合以及分步计数原理求解. 【详解】先将5名同学分成三组，每组人数有或两种情况， 则不同的分组方法有, 再由这3组学生选取3门选修课，不同的选法有种， 由分步计数原理可知这5名同学选课的种数为， 故答案为：150. 4．（22-23高三上·上海闵行·期末）支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定第一轮4场比赛的分组，再确定第一轮的4支胜者队伍在第二轮2场比赛的分组，最后确定第二轮的2支胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次性完成制定(与具体每场比赛的胜者是谁无关).则赛程表有 种. 【答案】 【知识点】分组分配问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】分别确定第一轮比赛，第二轮比赛，第三轮比赛安排方案数，再由分步乘法计数原理确定总的方法数. 【详解】由已知可得第一轮比赛的安排方法数为，即种安排方法， 第二轮比赛的安排方法数为，即3种安排方法， 第三轮比赛的安排方法数为1， 由分步乘法计数原理可得所有的安排方法数为315； 故答案为：315. 5．（22-23高二上·上海杨浦·期末）现有6位教师要带4个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案共有 种. 【答案】 【知识点】排列组合综合、分组分配问题 【分析】因甲、乙不能单独带队，故分甲乙一起带队和甲、乙分别于另外一位老师一起带队两种情况进行分类计算即可. 【详解】由于每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队， 所以分以下两类情况： ①甲乙一起带队，则需要把其余的四位老师分成三组，共有种分法，再将四组老师分到4个班级共有种分法； 即甲乙同队共又种； ②甲、乙分别于另外一位老师一起带队，先将其他四位老师分到4个班级共有种分法，再将甲、乙分别分到两个不同的班级共有种分法； 即甲、乙不同队共有； 综上可知，不同的带队方案共有种. 故答案为： 题型十六、涂色问题（共5小题） 1．（25-26高三上·上海·单元测试）如题图所示是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（    ）．    A．240种 B．300种 C．360种 D．420种 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题 【分析】先安排中心区域A，再从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，分D与B选用同一种和选用不同种类菊花两种情况，结合计数原理得到答案. 【详解】先布置中心区域A共有5种方法，从B开始沿逆时针方向进行布置四周的区域， 则B有4种布置方法，C有3种布置方法． 如果D与B选用同一种菊花，则E有3种布置方法； 如果D与B选用不同种类菊花，则D有2种布置方法，E有2种布置方法． 按照分步乘法与分类加法计数原理， 则全部的布置方法有（种）. 故选：D． 2．（22-23高二下·上海嘉定·单元测试）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ）    A．120 B．420 C．300 D．以上都不对 【答案】B 【知识点】涂色问题 【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域A，有5种颜色可选， ②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;     ③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选; ④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择, 则不同的涂色方案有种; 故选：B 3．（24-25高三下·上海·单元测试）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种(以数字作答)． 【答案】72 【知识点】涂色问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】根据使用颜色种数，结合分类加法计数原理、排列组合求解即可. 【详解】若使用了四种颜色，则同色或同色，共有种， 若使用了三种颜色，则同色且同色，共有种，所以一共有种. 故答案为：72. 4．（23-24高三上·上海闵行·期末）用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果 一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色; b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有 种。 【答案】8 【知识点】分类加法计数原理、涂色问题 【分析】根据题意，采用分步加法计数原理求出符合条件的即可. 【详解】两种颜色类型的，有种； 类型的，有种（两个面相邻、相对） 类型的，有2种（三个面有公共顶点或者没有公共顶点） 因此共有8种. 故答案为：8. 5．（23-24高三上·上海闵行·期中）某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有 种不同的涂色方法. 【答案】 【知识点】涂色问题、全排列问题 【分析】先涂，再分与同色、与不同色两种情况讨论，利用分步、分类计数原理计算可得. 【详解】如图，还原回正方体后，、为正方体前后两个对面，、为左右两个对面，、为上下两个对面，    先涂有种涂法， 当与同色，再涂有种涂法， 若与同色，则有种涂法，最后涂有种涂法， 若与不同色，则有种涂法，最后涂有种涂法， 则有种涂法； 当与不同色，则涂有种涂法，涂有种涂法，此时与必同色且只有一种涂法，也只有种涂法， 则有， 综上可得一共有种涂法. 故答案为： 题型十七、二项展开式的第项（共3小题） 1．（25-26高三上·上海·单元测试）二项式的展开式（按的降幂排列）中的第4项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】由题意可知： 的展开式的通项是 ， 因为为减函数，可知二项式的展开式按的降幂排列， 所以 的展开式的第4项是 . 故选：B. 2．（23-24高三上·上海普陀·期末）的常数项为第3项，求 【答案】 【知识点】根据二项式的第k项求值 【分析】展开式的第项是常数项，即得指数为，求出的值即可． 【详解】因为的常数项为第3项， 所以，， 所以，即. 故答案为：. 3．（2024·上海奉贤·一模）的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】5 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】写出展开式的通项，令的指数为即可； 【详解】由题意可知：，令，所以常数项为. 故答案为： 题型十八、二项式系数（和）（共3小题） 1．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则所有项的系数和等于 【答案】 【知识点】二项展开式各项的系数和、二项式的系数和 【分析】由二项式系数和可求得的值，然后在二项式中令，可求得所有项的系数和. 【详解】的二项式系数和为，可得， 所以，的所有项的系数和为. 故答案为：. 2．（23-24高三上·上海青浦·开学考试）已知展开式各项系数之和为，则展开式中第项的二项式系数是 . 【答案】15 【知识点】二项展开式各项的系数和、求指定项的二项式系数 【分析】取代入二项式得各项系数之和，即可解，从而求得第项的二项式系数． 【详解】取代入二项式得，解得 第项的二项式系数为． 故答案为：15 3．（25-26高三上·上海·单元测试）已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大．求： (1)的值； (2)展开式中二项式系数最大的项． 