精品解析：安徽省百师联盟2025届高三下学期５月二轮复习联考（三）数学试题

2025届高三二轮复习联考（三） 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可. 【详解】因为， 所以其虚部为，故C正确. 故选：C. 2. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出公差及，进而求出. 【详解】在等差数列中，由，得公差， 又，即，解得， 所以. 故选：A 3. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的公式可求投影向量. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为， 故选：A. 4. 已知函数，则函数在区间上的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角余弦公式结合求解一元二次方程得到上的零点即可. 【详解】， 由，得或，即或或，. 所以函数在区间的零点是 4个. 故选:D 5. 在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定上底面和下底面的中心，连接两个中心 ，分球心在线段 上和延长线上两种情况，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】如图，正四棱台中， 、分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心， 是正四棱台的高，． ，， 由对称性外接球球心 在直线 上，设球半径为 ，连接，，， 若 在线段 上（如图），由得， 因为，，所以方程无实数解； 因此 在 的延长线上（如图），即在平面 下方， 因此有，解得， 所以球表面积为． 故选：D． 6. 记曲线 ：，若直线与曲线 相切，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程确定曲线 ，并画出曲线与直线的示意图，根据相切关系，数形结合及点线距离列方程求参数值. 【详解】当，，则， 当，，则， 当，，则， 当，，则， 显然，直线的斜率为，如下图示， 则原点到直线的距离，所以. 故选：C 7. 计算：（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系切化弦，再化简计算求值. 【详解】 . 故选：B. 8. 已知函数，当 时，，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分三种情况恒成立化简，再结合参数分离应用基本不等式计算求参. 【详解】函数，当 时，， 当 时，，符合题意； 当时，函数，不符合题意； 当 时，函数恒成立，所以恒成立， 因为，所以恒成立， 所以恒成立，即得， 当时，恒成立， 当时，恒成立， 令，恒成立， 因为，当且仅当时取最小值4， 所以，符合题意； 则 的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线 ：的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点 到抛物线 的准线的距离为8 B. C. 若 的中点的横坐标为3，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线方程确定焦点坐标，及准线方程可判断A，通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结合焦半径公式可判断B，结合B，及焦半径公式可判断C，通过确定直线 的斜率为，得到直线 的方程为，联立抛物线方程求得 坐标，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线，， 所以焦点 到抛物线 的准线的距离为4，A错误； 设 当直线 垂直于轴，可得， 所以,得 当直线 不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B正确； 对于C，由 的中点的横坐标为3，可得：， ， 又， 所以，C正确； 对于D， 过点 作，直线 与 轴分别交 与点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线 的斜率为，直线 的方程为， 与联立得， 解得， 所以， 可得：， 所以，D正确 故选：BCD 10. 已知函数，则（ ） A. ，使得为单调函数 B. ，的图象恒有对称中心 C. 当时， D. 若，，是方程的三个不同的根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A对函数求导，假设函数单调，并结合二次函数性质列不等式求参数范围，即可判断；B由，再结合即可判断；C应用特殊值 判断；D由并展开，结合已知表达式，即可判断. 【详解】A：由题设，所以是开口向上的抛物线， 要使为单调函数，只需恒成立，即，得， 所以，使得为单调函数，对； B：对于， 所以，即恒关于点对称，对； C：由题设，若 ，显然，错； D：由题设， 又，则，对. 故选：ABD 11. 已知的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，，， 的平分线 交 于 ，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 的最大值是 D. 的周长的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A应用等面积法及三角形面积公式可得，再应用基本不等式“1”的代换求最值；B应用正弦定理及 即可判断；C由正弦定理及已知得，即可求最值；D应用余弦定理及基本不等式得、，即可求周长范围. 【详解】A：由等面积法有，即， 由，， 的平分线 交 于 ， 所以，即， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为，故A对； B：在中，在中， 由 的平分线 交 于 ，即 ，故，故B错； C：由，则，， 所以， 又，即时，的最大值是，故C对； D：由A分析有，则，故， 所以，当且仅当时取等号， 由， 所以，故三角形周长为， 令，则周长在上单调递增， 所以，即周长范围是，故D对. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足， ，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用递推赋值，即可求得结果. 【详解】由，所以， 故答案为： 13. 已知是奇函数，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据已知函数是奇函数，可得为奇函数，根据奇函数的定义列式，结合指数运算计算求解. 