专题09 函数的奇偶性（讲义） - 河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第9个专题函数的奇偶性。本专题涵盖函数的奇偶性判断、含参数的函数奇偶性问题、函数奇偶性、单调性综合问题等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题09 函数的奇偶性（讲义） 1．函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于y轴对称 关于原点对称 2．常见函数的奇偶性 （1）正比例函数是奇函数. （2）一次函数是奇函数b=0. （3）反比例函数是奇函数. （4）二次函数是偶函数b=0. （5）指数函数是非奇非偶函数. （6）对数函数是非奇非偶函数. （7）是奇函数. （8）是偶函数. （9）是奇函数. 【考点1】函数的奇偶性、单调性综合问题 1．（2024年河北）设奇函数在上为增函数，且最大值为，那么在上为（ ）. A. 增函数，且最小值为 B. 增函数，且最大值为 C. 减函数，且最小值为 D. 减函数，且最大值为 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性及单调性的定义即可得解. 【详解】奇函数在上为增函数，且最大值为，所以， 因为奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同， 函数在上为增函数，所以有最小值为， 故选：. 2．（2025年河北样卷）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若实数满足，则a的取值范围是（ ）． A. B. C D. 【答案】C 【详解】函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减，如草图所示，满足的是蓝色部分，所以可得，得到， 故答案为：C. 3．(2022年河北）下列说法错误的是（ ） A. 函数的图像关于轴对称 B. 函数与函数为同一函数 C. 函数在其定义域内是增函数 D. 函数的图像关于原点对称 【答案】B 【解析】 【分析】由题奇函数和偶函数图像的对称性，指数函数的单调性，以及相等函数的判定等可得结果. 【详解】由题知奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称， 指数函数为其定义域内的增函数，而函数与函数虽 然对应法则相同，定义域却不同，故两个函数不是同一个函数. 故选：B. 【考点2】判断函数的奇偶性 4．（2023年河北）下列函数在定义域内是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质分析即可. 【详解】A项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ，所以不是偶函数， B项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ，所以不是偶函数， C项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ，所以不是偶函数， D项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ，所以是偶函数. 故选：D. 5．(2020年河北) 已知函数，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性判断即可 【详解】易知函数定义域为， 因为. 所以函数是偶函数. 故选：B. 【考点3】含参数的函数奇偶性问题 6．(2021年河北)已知函数的图像关于轴对称，则函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的图像关于轴对称求解的值，代入中判断奇偶性. 【详解】因为函数的图像关于轴对称，所以， 则函数，， . 为奇函数. 故选：A. 7．(2019年河北) 已知一次函数关于原点对称，则二次函数一定是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 奇偶性和有关 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数与二次函数的奇偶性求解. 【详解】∵一次函数关于原点对称， ∴ ∴二次函数， 令，则， 故二次函数为偶函数， 故选:B. 8．(2019年河北)已知函数满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，求解函数的值. 【详解】∵,令， ∵， ∴故为奇函数， ∵， ∴, ∴, 故 ∴. 故答案为:. 知识点1 判断函数的奇偶性 1．函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性的定义即可得解. 【详解】函数，定义域为， ， 所以函数为奇函数，不是偶函数. 故选：. 2．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性的定义逐个分析即可. 【详解】对A：函数的定义域为，不是关于原点对称的区间， 所以函数是非奇非偶函数，故A项错误； 对B：函数的定义域为，且， 所以函数不是奇函数，故B项错误； 对C：函数的定义域为，且， 所以函数为奇函数，故C项正确； 对D：函数的定义域为，且， 则， 所以函数为非奇非偶函数，故D项错误； 故选：C. 3．函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义，即可判断求解. 【详解】因为函数的定义域是实数集R，关于原点对称， 令，则， 所以是奇函数，即函数是奇函数. 故选：A. 4．下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义，即可判断求解. 【详解】因为函数，定义域为R，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数，不是奇函数，故选项A不符合题意； 因为函数，定义域为R，关于原点对称， 又， 所以函数是偶函数，不是奇函数，故选项B不符合题意； 因为函数，定义域为R，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数，故选项C符合题意； 因为函数的定义域是，不关于原点对称， 故函数是非奇非偶函数，故选项D不符合题意. 故选：C. 5．函数在上是奇函数，且，则 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数定义求解即可. 【详解】因为函数在上是奇函数，所以有， 则. 故选：D. 6. 以下函数中，（    ）是奇函数. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义和三角函数的性质易得答案. 【详解】对于A：因为函数的定义域是，关于原点对称， 因为，所以不是奇函数，故A错误； 对于B：因为函数的定义域是，关于原点对称， 因为，所以是奇函数，选B正确； 对于C：因为函数的定义域是，关于原点对称， 因为，所以不是奇函数，故C错误； 对于D：因为函数的定义域是，关于原点对称， 因为，所以不是奇函数，故D错误. 故选：B. 7．下列函数图象中，为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数图像的特点即可解得. 