专题02 沪科版七年级下册期末复习解答常考题（考题猜想，解答常考必刷5大题型50题）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

专题02 沪科版七年级下册期末复习解答常考题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 实数解答常考题 1 题型二 一元一次不等式与不等式组解题常考题 9 题型三 整式乘法与因式分解解答常考题 18 题型四 分式解答常考题 27 题型五 相交线、平行线与平移解答常考题 36 题型一 实数解答常考题 1．（23-24七年级下·重庆九龙坡·期末）计算下列各题 (1) (2) 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）（1）计算：． （2）求式中的值： 3．（23-24七年级下·山东滨州·期末）计算： (1)； (2)求中x的值． 4．（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知，是64的立方根． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 5．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）已知与互为相反数，的立方根是2， (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 6．（23-24七年级下·山西运城·期末）已知，的平方根是，是的整数部分． (1)求的算术平方根； (2)求的立方根． 7．（23-24七年级下·陕西安康·期末）若整数，，满足，则称为，的平方和数．例如：，则5为3，4的平方和数．请你根据以上材料，回答下列问题： (1)数3，4的另一个平方和数为________； (2)若数与的平方和数是0，则________，________； (3)已知13是数与12的平方和数，求的值． 8．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）阅读材料：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是我们可用来表示的小数部分．请根据材料解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根． 9．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，实数表示的点为，实数表示的点为．请解答下列问题： (1)若，的相反数为______，的绝对值为______； (2)若，． ①求点到点的距离； ②若点是线段的中点，则求点在数轴上所对应的数______． 10．（23-24七年级下·河南商丘·期末）观察下列式子： ①； ②； ③； ④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 题型二 一元一次不等式与不等式组解题常考题 11．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）解不等式，并把解集表示在下面的数轴上． （2）取哪些整数时，不等式与都成立？ 12．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 13．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）解不等式组 (1)求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． (2)写出满足这个不等式组的所有整数解． 14．（23-24七年级下·吉林松原·期末）以下是某同学解不等式的部分解答过程． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步… (1)以上解题过程中．第二步是依据________（运算律）进行变形的，第________步开始出现错误． (2)请你写出完整的解答过程．并在数轴上表示不等式的解集． 15．（23-24七年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：由不等式①得， 第1步 ∴第2步 ∴第3步 ∴第4步 ∴第5步 任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ． 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条） 16．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）已知点P的坐标满足方程组． (1)若，求点P的坐标． (2)若点P在第二象限，试确定a的取值范围． 17．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）某校学期末欲在学期末对优秀学生和进步较大的学生进行奖励.购买件种奖品和件种奖品共需元，购买件种奖品和件种奖品共需元. (1)求种奖品和种奖品的单价； (2)该校准备购进这两种奖品共件，且总费用不超过元，求最多购买多少件种奖品. 18．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书．已知购买2本甲种书和1本乙种书共需105元；购买3本甲种书和2本乙种书共需170元． (1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元； (2)若学校决定购买以上两种书共100本，总费用不超过3500元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 19．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足x为非正数，y为负数，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，当m为何整数时，不等式的解集为？ 20．（23-24七年级下·陕西延安·期末）中国书法的工具和材料基本上是由笔、墨、纸、砚演变而来的，人们通常把它们称为“文房四宝”，实验中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团．经过市场调研后最终确定为学生购买甲、乙两种“文房四宝”，已知购买2套甲种“文房四宝”和3套乙种“文房四宝”一共需要430元，买3套甲种“文房四宝”比买1套乙种“文房四宝”贵150元． (1)每套甲种“文房四宝”和每套乙种“文房四宝”的价格分别是多少元？ (2)若学校需购进甲、乙两种“文房四宝”共100套，总费用不超过8360元，并且根据学生需求，要求购进甲种“文房四宝”的数量低于乙种“文房四宝”数量的2倍，共有几种购买方案？最低费用是多少元？ 题型三 整式乘法与因式分解解答常考题 21．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算： (1)； (2)． 22．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中，． 23．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知实数a，b满足． (1)求代数式的值； (2)求代数式的值． 24．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？____（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：_____． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 25．