专题03 平面向量及其应用（期末压轴专项训练36题）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

专题03 平面向量及其应用（期末压轴专项训练36题） 一、平面向量基本定理 1．如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．如图所示，已知点是的重心，过点作直线与、两边分别交于、两点，且，，则 ；的最小值为 ．    3．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最小值为 ． 4．在△中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为 ． 5．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 二、平面向量数量积 1．已知正方形的边长为4，为边的中点，点为线段上一点，过点作的垂线，交边于，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 2．若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（    ） A． B．40 C．64 D． 3．设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为 . 4．已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是 . 5．如图，三个边长均为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，是边的两个三等分点，分别交于分别交于、，则 ．（注：）    6．如图，在平面四边形ABCD中，，．若点为边CD上的动点，则的最小值为 ． 7．帕拉图说“美是灵魂的反映”，有机物萘的结构可用下图所示的键线式表示，其优美的结构简式可抽象为两个正六边形的图形.已知与为全等的正六边形，，点P为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为 . 三、向量模问题 1．若平面向量两两的夹角相等，，则（   ） A． B． C．或 D．或 2．已知向量的夹角为，且，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 3．在等腰梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 4．已知向量，. (1)若，求； (2)设，若，当取最小值时，求的值. 5．已知向量，的夹角为，且． (1)若，求的坐标； (2)若，，求的最小值． 四、向量夹角问题 1．已知平面直角坐标系中的3点，则中最大角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 2．已知，，且与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知平面上两个向量，，其中，，且． (1)若与共线，求的值； (2)求与的夹角的余弦值． 4．如图，在中，，边上的两条中线，相交于点，且，，． (1)求的大小； (2)求的余弦值． 5．单位向量，满足. (1)求与夹角的余弦值： (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 五、三角形解的个数问题 1．在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知的内角的对边分别为，且有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．在中，，，若满足上述条件的恰有两个解，则边长的取值范围是 . 5．）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若满足条件的有两个，则c的取值范围是 六、三角形中周长（边长）最值，范围问题 1．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知中，角，，所对的边分别为，，， (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 3．已知、、分别为斜中角、、的对边，． (1)求； (2)已知的面积为，求的最小值． 4．（1）求的值. （2）在中，角，，所对的边分别为，，，且外接圆半径为，求的最大值. 5．在中，内角的对边分别是，已知，且. (1)求； (2)若为内一点且，求长度的最大值； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 七、三角形面积最值，范围问题 1．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积S的取值范围． 2．在中，、、分别为内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，，求面积的最大值． 3．七宝中学狂欢节在“星蛇起舞，幻梦游园”主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区．已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点），点在半径上，且． (1)当米时，求分隔栏的长； (2)综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区的面积的最大值． 4．在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积； (3)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面向量及其应用（期末压轴专项训练36题） 一、平面向量基本定理 1．如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】设且，应用向量加减、数乘的几何意义得，结合向量共线的推论得求参数，即可得. 【详解】设且，则， 又，则， 由共线，则，可得， 所以. 故选：B 2．如图所示，已知点是的重心，过点作直线与、两边分别交于、两点，且，，则 ；的最小值为 ．    【答案】 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题可知，设，化简得出，根据平面向量的基本定理可求出的值；由已知得出，可得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为为的重心，延长交于点，则为的中点，且，    由重心的几何性质可知， 因为、、三点共线，设，即， 所以，， 因为，，则，， 则， 因为、不共线，所以，，，则，， 故，即，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：；. 