专题04 一次函数（考点清单+思维导图+二大考点11种题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节期末复习培优题型变式专练（人教版）

专题04 一次函数 一、变量与函数 1）常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量． 2）自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量． 注：自变量的取值范围的确定方法：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 4）函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 注：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 二、函数的图象 1）函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 2）函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 注：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 三、一次函数与正比例函数的概念 1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。 2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。 3）两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。 四、一次（正比例）函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。 五、一次函数的平移与位置关系 1）一次函数与的位置关系： 两直线平行且 两直线垂直 2）、一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。 六、一次函数中的实际问题 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 七、一元一次方程（二元一次方程组）与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 八、一次不等式与一次函数的关系 1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或kx+b＜0） 2）从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3)若两个不等式比较大小，如，反映在图像上为的图像上面部分x的取值范围。 目录 【题型一 函数的概念】 5 【题型二 函数值及自变量的取值范围】 6 【题型三 函数的表示方法】 6 【题型四 识图并分析图象信息】 7 【题型五 正比例函数的图象与性质】 8 【题型六 一次函数的图象与性质】 9 【题型七 一次函数图象的平移问题】 9 【题型八 求一次函数的解析式】 9 【题型九 一次函数与方程、不等式的关系】 10 【题型十 求直线围成的图形的面积】 11 【题型十一 一次函数的应用】 12 【题型一 函数的概念】 例题：（24-25八年级下·北京·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·四川德阳·期中）下列各式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有 ． 2．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）司机李师傅去加油站加油时，92号汽油的价格为每升元，记加油总金额为y元，加油量为x升，则，下列说法正确的是（   ） A．加油量x是自变量 B．总金额y是自变量 C．是自变量 D．是自变量 【题型二 函数值及自变量的取值范围】 例题：（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）已知y与x的函数解析式为，则当时，y的值为 ． 【变式训练】 1．（2025·河南平顶山·二模）小明早上从家骑自行车到学校，后他离学校的路程为，已知y与x之间的函数表达式为，则小明从家到学校所用时间是 ． 2．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是 ； 【题型三 函数的表示方法】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为（   ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．85 B．75 C．65 D．55 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）已知矩形的周长是10，长y是宽x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系图象的是（　　） A． B． C． D． 【题型四 识图并分析图象信息】 例题：（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知甲、乙两车从A地出发前往B地，两车与A地的距离与时刻的关系如图所示，则被墨水遮住的时刻是（   ） A．7∶30 B．7∶40 C．7∶50 D．8∶00 【变式训练】 1．（2025年湖北省武汉市九年级下学期五月四区联考三模数学试题）如图是小明从学校到家里行进的路程S （米）与时间t（分）的函数图象，观察图象，从 中得到如下信息，其中不正确的是（     ） A．学校离小明家1000米 B．小明后10分钟比前10分钟走得快 C．小明用了20分钟到家 D．小明前10分钟走了路程的一半 2．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）若小航家、花鸟市场和学校在同一条直线上，下图反映的过程是：小航从学校去花鸟市场买花，然后回家，图中x表示时间，y表示小航离家的距离．根据图象提供的信息完成下列任务． （1）线段表示的实际意义是： ； （2）小航从花鸟市场回家时的速度为 千米/分钟． 【题型五 正比例函数的图象与性质】 例题：（23-24八年级下·广西河池·期末）下列各点中，在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·山西·模拟预测）对于正比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象经过二、四象限 B．图象与坐标轴有两个交点 C．图象经过点 D．图象上点的纵坐标随着横坐标的增大而增大 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知正比例函数． (1)若点在它的图象上，求正比例函数的解析式及的值； (2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 【题型六 一次函数的图象与性质】 例题：（2025·山东德州·二模）点在一次函数图象上，则该直线不经过第 象限． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）若点，，在一次函数（m是常数）的图象上，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 2．（2025·安徽安庆·二模）一次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【题型七 一次函数图象的平移问题】 例题：（2025·天津河东·二模）将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为 ． 【变式训练】 1．（2025·陕西咸阳·三模）已知将直线向下平移个单位长度后经过点，且，则平移后的直线表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）已知一次函数的图象与的图象平行，而且经过点，则该一次函数的解析式为 ． 【题型八 求一次函数的解析式】 例题：（24-25八年级下·广东惠州·期中）已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在这个函数图象上，求的值． 2．（24-25八年级下·北京·期中）作为世界上规模最大、保存最完好的古代皇宫建筑群，故宫历经几百年风雨依旧屹立不倒，这就不得不提到中国古代建筑一个凝聚匠人智慧的重要发明——榫卯结构了，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则与之间的函数关系式为 （为正整数）． 【题型九 一次函数与方程、不等式的关系】 例题：（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点A，则关于x的不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示． （1）关于的方程的解为 ，关于的不等式的解集为 ； （2）关于，的二元一次方程组的解是 （3）不等式的解集为 【题型十 求直线围成的图形的面积】 例题：（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知一次函数与的图象都经过，且与轴分别交于、两点，则的面积是(　　) A．4 B．2 C．6 D．12 【变式训练】 1．（2025·陕西榆林·一模）如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． (1)求此一次函数的解析式； (2)求出的面积． 【题型十一 一次函数的应用】 例题：（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 【变式训练】 1．（2025·河南南阳·二模）春节前夕，老张去市场为自己旗下的A，B两个水果超市备货，他花费9200元批发了车厘子和芒果共100箱，已知芒果的批发价为80元/箱，车厘子的批发价为100元/箱． (1)求老张批发的车厘子和芒果的箱数； (2)老张分配给A，B两个水果超市各50箱，如表为两超市的水果销售价格．设分配给A水果超市车厘子m箱． 车厘子销售价（元/箱） 芒果销售价（元/箱） A水果超市 160 100 B水果超市 150 120 若确保销售完这批水果后，B水果超市的利润不低于2400元，如何分配能使两超市获得最大利润，并求出这个最大利润； (3)老张仍然分配给A，B两个水果超市各50箱，若仅考虑获得最大利润，如何分配能使两超市获得最大利润，请直接写出分配方案及最大利润． 2．（2025·黑龙江绥化·二模）临近端午节，某超市预计销售A、B两种筒粽回馈新老用户，已知A种筒粽2盒B种筒粽3盒共需440元，A种筒粽5盒B种筒粽7盒共需1050元． (1)求A、B两种筒粽的单价分别多少个？ (2)某公司计划购买A、B两种礼盒共100件，总费用不超过7700元，且A种礼盒的数量不少于B种礼盒数量的，共有几种购买方案？符合条件的最少费用是多少？ (3)下图为A、B两种筒粽厂家生产（盒）与生产时间（h）对应关系图．其中A种筒粽厂家生产总量函数为，B种筒粽厂家因机器故障，停产一段时间，维修后生产速度不变，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题． ①A种筒粽每小时生产________盒，B种筒粽每小时生产________盒． ②直接写出两种筒粽产量相差120盒时，x的值． 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）已知某植物园的成人票每张50元，学生票每张20元，设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人x名和学生1名，则y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江绥化·二模）函数 中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江温州·二模）小明放学后从学校骑车回家，途经书店，在书店购物花费5分钟，他离家的路程（千米）与所经过的时间（分）关系如图．有下列结论： ①学校到书店速度为0.15千米／分钟；②的值为15； ③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍；④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米． 其中，正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025年北京市昌平区九年级二模数学试卷）在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，则下列描述正确的是（   ） A．为等腰直角三角形 B．点坐标为 C．图象经过第一、三、四象限 D．点到的图象距离为1 二、填空题 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于、的二元一次方程组的解是 ． 7．（2025·江苏淮安·二模）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程随时间（分）变化的函数图像，则甲乙相遇时，乙出发了 分钟． 8．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系，将直线向左平移3个单位后，得到的直线的解析式是 ． 9．（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知直线与的交点在第三象限，则常数b的取值范围是 ． 10．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示． （1）关于的方程的解为 ，关于的不等式的解集为 ； （2）关于，的二元一次方程组的解是 （3）不等式的解集为 三、解答题 11．（24-25八年级下·河南·阶段练习）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知两点的坐标分别为，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是___________； (2)若点的坐标为，则关于的不等式的解集是___________； (3)关于的不等式组的解集是___________． 12．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知y是x的一次函数，它的图象上有两点分别为和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这条直线上； (3)直接写出当时，x对应的范围是什么？ 13．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）已知：如图一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积； (3)结合图象，直接写出时x的取值范围． 14．（2025·河南驻马店·三模）我国是全球重要合金生产大国，生产合金种类齐全，被广泛应用于航空航天、汽车制造和半导体等领域．