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）（1）已知n为正整数，且，求的值． （2）已知，求整式的值． 26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）学生在学校里的实践环节是教学内容的重要组成部分，是巩固理论知识，汲取新的知识，发展智能的重要途径．某校为了提高学生的探究能力、科学素养和创新意识，特意修建了一个理化生实验中心，如图，长为，宽为的长方形是实验中心的场地示意图，校方计划在场地中间隔出两个边长为的正方形区域，用于摆放备用实验器材，其他区域（阴影部分）用于实验操作． (1)用含a、b的式子表示实验操作区的面积； (2)若米，米，求实验操作区的面积． 27．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）将5张如图1所示的小长方形纸片按图2所示的方式不重叠地放在正方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，，用含的式子表示下列结果． (1)求正方形的面积； (2)求的值． 28．（24-25八年级上·广西河池·期末）仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一：设另一个因式为，得， 即， 解得， 另一个因式为，的值为． 解法二：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题． (1)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，则实数=______． (2)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式及的值． 29．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 30．（24-25八年级上·江西新余·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片_______张，号卡片______张，号卡片_______张； (2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系_______；根据得出的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 题型四 分式解答常考题 31．（23-24八年级下·江苏常州·期末）解方程： (1)； (2)． 32．（23-24八年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 33．（23-24八年级上·江西赣州·期末）先化简：，并从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 34．（24-25九年级上·山东威海·期末）（1）先化简，再求值：，其中． （2）解分式方程：． 35．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）解答下列各题： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中满足． 36．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知． (1)化简A； (2)若，求A的值． 37．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若该分式方程无解，求的值． 38．（24-25八年级上·云南临沧·期末）某文创商店第一次用400元购进一款热销的创意徽章，很快售完．第二次用900元继续购进这款徽章，第二次购进时，每个徽章的进价比第一次便宜1元，且第二次购进的数量是第一次的3倍．该商店前后两次销售这款徽章时，每个徽章的售价相同，在销售了第二次购进数量的后，该款徽章的热度逐渐退去，该商店立即将剩余徽章打七折销售，很快售完． (1)该商店第一次购进了这款徽章多少个？ (2)已知两次购进的创意徽章销售完后的总利润不低于920元，第一次销售时，每个徽章的售价至少是多少元？ 39．（24-25八年级上·吉林·期末）定义新运算：对于任意实数a，b（其中），都有，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 40．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；． 请按照以上方法解决下列问题． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 题型五 相交线、平行线与平移解答常考题 41．（23-24七年级下·云南普洱·期末）如图，两直线、相交于点，平分，如果． (1)求的大小； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 42．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 43．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线，交于点N； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)点C到直线的距离是线段 的长度． (4)比较大小： （填“＞”、“＜”“＝”）． 44．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移2格，再向上平移4格． (1)请在图中画出平移后的； (2)再在图中画出的高； (3)在上找一点，使得线段平分的面积，在图上作出线段； (4)在图中能使的格点Q的个数有 个 45．（23-24七年级下·重庆渝北·期末）如图，若，平分，且，求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴　　（角平分线的定义）． ∵（已知）． ∴（   ）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴　　（   ）， ∴　　（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）． 46．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）已知：如图，，垂足分别为 D、G，点 E 在上， 且求证：． (1)填写下列推理中的空格： 证明：∵， ∴（垂直的定义）． ∴．（           ）． ∴．（        ）． ∵， ∴．（           ）． ∴． （           ）． ∴．（              ）． (2)请你写出另一种证法 47．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，，，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 48．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 49．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，于，点是上任意一点，于，且，． (1)证明； (2)求的度数． 50．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． $$专题02 沪科版七年级下册期末复习解答常考题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 实数解答常考题 1 题型二 一元一次不等式与不等式组解题常考题 9 题型三 整式乘法与因式分解解答常考题 18 题型四 分式解答常考题 27 题型五 相交线、平行线与平移解答常考题 36 题型一 实数解答常考题 1．（23-24七年级下·重庆九龙坡·期末）计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、带有字母的绝对值化简问题、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减运算、化简绝对值，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）先化简绝对值、计算算术平方根、立方根，再计算实数的加减即可得； （2）先计算算术平方根、立方根，再计算实数的加减即可得． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）（1）计算：． （2）求式中的值： 【答案】（1）  （2） 【知识点】实数的混合运算、利用平方根解方程 【分析】本题考查了实数运算以及平方根，正确把握相关定义是解题的关键． （1）运用绝对值，算术平方根，乘方，立方根的运算法则计算，然后合并解题； （2）把常数项移到方程的右边，系数化为，用平方根的意义求解． 【详解】解：（1） （2） ． 3．（23-24七年级下·山东滨州·期末）计算： (1)； (2)求中x的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、求一个数的算术平方根、利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查绝对值、算术平方根、立方根、利用平方根解方程： （1）先化简绝对值，计算算术平方根、立方根，再进行加减运算； （2）利用平方根解方程． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， 解得或． 4．（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知，是64的立方根． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】此题考查了算术平方根的非负性、立方根、平方根等知识，熟练掌握算术平方根的非负性、平方根的意义是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性得到，代入即可求出的值，再利用立方根的意义求出的值； （2）把字母的值代入求出代数式的值，根据平方根的意义求出答案即可． 【详解】（1）由题意，得解得， ∴， ． （2）∵． ∴16的平方根是． 5．（23-24七年级下·黑龙江绥化·期末）已知与互为相反数，的立方根是2， (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)的平方根是 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根、求一个数的立方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键． （1）直接利用算术平方根、立方根、互为相反数的定义得出，，的值； （2）结合平方根的定义以及（1）中所求，代入得出答案． 【详解】（1）∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∵的立方根是2， ∴， ∴ （2）由（1）可知，，，， ∴ ∴的平方根是． 6．（23-24七年级下·山西运城·期末）已知，的平方根是，是的整数部分． (1)求的算术平方根； (2)求的立方根． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】（1）根据平方根的定义以及估算无理数大小的方法得出，，的值，进而得出代数式的值，根据算术平方根 （2）先求出a，b，c的值，再利用立方根的定义求出答案． 【详解】（1）解：， ， 解得， 的平方根是， ， 解得， ， 的整数部分． 把，，代入得， 原式， 的算术平方根是4， 的算术平方根为4； （2）解：由（1）知：，，， ∴． 的立方根是， 的立方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根及估算无理数的大小等知识点，能够理解和明确已知中相关概念及其性质是解答问题的关键． 7．（23-24七年级下·陕西安康·期末）若整数，，满足，则称为，的平方和数．例如：，则5为3，4的平方和数．请你根据以上材料，回答下列问题： (1)数3，4的另一个平方和数为________； (2)若数与的平方和数是0，则________，________； (3)已知13是数与12的平方和数，求的值． 【答案】(1) (2)；2； (3)， 【知识点】求一个数的平方根、利用平方根解方程、新定义下的实数运算 【分析】（1）根据定义列式计算即可求得答案； （2）根据定义列得等式，然后利用偶次幂的非负性即可求得，的值； （3）根据定义列得出相应的方程，运用平方根解方程并确定的值即可． 本题考查新定义及偶次幂的非负性，运用平方根解方程，根据定义列得相应的等式是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意， 数3，4的另一个平方和数为：， 故答案为：； （2）解：数与的平方和数是0， ， ，， 解得：，， 故答案为：；2； （3）解：∵13是数与12的平方和数， ， 整理得：， 解得：，． 8．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）阅读材料：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是我们可用来表示的小数部分．请根据材料解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)3， (2)6 (3)11 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出，，的范围是解此题的关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，求出a、b的值，再代入求出即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴的整数部分是2，小数部分为，即； ∵， ∴的整数部分是4，即； ∴ （3）解：∵， ∴， ∴ ∵，其中x是整数，且， ∴， ∴， ∴的算术平方根为 9．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，实数表示的点为，实数表示的点为．请解答下列问题： (1)若，的相反数为______，的绝对值为______； (2)若，． ①求点到点的距离； ②若点是线段的中点，则求点在数轴上所对应的数______． 【答案】(1)； (2)①；② 【知识点】数轴上两点之间的距离、求一个数的绝对值、实数与数轴、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查数轴上的两点距离、一元一次方程的解法及实数的运算，熟练掌握数轴上的两点距离、一元一次方程的解法及实数的运算是解题的关键． （1）根据相反数与绝对值的意义可进行求解； （2）①根据数轴上的两点距离可直接进行求解； ②设点在数轴上所对应的数为，则，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：的相反数， ， ； 故答案为： ；； （2）解：①由题意得：． ②设点在数轴上所对应的数为， 则， 解得：， ∴点在数轴上所对应的数为． 10．（23-24七年级下·河南商丘·期末）观察下列式子： ①； ②； ③； ④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)（或与互为相反数）； (3)． 【知识点】相反数的定义、求一个数的立方根、数字类规律探索 【分析】本题考探索数字规律及立方根，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据相反数的定义列方程求出的值． 【详解】（1）观察规律可写出类似的等式，如：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）由规律可得：对于任意两个有理数，，若（或与互为相反数），则， 故答案为：（或与互为相反数）； （3）若若与的值互为相反数，则， 解得． 题型二 一元一次不等式与不等式组解题常考题 11．（23-24七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）（1）解不等式，并把解集表示在下面的数轴上． （2）取哪些整数时，不等式与都成立？ 【答案】（1）．数轴见解析；（2）满足条件的整数有，1，2，3，4． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． （1）不等式去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解集； （2）列出关于的不等式组，解之可得的取值范围，从而得出的整数值即可． 【详解】（1）解：不等式， 去分母得：， 移项得：， 合并得：， 解得． 把不等式的解集在数轴上表示为： ； （2）解：根据题意解不等式组， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴， 故满足条件的整数有，1，2，3，4． 12．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了求解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，注意“>”和“<”用空心圆点，“”和“”用实心圆点表示．分别求出两个不等式的解集，找到不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①，得 ∴． 解不等式②，得， ∴． 将不等式组的解集表示在数轴上如图： 所以原不等式组的解集是． 13．（23-24七年级下·海南省直辖县级单位·期末）解不等式组 (1)求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． (2)写出满足这个不等式组的所有整数解． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)3，4 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出不等式组的解集是解答此题的关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，即可求得整数解． 【详解】（1）解：解不等式组 解不等式①得： 解不等式②得： 原不等式组的解集为： 该不等式组的解集在数轴上表示如图：      （2）故这个不等式组的所有整数解为：3，4． 14．（23-24七年级下·吉林松原·期末）以下是某同学解不等式的部分解答过程． 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得，第三步… (1)以上解题过程中．第二步是依据________（运算律）进行变形的，第________步开始出现错误． (2)请你写出完整的解答过程．并在数轴上表示不等式的解集． 【答案】(1)乘法分配律；三 (2)见解析；数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式： （1）根据解一元一次不等式的基本步骤进行判断即可； （2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类，最后未知数系数化为1． 【详解】（1）解：以上解题过程中．第二步是依据乘法分配律进行变形的，第三步开始出现错误． 故答案为：乘法分配律；三 （2）解：解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得：， 解得：， 在数轴上表示不等式的解集，如下： 15．（23-24七年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：由不等式①得， 第1步 ∴第2步 ∴第3步 ∴第4步 ∴第5步 任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ． 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条） 【答案】任务一：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变；任务二：，1；任务三：不唯一，如不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；去分母时不要漏乘；移项要变号 【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式组，求一元一次不等式组的整数解．熟练掌握不等式的性质，解一元一次不等式组是解题的关键． 根据不等式的性质以及解一元一次不等式（组）的步骤，判断、求解、作答即可． 【详解】任务一：解：小明的解答过程中，第2步是依据乘法分配律进行变形的；第5步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变； 任务二：解：， ， ， 解得， 解不等式①得，， ∴不等式组的解集为， ∴这个不等式组的整数解是1， 故答案为：，1； 任务三：解：由题意知，①不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；②去分母时不要漏乘；移项要变号． 16．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）已知点P的坐标满足方程组． (1)若，求点P的坐标． (2)若点P在第二象限，试确定a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组、坐标的特点、一元一次不等式组的解法等知识，理解题意及掌握相关知识是解答本题的关键． （1）将a的值代入方程组，解方程即可得解； （2）解方程组求出P点坐标，再根据P点在第二象限列出不等式求解即可． 【详解】（1）将代入 得， 解得：， ∴P点坐标为； （2）解方程组：，得：， ∵P点在第二象限， ∴， 解得． 17．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）某校学期末欲在学期末对优秀学生和进步较大的学生进行奖励.购买件种奖品和件种奖品共需元，购买件种奖品和件种奖品共需元. (1)求种奖品和种奖品的单价； (2)该校准备购进这两种奖品共件，且总费用不超过元，求最多购买多少件种奖品. 【答案】(1)种奖品单价为元，B种奖品单价为元 (2)最多购买件种奖品 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意正确列出等量关系． （1）设种奖品单价为元，种奖品单价为元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设购买件种奖品，则种奖品买了件，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设种奖品单价为元，种奖品单价为元， 根据题意得：， 解得：， 种奖品单价为元，种奖品单价为元； （2）设购买件种奖品，则种奖品买了件， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 的最大值为， 最多购买件种奖品． 18．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书．已知购买2本甲种书和1本乙种书共需105元；购买3本甲种书和2本乙种书共需170元． (1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元； (2)若学校决定购买以上两种书共100本，总费用不超过3500元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】(1)甲种书每本40元，乙种书每本25元 (2)最多购进甲种书66本 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设甲种书每本元，乙种书每本元．根据购买2本甲种书和1本乙种书共需105元；购买3本甲种书和2本乙种书共需170元，再建立方程组解题即可； （2）设甲种书购进本．利用学校决定购买以上两种书共100本，总费用不超过3500元，再建立不等式解题即可； 【详解】（1）解：设甲种书每本元，乙种书每本元． 解得 甲种书每本40元，乙种书每本25元． （2）解：设甲种书购进本． ． ． 为正整数， 的最大值为66． 最多购进甲种书66本． 19．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足x为非正数，y为负数，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，当m为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】（1）利用加减消元解法方程组； （2）利用方程组的解得到，然后解关于的m不等式组； （3）利用不等式性质得到，即，加上（2）的结论得到，然后写出此范围内的整数即可， 本题考查了，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的整数解，解题的关键是：熟练掌握相关解法． 【详解】（1）解： ①②得， 所以，， ①②得， 所以，， 故方程组的解为； （2）解：∵，， ∴， 解得：， （3）解：， ∵原不等式的解集是， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵m为整数， ∴． 20．（23-24七年级下·陕西延安·期末）中国书法的工具和材料基本上是由笔、墨、纸、砚演变而来的，人们通常把它们称为“文房四宝”，实验中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团．经过市场调研后最终确定为学生购买甲、乙两种“文房四宝”，已知购买2套甲种“文房四宝”和3套乙种“文房四宝”一共需要430元，买3套甲种“文房四宝”比买1套乙种“文房四宝”贵150元． (1)每套甲种“文房四宝”和每套乙种“文房四宝”的价格分别是多少元？ (2)若学校需购进甲、乙两种“文房四宝”共100套，总费用不超过8360元，并且根据学生需求，要求购进甲种“文房四宝”的数量低于乙种“文房四宝”数量的2倍，共有几种购买方案？最低费用是多少元？ 【答案】(1)每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是80元，90元 (2)有3种购买方案；最低费用是8340元 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组． （1）每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是x元，y元，根据购买2套甲种“文房四宝”和3套乙种“文房四宝”一共需要430元，买3套甲种“文房四宝”比买1套乙种“文房四宝”贵150元，列出方程组，求解即可； （2）设学校需购进甲型号“文房四宝”m套，则购买乙型号“文房四宝”套，根据不等关系列出不等式组，求出，根据m取正整数，得出有3种购买方案，根据甲型号“文房四宝”的价格小于乙型号“文房四宝”的价格，得出当甲型号“文房四宝”购买数量最多时，费用最少，当时，总费用最少，求出最少费用即可． 【详解】（1）解：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是x元，y元，根据题意得： ， 解得：， 答：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是80元，90元； （2）解：设学校需购进甲型号“文房四宝”m套，则购买乙型号“文房四宝”套，根据题意得： ， 解得：， ∵m取正整数， ∴，65，66， ∴有3种购买方案， ∵甲型号“文房四宝”的价格小于乙型号“文房四宝”的价格， ∴当甲型号“文房四宝”购买数量最多时，费用最少， ∴当时，总费用最少，且最少费用为： （元）， 答：有3种购买方案；最低费用是8340元． 题型三 整式乘法与因式分解解答常考题 21．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】（1）先根据负数的偶次幂，零指数幂，负整指数幂的运算法则进行化简，再进行加减即可； （2）根据同底数幂乘除法，积的乘方的法则进行运算，最后再并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数及整式的混合运算，涉及负数的幂的运算，零指数幂，负整指数幂及有理数的加减运算，同底数幂乘除法，合并同类项，根据法则正确运用是解题的关键． 22．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算，先根据平方差公式和完全平方公式以及整式除法运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 23．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知实数a，b满足． (1)求代数式的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)34 (2) 【知识点】因式分解的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先将变形为，然后把已知条件代入计算即可； （2）先将变形为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ． 24．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？____（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：_____． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C； (2)不彻底；； (3)． 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，掌握换元法因式分解，是解题的关键： （1）根据两数和的完全平方公式进行因式分解； （2）分别不彻底，再次利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）令，利用换元法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：，利用了两数和的完全平方公式法因式分解， 故选C． （2）∵， ∴分解不彻底， 原式； （3）令， 原式 ． 25．