专题04 第七章 随机变量及其分布（考点串讲，6大考点&12大题型剖析）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

人教A版（2019）高二数学下学期·期末大串讲 专题04 第七章 随机变量及其分布（6考点&12题型） 人教A版2019 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 条件概率  清单02 条件概率性质  考点透视 清单03 全概率公式  清单04 贝叶斯公式  考点透视 清单05 均值和方差  清单06 均值与方程性质  题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 题型剖析 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 （1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （2）如果和是两个互斥事件，则； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1） （2） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. ②若与相互独立，则. ③若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则，， 由条件概率公式可得. 故选：B. 【考点题型一】条件概率 【例1】（24-25高二下·福建泉州·期中）一个盒子中装有个红球，个黑球，从中不放回地任取个小球，已知第一次取出黑球的条件下，第二次取出红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记事件第一次取出黑球，事件第二次取出红球， 则. 【考点题型二】全概率公式及其应用 【例2】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）现有一堆颜色不同，形状一样的小球在甲乙两袋中，其中甲袋有5个红色小球，4个白色小球，乙袋中有4个红色小球，3个白色小球. (1)分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率；（可直接用数字作答） (2)从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中取出一球；从甲袋中取出的是红球的条件下，求从乙袋中取出红球的概率；（可直接用数字作答） (3)先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率.（以字母表述解题，并计算结果） 【详解】（1）解：设事件为“从甲袋中取出红球”，事件为“从乙袋中取出红球”， 事件为“两球颜色不同”，则， 所以从甲袋中取出红球的条件下，则从乙袋中取出红球的概率为. （3）解：设事件为“取出为白球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”， 则， 则 （2）解：由（1）知：， 若从甲袋中取出的是红球，放入乙袋中，取得红球的概率为， 故答案为：, 【考点题型三】条件概率性质应用 【例3】（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知两个随机事件，若，，，则 . 【详解】由可得 故, 根据全概率公式可得, 则根据贝叶斯公式： 【考点题型四】贝叶斯公式及其应用 【例4】（24-25高二下·辽宁·期中）假设你是一个不算太差的一般人，crush喜欢你的概率是25%；如果ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%. (1)如果第一次能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ 【详解】（1）设事件A为“ta喜欢你”，事件B为“第一次能约出来”，则 又因为ta喜欢你，第一次能约出来的概率是70%；如果ta不喜欢你，第一次能约出来的概率是20%，故, 而事件,则, 根据全概率公式： 根据贝叶斯公式：. (2)如果第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.如果crush连着两次都能约出来，ta有多大可能喜欢你呢？ 因为第一次约会后crush喜欢你，则第二次能约出来的概率为85%；如果ta不喜欢你，则第二次能约出来的概率为5%.故, 根据全概率事件, 所以，所以，A选项正确；C选项正确； ， 所以，B选项正确，D选项错误 【考点题型五】均值和方差的性质 【例5】.（24-25高二下·福建莆田·期中）若随机变量的分布列为 1 2 3 0.2 0.5 则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为随机变量的分布列可得，所以， 【详解】（1）考察各选手得分发现，号选手得分较低， 不可能进入前三名，按规则计算其余选手得分如下： 1号选手平均得分， 同理可得号选手平均得分， 所以本次决赛的冠军，亚军，季军分别是3号，1号，2号选手. 【考点题型六】离散型随机变量分布列均值，方差 【例6】（24-25高二下·河北·期中）某学校器乐大赛有7名选手进入最后决赛，6名评委给出评分如下表，按去掉2个最高分和2个最低分规则计算选手成绩： 选手 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 评委6 1 9.60 9.40 9.80 9.20 9.65 9.30 2 9.10 9.35 9.15 8.95 9.37 9.35 3 9.70 9.55 9.65 9.45 9.75 9.50 4 8.90 8.85 9.05 8.60 8.95 8.70 5 9.20 9.30 9.50 9.15 9.40 9.10 6 8.80 8.70 8.40 8.20 8.35 8.25 7 8.00 8.15 8.35 8.80 8.25 8.05 (1)试确定冠军、亚军、季军选手的序号； 故随机变量的分布列为 0 1 2 由期望公式得，故随机变量的数学期望为， 则. (2)若比赛结束后从7名选手中任选3名谈参赛体会，设谈体会的3人中含有冠军或亚军的人数为，求的分布列和数学期望以及方差. （2）由题意得的可能取值为， 则 ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 数学期望. 【考点题型七】独立重复试验与二项分布模型 【例7】（2025·浙江金华·三模）某手机厂对屏幕进行两项独立检测：亮度检测通过率，色准检测通过率.产品需通过两项检测才算合格.随机抽取3件产品，设合格品数为X. (1)求单件产品为合格品的概率；(2)求X的分布列及数学期望； 【详解】（1）设合格的概率为，则：（亮度通过）（色准通过）. （2），易知， 改进前的期望利润是210元，改进后是213元，改进后利润增加了3元. (3)已知合格品利润100元/件，若改进工艺能使亮度检测通过率提升至，但每件成本增加1元.