【答案】(1) (2)和 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和、二项式系数的增减性和最值 【分析】（1）二项式系数和为，令可得各项系数和为，即可得到方程，解得即可； （2）写出展开式的通项，从而得到当或时二项式系数最大，利用通项计算可得. 【详解】（1）因为的二项式系数和为， 令，可得各项系数和为， 依题意可得，即， 又，所以，解得； （2）二项式展开式的通项为，， 所以当或时二项式系数最大， 所以二项式系数最大的项为和． 题型十九、系数和，系数最值（共8小题） 1．（24-25高二上·上海·期末）已知，则 ． 【答案】175 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算得解. 【详解】取，得；取，得， 所以. 故答案为：175 2．（23-24高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，项的系数为 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对有， 令，则，有， 即项的系数为. 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海虹口·期末）的二项展开式中的系数为 . 【答案】56 【知识点】求指定项的系数 【分析】写出二项展开式通项，令，解得，回代即可求解. 【详解】的二项展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的二项展开式中的系数为. 故答案为：56. 4．（23-24高二下·上海·期末）在的展开式中，的系数为 (以数字作答) 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 所以， 即的系数为. 故答案为： 5．（23-24高二下·上海青浦·期末）在的展开式中，含项的系数为 ． 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为，， 所以含项为， 即在的展开式中，含项的系数为． 故答案为：． 6．（23-24高二下·上海·期末）在二项式的展开式中，的系数为 ．（用数字作答） 【答案】10 【知识点】求指定项的系数 【分析】利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】设展开式的第项为含的项， 则， 由, 所以的系数为. 故答案为：10 7．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 【答案】(1) (2)或 【知识点】由项的系数确定参数、三项展开式的系数问题、求指定项的系数 【分析】（1）当时,,由展开式中含项的系数与含的系数,可求得,进而可求得展开式中的常数项; （2）当时,,其通项,设第项的系数最大,列不等式求解即可. 【详解】（1）当时,, 其二项展开式的通项为, 展开式中含项的系数与含的系数相等, 又 , 展开式中的常数项为. （2）当时，, 其通项. 设第项的系数最大， 则， 整理得, 解得, 或. 经检验,. 展开式中系数最大项的系数为：或. 8．（22-23高二上·上海杨浦·期末）已知（为正整数）的二项展开式中. (1)若，求所有项的系数之和； (2)若，求展开式中的有理项的个数； (3)若，求系数最大的项. 【答案】(1) (2)11 (3) 【知识点】求有理项或其系数、求系数最大（小）的项、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）由题意求出，令中，即可得出答案. （2）求出，写出的通项，要使展开式为有理项，则，求解即可； （3）设二项式展开式第项的系数最大，求出的通项，则，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）因为， 而， 所以. 所以令中，则所有项的系数之和为：. （2）若，则， ，解得：. 则的通项为：， 其中，要使展开式为有理项， 则，则， 故展开式中的有理项的个数为. （3）若，则的通项为：， 则设二项式展开式第项的系数最大， 则，得， 化简得：，解得：. 因为，则，所以系数最大的项为. 题型二十、两个二项展开式，三项展开式系数问题（共5小题） 1．（23-24高三下·上海奉贤·开学考试）在的展开式中，项的系数为 .（结果用数值表示） 【答案】45 【知识点】求指定项的二项式系数、求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】由二项式展开得项只能在展开式中，进一步结合二项式系数即可求解. 【详解】， 项只能在展开式中，即为，系数为. 故选：45. 2．（23-24高二下·上海·期末）在的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，， 所以的展开式中含的项为， 所以项的系数为. 故答案为： 3．（2024·上海青浦·一模）的展开式中，项的系数为 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由于的展开式通项为， 故的展开式中，含的项为 ， 故的系数为， 故答案为： 4．（2024·上海金山·二模）在的展开式中，记项的系数为，则 ． 【答案】 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 所以， 则. 故答案为：40 5．（25-26高三上·上海·单元测试）的展开式中项的系数为 ． 【答案】 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为（其中且）， 所以展开式中含项为， 所以项的系数为． 故答案为： 题型二十一、条件概率 1．（23-24高二下·上海·期末）已知一个二胎家庭中有一个男孩，则这个家庭中有女孩的概率为 ． 【答案】 【知识点】计算条件概率 【分析】根据列举法及古典概型的计算公式求得和，然后再由条件概率的定义即可求解. 【详解】一个家庭中有两个小孩只有四种可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， 记事件为“其中一个是男孩”，事件为“其中一个是女孩”， 则事件包含(男，女)，(女，男)，(男，男)，三种情况， 事件包含(男，女)，(女，男)，(女，女)，三种情况， 事件包含(男，女)，(女，男)，两种情况， 于是可知，, 则. 故答案为：. 2．（23-24高三上·上海普陀·期末）某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为、、，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为、、，结果今天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率为 ． 【答案】 【知识点】计算条件概率 【分析】设小明迟到为事件，小明自驾为事件，求出，，利用条件概率公式计算即可求出结果. 【详解】设小明迟到为事件，小明自驾为事件， 则，， 所以在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为. 故答案为：. 3．（22-23高二上·江西南昌·期末）一盒子装有5件产品，其中有3件一等品，2件二等品.从中不放回地抽取两次，每次任取一件，设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则条件概率的值为 . 【答案】/0.5 【知识点】计算条件概率 【分析】求出，利用条件概率求出答案. 【详解】事件为“两次均取到一等品”，故， 因为， 所以. 故答案为： 4．（2024·上海嘉定·二模）小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件表示“两家选择景点不同”，则概率 ． 【答案】/ 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】根据题意，由古典概型公式求出、，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，“两家分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩”，有种情况， 事件A：两家至少有一家选择古猗园，有种情况，故， 若两家选择景点不同且至少有一家选择古猗园，有种情况，即. 