某工厂利用A，B两种原料铝合金熔炼制造新型铝合金（不计损耗）．已知B种原料铝合金每千克含硅量是A种原料铝合金每千克含硅量的倍，用A，B两种原料铅合金各500千克，熔炼制造出的C型铝合金中含硅量为7500克． (1)求每千克A，B两种原料铝合金中分别含硅多少克． (2)该工厂现需熔炼制造一种抗拉强度更高的D型铝合金，研究人员发现，当每1000千克D型铝合金中含硅量不低于7800克时，其抗拉强度可以达到要求．已知A种原料铝合金的购价为20元／千克，B种原料铝合金的购价为25元／千克．若要熔炼制造出抗拉强度达标的D型铝合金1000千克，则需要的原料总成本至少为多少元？ 15．（2025·辽宁铁岭·二模）万物复苏，生机盎然，正是踏春的好时节．某校组织同学们乘坐甲、乙两车从学校同时出发前往森林动物园踏春．已知学校到森林动物园的路程是，甲车在途中加油用时，加油后继续前行并与乙车同时到达森林动物园．甲、乙两车距离学校的路程y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示． (1)求线段对应的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)当乙车比甲车多行驶时，求甲、乙两车的行驶时间是多少小时． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数 一、变量与函数 1）常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量． 2）自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量． 注：自变量的取值范围的确定方法：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义. 3）函数的概念：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 注：判断两个变量之间是否是函数关系，应考虑以下三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的变化随另一个变量的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量都有唯一的值与之对应。 4）函数值：是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 注：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2. 二、函数的图象 1）函数的三种表示方法 ①列表法：自变量与应变量的值可直接读取，不易看出自变量与应变量之间规律；对应关系明确、实用，但数据有限，规律不明显。 ②解析法：能完整反映变化过程，但对应数值需要计算；全面、准确，但较抽象。 ③图象法：只能表示函数关系，不能确切得出函数；直观、形象、规律明显，但不精确。 2）函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 注：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况. 三、一次函数与正比例函数的概念 1）一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。 特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数。故正比例函数是特殊一次函数。 2）函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立。 3）两个函数图象的交点坐标：就是两个解析式组成的方程组的解。 四、一次（正比例）函数的图象与性质 1）一次函数图象是一条直线； 2）已知两点可以作图，也可求出解析式； 3）交y轴于点（0，b），交x轴于点（，0）； 4）过象限、增减性 　 （过一、二象限） （过三、四象限） （过原点） （过一、三象限） 随的增大而增大 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 （过二、四象限） 随的增大而减小 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 5）函数图象大小比较：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y），x的值是点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小，也就是函数图象上的点的位置的高低。 五、一次函数的平移与位置关系 1）一次函数与的位置关系： 两直线平行且 两直线垂直 2）、一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。 六、一次函数中的实际问题 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 七、一元一次方程（二元一次方程组）与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 八、一次不等式与一次函数的关系 1）一次不等式可转化为一般式：kx+b＞0（或kx+b＜0） 2）从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3)若两个不等式比较大小，如，反映在图像上为的图像上面部分x的取值范围。 目录 【题型一 函数的概念】 5 【题型二 函数值及自变量的取值范围】 6 【题型三 函数的表示方法】 7 【题型四 识图并分析图象信息】 9 【题型五 正比例函数的图象与性质】 11 【题型六 一次函数的图象与性质】 13 【题型七 一次函数图象的平移问题】 15 【题型八 求一次函数的解析式】 16 【题型九 一次函数与方程、不等式的关系】 18 【题型十 求直线围成的图形的面积】 21 【题型十一 一次函数的应用】 23 【题型一 函数的概念】 例题：（24-25八年级下·北京·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的定义，掌握函数的定义是解决本题的关键． 对于一个自变量x，只有唯一一个因变量y与之相对应，y是x的函数，据此逐项分析判断即可解答． 【详解】解：根据函数概念逐项分析判断如下： A、存在自变量x取一个值的时候，有多个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故A选项不符合题意； B、存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故B选项不符合题意； C、存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故C选项不符合题意． D、对于每一个自变量x的值，都有1个y值与自变量x相对应，故y是x的函数，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·四川德阳·期中）下列各式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查函数的判断，根据函数的定义，一个变化的过程中，有两个变量，其中随着的变化而变化，且对于每一个确定的的值都有唯一确定的值与之对应，我们就称y是x的函数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，y是x的函数的有，，共3个，，对于每一个确定的的值并不是都有唯一确定的值与之对应，故y不是x的函数； 故答案为：①③④． 2．（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）司机李师傅去加油站加油时，92号汽油的价格为每升元，记加油总金额为y元，加油量为x升，则，下列说法正确的是（   ） A．