是否值得改进？ （3）改进前： 每件产品的合格概率.对于3件产品，期望合格数. 总期望利润元. 改进后： 每件产品的合格概率，对于3件产品，新的期望合格数. 总期望利润元. 净期望利润元. 则； 【考点题型八】超几何分布模型 【例8】（24-25高二下·天津·期中）为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游5名，其中高级导游4名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游2名、从这10名导游中随机选择4人参加比赛． (1)设A为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件A发生的概率； 【详解】（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法， 当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法， 随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望为. (2)设ξ为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望 （2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. 【考点题型九】正态分布模型 【例9】（24-25高二下·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； 附：若随机变量，则；；. 【详解】（1）甲能够获得奖励，理由如下： ， 而，所以，从而 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. （2）假设乙所说为真，则， 【考点题型十】正态分布模型中的决策问题 【例10】.（24-25高二下·辽宁大连·阶段练习）某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图： (1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； 【详解】（1）由频率分布直方图可得. 所以，； (2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差. （i）利用该正态分布，求； 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. （2）（i）由题意可得，，则， （ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求； （ii）由题意可知，，故. 易得，，故 ，； 【考点题型十一】概率与数列 【例11】（24-25高二下·浙江·期中）小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； 【详解】（1）记事件“掷两颗骰子所得的点数之和大于等于10”， 则“掷两颗骰子所得的点数之和小于10”， (2)求概率，，满足的关系式； （2）； 设，解得，. 所以为等比数列，公比为的等比数列， 所以，所以 当n为偶数时，，由于单调递减， ∵，∴最大值为； 当n为奇数时，，由于单调递增， ∵，∴最小值为； 综上，的最大值为，最小值为. (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. （3）由（2）有，即，（，） 所以，即， 故分布列为 X 1 2 3 4 P ． 【考点题型十二】借助导数求概率中的最值问题 【例12】（2025·河南·二模）已知一款游戏以抽奖形式获得某种奖品，每次抽奖分为中奖和不中奖两种结果，现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖，设是第一次抽奖中奖的概率，此后若前次抽奖均未中奖，则进行第n次抽奖时中奖的概率满足其中时一定中奖，设从第一次抽奖开始，第一次中奖时抽奖的次数为X． (1)当时，求X的分布列和期望 【详解】（1）由题意可得，， ，， ③当时，， 设，则 故时，随p增大而减小，而， 故存在，使得； ④当时，， 由于，，故， 因此，故． 综上，． (2)当X的期望为2时，证明：． （2）证明：①当时，； ②当时，， 因此； 2．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量X满足，且，则（    ） A．1 B．0.1 C．0.01 D．1.01 【答案】A 【详解】由题得，所以. 故选：A 越大，曲线的最高点越低且曲线较平缓，反过来，越小，曲线的最高点越高且曲线较陡峭，所以. 1．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】根据正态分布的密度函数的性质，正态分布曲线是一条关于对称， 在处取得最大值的连续钟形曲线，所以； （2）当质点位于4的位置时，则， ， 所以质点位于4的位置的概率是． 2．（24-25高三下·湖南邵阳·阶段练习）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列正确的是（    ） A．质点回到原点的概率为； B．质点回到原点的概率为 C．质点位于4的位置的概率为 D．质点位于4的位置的概率是 【答案】D 【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位， 共移动6次，且每次移动是相互独立，则． （1）质点回到原点，则， ， 所以质点回到原点的概率是； 由全概率公式可得， 整理可得，解得或（舍去），故. 3．（2025届辽宁省沈阳市高三三模数学试卷）甲、乙两个箱子中，各装有个球，其中甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球，其余都是白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，则从甲箱中随机摸出个球；如果点数为、、、，则从乙箱中随机摸出个球．已知掷次骰子后，摸出的球都是红球的概率是． (1)求的值； 【详解】（1）设事件为“掷出骰子的点数为或”，则事件为“掷出骰子的点数为、、、”， 则，， 设事件为“摸出的球都是红球”，则，， 则. (2)记摸到红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望． （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、， 则，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： $$