3．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用向量的共线运算及平面向量基本定理找到的关系，再用代换法求最小值即可. 【详解】因为点为线段的中点，，所以，， 所以， 又因为在线段上， 所以有且， 根据平面向量基本定理可知：， 所以有，且，即， 则， 当且仅当，即，时取等号， 故答案为：. 4．在△中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用基底表示向量、基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论 【分析】由向量的线性运算可得，则，再由基本不等式求解即可. 【详解】解：因为是中线，所以， 又因为是的中点，所以 因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，取到最小值， 故答案为：. 5．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）根据向量的线性运算化简求解即可； （2）设，利用向量的共线求出即可得解； （3）令，利用向量基本定理可得的关系，转化为关于的二次函数求最值即可得解. 【详解】（1）依题意， ， ； （2）因交于，由（1）知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即； （3）由已知， 因是线段上动点，则令， ， 又不共线，则有，得， 因为， 所以在上递增， 所以，故的取值范围是． 二、平面向量数量积 1．已知正方形的边长为4，为边的中点，点为线段上一点，过点作的垂线，交边于，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】应用向量数量积的运算律得到，若且，数形结合求得，即可得. 【详解】由， 若且，则，且，， 又，且， 所以 ， 当时，， 所以. 故选：C 2．若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（    ） A． B．40 C．64 D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据题意，设，结合向量的坐标运算，再由三角函数的性质即可得到最值. 【详解】因为，且向量与向量的夹角为， 设，其中， 则 ，其中， 因为，当时， 有最大值. 故选：D 3．设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、数量积的运算律、三角恒等变换的化简问题、已知模求参数 【分析】设，，根据可得出，设，，则，根据平面向量的线性运算得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的最大值. 【详解】由题意可知，， 由平面向量数量积的定义可得， 设，，则， 所以， 即，即，且有， 设，，则， 因为为的中点，则， 因为为的中点，则， 同理可得， 所以， ， 因为 ， 其中为锐角，且，故的最大值为. 故答案为：. 4．已知中，，，的最小值是，若M为边AB上任意一点，N为边BC的中点，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律 【分析】延长AC，使得，进而得到B，G，D三点共线，再取取NC中点为H，得到得到求得最小值即可求解. 【详解】延长AC，使得， 令可知B，G，D三点共线， 时为AG最小值， 在中，，得， 又因为，所以是等边三角形，所以， 在中，， 取NC中点为H， ，, 所以 所以. 即求的最小值， 当时，有最小值， 在中，，， 所以. 故答案为： 5．如图，三个边长均为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，是边的两个三等分点，分别交于分别交于、，则 ．（注：）    【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，分别表示出的坐标，再由相似表示出的坐标，结合向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】    建立如图所示平面直角坐标系，则， 由是边的两个三等分点，可得，即， 则，即， 则，， 则， ， 结合图像可知，且， 则，同理可得， 则， ， 且，， 则，同理可得， 则， ， 则， ， 所以 . 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主考考查了向量的数量积运算，难度较大，解答本题的关键在于建立平面直角坐标系，结合向量的坐标运算解答. 6．如图，在平面四边形ABCD中，，．若点为边CD上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、解析法在向量中的应用 【分析】建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，把向量用坐标表示，进而计算数量积并结合函数性质求出最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，，所以，. 设，由，，， ，则①； 又，，，，即， 得，代入①式解得，所以. 设，，则， , 所以点坐标为. 则. ， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 7．帕拉图说“美是灵魂的反映”，有机物萘的结构可用下图所示的键线式表示，其优美的结构简式可抽象为两个正六边形的图形.已知与为全等的正六边形，，点P为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】取线段的中点M，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围. 【详解】取线段的中点，则， ， 由图可知，当点与点重合时，取最小值，且， 由图形可知，当取最大值时，点在折线段上， 连接，则， 同理， 由正六边形的几何性质可知，， 所以，， 则三点共线，则，即， 当点在线段上从点运动到点的过程中，在逐渐增大， 同理可知，， 当点在线段上由点到的过程中，在逐渐增大， 所以，当取最大值时，点在折线段上运动， 以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴， 线段的垂直平分线所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、、、 、，设点， （1）当点在线段上运动时，， 直线的方程为，即， 所以，线段的方程为， 则； （2）当点在线段上运动时，，，则， 所以，； （3）当点在线段上运动时，， 直线的方程为，即， 所以，线段的方程为， 所以，， 因为函数在上单调递增， 故. 综上所述，的最大值为，故， 故的取值范围是. 故答案为：. 三、向量模问题 1．