所以. 故答案为： 5．（2024·上海·一模）一个飞碟射击运动员练习射击，每次练习可以开2枪．当他发现飞碟后，开第一枪命中的概率为0.8；若第一枪没有命中，则开第二枪，且第二枪命中的概率为0.6；若2发子弹都没打中，该次练习就失败了．若已知在某次练习中，飞碟被击中的条件下，则飞碟是运动员开第二枪命中的概率为 ． 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式、计算条件概率 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算即得. 【详解】记事件为“运动员开第一枪命中飞碟”，为“运动员开第二枪命中飞碟”，为“飞碟被击中”， 则，， 所以飞碟是运动员开第二枪命中的概率为. 故答案为： 题型二十二、全概率公式和贝叶斯公式 1．（23-24高二下·上海·期末）某张试卷由两位陈老师、一位张老师共同命制，其中第8题从三位老师中随机抽取一位进行命题. 已知若由张老师命题，学生答对这道题的概率是；若由（任意一位）陈老师命题，学生答对这道题的概率是. 那么学生答对第8题的概率是 . 【答案】 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据条件概率与全概率公式计算即可求解. 【详解】设事件：张老师出题；事件：陈老师出题；事件：学生答对第8题. 则 所以. 故答案为： 2．（23-24高二下·上海·期末）设甲、乙两个地区爆发了某种流行病，且两个地区感染此病的比例分别为 、  ，若从这两个地区中任选一个地区选择一个人，则此人感染此疾病的概率是 ． 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】设事件分别表示“此人来自甲地区和乙地区”；事件表示“感染此疾病”， ，， 因此 故答案为： 3．（24-25高三上·上海·开学考试）某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率 . 【答案】 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案. 【详解】设事件表示“选到第一组学生”，事件表示“选到共青团员”， 由题意，，, 所以“已知选到的是共青团员，则他是第一组学生的概率”为. 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·期末）某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为 . 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、计算条件概率 【分析】求出第一次取到0个、1个、2个新球的概率，再结合条件概率及全概率公式列式计算即得. 【详解】用表示第一次取到个新球的事件，用表示第二次训练时恰好取到1个新球的事件， 则，且两两互斥，， ， 因此， 所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为. 故答案为： 5．（23-24高二下·上海·期末）某公司对购买其产品的消费者进行了调研，已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为 ，且这些消费者可以分为三类．其中类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占，其在一年内再次购买产品的概率为；类消费者占比，其在一年内再次购买产品的概率为． (1)求与的值． (2)若一名消费者在一年内再次购买了产品，求其是类消费者的概率． 【答案】(1)， (2) 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率 【分析】（1）记一年内再次购买产品为事件，消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件，根据求出，再由全概率公式求出； （2）由条件概率公式计算可得. 【详解】（1）记一年内再次购买产品为事件，消费者是类消费者记为事件， 消费者是类消费者记为事件，消费者是类消费者记为事件， 则，，， ，，， 所以，解得， 则，解得； （2）依题意可得. 6．（25-26高三上·上海·单元测试）某商店从三个厂购买了一批灯泡，甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，各厂的次品率分别为5%、4%、2%． (1)求消费者买到一只次品灯泡的概率； (2)若消费者买到一只次品灯泡，则它是哪个厂家生产的可能性最大？ 【答案】(1)0.0345 (2)买到乙厂产品的可能性最大 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）直接由全概率公式即可求解； （2）直接由贝叶斯公式即可求解. 【详解】（1）记事件表示“消费者买到一只次品灯泡”，、、分别表示“买到的灯泡是甲、乙、丙厂生产的灯泡”， 根据题意得，，，， ，，． 所以； （2）， ， ， 所以买到乙厂产品的可能性最大． 题型二十三、二项分布和超几何分布 1．（25-26高三上·上海·期末）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.若甲、乙两人各投球2次，则共命中2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】根据题意，先列方程算出，因甲、乙两人各投球2次，可设两个随机变量,可得，，将所求事件分成“甲命中2次、甲乙各命中一次和乙命中2次”三类情况，利用二项分布概率公式计算即得. 【详解】依题意，，解得， 记甲投球2次，命中次数为随机变量，则，乙投球2次，命中次数为随机变量，则, 则甲、乙两人各投球2次，则共命中2次可表示为: . 故选：D. 2．（23-24高三上·上海浦东新·期末）在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为 （结果精确到0.01）． 【答案】0.25 【知识点】求超几何分布的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】 由题意先求出事件总数，再求出恰好有一件二等品的事件，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】从这批产品中抽取3件，则事件总数为， 其中恰好有一件二等品的事件有， 所以恰好有一件二等品的概率为. 故答案为：0.25 3．（23-24高二下·上海·期末）袋中装有大小和质地相同的5个球，其中2个黑球，3个白球．从中随机地摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数． (1)采用不放回摸球，求X的分布； (2)采用有放回摸球，求X的分布、期望． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析； 【知识点】超几何分布的分布列、二项分布的均值、利用二项分布求分布列 【分析】（1）服从超几何分布，依据超几何分布的公式计算即可； （2），依据二项分布写出分布列，计算期望和方差即可. 【详解】（1）各次试验的结果不独立，故X服从超几何分布. ，其中. X的分布为 X 0 1 2 P （2）每次摸到黑球的概率为，且各次试验的结果是独立的，故. ，其中. X的分布为， X 0 1 2 3 P 期望. 4．