【详解】因为为奇函数， 所以为奇函数， ，即， 则恒成立， 则，所以， 当时，，经检验符合题意， 所以. 故答案为：1. 14. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之积为偶数，记满足条件的这三个数之和为 ；从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之积为偶数，记满足条件的两个数之和为 .则______. 【答案】## 【解析】 【分析】先分别求出满足这两个条件的情况总数，再找到满足的情况，结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，要满足三个数之积为偶数， 则这三个数中至少有1个偶数，总共有种取法， 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之积为偶数， 则这两个数中至少有1个偶数，总共有种取法. 又，， 接下来，找出  和  相等的情况： 当时，满足条件的取法情况有，共1种情况； 当时，满足条件的取法情况有，共2种情况； 当时，无满足条件的情况； 当时，满足条件的取法情况有，共2种情况， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校有高一学生1800人，高二学生1200人，学校采取按比例分配的分层抽样的方式从中抽取100人进行体育测试.测试后，统计得到高一样本的一分钟跳绳次数的均值为165，方差为61，高二样本的一分钟跳绳次数的均值为145，方差为31． （1）计算总样本的一分钟跳绳次数的均值和方差； （2）将一分钟跳绳次数视为及格，整理出以下列联表： 及格 不及格 合计 高一 52 8 60 高二 38 2 40 合计 90 10 100 试根据小概率值的独立性检验，分析一分钟跳绳次数及格情况是否与年级有关；（结果保留小数点后三位） （3）如果将（2）表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断一分钟跳绳次数及格情况与年级之间的关联性，结果还一样吗？请你试着解释其中的原因． 附：， ． 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）均值157，方差145 （2）无关 （3）不一样，结论变为有关，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样计算均值和方差即可； （2）根据卡方检验，即可判断； （3）计算出新的卡方即可进行判断． 【小问1详解】 高一人数占比，故样本量为，同理高二样本量为40， 所以总样本均值为， 总样本方差为． 【小问2详解】 零假设为：一分钟跳绳次数及格情况与年级无关， 根据列联表，， 所以根据小概率值的独立性检验，推断成立，即一分钟跳绳次数及格情况与年级无关． 【小问3详解】 将（2）表格中的所有数据都扩大为原来的10倍， 则， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即一分钟跳绳次数及格情况与年级有关， 所以将（2）表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，结果不一样， 因为样本量增大使得相对差异的绝对值增大，导致卡方统计量显著上升． 16. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线过点，求 的值； （2）求的极值点. 【答案】（1） ； （2）当时， 单调递增，无极值点； 当时， 的极大值点为，无极小值点； 当时， 的极大值点为，极小值点为． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义来求切线斜率，并写出切线方程，代入点即可求值； （2）利用导数研究正负，即可判断原函数单调性和极值点. 【小问1详解】 求导得，则，又有， 所以曲线在点处的切线方程为：， 又由切线过点，则； 【小问2详解】 由（1）可知，， 令，则． ①当 时，对，有单调递增，无极值． ②当时， 的图象开口向下，且对称轴为直线， 又，则在 时有一根， 时，单调递增， 时，单调递减． 所以 在处取得极大值，极大值点为． ③当 时， 的图象开口向上，． i．当，即时，有，所以当 时， 有单调递增，无极值点． ii．当，即时，在 时，， 有两个根． 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增． 有极大值点，极小值点． 综上所述， 当时， 单调递增，无极值点； 当时， 的极大值点为，无极小值点； 当时， 的极大值点为，极小值点为． 17. 已知椭圆 ：，点在椭圆 上.椭圆上关于原点对称的任意两个不与点 重合的点 、和点 连线的斜率之积为. （1）求椭圆 的方程； （2）若一条斜率存在且不为0的直线 交椭圆 于 ，两点，且线段 的中点 的纵坐标为，过 作直线.定点到直线的距离记为 ，求 的最大值并求出对应的直线的方程. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）设且，根据，及点在椭圆上求椭圆参数值，即可得方程； （2）设 ，，点差法得，进而得到，则，最后由求参数，直线与直线 垂直时，点到直线的距离最大，应用点线距离公式求 的最大值. 【小问1详解】 设且，则， 所以， 又 在椭圆上，即，可得， 所以， 由 在椭圆上，即，即，故，可得， 综上，椭圆方程为； 【小问2详解】 由题意，直线 的斜率存在，设 ，， 由，，作差得， 整理有， 因为线段 的中点 ，则且， 所以，可得，故， 所以直线，即，过定点， 当直线与直线 垂直时，点到直线的距离最大， 由，而，可得，经检验满足题设， 所以 的最大值为，直线. 18. 如图，底面为正方形的四棱锥 中，，，记，． （1）证明：为直角三角形； （2）当四棱锥 的体积最大时，求平面与平面所成角的余弦值； （3）记直线 与平面所成角为 ，求的最大值． 