【详解】根据偶函数的图象性质可知，偶函数图像关于y轴对称. 故选：C 8．已知，是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，则（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义、性质逐项进行判断即可． 【详解】对于A、B选项： 是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， ， 令， 则， 是奇函数，不是偶函数，即是奇函数，不是偶函数， A项错误，B项正确. 对于C、D选项： 令， 则， 即不是奇函数也不是偶函数， C项错误，D项错误. 故选：B 9．下列函数在其定义域内是偶函数，且在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见函数的奇偶性与单调性逐个分析即可 【详解】令，定义域为R，则 所以为偶函数，又为二次函数，且二次项系数，图像开口向上， 所以在为减函数，上为增函数，故A错误. 令，定义域为R，则 所以为偶函数，又为二次函数，且二次项系数，图像开口向下， 所以在为增函数，上为减函数，故B正确. 令，定义域为R，则 所以为奇函数，故C错误. 令，定义域为，则 所以为奇函数，故D错误. 故选：B. 10．函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的概念求解. 【详解】函数的定义域是，定义域关于原点对称， ， 所以， 即函数是偶函数，不是奇函数， 故选：B. 知识点2 含参数的函数奇偶性问题 1．若是上的偶函数，则在区间上的最小值为（    ） A．0 B．1 C．9 D．19 【答案】B 【分析】先根据函数是偶函数，得到参数，再分析函数的单调性，即可求解. 【详解】∵是上的偶函数， ∴，即. 故函数为，在单调递减，在单调递增. 因此，在区间上的最小值为 故选：B. 2．已知函数，若，则（    ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设，再根据函数的奇偶性求值即可. 【详解】已知函数， 设，则其定义域为， 且， 所以为奇函数， 则，即， 解得，则， 所以， 故选：D. 3．设是定义在上的奇函数，已知当时，，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】先根据时的函数解析式求得，再根据奇函数的性质求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以对于所有，都有，即， 又当时，，得到， 所以， 故选：A 4．函数是偶函数的充要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【详解】因为函数是偶函数， 所以充要条件是， 所以. 故选：A. 5．若函数为奇函数，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质求出即可得解. 【详解】因为函数在上为奇函数， 所以，解得， 故函数，， 故选：． 6．偶函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图像和性质即可求解. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以函数解析式为：， 函数开口向下，对称轴为轴， 所以函数单调递增区间为， 故选：A. 7．若函数是偶函数，则在区间上的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像和性质可求解. 【详解】因为是偶函数， 所以对称轴为，解得. 此时，函数图像的对称轴为轴，且开口向下， 所以函数在区间上先增后减，所以最大值为. 因为，所以最小值为. 故选：C. 8．若二次函数是偶函数，则下列叙述错误的是（   ） A．函数的图象开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数的最大值是1 【答案】D 【分析】由偶函数的性质及二次函数的性质分析判断即可. 【详解】因为二次函数是偶函数， 所以，得到， 即函数为， 因为开口向下，对称轴为， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的最大值是0，故A，B，C正确，D错误. 故选：D. 9．若函数是偶函数，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义，即可求解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以， 即， 又因为， 所以， 即. 故选：C. 10．已知函数，若，则等于（    ）． A．8 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性，即可求解. 【详解】由题意知函数， 令，即 所以，即， 因为函数函数的定义域为，， 所以函数为奇函数， 所以， 因为，所以，即， 所以，即. 故选：D. 知识点3 函数奇偶性与单调性综合问题 1．已知函数是偶函数，且在上单调递减，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义可知，再由单调性比较大小即可. 【详解】由是偶函数，可知， 又因为在上单调递减，所以， 所以， 故选：A. 2. 已知为奇函数，且在上单调递减，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的对称性确定函数在的单调性，再由函数的单调性比较大小即可. 【详解】已知为奇函数，且在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为， 所以， 故选：D. 3．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求解即可. 【详解】当时，由图像得的解集为. 因为是奇函数，其图象关于原点对称. 根据奇函数性质， 那么当时，等价于，即. 当，即时，，所以. 不等式的解集为. 故选：A. 4．已知偶函数的定义域为，在区间上为减函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性以及奇偶性，即可求解. 【详解】由题意知函数为偶函数， 所以， 又因为在区间上为减函数，且， 所以. 故选：A. 5. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上为增函数，则有（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】由函数是偶函数可得，然后根据函数的单调性，比较大小即可. 【详解】∵函数是定义在R上的偶函数，∴， ∵函数在上为增函数，， ∴，即， 故选：B. 6．已知偶函数在上是增函数，则满足）的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，将化为，即可求解. 【详解】因为是偶函数，则， 又，即， 因为在上是增函数，所以， 可化为，解得， 即的取值范围是， 故选：C. 7．若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，即可求解. 