（23-24高二下·上海·期末）在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和2名男生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件，第二次抽到男生为事件. (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)，. (2)分布列见解析，2 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）根据独立事件和条件概率的计算公式计算即可求解； （2）的取值可能为，利用超几何分布求对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）由题意知，， 所以. （2）的取值可能为， ，，， 的分布列为 1 2 3 所以. 5．（2025·上海长宁·二模）为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了“消费满减乐翻天”的优惠活动，顾客消费满800元（含800元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种） 方案1：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球．每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）； 方案2：从装有5个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球．中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠． (1)顾客A选择抽奖方案2，已知他第一次摸出红球，求他能够享受优惠的概率； (2)顾客B恰好消费了800元， ①若他选择抽奖方案1，求他实付金额的分布列和期望（结果精确到0.01）； ②试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理． 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；②选择方案 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、超几何分布的均值、二项分布的均值 【分析】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”，求解在第一次摸到红球后，从7个球中不放回摸2个球的情况和摸出两球为红球和一红一蓝两种情况的种数，即可求解； （2）①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元，由二项分布即可求解；②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元，根据超几何分布求得均值，比较随机变量和的均值即可判断. 【详解】（1）设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩4个红球和3个蓝球，共7个球， 享受优惠包含摸出2个红球和摸出3个红球这两种情况， 从7个球中不放回摸2个球，总情况有种， 摸出两个红球的情况有种， 摸出1红1蓝的情况有种， 所以； （2）①设顾客B选择抽奖方案1时实付金额为元， 从装有5个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为， 当摸出0个红球时，， 当摸出1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以实付金额的分布列为 800 650 500 150 实付金额的期望为 ； ②设顾客B选择抽奖方案2时实付金额为元， 当摸出0个红球或1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以， 所以，所以从实付金额的期望值分析，顾客B选择抽奖方案2更合理. 6．（2025·上海徐汇·二模）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. (1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； (2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、指定区间的概率 【分析】（1）根据正态分布的性质即可求解； （2）先求任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率，服从二项分布，二项分布即可求解. 【详解】（1）由题意，，的概率等于. 令，则. 因此， . 故净含量误差超过5g的概率约为. （2）可能的取值为0、1、2、3. 由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为. 故服从二项分布，记， ， 从而的分布为 0 1 2 3 0.595 0.337 0.064 0.004 因此. 7．（2024·上海长宁·二模）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球； (1)从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率； (2)从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为，求的分布、期望与方差； 【答案】(1) (2)分布见解析，期望 【知识点】独立事件的乘法公式、超几何分布的均值、超几何分布的分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）由独立乘法公式、互斥加法公式即可运算求解古典概型概率； （2）的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得的分布，结合期望、方差计算公式即可求解. 【详解】（1）第一次取出红球的概率为，取出白球的概率为， 第一次取出红球，第二次取出红球的概率为， 第一次取出白球，第二次取出红球的概率为， 所有第二次取出的球是红球的概率为； （2）的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布为， 它的期望为， 它的方差为. 8．（2023·上海长宁·二模）盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品．现从中不放回地随机摸取2次小球，每次一个． (1)记“第二次摸出的小球是正品”为事件B，求证：； (2)用X表示摸出的2个小球中次品的个数，求X的分布列和期望． 【答案】(1)证明见解析； (2)分布列见解析，X的期望为. 【知识点】乘法公式、超几何分布的分布列、超几何分布的均值、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）由题设第次抽到正品，第次抽到次品，，利用概率的加法公式证明； （2）由题得X利用超几何分布写分布列，求出期望. 【详解】（1）由题设第次抽到正品，第次抽到次品，. 所以. 故得证. （2）由题得X 所以；；. 所以X的分布列为 0 1 2 . 所以X的期望为. 9．（2025·上海普陀·二模）某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； (2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、建立二项分布模型解决实际问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先求出在层选题的概率和不在层选题的概率，再结合题意得到，最后利用二项分布概率公式求解即可. （2）先依据题意求出在层最多抽到7道，再求出对应概率，进而求出分布列和数学期望即可. 【详解】（1）因为三层题量之比为， 所以在层选题的概率为，不在层选题的概率为， 设至少2人的选题来自层的概率为，从层选题数量为， 由题意得，而二项分布概率公式为， 则至少2人的选题来自层的概率为， 故. （2）因为三层题量之比为， 所以在层最多抽到7道，且可取， 则， ， 其分布列为 X P 所以期望. 题型二十四、正态分布 1．（24-25高三上·上海杨浦·期末）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 【答案】D 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】越小，数据集中在对称轴附近，A正确；由正态曲线的性质知BC正确；因为落在的概率与落在的概率不同，D错误． 