加油量x是自变量 B．总金额y是自变量 C．是自变量 D．是自变量 【答案】A 【分析】根据函数，自变量的定义解答即可． 本题考查了函数的基本概念，正确理解概念是解题的关键． 【详解】解：得y是x的函数，x是自变量， 故选：A． 【题型二 函数值及自变量的取值范围】 例题：（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）已知y与x的函数解析式为，则当时，y的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数的值，理解自变量和函数之间的关系是解题的关键．代入到即可求解． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·河南平顶山·二模）小明早上从家骑自行车到学校，后他离学校的路程为，已知y与x之间的函数表达式为，则小明从家到学校所用时间是 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了求自变量的值，求出函数值为0时，自变量的值即可得到答案． 【详解】解：在中，令，则， ， ∴小明从家到学校所用时间是． 故答案为：15． 2．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）在函数中，自变量的取值范围是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件和一元一次不等式的求解，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件得出求解，然后进行验证即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，且当时，， 故答案为：． 【题型三 函数的表示方法】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为（   ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．85 B．75 C．65 D．55 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，据此求解即可． 【详解】解：由图表可以看出该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，即该商品的销售价每增加1元，销售量就减少1件， 由110到115售价增加5元，则销售量减少5件， ∴当时，． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的总长为，设长方形靠墙的一边长为，面积为，当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可． 【详解】由题意得：长方形靠墙的一边长为，则平行墙的边长为， ∴面积， 故选：D． 2．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）已知矩形的周长是10，长y是宽x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x的函数关系图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的周长为10，得，整理得，根据矩形的长，宽都是正数，确定与坐标轴的交点都是空心点，解答即可． 本题考查了函数的表达式，图象的画法，熟练掌握表达式和画图象是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的周长为10， ∴， ∴， 根据矩形的长，宽都是正数， ∴与坐标轴的交点都是空心点， 故选：D． 【题型四 识图并分析图象信息】 例题：（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知甲、乙两车从A地出发前往B地，两车与A地的距离与时刻的关系如图所示，则被墨水遮住的时刻是（   ） A．7∶30 B．7∶40 C．7∶50 D．8∶00 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是从函数图象中获得正确的信息．先计算出甲、乙两车的平均速度，再设乙车出发小时后两车相遇，列出方程解答即可． 【详解】解：由图示知：，两城相距，甲车从出发，乙车从出发；甲车到达城，乙车到达城； 乙车的平均速度为：， 甲车的平均速度为：， 设乙车出发小时后两车相遇， 根据题意，得， 解得：； 所以甲、乙两车相遇时，对应的值是． 故选：A． 【变式训练】 1．（2025年湖北省武汉市九年级下学期五月四区联考三模数学试题）如图是小明从学校到家里行进的路程S （米）与时间t（分）的函数图象，观察图象，从 中得到如下信息，其中不正确的是（     ） A．学校离小明家1000米 B．小明后10分钟比前10分钟走得快 C．小明用了20分钟到家 D．小明前10分钟走了路程的一半 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象的横纵坐标是解题关键． 根据图象的纵坐标，可判断A，根据图象的横坐标，可判断C，根据图象的横坐标、纵坐标，可判断B、D． 【详解】解：A、由图象的纵坐标可以看出学校离小明家1000米，故正确； B、前10分钟图像上升的比较缓慢，后十分钟上升的较快，则小明后10分钟比前10分钟走得快，故正确； C、由图象的横坐标可以看出小明用了20分到家，故正确； D、由图象可以看出，小明前10分钟走的路程较少，故错误； 故选D． 2．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）若小航家、花鸟市场和学校在同一条直线上，下图反映的过程是：小航从学校去花鸟市场买花，然后回家，图中x表示时间，y表示小航离家的距离．根据图象提供的信息完成下列任务． （1）线段表示的实际意义是： ； （2）小航从花鸟市场回家时的速度为 千米/分钟． 【答案】 小航在花鸟市场买花 / 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，观察图象，能把图象与实际问题结合起来是解题关键． （1）根据段的纵坐标没有变化，结合题意可知小航在花鸟市场买花， （2）根据题意以及函数图象可知线段段为小航从花鸟市场回家，根据路程除以时间即可求解． 【详解】解：（1）线段表示的实际意义是：小航在花鸟市场买花， 故答案为：小航在花鸟市场买花． （2） 故答案为：． 【题型五 正比例函数的图象与性质】 例题：（23-24八年级下·广西河池·期末）下列各点中，在正比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项所给点的横坐标代入中求出纵坐标，看与所给点的纵坐标是否相等，如果相等，则该点在函数的图象上，若不相等，则该点不在函数的图象上． 本题主要考查了正比例函数图象的性质，凡是满足函数关系式的点都在该函数图象上，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：A、∵当时，， ∴此点不在正比例函数图象上，故A本选项错误； B、∵当时，， ∴此点在正比例函数图象上，故本选项正确； C、∵当时，， ∴此点不在正比例函数图象上，故本选项错误； D、∵当时，， ∴此点不在正比例函数图象上，故本选项错误． 故选B． 【变式训练】 1．（2025·山西·模拟预测）对于正比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象经过二、四象限 B．图象与坐标轴有两个交点 C．图象经过点 D．图象上点的纵坐标随着横坐标的增大而增大 【答案】A 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质进行逐项判断即可． 【详解】解：正比例函数， ∵， ∴正比例函数的图象经过二、四象限；故选项A正确； 正比例函数的图象与坐标轴交于原点，故选项B错误； ∵当时，， ∴正比例函数的图象不经过点，故选项C错误； ∵， ∴正比例函数的图象随着x的增大而减小，故选项D错误； 故选：A． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知正比例函数． (1)若点在它的图象上，求正比例函数的解析式及的值； (2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式、正比例函数的性质、解一元一次不等式，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据正比例函数的性质可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴正比例函数的表达式为． （2）解：∵的图象经过第二、四象限， ∴， ∴． 【题型六 一次函数的图象与性质】 例题：（2025·山东德州·二模）点在一次函数图象上，则该直线不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标特点以及一次函数的图象， 以及一次函数经过的象限，把点代入，求出k的值，再根据，可得出该直线经过一，二，四象限即可得到答案． 【详解】解：把点代入， 得出：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， ∵，， ∴该直线经过一，二，四象限， ∴该直线不经过第三象限 故答案为：三． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）若点，，在一次函数（m是常数）的图象上，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 根据题意可得，y随x的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：∵一次函数（m是常数），其中， ∴y随x的增大而减小， ． ∴当时对应的最大，时对应的最小， ∴． 故选：D． 2．（2025·安徽安庆·二模）一次函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，熟练掌握一次函数图象经过象限与、的关系时解题的关键．根据题意可知，，即可判断该一次函数经过原点和二、四象限． 【详解】解：， 一次函数的图象经过原点和二、四象限， 故选：A． 【题型七 一次函数图象的平移问题】 例题：（2025·天津河东·二模）将正比例函数的图象向上平移1个单位，所得直线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．由函数平移的规律，直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， ∴， ∴正比例函数是， 由“上加下减”的原则可知，将正比例函数的图象向上平移1个单位后所得直线的解析式为：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·陕西咸阳·三模）已知将直线向下平移个单位长度后经过点，且，则平移后的直线表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数的平移，一次函数上点的坐标特点，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到平移后表达式为，然后将代入得到，结合求出，即可得到平移的表达式． 【详解】解：将直线向下平移个单位长度后的表达式为 ∵将直线向下平移个单位长度后经过点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平移后的直线表达式为． 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）已知一次函数的图象与的图象平行，而且经过点，则该一次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先根据两个一次函数的图象平行可得，再将点代入求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象与的图象平行， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴该一次函数的解析式为， 故答案为：． 【题型八 求一次函数的解析式】 例题：（24-25八年级下·广东惠州·期中）已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设y与之间的函数解析式为，再将，代入求解即可得； （2）将代入（1）中的函数解析式即可得． 【详解】（1）解：设y与之间的函数解析式为， 将时，代入， 得， 解得， 则y与x之间的函数解析式为． （2）解：将代入， 得． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广东东莞·阶段练习）已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在这个函数图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）把点代入（）所得函数解析式计算即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：∵点在这个函数图象上， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·北京·期中）作为世界上规模最大、保存最完好的古代皇宫建筑群，故宫历经几百年风雨依旧屹立不倒，这就不得不提到中国古代建筑一个凝聚匠人智慧的重要发明——榫卯结构了，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为，则与之间的函数关系式为 （为正整数）． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数关系式，弄清楚图形间的关系成为解题的关键。 根据一个木构件的长度为6，两个木构件上的凹凸部分紧密连接，每增加一个木构件，长度增加5，据此列出函数关系式即可． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 【题型九 一次函数与方程、不等式的关系】 例题：（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与的图象相交于点A，得于是得到点，根据交点的意义，得到方程组的解． 本题考查了一次函数的交点，方程组的解与一次函数交点的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：一次函数的图象与的图象相交于点A， 得， 解得 于是得到点， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点A，则关于x的不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，掌握数形结合思想成为解题的关键． 由题意可得：关于x的不等式组的解集为一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方，x轴上方所对应的自变量取值范围，再根据函数图象即可解答． 【详解】解：由题意可得：关于x的不等式组的解集为一次函数的图象位于正比例函数的图象的下方，x轴上方所对应的自变量取值范围，即． 故选D． 2．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示． （1）关于的方程的解为 ，关于的不等式的解集为 ； （2）关于，的二元一次方程组的解是 （3）不等式的解集为 【答案】 ， ； ； ． 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可知一次函数与轴的交点为，由此进行分析即可； （2）由图象可知函数和的图象的交点纵坐标为，由此进行分析即可； （3）由（2）知函数和的图象的交点为，由此进行分析即可得出不等式的解集． 【详解】解：（1）由图象可知：一次函数与轴的交点为， 当时，， 即关于的方程的解为， 当时，， 即关于的不等式的解集为， 故答案为：，； （2）由图象可知函数和的图象的交点纵坐标为， 当时，代入，得，解得， 关于，的二元一次方程组的解是； 故答案为：； （3）由（2）知函数和的图象的交点为， 不等式的解集为． 故答案为：． 【题型十 求直线围成的图形的面积】 例题：（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知一次函数与的图象都经过，且与轴分别交于、两点，则的面积是(　　) A．4 B．2 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及一次函数与方程的关系，可先根据点的坐标用待定系数法求出，的值，即求出两个一次函数的解析式，进而求出它们与轴的交点，即，的坐标．那么三角形中，底边的长应该是，纵坐标差的绝对值，高就应该是点横坐标的绝对值，因此可根据三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：把点代入， 得：， 点． 把点代入， 得：， 点． ， ． 答：的面积为， 故选：C． 【变式训练】 1．（2025·陕西榆林·一模）如图，已知直线与直线在第一象限交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点，两直线交点等知识，利用数形结合是解题关键． 根据题意求出点坐标的值，进而求出直线的解析式，继而求出点的坐标，即可得解． 【详解】解：在直线上， ， ， ， 将代入， 得，解得，故， 直线与轴交于点， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． (1)求此一次函数的解析式； (2)求出的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、求两条直线的交点等知识，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立两个函数的解析式求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴此一次函数的解析式为； （2）解：解方程组， 得， ∴点C的坐标是， ∴的面积． 【题型十一 一次函数的应用】 例题：（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数， 则在甲超市购买礼盒所需费用为：， 在乙超市购买礼盒所需费用为： 当购买盒数不超过盒时，， 当购买盒数超过盒时，， ∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算， ∴， 解得：， ∴他至少购买了盒． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·河南南阳·二模）春节前夕，老张去市场为自己旗下的A，B两个水果超市备货，他花费9200元批发了车厘子和芒果共100箱，已知芒果的批发价为80元/箱，车厘子的批发价为100元/箱． (1)求老张批发的车厘子和芒果的箱数； (2)老张分配给A，B两个水果超市各50箱，如表为两超市的水果销售价格．设分配给A水果超市车厘子m箱． 车厘子销售价（元/箱） 芒果销售价（元/箱） A水果超市 160 100 B水果超市 150 120 若确保销售完这批水果后，B水果超市的利润不低于2400元，如何分配能使两超市获得最大利润，并求出这个最大利润； (3)老张仍然分配给A，B两个水果超市各50箱，若仅考虑获得最大利润，如何分配能使两超市获得最大利润，请直接写出分配方案及最大利润． 【答案】(1)老张批发的车厘子和芒果的箱数分别为60箱和40箱 (2)A超市车厘子20箱，芒果30箱，B超市车厘子40箱，芒果10箱，最大的总利润是4200元 (3)A超市车厘子50箱，芒果0箱，B超市车厘子10箱，芒果40箱，最大的总利润是5100元 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设老张批发的车厘子和芒果的箱数分别为箱和箱，根据他花费9200元批发了车厘子和芒果共100箱，列出方程组进行求解即可； （2）由题意，得，分配给A水果超市车厘子m箱，则分配给A水果超市芒果箱，分配给水果超市车厘子箱，分配给水果超市芒果箱，设总利润为，根据B水果超市的利润不低于2400元，列出不等式，求出的范围，根据总利润等于两个超市的利润之和，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可； （3）根据利润最大化，以及总利润等于车厘子的总利润加上芒果的总利润，只要两种水果都实现利润最大化即可，比较两个超市每种水果的单价，进行判断即可． 【详解】（1）解：设老张批发的车厘子和芒果的箱数分别为箱和箱，由题意，得： ，解得：； 答：老张批发的车厘子和芒果的箱数分别为60箱和40箱； （2）由题意，得，分配给A水果超市车厘子m箱，则分配给A水果超市芒果箱，分配给水果超市车厘子箱，分配给水果超市芒果箱，设总利润为，则： ， 解得：； ， 整理，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大为； ∴， 故分配给A超市车厘子20箱，芒果30箱，B超市车厘子40箱，芒果10箱时，利润最大，最大的总利润是4200元； （3）由题意，可知，超市的车厘子的售价高于超市，超市芒果的售价高于超市，要实现总利润最大，则超市的车厘子数量越多，超市芒果的数量越多，总利润越大，故分配给A超市车厘子50箱，芒果0箱，B超市车厘子10箱，芒果40箱，时，利润最大为：（元）； 答：A超市车厘子50箱，芒果0箱，B超市车厘子10箱，芒果40箱，时，利润最大为元． 2．（2025·黑龙江绥化·二模）临近端午节，某超市预计销售A、B两种筒粽回馈新老用户，已知A种筒粽2盒B种筒粽3盒共需440元，A种筒粽5盒B种筒粽7盒共需1050元． (1)求A、B两种筒粽的单价分别多少个？ (2)某公司计划购买A、B两种礼盒共100件，总费用不超过7700元，且A种礼盒的数量不少于B种礼盒数量的，共有几种购买方案？符合条件的最少费用是多少？ (3)下图为A、B两种筒粽厂家生产（盒）与生产时间（h）对应关系图．其中A种筒粽厂家生产总量函数为，B种筒粽厂家因机器故障，停产一段时间，维修后生产速度不变，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题． ①A种筒粽每小时生产________盒，B种筒粽每小时生产________盒． ②直接写出两种筒粽产量相差120盒时，x的值． 【答案】(1)A种筒粽的单价为70元，B种筒粽的单价为100元 (2)24种方案，最少费用为7000 (3)①40，60；②6或15 【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设A种筒粽的单价为元，B种筒粽的单价为元，根据“已知A种筒粽2盒B种筒粽3盒共需440元，A种筒粽5盒B种筒粽7盒共需1050元”建立二元一次方程组求解； （2）设购买种礼盒件，则种礼盒件，由题意得：，求出解集，再根据为整数得出方案数，然后设总费用为，求出关于的函数关系式，再根据一次函数的性质求解； （3）①由图象即可求解速度；②分别求出的函数解析式，然后根据两种筒粽产量相差120盒列出方程求解． 