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）（1）已知n为正整数，且，求的值． （2）已知，求整式的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】多项式除以单项式、幂的乘方的逆用、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解答的关键； （1）首先幂的乘方与积的乘方进行计算，将化简为，最后代入求得答案即可 （2）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算，然后根据多项式除以单项式进行化简，最后将整体代入，即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ； （2）∵ ∴ ． 26．（24-25八年级上·陕西西安·期末）学生在学校里的实践环节是教学内容的重要组成部分，是巩固理论知识，汲取新的知识，发展智能的重要途径．某校为了提高学生的探究能力、科学素养和创新意识，特意修建了一个理化生实验中心，如图，长为，宽为的长方形是实验中心的场地示意图，校方计划在场地中间隔出两个边长为的正方形区域，用于摆放备用实验器材，其他区域（阴影部分）用于实验操作． (1)用含a、b的式子表示实验操作区的面积； (2)若米，米，求实验操作区的面积． 【答案】(1) (2)平方米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积；代数式求值； （1）根据长方形面积减去两个边长为的正方形面积，即可求解； （2）将米，米，代入（1）中的结论，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：依题意，实验操作区的面积为 （2）当米，米， 实验操作区的面积为平方米 27．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）将5张如图1所示的小长方形纸片按图2所示的方式不重叠地放在正方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，，用含的式子表示下列结果． (1)求正方形的面积； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减的应用、运用完全平方公式进行运算、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查整式的乘法的应用，涉及完全平方公式，单项式与多项式的乘法，整式的加减，熟练根据图形得出相关边长是解题的关键． （1）根据图形可得正方形的边长为，即可解答； （2）分别得出面积为的长方形的长为，宽为，面积为的长方形的长为，宽为，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，正方形的边长为， 则正方形的面积为； （2）解：由题意，可得面积为的长方形的长为，宽为， 则； 由题意，可得面积为的长方形的长为，宽为， 则； 则． 28．（24-25八年级上·广西河池·期末）仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一：设另一个因式为，得， 即， 解得， 另一个因式为，的值为． 解法二：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 问题：请你仿照以上一种方法解答下面问题． (1)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，则实数=______． (2)已知二次三项式分解因式的结果中有一个因式是，求另一个因式及的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】已知因式分解的结果求参数、十字相乘法、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果求参数，十字相乘法分解因式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握已知因式分解的结果求参数是解题的关键． （1）设另一个因式为，得，当时，，即，解方程即可求出的值； （2）设另一个因式为，得，当时，，即，解方程即可求出的值，然后利用十字相乘法分解因式，即可求出另一个因式． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为，得， 当时，， 即：， 解得：， ， 另一个因式为，的值为． 29．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下： 像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 请你在这种方法的启发下．解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】完全平方公式分解因式、平方差公式分解因式、分组分解法 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式与平方差公式、利用分组法和提取公因式法分解因式． （1）利用分组分解法与完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）利用分组分解法与完全平方公式分解因式，得出，，，求出，，，进而可得出答案． 【详解】（1）解： ． （2） ∵， ∴． ∴，，， ∴，，， ∴的周长． 30．（24-25八年级上·江西新余·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片_______张，号卡片______张，号卡片_______张； (2)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系_______；根据得出的等量关系，解决如下问题：已知，求的值． 【答案】(1)2，3，7 (2)； 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式的乘法和乘法公式，解题关键是熟练掌握整式乘法法则和乘法公式； （1）利用多项式相乘化简整式，再判断即可； （2）先得出，再利用这个等量关系解决问题即可． 【详解】（1）解：， 又种纸片的面积为，种纸片的面积为，种纸片的面积为， ∴需种纸片2张，种纸3张，种纸片7张，故答案为：2，3，7； （2）解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为， ∴， 故答案为：； 设，则， ∵，则， ∴， ∴； 题型四 分式解答常考题 31．（23-24八年级下·江苏常州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． （1）按照解分式方程的步骤，去分母化为整式方程，再进行计算即可解答； （2）按照解分式方程的步骤，去分母化为整式方程，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 去分母得． 去括号得， ． 检验：当时，． 是原方程的解． （2）解：， 去分母得， 去括号得， ． 检验：当时，． 是增根． 原方程无解． 32．（23-24八年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算、同分母分式加减法 【分析】本题考查的是分式的加减运算，分式的混合运算； （1）先把分式化为同分母的分式，再计算即可； （2）先计算括号内分式的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，约分即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 33．（23-24八年级上·江西赣州·期末）先化简：，并从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】；． 