【详解】越小，正态曲线越瘦高，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等，故C正确； 因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同， 所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选;D. 2．（24-25高二上·上海·期末）已知随机变量，且，则 . 【答案】/ 【知识点】指定区间的概率 【分析】根据正态曲线的对称性求解即可. 【详解】根据正态曲线的对称性，时， 若，则， 于是. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海金山·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性知，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】/ 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 所以. 故答案为： 5．（23-24高二下·上海·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】0.2/ 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的性质计算即可. 【详解】因为正态分布曲线的对称轴为，, 所以. 故答案为：. 6．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）随着5G时代的全面来临，借助手机，网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表. 不了解 了解 合计 女生 20 20 40 男生 10 合计 80 (1)取进行独立性检验，判断该校学生对“反诈”知识的了解与性别是否有关； (2)用频率估计概率，样本估计总体，从全校男生中随机抽取5人，记其中对“反诈”知识了解的人数为，求的分布及数学期望； (3)为了增强同学们的防范意识，该校举办了主题为“防电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.已知全校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布，若某同学成绩满足，则该同学被评为“反诈标兵”；若，则该同学被评为“反诈达人”. （i）试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”； （ii）若全校共有50名同学被评为“反诈达人”，估计参与本次知识竞赛的学生人数.（四舍五入后取整） 附：（1），其中，； （2）若，则：，，. 【答案】(1)答案见解析； (2)分布列见解析，3.75； (3)（i）能被评为“反诈标兵”；（ii）2198人. 【知识点】独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、卡方的计算、指定区间的概率 【分析】（1）完善列联表，计算卡方值，判断求解即得； （2）由已知，根据二项分布得出的分布列和数学期望； （3）（i）依题意求出，由即可判断；（ii）利用正态曲线的对称性，计算出，即可估计出学生总人数. 【详解】（1）完成列联表： 性别 不了解 了解 合计 女生 20 20 40 男生 10 30 40 合计 30 50 80 零假设该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关， 则，依题意，， 因为进行独立性检验，推断不成立，所以判断该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关. （2）由（1）知，样本中的男生对“反诈”知识了解的频率为是， 用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人， 对“反诈”知识了解的概率为，则， ， ， ， ， ， ． 则X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 所以． （3）（i）依题意，，因，故该同学可被评为“反诈标兵”； （ii）因, 则估计参与本次知识竞赛的学生人数约为人. 7．（23-24高二下·上海·期末）某校准备在体育锻炼时间提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，得到的反馈数据如下：（单位：人） 男生 女生 合计 同意 70 50 120 不同意 30 50 80 合计 100 100 200 (1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关? (2)假设现有足球、篮球、跳绳这三项体育活动供学生选择． ①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种假设他们选择各项运动的概率相同并且相互独立互不影响．记事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”，求，并判断事件，是否独立，请说明理由． ②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数均增加10个，若该校有1000名学生，请预估经过训练后该校每分钟跳169个以上的学生人数（结果四舍五入到整数）． 参考公式和数据：，其中，．若，，，． 【答案】(1)有关 (2)①，不独立，理由见解析；②977 【知识点】卡方的计算、正态分布的实际应用、计算条件概率、指定区间的概率 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）①求出，，，再由条件概率公式求出，由相互独立事件的定义即可判断；②由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数，根据正态分布的性质求出，从而估计出人数. 【详解】（1）提出假设：学生对该问题的态度与性别无关． 根据列联表中的数据可求得，． 因为当成立时，的概率约为， 所以有的把握认为，学生对该观点的态度与性别有关． （2）①因为事件为“学生甲选择足球”，事件为“甲、乙两名学生都没有选择篮球”， 所以事件为“学生甲选择足球，学生乙不选择篮球”， 所以，，， 所以， 因为，所以事件、不独立． ②记经过训练后每人每分钟跳绳个数为， 由已知，经过训练后每人每分钟跳绳个数． 因为，所以． 所以（人）． 所以经过训练后该校每分钟跳个以上人数约为． 题型二十五、一元线性回归模型 1．（25-26高三上·上海·期末）贵州六马盛产“蜂糖李”，其以果大味甜闻名当地.某电商以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，大力推进绿色发展，现需订购一批苗木，苗木长度与售价如下表.由表可知苗木长度与售价/元之间存在线性相关关系，回归方程为.当苗木长度为120cm时，估计价格为 元. 10 20 30 40 50 60 /元 2 6 10 14 16 18 【答案】36.5 【知识点】根据样本中心点求参数、求回归直线方程、根据回归方程进行数据估计、计算样本的中心点 【分析】利用表格信息求出，由回归方程经过点求得，即得回归方程，代入的值即得价格估计值. 【详解】由表格可得，， 因回归方程必过， 则得，，解得，，即， 故当时，元. 故答案为：36.5. 2．（23-24高二下·上海·期末）某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x（单位：万千米）对应维修保养费用y（单位：万元）的四组数据，这四组数据如下表： 行驶里程万千米/万千米 1 2 4 5 维修保养费用万元/万元 0.50 0.90 2.30 2.70 若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为10万千米时的维修保养费是 ． 