【详解】（1）解：设A种筒粽的单价为元，B种筒粽的单价为元， 由题意得：， 解得：， ∴A种筒粽的单价为70元，B种筒粽的单价为100元； （2）解：设购买种礼盒件，则种礼盒件， 由题意得：， 解不等式组得：， ∴， ∵为整数， ∴共有种方案， 设总费用为，则， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，总费用最少，为元； （3）解：①A种筒粽每小时生产盒，B种筒粽每小时生产盒； ②设，代入得：, 解得：， ∴， 当时，， 解得：， 当时，同理可得； 当时，设， ∵速度不变， ∴ 代入，得 解得：， ∴当时，， ∴两种筒粽产量相差120盒时，或， 分别解得：或． 一、单选题 1．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）已知某植物园的成人票每张50元，学生票每张20元，设植物园已收门票的总费用为y元，植物园内有成人x名和学生1名，则y与x之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用关系式表示变量之间的关系，找准题中的等量关系：总费用成人票价学生票价是解题关键．根据总费用名成人的门票费用名学生的门票费用解答即可． 【详解】解：依题意，y与x之间的函数解析式为 故选：C． 2．（2025·黑龙江绥化·二模）函数 中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为，可得不等式，解不等式可得：． 【详解】解：函数 有意义， ， ． 故选：D． 3．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数的图象写出不等式的解集，能够根据图象找出函数的交点坐标并选取正确的部分是解题的关键．先求得结合两函数图象，在点P的右边的图象都低于的图象，故应选择点P左边的部分，即可写出解集． 【详解】解：将得 解得：， ∴ 根据函数图象可得：不等式的解集是, 故选：C． 4．（2025·浙江温州·二模）小明放学后从学校骑车回家，途经书店，在书店购物花费5分钟，他离家的路程（千米）与所经过的时间（分）关系如图．有下列结论： ①学校到书店速度为0.15千米／分钟；②的值为15； ③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍；④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米． 其中，正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用．①根据速度=路程÷时间计算即可；②根据题意计算即可；③根据速度=路程÷时间求出从书店到家的速度，从而计算从书店到家的速度是学校到书店速度的倍数即可；④根据题意列关于t的方程并求解即可． 【详解】解：学校到书店速度为（千米/分钟）， ∴①正确，符合题意； ， ∴②正确，符合题意； 从书店到家的速度为（千米/分钟）， ， ∴从书店到家的速度是学校到书店速度的倍， ∴③不正确，不符合题意； 当小明离家的路程为0.8千米时，得， 解得， ∴经18分钟后小明离家的路程为0.8千米， ∴④正确，符合题意． 综上，正确的有3个，分别是①②④． 故选：C． 5．（2025年北京市昌平区九年级二模数学试卷）在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，则下列描述正确的是（   ） A．为等腰直角三角形 B．点坐标为 C．图象经过第一、三、四象限 D．点到的图象距离为1 【答案】A 【分析】由题意，根据一次函数图象与坐标轴交点的求法得到、，确定、B错误；再通过数形结合，由等腰直角三角形的判定即可确定A正确；由一次函数图象过象限即可判定C错误；再由等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识即可判定D错误． 【详解】解：在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点， 当时，，则；当时，，则； A、、， ，且，则为等腰直角三角形， 故该选项正确，符合题意； B、， 点坐标为错误，不符合题意； C、在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点， ，且、，则图象经过第一、二、四象限， 故该选项错误，不符合题意； D、过点作于点，如图所示： 是等腰直角三角形，， 由勾股定理可得， ， 由等腰三角形三线合一性质可知，是斜边上的中线， ，即点到的图象距离为， 故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象与性质，涉及一次函数图象与坐标轴交点的求法、一次函数图象过象限、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握一次函数图象与性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 二、填空题 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于、的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的交点和方程组的解，理解两条直线的交点坐标的意义．在平面直角坐标系中，直线与直线交点的坐标就是二元一次方程组的解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点， 关于、的二元一次方程组的解是． 故答案为： ． 7．（2025·江苏淮安·二模）如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程随时间（分）变化的函数图像，则甲乙相遇时，乙出发了 分钟． 【答案】6 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象求出甲、乙的速度，设甲乙相遇时，乙出发了分，再根据路程相等即可求解，读懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，甲的速度为， 乙的速度为， 设甲乙相遇时，乙出发了分，则， 解得， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系，将直线向左平移3个单位后，得到的直线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：将直线向左平移个单位长度得， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知直线与的交点在第三象限，则常数b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，熟练掌握求一次函数的交点的方法是解题的关键．联立两解析式求出交点坐标，根据交点在第三象限，列一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：联立， 解得， 根据题意，得， 解得：， 故选：A． 10．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示． （1）关于的方程的解为 ，关于的不等式的解集为 ； （2）关于，的二元一次方程组的解是 （3）不等式的解集为 【答案】 ， ； ； ． 