若平面向量两两的夹角相等，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】依题意可得，两两的夹角为或，按照此两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得出结果. 【详解】因为平面向量两两的夹角相等， 所以平面向量两两的夹角为或， 又因为 当夹角为时，即向量同向，则； 当夹角为时，即， ， ， 则. 综上所述，等于或. 故选：C. 2．已知向量的夹角为，且，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据题意结合数量积的运算律可得，进而可得最小值. 【详解】因为向量的夹角为，且，则， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 3．在等腰梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】向量模的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】如图，以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，用坐标表示出，即可求出答案 【详解】解：如图，以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得，设，其， 则， 所以， 所以 ， 所以当时，取最小值， 故选：C 4．已知向量，. (1)若，求； (2)设，若，当取最小值时，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据向量共线坐标运算得，结合，代入向量模的坐标运算公式求解即可. （2）根据垂直的坐标运算得，结合，代入向量模的坐标运算公式求得，然后利用数量积模的运算律求得，利用二次函数性质求解最值即可. 【详解】（1）若，则，即， 又，解得，， 所以； （2）若，则， 又，所以，， 所以. 又，所以， 所以， 所以当时，取得最小值. 5．已知向量，的夹角为，且． (1)若，求的坐标； (2)若，，求的最小值． 【答案】(1)或； (2). 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】（1）设出的坐标，利用向量模的坐标表示及数量积的定义列式求解作答. （2）利用垂直关系的向量表示求出，再利用数量积的运算律建立函数关系，求出最小值作答. 【详解】（1）设，由，得，即， 而向量，的夹角为，则，又， 即，解得，于是，即有或， 所以的坐标是或. （2）由，得，即，因此，， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. 四、向量夹角问题 1．已知平面直角坐标系中的3点，则中最大角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】根据夹角公式算出每个内角的余弦值，然后分析可得结果. 【详解】，根据夹角公式，； ，根据夹角公式，； ，根据夹角公式，. 由，，，于是是钝角，是锐角，最大角是，余弦值为. 故选：C 2．已知，，且与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求cosx(型)函数的值域、向量夹角的坐标表示 【分析】由是钝角得，且，解不等式可得答案. 【详解】因为与的夹角是钝角，所以 ，且， 解得且. 故选：D. 3．已知平面上两个向量，，其中，，且． (1)若与共线，求的值； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】（1）运用向量共线的定理结论，求的值即可； （2）运用向量数量积的夹角的余弦公式求解即可． 【详解】（1）若与共线，则存在实数k， 使得，即， 因为向量与不共线，所以，解得． （2）因为， ， 所以． 4．如图，在中，，边上的两条中线，相交于点，且，，． (1)求的大小； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）由，边上的两条中线相交于点,可得，得到； （2）表示出，求解，，即可求解的余弦值. 【详解】（1）为的中点， ， ． ，，， ， ． 又，． （2）为的中点， ， ， ， ， 又与向量，的夹角相等， 故的余弦值为． 5．单位向量，满足. (1)求与夹角的余弦值： (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）利用向量数量积的运算法则求得，再由模长与数量积求得与夹角的余弦值； （2）由题意得且与不共线，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，即，则， 则，即与夹角的余弦值. （2）因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线， 当与共线时，有，即， 由（1）知与不共线，所以，解得， 所以当与不共线时，， 由，得， 即，解得， 所以且，即实数的取值范围为. 五、三角形解的个数问题 1．在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形有两解的条件确定的取值范围. 【详解】已知，，，由正弦定理可得： ，即. 因为，所以. 要使有两解，则，且，此时的取值范围是. 由，且，可得.得到. 的取值范围是， 故选：B. 2．已知的内角的对边分别为，且有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据已知条件有两解，计算求参. 【详解】因为有两解， 得，得． 故选：B. 3．在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】在中，，，，又满足条件的有2个， 则，即，解得，所以的取值范围是. 故选：D. 4．在中，，，若满足上述条件的恰有两个解，则边长的取值范围是 . 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据三角形有两解，应满足，化简即可求解. 【详解】因为有两解，所以，即，所以. 即边长的取值范围是. 故答案为：. 5．）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若满足条件的有两个，则c的取值范围是 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理用表示出，结合题意得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的有两个，即三角形有两解， 所以，且，则， 即，解得， 则c的取值范围是. 故答案为：. 六、三角形中周长（边长）最值，范围问题 1．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故选：C 2．