【答案】5.66 【知识点】根据样本中心点求参数、根据回归方程进行数据估计 【分析】先利用线性回归方程必过样本中心点，求出，再用回归方程进行估计. 【详解】因为，， 由利用线性回归方程必过样本中心点，得：， 所以当时，. 故答案为：5.66 3．（23-24高二下·上海长宁·期末）某单位为了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与气温.由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为 度. 气温（℃） 14 12 8 6 用电量（度） 22 26 34 38 【答案】40 【知识点】计算样本的中心点、用回归直线方程对总体进行估计、根据样本中心点求参数、根据回归方程进行数据估计 【分析】先求解，代入方程求得，然后可得气温为时用电量的度数. 【详解】， ， 所以，所以当时，. 故答案为：40. 4．（23-24高二下·上海·期末）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃ )存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程． x(次数/分钟) 20 30 40 50 60 y(℃) 25 27.5 29 32.5 36 则当蟋蟀每分钟鸣叫62次时，该地当时的气温预报值为 ． 【答案】 【知识点】根据回归方程进行数据估计、计算样本的中心点、根据样本中心点求参数 【分析】根据给定数表求出样本的中心点，再求出值并求出预报值. 【详解】依题意，，， 于是，解得，则y关于x的线性回归方程为， 当时，， 所以该地当时的气温预报值为（℃）. 故答案为： 5．（2024·上海·三模）已知x，y是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表： x 1 2 3 4 5 y 4 a 9 b 11 其回归方程为，则 . 【答案】11 【知识点】计算样本的中心点、根据样本中心点求参数 【分析】根据给定的数表，求出样本的中心点，再利用回归直线的性质计算即得. 【详解】依题意，，， 由在回归直线上，得，所以. 故答案为：11 6．（2024·上海·一模）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：克每立方米）与样本对原点的距离（单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中）． 6 97.90 0.21 240 0.14 14.12 26.13 (1)利用相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型； (2)根据（1）的结果建立关于的回归方程，并估计样本对原点的距离米时，平均金属含量是多少？ 【答案】(1)更适宜作为回归方程类型； (2)，. 【知识点】根据回归方程进行数据估计、相关系数的计算、相关系数的意义及辨析、求回归直线方程 【分析】（1）根据题意，分别求得相关系数的值，结合和，结合，即可得到结论. （2）（i）根据最小二乘法，求得回归系数，进而求得回归方程；（ii）当时，结合回归方程，即可求得预报值. 【详解】（1）因为的线性相关系数， 的线性相关系数， 因为， 所以更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型. （2）依题意，， 则，于是， 所以关于的回归方程为. 当时，金属含量的预报值为. 7．（2023·上海奉贤·一模）某连锁便利店从年到年销售商品品种为种，从年开始，该便利店进行了全面升级，销售商品品种为种.下表中列出了从年到年的利润额. 年份 利润额 /万元 (1)若某年的利润额超过万元，则该便利店当年会被评选为示范店；若利润额不超过万元，则该便利店当年不会被评选为示范店.试完成列联表，并判断商品品种数量与便利店是否为示范店有关？（显著性水平，） 品种为种 品种为种 总计 被评为示范店次数 未被评为示范店次数 总计 (2)请根据年至年（剔除年的数据）的数据建立与的线性回归模型①；根据年至年的数据建立与的线性回归模型②.分别用这两个模型，预测年该便利店的利润额并说明这样的预测值是否可靠？（回归系数精确到，利润精确到万元） 回归系数与的公式如下： 【答案】(1)列联表见解析，商品品种的提升与该便利店是否是示范店有关. (2)答案见解析 【知识点】根据回归方程进行数据估计、独立性检验解决实际问题、求回归直线方程 【分析】 （1）列出列联表后计算出后，与比较大小即可得； （2）分别计算出线性回归模型后，结合所得数据进行判断即可得. 【详解】（1） 列联表为 品种为种 品种为种 总计 被评为示范店次数 未被评为示范店次数 总计 ， 可以判断商品品种的提升与该便利店是否是示范店有关. （2） 线性回归模型①： ， ， 则， 则， 故， 当时，预测值为； 线性回归模型②： ， ， 则， ， 故， 当时，预测值为. 模型①的预测不可靠，根据（1）可以知道商品品种与便利店的品质有关，影响了利润额， 因此按照经济发展规律，应该用比较新的数据即品种为3000种的数据进行预测；                                       模型②的预测不可靠，2022年可能因为受疫情影响或者其它不可因素， 其利润额60.5为异常数据，应该剔除. 8．（2023·上海杨浦·模拟预测）某科技公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费和年销售量（，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.    12.5 222 3.5 157.5 16800 4.5 1254 270 表中，. (1)根据散点图判断与哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)已知这种产品的年利润，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，. 【答案】(1)； (2)； (3)30万元. 【知识点】根据回归方程进行数据估计、根据散点图判断是否线性相关、求回归直线方程、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）由散点图可以判断更适宜作为年研发费x的回归方程类型； （2）令，建立y关于的线性回归方程，再利用最小二乘法求出 y关于μ的线性回归方程即得解； （3）求出，再利用导数求函数的最值得解. 【详解】（1）由散点图可以判断更适宜作为年研发费x的回归方程类型. （2）令，所以. ，， 所以y关于μ的线性回归方程，因此，关于x的回归方程为. （3）由（2）可知，， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减. 所以当研发费为30万元时，年利润z的预报值最大. 题型二十六、相关系数 1．（2025·上海奉贤·二模）通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示: 价格（百元） 4 4 4.6 5 5.2 5.6 6 6.6 7 10 需求量（千克） 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2 1 那么线性相关系数 ．（精确到）线性相关系数公式 【答案】 【知识点】相关系数的计算 【分析】利用相关系数公式计算即可. 【详解】由题意可得， ， 所以 ， , 所以. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期末）随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径．某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 (1)补全列联表，并根据显著性水平的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ (2)记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模（单位：亿元）与的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m 根据上表数据求得关于的经验回归方程为，求表中m的值，并求相关系数，判断该经验回归方程是否有价值． 