【详解】因为为上的偶函数，且在上单调递减， 所以在上单调增，在上单调递减， 由题意知时，则有 所以当时，，则； 当时，，则； 综上：或. 故选：D. 8．已知定义域为的函数在区间上单调递减，且对任意实数x，都有，则下列式子一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，即可求解. 【详解】因为函数在区间上单调递减，所以， 又对任意实数，都有， 所以， 即可得到， 故选：A. 9．偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合偶函数在关于原点对称区间上的单调性，即可判断求解. 【详解】因为偶函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数， 所以， 又， 所以. 故选：A. 10．已知函数的定义域为R，，函数为偶函数，且对任意的，都有成立，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合偶函数和增函数的定义，即可判断求解. 【详解】因为函数的定义域为R，且对任意的，都有成立， 所以函数在区间上是增函数， 又函数为偶函数， 所以函数的图像关于对称， 所以，故选项A错误； 所以，故选项B正确； 所以，故选项C错误； 因为与0的大小关系无法判断，故选项D错误； 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第9个专题函数的奇偶性。本专题涵盖函数的奇偶性判断、含参数的函数奇偶性问题、函数奇偶性、单调性综合问题等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题09 函数的奇偶性（讲义） 1．函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于y轴对称 关于原点对称 2．常见函数的奇偶性 （1）正比例函数是奇函数. （2）一次函数是奇函数b=0. （3）反比例函数是奇函数. （4）二次函数是偶函数b=0. （5）指数函数是非奇非偶函数. （6）对数函数是非奇非偶函数. （7）是奇函数. （8）是偶函数. （9）是奇函数. 【考点1】函数的奇偶性、单调性综合问题 1．（2024年河北）设奇函数在上为增函数，且最大值为，那么在上为（ ）. A. 增函数，且最小值为 B. 增函数，且最大值为 C. 减函数，且最小值为 D. 减函数，且最大值为 2．（2025年河北样卷）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若实数满足，则a的取值范围是（ ）． A. B. C D. 3．(2022年河北）下列说法错误的是（ ） A. 函数的图像关于轴对称 B. 函数与函数为同一函数 C. 函数在其定义域内是增函数 D. 函数的图像关于原点对称 【考点2】判断函数的奇偶性 4．（2023年河北）下列函数在定义域内是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 5．(2020年河北) 已知函数，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 【考点3】含参数的函数奇偶性问题 6．(2021年河北)已知函数的图像关于轴对称，则函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 7．(2019年河北) 已知一次函数关于原点对称，则二次函数一定是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 奇偶性和有关 8．(2019年河北)已知函数满足，则______． 知识点1 判断函数的奇偶性 1．函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 2．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 4．下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 5．函数在上是奇函数，且，则 （  ） A． B． C． D． 6. 以下函数中，（    ）是奇函数. A． B． C． D． 7．下列函数图象中，为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 8．已知，是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，则（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 9．下列函数在其定义域内是偶函数，且在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 10．函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 知识点2 含参数的函数奇偶性问题 1．若是上的偶函数，则在区间上的最小值为（    ） A．0 B．1 C．9 D．19 2．已知函数，若，则（    ） A． B．2 C．4 D．5 3．设是定义在上的奇函数，已知当时，，则（    ） A． B． C．4 D．8 4．函数是偶函数的充要条件是（     ） A． B． C． D． 5．若函数为奇函数，则（   ） A．3 B． C．2 D． 6．偶函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 7．若函数是偶函数，则在区间上的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 8．若二次函数是偶函数，则下列叙述错误的是（   ） A．函数的图象开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数的最大值是1 9．若函数是偶函数，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知函数，若，则等于（    ）． A．8 B． C．9 D． 知识点3 函数奇偶性与单调性综合问题 1．已知函数是偶函数，且在上单调递减，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 2. 已知为奇函数，且在上单调递减，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知偶函数的定义域为，在区间上为减函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上为增函数，则有（   ） A． B． C． D．无法判断 6．已知偶函数在上是增函数，则满足）的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则（   ） A． B． C． D．或 8．已知定义域为的函数在区间上单调递减，且对任意实数x，都有，则下列式子一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 9．偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的定义域为R，，函数为偶函数，且对任意的，都有成立，则下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$