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，首先根据分式有意义的条件，可得：，，再根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，然后再把使分式有意义的的值代入化简后的分式中计算求值即可． 【详解】解：有意义， ，， ，， 当时，原式． 34．（24-25九年级上·山东威海·期末）（1）先化简，再求值：，其中． （2）解分式方程：． 【答案】（1）；3   （2） 【知识点】分式化简求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解分式方程，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， 分式有意义， ， 且， 当时，原式． （2）解：， 方程两边同时乘以得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，，                   原方程的解为． 35．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）解答下列各题： (1)化简：； (2)先化简，再求值：，其中满足． 【答案】(1) (2)，6 【知识点】分式化简求值、异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的运算，分式的化简求值，正确计算是解题的关键． （1）按照异分母分式加减运算法则计算； （2）先计算括号内减法，再将除法化为乘法，计算乘法，最后整体代入求值． 【详解】（1）解： （2）解：原式 . ∵， ∴． ∴原式． 36．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知． (1)化简A； (2)若，求A的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的减法法则、乘法法则把A化简； （2）把代入化简后的式子计算，得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时，原式． 37．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知关于的分式方程． (1)当时，求方程的解． (2)若该分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是理解分式方程无解和有增根的含义． （1）将代入分式方程，再解方程即可； （2）先解分式方程可得，再根据分式方程无解得：，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：当时，分式方程为， 去分母，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：， 去分母，得， 整理，得， ∵原分式方程无解， ∴分式方程产生增根，增根为， ∴， ∴． 38．（24-25八年级上·云南临沧·期末）某文创商店第一次用400元购进一款热销的创意徽章，很快售完．第二次用900元继续购进这款徽章，第二次购进时，每个徽章的进价比第一次便宜1元，且第二次购进的数量是第一次的3倍．该商店前后两次销售这款徽章时，每个徽章的售价相同，在销售了第二次购进数量的后，该款徽章的热度逐渐退去，该商店立即将剩余徽章打七折销售，很快售完． (1)该商店第一次购进了这款徽章多少个？ (2)已知两次购进的创意徽章销售完后的总利润不低于920元，第一次销售时，每个徽章的售价至少是多少元？ 【答案】(1)该商店第一次购进这款徽章100个 (2)第一次销售时，每个徽章的售价至少是6元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设该商店第一次购进这款徽章x个，则第二次购进这款徽章个，根据每个徽章的进价比第一次便宜1元列分式方程，求解即可； （2）设第一次销售时，每个徽章的售价是m元，根据总利润不低于920元列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进这款徽章x个，则第二次购进这款徽章个， 由题意得：， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴该商店第一次购进这款徽章100个； （2）设第一次销售时，每个徽章的售价是m元， 由（1）可得，该商店第二次购进这款徽章300个， 由题意得：， 解得：． ∴第一次销售时，每个徽章的售价至少是6元． 39．（24-25八年级上·吉林·期末）定义新运算：对于任意实数a，b（其中），都有，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了新定义实数的运算、解分式方程，理解新定义是解此题的关键． （1）根据题干所给的运算方式列出式子计算即可得解； （2）根据题干所给运算方式得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 解得：， 经检验，符合题意， ∴． 40．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）我们学过的分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，则称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，则称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，；． 请按照以上方法解决下列问题． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和，然后判断当x取什么整数时，该分式的值也为整数． 【答案】(1) (2)，或或0或1 【知识点】整式与分式相加减 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． （1）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； （2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值． 【详解】（1）原式 ； （2）解：原式 ， ∵x为整数，该分式的值也为整数， ∴或或1或2， ∴或或0或1． 题型五 相交线、平行线与平移解答常考题 41．（23-24七年级下·云南普洱·期末）如图，两直线、相交于点，平分，如果． (1)求的大小； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度 【分析】此题考查了角平分线的定义，补角的应用， （1）利用角度比及互补关系求出，，根据角平分线求出，即可求出的度数； （2）求出的度数，即可得到的度数，进而得到位置关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴ ∴ ∴． 42．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，且平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查与角平分线相关的角的计算，垂直的定义，掌握角的和差运算、角平分线定义和垂超拔定义是解题的关键． （1）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案； （2）先求出，根据角平分线定义求出，根据对顶角相等求出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴（对顶角相等）； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴（对顶角相等）； ∵， ∴， ∴， ∴； 43．