精品解析：广东省汕头市潮南区某校2024-2025学年高一下学期期中数学试题

2024-2025学年第二学期期中 高一级数学卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交并补的运算求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：B 2. 已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的模得到关于a的方程，求出a的值，再根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可． 【详解】因为，且， 整理得，解得或， 即等价于或， 且是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 3. 已知，则的值是（ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简即得解. 【详解】由题得. 故选：D 【点睛】本题主要考查同角的商数关系和正余弦齐次式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求，再由求解即可. 【详解】，则在上的投影向量的模为. 故选：C 5. 如图所示，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以，为基底，根据向量的线性运算求解即可. 【详解】， 故选：A 6. 已知是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】由题意不妨设，则可得，设每条边增加，然后利用余弦定理求最大角的余弦值进行判断即可. 【详解】由题意不妨设，则可得，设每条边增加， 则新的三角形的三边分别为， 因为，所以， 即为新的三角形的最大边， 所以新的三角形的最大角的余弦值为 因为，所以， 所以新的三角形的最大角为锐角，则新的三角形为锐角三角形. 故选：B 7. 设点M是线段的中点，点A在直线外，，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出，又因为，可得答案． 【详解】解：由，得， ， 而 故选：． 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题． 8. 在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在三角形中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在三角形底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数λ可能的取值有（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示求出参数值. 【详解】由A，B，C三点共线，得，则，即 所以或. 故选：BC 10. 下列各组向量中，可以作基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，不平行，则向量，可以作基底，A是； 对于B，由，得，平行，则向量，不可以作基底，B不是； 对于C，由，得，不平行，则向量，可以作基底，C是； 对于D，由，得，平行，则向量，不可以作基底，D不. 故选：AC 11. 在中，内角､､所对的边分别为､､，已知，，则（ ） A. B. 的周长的最大值为 C. 当最大时，的面积为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理化简条件中的式子，再利用余弦定理即可得角，可判断A选项；利用基本不等式可求B选项；利用正弦定理得即可判断C选项；利用正弦定理边化角，求三角函数的最值可判断D选项. 【详解】 由正弦定理可得，，即， 则由余弦定理得，因，则，故A错误； 得， 因，则，当且仅当时等号成立， 则的周长的最大值为，故B正确； 由正弦定理得，则， 故当时，取最大值，此时，，故C正确； 由C选项可知， ， 其中，故当时，取最大值，故D错误. 故选：BC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数是纯虚数，其中，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据复数概念即可求出m. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以,解得： 故答案为：3 13. 设是平面内的一个基底，若三点共线，且，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线，得到，由此列方程组，解方程组求得的值. 【详解】由于三点共线，所以，即， 所以，解得. 故答案为： 14. 如图，A，B，C三点位于同一水平面，A位于B的北偏西30°方向，C位于B的北偏东60°方向，A在C的正西方向，且A，C之间的距离为50米，B处正上方建有一栋楼房，C处正上方建有一座塔，从A处观察塔尖E，测得仰角为45°，从楼房顶D处观察塔尖E，测得仰角为30°，则楼房的高度为__________米. 【答案】25 【解析】 【分析】画出图形，通过作辅助线将空间几何问题转化为平面几何问题通过三角函数即可解决. 【详解】因为位于的北偏西30°方向，位于的北偏东60°方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米， 则,,, 所以米. 又从处观察塔尖，测得仰角为45°，所以米. 过作的垂线，垂足为（如图）， 则米，， 所以米， 所以楼房的高度为米. 四、解答题（共77分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c； （1）若，，，求的面积； （2）若，求角A的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出，结合三角形内角和定理可得，利用三角形面积公式求解； （2）由已知条件结合余弦定理求解. 【小问1详解】 由正弦定理，可得，又， 所以，则， . 