参考公式：，其中，． 回归方程，其中，相关系数．若，则认为经验回归方程有价值． 【答案】(1)列联表见解析，有关联； (2)，，有价值； 【知识点】相关系数的计算、独立性检验解决实际问题、根据回归方程求原数据中的值、完善列联表 【分析】（1）先补全列联表，再计算卡方，根据独立性检验原则即可判断； （2）根据回归直线过样本点中心可求得，再根据相关系数公式求得，从而可判断. 【详解】（1）补全列联表如下： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 15 45 不是微短剧消费者 70 85 155 合计 100 100 200 假设“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联， 因为， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． （2）由x的取值依次为1，2，3，4，5，可得， 因为经验回归方程为，可得， 则，求得， 所以， 所以，， 所以， 因为，所以该经验回归方程有价值． 3．（23-24高二下·上海·期末）党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 (1)根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到； (2)求出关于的线性回归方程． 参考公式： 相关系数，，． 【答案】(1)，与具有较高的线性相关程度 (2) 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算 【分析】（1）根据题意求得，利用相关系数公式求得相关系数，比较可得结论； （2）利用回归方程的系数公式求得，继而求得，即可求得与的回归方程． 【详解】（1）由表数据可得的平均数， 所以， 所以相关系数， 由，所以与具有较高的线性相关程度； （2）依题意可得， ， ， 所以， 所以关于的线性回归方程为． 4．（25-26高三上·上海·单元测试）当前，冷冻冷藏类技术发展迅速且应用广泛．某制冷技术重点实验室研究了不同果蔬在不同冻结速率下的冰点温度，以及低温环境对果蔬热物性的影响．设冻结速率为x（单位：分钟），冰点温度为y（单位：℃），如表为某种水果冰点温度随冻结速率变化的统计数据： x 10 20 30 40 50 y －5 －4.5 －2 1 2 根据以上数据，绘制了散点图： (1)由散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明； (2)求y关于x的线性回归方程，并预测当冻结速率为60分钟时，这种水果的冰点温度． 【答案】(1)答案见解析 (2)， 4.15℃ 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算 【分析】（1）根据所给数据计算相关系数可得． （2）求出回归方程中系数，得回归方程，代入回归方程可得估计值． 【详解】（1）， ，因为， 故两个变量间线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合y与x的关系； （2）由表可知，，， ，， 故y关于x的线性回归方程为， 当时，， 故当冻结速率为60分钟时，这种水果的冰点温度为4.15℃． 题型二十七、独立性检验 1．（23-24高二下·上海·期末）某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽取30名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，取显著性水平为，我们可以认为该学校15至16周岁的30名男生的身高是否偏高与体重是否超重 .（填入有关或无关） 身高 体重 超重 不超重 总计 偏高 12 3 15 不偏高 5 10 15 总计 17 13 30 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 其中 【答案】有关 【知识点】独立性检验的基本思想、独立性检验解决实际问题、卡方的计算 【分析】根据列联表，计算的值并与比较即得结论. 【详解】零假设为假设该学校15至16周岁的30名男生的身高是否偏高与体重是否超重无关， 由， 由小概率值的独立性检验，零假设不成立， 即认为该学校15至16周岁的30名男生的身高是否偏高与体重是否超重有关，这个判断犯错误的概率不超过0.05. 故答案为：有关. 2．（23-24高二下·上海长宁·期末）（1）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如表.（单位：个）若规定显著性水平，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效； 未患病者 患病者 合计 未服用 中草药甲 29 16 45 服用 中草药甲 46 9 55 合计 75 25 100 （2）已知一个盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球.现从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X，求X的分布列、期望和方差. 附：，. α 0.100 0.050 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 【知识点】独立性检验解决实际问题、超几何分布的方差、超几何分布的均值、超几何分布的分布列 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得的分布，结合期望、方差计算公式即可求解. 【详解】（1）提出原假设：中草药甲对预防此疾病无效，确定显著性水平， 计算，而， 的值超过了所确定的界限，从而否定原假设，即认为中草药甲对预防此疾病有效果. （2）的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布列为， 它的期望为， 它的方差为. 3．（23-24高二下·上海·期末）随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径．某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 (1)补全列联表，并根据显著性水平的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ (2)记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模（单位：亿元）与的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m 根据上表数据求得关于的经验回归方程为，求表中m的值，并求相关系数，判断该经验回归方程是否有价值． 参考公式：，其中，． 回归方程，其中，相关系数．若，则认为经验回归方程有价值． 【答案】(1)列联表见解析，有关联； (2)，，有价值； 【知识点】相关系数的计算、独立性检验解决实际问题、根据回归方程求原数据中的值、完善列联表 【分析】（1）先补全列联表，再计算卡方，根据独立性检验原则即可判断； （2）根据回归直线过样本点中心可求得，再根据相关系数公式求得，从而可判断. 【详解】（1）补全列联表如下： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 15 45 不是微短剧消费者 70 85 155 合计 100 100 200 假设“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联， 因为， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． （2）由x的取值依次为1，2，3，4，5，可得， 因为经验回归方程为，可得， 则，求得， 所以， 所以，， 所以， 因为，所以该经验回归方程有价值． 