4.5指数对数函数综合应用-知识点训练卷 2026年四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》第17卷（原卷版+解析版）

编写说明：四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》，依据中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试大纲编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与不等式、函数、三角函数等12个模块的32份专题训练卷。第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。第二部分是几个模块的专项训练卷。 本试卷是四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》的第17卷，是知识点训练卷，本试卷考查的内容是指数对数函数综合应用。 四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》 第17卷 知识点训练卷 指数对数函数综合应用 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。） 1．—张普通的A4打印纸的厚度一般是0.1mm，假设其可以被无限次对折．已知将其对折20次后的厚度约为100m，将其对折42次后的厚度约为，则将其对折62次后的厚度约为（ ） A． B． C． D． 2.一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（    ） A．5 B．9 C．6 D．8 3.有一组实验数据如表： 则体现这些数据的最佳函数模型是(　　) ． ． ． 4.设光线通过一块玻璃，强度损失、如果光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为(　 　)(参考数据：) 5.某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：小时）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（   ） A．15h B．30h C．40h D．60h 6.毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（   ） A．125天 B．100天 C．75天 D．50天 7.函数(是自然底数)的大致图像是（       ） A．B．C．D． 8.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（    ）小时. A． B． C． D． 9．国防部新闻发言人在年月日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，我空军战机在海面上空进行绕台巡航，已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（是自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则我战机在高空处的大气压强约是（结果保留整数）（       ） A． B． C． D． 10．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则的值约为（   ），（参考数据：，） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。） 11.已知函数是定义在上的函数，且对任意，都有，，则 ．= ． 12.四川省某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如表所示： 用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 ． ． 13.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：） ． 14．若方程且有两个不同实数根，则的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共4小题，15、16小题各10分，17、18小题各12分，共,44分。） 15.假设有一套住房从年的万元上涨到年的万元．如表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是年以来经过的年数． 万元 万元 求函数的解析式； 求函数的解析式； 完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种 16.某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． 求森林面积的年增长率； 到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林多少年？ (参考数据： 17.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套元的价格收购其生产的全部防护服．公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到万件)，其中为工厂工人的复工率()．公司生产万件防护服还需投入成本(万元)． 将公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数； 对任意的(万元)，当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？(精确到)． ．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于等于时听课效果最佳． 试求的函数关系式； 一道数学难题，讲解需要分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》，依据中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试大纲编写的58份知识点训练卷。第二部分是集合与不等式、函数、三角函数等12个模块的32份专题训练卷。第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。第二部分是几个模块的专项训练卷。 本试卷是四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》的第17卷，是知识点训练卷，本试卷考查的内容是指数对数函数综合应用。 四川省对口招生考试《数学考纲百套卷》 第17卷 知识点训练卷 指数对数函数综合应用 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的。） 1．—张普通的A4打印纸的厚度一般是0.1mm，假设其可以被无限次对折．已知将其对折20次后的厚度约为100m，将其对折42次后的厚度约为，则将其对折62次后的厚度约为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数函数的应用。 【解析】因为，所以，， 得，． 故将其对折62次后的厚度约为． 2.一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个……每天分裂一次．现在将一个该细胞放入一个容器中，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是（    ） A．5 B．9 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由分裂的定义可知，后一天的细胞数应为前一天的二倍，则可表示经过10天的细胞的数量，逆推可知，前一天时应为此时的一半，则可知需要9天即可充满容器一半. 【解析】根据题意可得，经过10天细胞数量为， 细胞充满容器一半时，细胞数量为， 当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是9天. 3.有一组实验数据如表： 则体现这些数据的最佳函数模型是(　　) ． ． ． 【答案】 【分析】本题考查的是函数模型的判断。 【解析】把的值分别代入中，不成立，故不能最佳体现这些数据关系； 把的值分别代入中，不成立，故不能最佳体现这些数据关系； 把的值分别代入中，基本成立，故能最佳体现这些数据关系； 把的值分别代入中，不成立，故不能最佳体现这些数据关系． 4.设光线通过一块玻璃，强度损失、如果光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为(　 　)(参考数据：) 【答案】 【分析】本题考查的是指数型函数模型。 