【小问2详解】 由，可得， 由余弦定理得，又， 所以. 16. （1）已知，，与夹角，求． （2）已知，，与的夹角为60°，求． （3） 已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）应用平面向量数量积公式计算求解； （2）根据数量积运算律及平面向量数量积公式计算求解； （3）根据向量垂直数量积为0及运算律计算. 【详解】（1）． （2） ． （3）因为，， 与的夹角为， 所以， 若，则， 即，所以， 所以，可得：. 17. 已知x为实数，复数． （1）当x为何值时，复数z的模最小？ （2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 【答案】（1） （2）的最小值为，，． 【解析】 【分析】(1) 利用复数的模的计算公式，结合二次函数的性质求最值. (2) 先求出模最小时复数对应的点，代入函数得到关系式，再利用均值定理求最值. 【小问1详解】 ， 当且仅当时，复数z的模最小，为． 【小问2详解】 当复数z的模最小时，． 又点Z位于函数的图象上，所以． 又，，所以， 当且仅当时等号成立．又，，， 所以，．所以的最小值为， 此时，． 18. 如图，在梯形中，，. （1）若，求； （2）若，求外接圆半径； （3）若，且，证明：只有一解. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）首先求出，再由正弦定理计算可得； （3）首先利用余弦定理求出，再由余弦定理求出，最后利用余弦定理求出. 【小问1详解】 在中由正弦定理，即， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 又，设外接圆的半径为，则， 所以，即外接圆的半径为； 【小问3详解】 因为，，且， 中由余弦定理， 即，解得或（舍去）， 所以， 在中由余弦定理 ， 所以， 所以只有一解. 19. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，为边上的一点，，且______，求的面积. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①是的平分线； ②为线段的中点. （3）若为锐角三角形，求边上的高取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据边角互化，结合三角恒等变换可得， （2）选择①，利用等面积法以及余弦定理即可求解的值，即可根据面积公式求解，选择②，利用向量的模长公式以及余弦定理可得的值，即可根据面积公式求解， （3）根据正弦定理可得外接圆半径，即可根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可结合三角函数的性质求解的范围，即可利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，： 结合正弦定理可得： 由得， ， ， ，又，所以． 【小问2详解】 若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ； 若选②：由题设，则， 所以， 在中，由余弦定理得，则， 联立，得， ． 【小问3详解】 由正弦定理得， 故 , 由于为锐角三角形，故,故，因此， 故当，即时，此时取到最大值， 当或，即或时，此时， 因此 ， 故三角形的面积为， 故边上的高为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期中 高一级数学卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则的值是（ ） A. 2 B. -2 C. D. 4. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 如图所示，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为（ ） A 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断 7. 设点M是线段的中点，点A在直线外，，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 6 8. 在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数λ的可能的取值有（ ） A B. 1 C. D. 2 10. 下列各组向量中，可以作基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 在中，内角､､所对的边分别为､､，已知，，则（ ） A. B. 的周长的最大值为 C. 当最大时，的面积为 D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数是纯虚数，其中，则______． 13. 设是平面内一个基底，若三点共线，且，则实数的值为______． 14. 如图，A，B，C三点位于同一水平面，A位于B的北偏西30°方向，C位于B的北偏东60°方向，A在C的正西方向，且A，C之间的距离为50米，B处正上方建有一栋楼房，C处正上方建有一座塔，从A处观察塔尖E，测得仰角为45°，从楼房顶D处观察塔尖E，测得仰角为30°，则楼房的高度为__________米. 四、解答题（共77分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c； （1）若，，，求的面积； （2）若，求角A的值. 16. （1）已知，，与夹角，求． （2）已知，，与的夹角为60°，求． （3） 已知，， 与的夹角为，问：当为何值时，. 17. 已知x为实数，复数． （1）当x为何值时，复数z的模最小？ （2）当复数z模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 18. 如图，在梯形中，，. （1）若，求； （2）若，求外接圆的半径； （3）若，且，证明：只有一解. 19. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，为边上的一点，，且______，求的面积. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①是平分线； ②为线段的中点. （3）若为锐角三角形，求边上的高取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$