4．（23-24高二下·上海·期末）某汽车生产企业对其生产的四款新能源汽车进行市场调研，从购买者中选取50名车主对车辆进行性能评分，每款车都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分的相应人数统计结果如下表所示． 评分款式 1分 2分 3分 4分 5分 基础版 基础版1 2 2 3 1 0 基础版2 4 4 5 3 1 豪华版 豪华版1 1 3 5 4 1 豪华版2 0 0 3 5 3 (1)求这四款车得分的平均数． (2)约定当得分不小于4时，认为该款车型性能优秀，否则认为性能一般，根据上述样本数据，完成以下2×2列联表，取显著性水平，能否认为汽车的性能与款式有关？说明理由． 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 优秀 合计 (3)为进一步提升产品品质，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，设随机变量X表示其中基础版1车主的人数，求X的分布和期望． 附： ； 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)分布列见解析， 【知识点】卡方的计算、求离散型随机变量的均值、计算几个数的平均数、完善列联表 【分析】（1）利用平均数的定义求解即可； （2）利用题意写出列联表，再结合公式求解即可； （3）利用超几何分布计算概率，从而求解分布列和期望. 【详解】（1）由题意，这四款车得分的平均数为， 所以这四款车得分的平均数为3. （2）由题意，列联表如下： 汽车性能 汽车款式 合计 基础版 豪华版 一般 20 12 32 优秀 5 13 18 合计 25 25 50 则， 所以能在犯错误概率不超过的前提下认为汽车的性能与款式有关. （3）由题意可得：样本评分不大于2的基础版车主中，基础版1车主有4人，基础版2车主有8人， 从这12人中随机抽取3人，其中含基础版1的人数服从超几何分布，则的所有可能取值为 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则. 5．（2024·上海杨浦·二模）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图： (1)求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数； (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率； (3)根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表： 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 优秀 合格 总计 根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？（.其中，）. 【答案】(1)88.5 (2) (3)有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异 【知识点】卡方的计算、计算古典概型问题的概率、完善列联表、总体百分位数的估计 【分析】（1）将这40个数据从小到大排列，取第30人和第31人时间的平均值即可. （2）利用古典概型的方法即可求得概率. （3）利用列联表代入公式即可. 【详解】（1）根据题意，将这40个数据从小到大排列，61,61,62,63,63,65,65,67,68,69,70,70,71,72,72,72,72,74,75,77,78, 81,82,82,83,84,84,84,87,87,90,90,91,91,91,92,92,93,94,94 ，故取第30人和第31人时间的平均值为； （2）设选出的工人为优秀为事件A，第一种正产方式A 的基本事件数是2个， 第二种生产方式A的基本事件数是10个， 所以独立地从两种生产方式中各选出一个人，选出的两个人均为优秀的概率为. （3） 第一种生产方式 第二种生产方式 总计 优秀 2 10 12 合格 18 10 28 总计 20 20 40 ， 故有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异. 6．（2025·上海金山·二模）为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 (1)完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； (2)是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 (3)从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 【答案】(1)列联表见解析，0.35； (2)有； (3)分布列见解析，期望为. 【知识点】独立性检验解决实际问题、写出简单离散型随机变量分布列、完善列联表、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）完善列联表，求出经验概率. （2）求出的观测值，与临界值比对得解. （3）求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为. （2）由（1）得， 所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. （3）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5， 的所有可能值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 7．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”.经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示. 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 72 周平均服务时长不超过2小时 总计 72 120 (1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率. (2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ (3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”成员进行分层抽样，选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中再随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差 附录：，其中. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系. (3)见解析. 【知识点】独立性检验解决实际问题、超几何分布的方差、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）利用古典概率求解即可； （2）计算出的值，即可判断； （3）利用超几何分布求出分布列，然后利用期望和方差的公式求解即可. 【详解】（1）由表可知，若一名志愿者是“志愿模范队”成员，则其周平均服务时长超过2小时的概率：. （2）根据题意，可将表格补充完整： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 54 18 72 周平均服务时长不超过2小时 18 30 48 总计 72 48 120 故， 所以有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系. （3）由分层抽样可知，这8人中有6个来自“志愿模范队”，2个不是“志愿模范队”成员， 故随机变量可能为 且, 故分布列如下： 0 1 2 所以期望：， 方差：. $$