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线，交于点N； (2)过点P画的垂线，交于点C； (3)点C到直线的距离是线段 的长度． (4)比较大小： （填“＞”、“＜”“＝”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【知识点】画垂线、点到直线的距离、垂线段最短、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了作图、应用与设计作图，比较线段的长短，点到直线的距离，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握垂线段最短的性质． （1）利用平行线的定义以及数形结合的思想画出图形即可； （2）根据垂线的定义结合数形结合的思想画出图形即可； （3）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可； （4）根据垂线段最短，解决问题． 【详解】（1）解：的平行线如图所示； （2）解：的垂线如图所示； （3）解：点C到直线的距离是线段的长度． 故答案为：； （4）解：根据垂线段最短可知， 故答案为：． 44．（23-24七年级下·江苏徐州·期末）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移2格，再向上平移4格． (1)请在图中画出平移后的； (2)再在图中画出的高； (3)在上找一点，使得线段平分的面积，在图上作出线段； (4)在图中能使的格点Q的个数有 个 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)4 【知识点】用直尺、三角板画平行线、画三角形的高、根据三角形中线求面积、平移(作图) 【分析】本题考查作图平移变换，三角形的高，中线，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作出，，都是对应点，，即可． （2）根据三角形的高的定义画出图形即可． （3）作出的中线即可． （4）过点作的平行线，可得结论． 【详解】（1）如图，即为所求作． （2）如图，线段即为所求作． （3）如图，线段即为所求作． （4）如图，满足条件的有4个． 故答案为：4． 45．（23-24七年级下·重庆渝北·期末）如图，若，平分，且，求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴　　（角平分线的定义）． ∵（已知）． ∴（   ）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴　　（   ）， ∴　　（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；，同旁内角互补，两直线平行； 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平分线的定义，平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据角的平分线的定义，平行线的判定和性质，等量代换思想证明即可． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵（已知）． ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）．． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；，同旁内角互补，两直线平行；． 46．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）已知：如图，，垂足分别为 D、G，点 E 在上， 且求证：． (1)填写下列推理中的空格： 证明：∵， ∴（垂直的定义）． ∴．（           ）． ∴．（        ）． ∵， ∴．（           ）． ∴． （           ）． ∴．（              ）． (2)请你写出另一种证法 【答案】(1)同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； (2)见详解 【知识点】根据平行线判定与性质证明、垂线的定义理解 【分析】（1）由与都与垂直，利用垂直的定义得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行得到一对同位角相等，由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行同位角相等即可得证； （2）由与都与垂直，得到两对角互余，根据等角的余角相等即可得证． 此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 【详解】（1）证明： ，， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）； 故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）解：，， ， ，， ， ． 47．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，，，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据平行线的性质得，根据补角的性质得，进而可证 ． （2）由平行线的性质得，由角平分线的定义得，进而可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）， ， 平分， ， ， ． 48．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，，． (1)已知，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟记内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等及两直线平行同位角相等是解决问题的关键． （1）由得到，根据两直线平行内错角相等即可得到答案； （2）由（1）中结论，结合，由两直线平行同位角相等得到，等量代换即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ， ． 49．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，于，点是上任意一点，于，且，． (1)证明； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、垂直的定义，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． （1）根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可； （2）求出，根据平行线的性质得出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ，， ， ． 50．（23-24七年级下·河南信阳·期末）已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）先根据平行线的性质得到的度数，再根据直角、周角的定义即可求得的度数； （2）如图②，过O点作，根据平行线的判定和性质可得、的数量关系； （3）由已知推出，得到，结合角平分线的定义可推出，根据（2），进而推出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 证明：如图②，过O点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵由（2）知，， ∴， ∴． $$