【解析】设通过这样的玻璃x块，则由题意得，化得， 两边同时取常用对数，可得， 因为，所以，则至少通过块玻璃． 5.某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：小时）与储藏的温度t（单位：℃）满足的函数关系为（k，b为常数，其中，是一个和类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080，在10℃时的有效保存时间是120，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（   ） A．15h B．30h C．40h D．60h 【答案】C 【分析】根据已知的指数函数模型以及已知数据，待定系数即可求得结果. 【解析】由题意知，，所以， 所以，所以，所以. 6.毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为，经过天后体积与天数的关系式为．若新丸经过50天后，体积变为，则一个新丸体积变为需经过的时间为（   ） A．125天 B．100天 C．75天 D．50天 【答案】C 【分析】根据题意将当时代入计算出，然后再代入计算即可求出结果. 【解析】由题意知，当时，有．即，得． 所以当时，有．即，得．所以． 7.函数(是自然底数)的大致图像是（       ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的图像与性质即可得出答案. 【解析】 ， 函数为偶函数，且过，， 函数在上递增，在上递减，故C符合. 8.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（    ）小时. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可得出，设，求出的值，由此可得出结果. 【解析】由题意可得，可得，设， 可得，解得. 因此，污染物消除至最初的还需要小时. 9．国防部新闻发言人在年月日举行的例行记者会上指出：“台湾是中国不可分割的一部分，解放军在台海地区组织实兵演练，展现的是捍卫国家主权和领土完整的决心和能力”，我空军战机在海面上空进行绕台巡航，已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（是自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则我战机在高空处的大气压强约是（结果保留整数）（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，进而可求得，代值计算即可得解. 【详解】由已知可得，可得， 所以，我战机在高空处的大气压强为. 10．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，即通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增次后，数量变为原来的倍，则的值约为（   ），（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设数量没有扩增前数量为，由题意可得，解指数方程即可得的值. 【解析】设数量没有扩增前数量为，由题意可得， 所以，所以，可得，. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。） 11.已知函数是定义在上的函数，且对任意，都有，，则 ．= ． 【答案】1 ，3 。 【分析】① 对于抽象函数求值问题，可大胆取特殊值求解； ② 抽象函数是对数函数型，由可知， 则易得，，作选填题可取.又如，求；由可令，又因，得，故易得. 故要对常见抽象函数对应的函数模型比较熟悉. 【解析】对任意，，都有，， ，。 12.四川省某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如表所示： 用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 ． ． 【答案】C 【分析】判断最佳函数模型，方法如下 ① 根据数据的增减性和增幅，排除不符合的函数； ② 根据表格描点做出散点图，结合常见函数模型进行判断； ③ 代点法，把数值代入函数中，若数值偏离较远则排除. 【解析】方法 由表可知：是关于的增函数；且增幅随的增大而增大，故只有满足要求． 方法 作出散点图，如图，由函数拟合可知只有满足要求． 方法 由表可知：是关于的增函数；故 不适合； 对于：，，；故不接近； 对于：， ，．故接近； 13.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：） ． 【答案】130. 【分析】由已知得，再由，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可. 【解析】由题设，，则， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为130次. 14．若方程且有两个不同实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是函数图像的综合应用。 【解析】方程有两个不同实数根，等价于函数与的图象有两个不同的交点． 当时，如图(1)有两个不同交点；当时，如图(2)有且仅有一个交点． 三、解答题（本大题共4小题，15、16小题各10分，17、18小题各12分，共,44分。） 15.假设有一套住房从年的万元上涨到年的万元．如表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是年以来经过的年数． 万元 万元 求函数的解析式； 求函数的解析式； 完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种 【答案】； ； 【分析】求函数的解析式，当已知函数类型时用“待定系数法”. 【解析】由题意可设， 当时，；当时，， ，解得， ； 由题意可设， ，， ，解得， ； 表中数据如下： 万元 万元 在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示： 有图象可知，呈直线增长，增长速度较慢；呈指数型增长，增长速度较快． 16.某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． 求森林面积的年增长率； 到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林多少年？ (参考数据： 【答案】见解析 【分析】本题考查的是指数型函数模型。 【解析】(1)设森林面积的年增长率为，则，解得， 森林面积的年增长率为1； (2)设已经植树造林年，则由题意可知， ，， 已经植树造林年； (3)设为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林年，则， ， ， ， 故为使森林面积至少达到亩至少需要植树造林年． 17.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供(万元)的专项补贴，并以每套元的价格收购其生产的全部防护服．公司在收到政府(万元)补贴后，防护服产量将增加到万件)，其中为工厂工人的复工率()．公司生产万件防护服还需投入成本(万元)． 将公司生产防护服的利润(万元)表示为补贴(万元)的函数； 对任意的(万元)，当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？(精确到)． 【答案】见解析 【分析】① 根据题意求出函数的解析式，在实际问题中，特别注意自变量的取值范围； ② 求函数最值问题中，注意基本不等式和对勾函数的应用. 【解析】 ，． 若对任意的，公司都不产生亏损， 则在恒成立， 即， (分离参数法) 记，则， 此时， 由于函数在单调递增，(对勾函数) 所以当时，， ， 即当工厂工人的复工率达到时，对任意的，公司都不产生亏损． ．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于等于时听课效果最佳． 试求的函数关系式； 一道数学难题，讲解需要分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由． 【答案】) 教师能够合理安排时间讲完题目 。 【分析】本题考查的是函数模型的应用。 【解析】(1)当时，设， 将点代入得c， ∴当时，； 当时，将点代入，得a， 所以； (2)当时，， 解得，所以， 当时， 解得，所以， 综上时学生听课效果最佳， 此时， 所以教师能够合理安排时间讲完题目． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$