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可知一次函数与轴的交点为，由此进行分析即可； （2）由图象可知函数和的图象的交点纵坐标为，由此进行分析即可； （3）由（2）知函数和的图象的交点为，由此进行分析即可得出不等式的解集． 【详解】解：（1）由图象可知：一次函数与轴的交点为， 当时，， 即关于的方程的解为， 当时，， 即关于的不等式的解集为， 故答案为：，； （2）由图象可知函数和的图象的交点纵坐标为， 当时，代入，得，解得， 关于，的二元一次方程组的解是； 故答案为：； （3）由（2）知函数和的图象的交点为， 不等式的解集为． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·河南·阶段练习）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知两点的坐标分别为，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是___________； (2)若点的坐标为，则关于的不等式的解集是___________； (3)关于的不等式组的解集是___________． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）利用直线与x轴的交点即为时，对应的x的值为方程的解，据此即可解答； （2）利用两直线与x轴的交点坐标，结合图象即可即可解答； （3）利用图象求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴的交点为， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：； （2）解：∵一次函数和一次函数的交点， ∴根据图象可得关于x的不等式解集为； 故答案为：； （3）解：∵一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知A、两点的坐标分别为，， ∴关于的不等式组的解集是． 12．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知y是x的一次函数，它的图象上有两点分别为和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这条直线上； (3)直接写出当时，x对应的范围是什么？ 【答案】(1) (2)点在这条直线上 (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特点，一次函数的增减性，正确求出解析式是解题的关键． （1）设出解析式，再把A、B两点坐标代入解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求求出当时的函数值即可得到结论； （3）先求出函数值为0时自变量的值，再根据解析式判断出增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， 把和代入到中得， 解得， ∴这个一次函数的表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴该直线经过点， ∴点在这条直线上； （3）解：在中，当时，， ∵一次项系数为2，是正数， ∴y随x增大而增大， ∴当时，． 13．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）已知：如图一次函数与的图象相交于点A． (1)求点A的坐标； (2)若一次函数与的图象与x轴分别相交于点B、C，求的面积； (3)结合图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键． （1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果． 【详解】（1）解：联立，解得， ∴点A坐标为． （2）解：当时，，即，则B点坐标为； 当时，，即，则C点坐标为； ， 的面积为：． （3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是． 14．（2025·河南驻马店·三模）我国是全球重要合金生产大国，生产合金种类齐全，被广泛应用于航空航天、汽车制造和半导体等领域．某工厂利用A，B两种原料铝合金熔炼制造新型铝合金（不计损耗）．已知B种原料铝合金每千克含硅量是A种原料铝合金每千克含硅量的倍，用A，B两种原料铅合金各500千克，熔炼制造出的C型铝合金中含硅量为7500克． (1)求每千克A，B两种原料铝合金中分别含硅多少克． (2)该工厂现需熔炼制造一种抗拉强度更高的D型铝合金，研究人员发现，当每1000千克D型铝合金中含硅量不低于7800克时，其抗拉强度可以达到要求．已知A种原料铝合金的购价为20元／千克，B种原料铝合金的购价为25元／千克．若要熔炼制造出抗拉强度达标的D型铝合金1000千克，则需要的原料总成本至少为多少元？ 【答案】(1)每千克A种原料铝合金中含硅6克，每千克B种原料铝合金中含硅9克 (2)需要的原料总成本至少为23000元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设每千克A种原料铝合金中含硅克，每千克B种原料铝合金中含硅克，    根据B种原料铝合金每千克含硅量是A种原料铝合金每千克含硅量的倍，用A，B两种原料铅合金各500千克，熔炼制造出的C型铝合金中含硅量为7500克建立方程组求解即可； （2）设需要千克B种原料铝合金，则需要千克A种原料铝合金，根据每1000千克D型铝合金中含硅量不低于7800克列出不等式求出a的取值范围，设需要的原料总成本为元，列出w关于a的一次函数关系式，并利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解；设每千克A种原料铝合金中含硅克，每千克B种原料铝合金中含硅克，     由题意，得         解得 答：每千克A种原料铝合金中含硅6克，每千克B种原料铝合金中含硅9克． （2）解：设需要千克B种原料铝合金，则需要千克A种原料铝合金， 根据题意，得， 解得．             设需要的原料总成本为元， 由题意，得．     ， 随的增大而增大， 当时，最小，． 答：需要的原料总成本至少为23000元． 15．（2025·辽宁铁岭·二模）万物复苏，生机盎然，正是踏春的好时节．某校组织同学们乘坐甲、乙两车从学校同时出发前往森林动物园踏春．已知学校到森林动物园的路程是，甲车在途中加油用时，加油后继续前行并与乙车同时到达森林动物园．甲、乙两车距离学校的路程y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示． (1)求线段对应的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)当乙车比甲车多行驶时，求甲、乙两车的行驶时间是多少小时． 【答案】(1) (2)甲、乙两车的行驶时间是或 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式的求解，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）先确定出点B的坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （2）先求出的解析式，再分情况求出结果即可． 【详解】（1）解：， 点 设线段对应的函数解析式是， 将点代入，得 ，解得， 线段对应的函数解析式是； （2）设线段对应的函数解析式是， 将点代入，得，解得， 线段对应的函数解析式是 ①当时， ， 当时，，解得 ②当时， ，解得， 答：当乙车比甲车多行驶时，甲、乙两车的行驶时间是或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$