已知中，角，，所对的边分别为，，， (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理得到，再结合，得到，进而可求证； （2）先确定，再结合正弦定理得到，，进而可求解. 【详解】（1）由得， 从而， 得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 又在三角形中，， 所以． 所以，即． 所以或， 即或． 因为，，所以． （2）由得， 所以， 即，解得， 因为，由正弦定理得，所以， 由正弦定理得 ， 故的周长． 令，由（1）知，所以． 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为． 3．已知、、分别为斜中角、、的对边，． (1)求； (2)已知的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由题意可知，由已知条件及正弦定理化简得出，再利用正弦定理可求得的值； （2）由三角形的面积公式结合同角三角函数的基本关系可求出、的值，利用余弦定理可得出，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 即， 因为为斜三角形，所以，故， 由正弦定理可得． （2）由（1）知，，所以， 所以， 即， 因为，则，故，所以， 所以，则， 所以， 当且仅当，即时，取最小值． 4．（1）求的值. （2）在中，角，，所对的边分别为，，，且外接圆半径为，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据余弦和差角公式可得，进而利用余弦的二倍角公式化简求解，，即可代入化简求解， （2）根据正弦定理可得，由面积公式可得，结合余弦定理得，根据不等式，即可求解. 【详解】（1）     而， ， 所以       （2）设的面积为，的外接圆半径为，由正弦定理， 则，故, 则， 由余弦定理，则 ， 由，得， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以， 则的最大值为, 5．在中，内角的对边分别是，已知，且. (1)求； (2)若为内一点且，求长度的最大值； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由正弦定理将角转化为边可得，再根据余弦定理即可求解； （2）取的中点，连接，由向量的加法可得为的中点，利用向量的中线公式及余弦定理结合不等式可得，即可求解； （3）根据正弦定理可得，，利用三角形内角和定理和三角恒等变换可得，根据正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 整理可得，所以， 因为，所以； （2）取的中点，连接，所以， 因为，所以，所以为的中点， 因为， 所以 ， 由余弦定理可得，即， 当且仅当时等号成立， 所以，所以， 所以，所以长度的最大值为； （3）由正弦定理得， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以的周长的取值范围为. 七、三角形面积最值，范围问题 1．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求三角形面积的最值或范围、求正切（型）函数的值域及最值、正弦定理解三角形 【分析】（1）由三角恒等变换将式子变形即可求解； （2）由正弦定理可得，根据面积公式结合角的范围即可求解. 【详解】（1）因为 ， 所以，所以，因为为锐角三角形，所以； （2）因为，，所以， 由正弦定理得， 所以， 所以， 由可得，所以，所以， 所以，即. 2．在中，、、分别为内角、、的对边，且． (1)求； (2)若，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围、已知数量积求模、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由向量建立等量关系，结合基本不等式求得面积的最大值即可. 【详解】（1）由及正弦定理得， 化简可得，即， 由余弦定理可得，因为，故. （2）因为，则，即， 所以， 即， 所以，当且仅当时， 即当，时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 3．七宝中学狂欢节在“星蛇起舞，幻梦游园”主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区．已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点），点在半径上，且． (1)当米时，求分隔栏的长； (2)综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区的面积的最大值． 【答案】(1) (2)平方米 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）首先求出，在中，利用余弦定理求出； （2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以的长为米； （2）因为，， 设，，则， 在中，由正弦定理得， 所有， 则 ， 当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米. 4．在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积； (3)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形面积的最值或范围、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知数量积求模 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：利用余弦定理以及，可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积； 解法二：由已知条件得出，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积； （3）由结合三角形的面积公式得出，利用基本不等式可得出的最小值，由此可求得面积的最小值. 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为、，所以，则，故. （2）解法一：因为，为中点，则， 由余弦定理得，得， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，，解得：， 故的面积为； 解法二：因为为的中点，则， 所以，， 即， 由余弦定理可得，即， 所以，故的面积为. （3）因为，平分，所以， 又，则由，得， 所以， 由基本不等式可得，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，故面积的最小值为. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$