【答案】（1）证明：在中，因为， 所以为直角三角形，即， 又因为四边形 为正方形，所以，则， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以，所以为直角三角形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理逆定理得，再结合正方形的性质得，，根据线面垂直的判定及性质即可证明； （2）建立空间直角坐标系，由面面角的向量公式求解即可； （3）建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式及导数即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当四棱锥 的体积最大时，平面 ， 因为平面 ，所以 ， 又平面，所以平面， 以 为原点，以所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则取 ，则， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 【小问3详解】 以 为原点，以所在直线为轴，以过点 垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 因为， 则， 设，则， 令得， 当时， ，则 在单调递增， 当时， ，则 在单调递减， 所以，且当时，，当时，， 所以， 所以， 所以的最大值为． 19. 对于非空数集 ，，若，则称数集 具有性质 . （1）若数集 具有性质 ，证明：；判断，是否具有性质 ，并说明理由. （2）若满足①；②，当时，都有. （i）判断“数集 具有性质 ”是否是“数列为等差数列”的充要条件，并说明理由； （ii）已知数集 具有性质 且，，求数集 具有性质 的概率. 【答案】（1）证明见解析；具有性质 ；不具有性质 . （2）（i）是，理由见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）令，由集合新定义可证明；由集合新定义判断可得； （2）（i）由等差数列的性质结合集合新定义证明可得； （ii）由等差数列的性质得到数列的通项，再结合集合新定义分集合中元素的个数讨论，最后由古典概率计算可得. 【小问1详解】 令，则，又数集 具有性质 ，即，所以. ，所以具有性质 ； ，所以，所以不具有性质 . 【小问2详解】 （i）“数集 具有性质 ”是否是“数列为等差数列”的充要条件. 先证明必要性：由题知，数列单调递增，当其为等差数列时，设公差为 ，则， 则，显然，所以数集 具有性质 . 再证明充分性：显然，其中，有个元素，，， 又，数集 具有性质 ，即， 则，所以， 所以，又， 所以数列是以0为首项，为公差的等差数列. 综上，“数集 具有性质 ”是否是“数列为等差数列”的充要条件. （ii）由（i）知数列是以0为首项，为公差的等差数列，即， 由知，共有11个元素，子集数为个， ，当 中只有一个元素，且具有性质 时，，共1个； 当 中元素个数大于等于2，且具有性质 时，记， 结合（i）， 当时，则，，共10个； 当时，则，，共5个； 当时，则，，共3个； 当时，则，，共2个； 当时，则，，共2个； 当时，则，共1个； 当时，则，共1个； 当时，则，共1个； 当时，则，共1个； 当时，则，共1个； 综上，具有性质 的集合 共有28个，所以数集 具有性质 的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三二轮复习联考（三） 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则函数在区间上的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 6. 记曲线 ：，若直线与曲线 相切，则 （ ） A. B. C. D. 7. 计算：（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知函数，当 时，，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线 ：的焦点为 ，过点 的直线与 交于 ， 两点，则下列说法正确的是（ ） A. 焦点 到抛物线 的准线的距离为8 B. C. 若 的中点的横坐标为3，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. ，使得为单调函数 B. ，的图象恒有对称中心 C. 当时， D. 若，，是方程的三个不同的根，则 11. 已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，，， 的平分线 交 于 ，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 的最大值是 D. 的周长的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足， ，则______. 13. 已知是奇函数，则______. 14. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，且这三个数之积为偶数，记满足条件的这三个数之和为；从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，且这两个数之积为偶数，记满足条件的两个数之和为.则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校有高一学生1800人，高二学生1200人，学校采取按比例分配的分层抽样的方式从中抽取100人进行体育测试.测试后，统计得到高一样本的一分钟跳绳次数的均值为165，方差为61，高二样本的一分钟跳绳次数的均值为145，方差为31． （1）计算总样本的一分钟跳绳次数的均值和方差； （2）将一分钟跳绳次数视为及格，整理出以下列联表： 及格 不及格 合计 高一 52 8 60 高二 38 2 40 合计 90 10 100 试根据小概率值的独立性检验，分析一分钟跳绳次数及格情况是否与年级有关；（结果保留小数点后三位） （3）如果将（2）表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断一分钟跳绳次数及格情况与年级之间的关联性，结果还一样吗？请你试着解释其中的原因． 附：，． 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线过点，求 的值； （2）求的极值点. 17. 已知椭圆 ：，点在椭圆 上.椭圆上关于原点对称的任意两个不与点 重合的点、 和点 连线的斜率之积为. （1）求椭圆 的方程； （2）若一条斜率存在且不为0的直线交椭圆 于 ，两点，且线段的中点的纵坐标为，过作直线.定点到直线的距离记为 ，求 的最大值并求出对应的直线的方程. 18. 如图，底面为正方形的四棱锥 中，，，记，． （1）证明：为直角三角形； （2）当四棱锥 的体积最大时，求平面与平面所成角的余弦值； （3）记直线与平面所成角为，求的最大值． 19. 对于非空数集 ，，若，则称数集 具有性质 . （1）若数集 具有性质 ，证明：；判断，是否具有性质 ，并说明理由. （2）若满足①；②，当时，都有. （i）判断“数集 具有性质 ”是否是“数列为等差数列”的充要条件，并说明理由； （ii）已知数集 具有性质 且，，求数集 具有性质 的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $