专题01 沪科版七年级下册期末复习选填压轴题（考题猜想，选填压轴必刷5大题型50题）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

专题01 沪科版七年级下册期末复习选填压轴题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 实数之选填题 1 题型二 不等式与不等式组之选填题 7 题型三 整式乘法与因式分解之选填题 13 题型四 分式之选填题 22 题型五 相交线、平行线与平移之选填题 29 题型一 实数之选填题 1．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图，边长为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，(点在点的右侧)且，则点所表示的数为(   ) A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）公元6世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，从而发现了无理数．下列各数中不是无理数的有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·四川德阳·期末）对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（    ） A． B．3 C． D．2 4．（23-24七年级下·山东德州·期末）数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）比较与的大小，其结果是M N．（填“>”，“<”或“=”） 7．（23-24七年级下·广西河池·期末）将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是 ． 8．（23-24七年级下·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 9．（23-24七年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 10．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 题型二 不等式与不等式组之选填题 11．（23-24七年级下·四川攀枝花·期末）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 12．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如果不等式组有解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级下·山东威海·期末）若关于x的不等式组解集为，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）对实数x、y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知关于，的方程，其中，给出下列命题：是方程组的解；当时，，的值互为相反数；当时，方程组的解也是方程的解；若，则其中判断正确的是（ ） A． B． C． D． 16．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，用m的取值范围为 ． 17．（23-24七年级下·吉林·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 18．（23-24七年级下·山东济宁·期末）对于x，符号表示不大于x的最大整数．如， ， 则满足关系式的x的 整数值有 个． 19．（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ． 20．（23-24七年级下·山东德州·期末）对实数x，y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组恰好有3个整数解，则m的取值范围是 ． 题型三 整式乘法与因式分解之选填题 21．（24-25八年级上·福建福州·期末）若m为自然数，则的值总能（ ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 22．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则为（    ） A．15 B．22 C．28 D．30 23．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（   ） A．32 B．64 C．128 D．256 24．（24-25七年级上·河南信阳·期末）李明在教材第83页的教学活动探索发现，如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第个正方形多（　　）个小正方形？ A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（　　） A．43 B．33 C．38 D．48 26．（24-25八年级上·四川资阳·期末）若，则的值为 ． 27．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 28．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为52，则阴影部分的面积是 ． 29．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）关于的二次三项式（是常实数），现有以下结论： （1）若，则二次三项式一定含有因式； （2）若，且，则； （3）若，则； （4）若则无论取何实数，总是正数． 其中正确结论的序号有 ． 30．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和． 根据这样的等积法，我们可以得出结论：． 请你根据等积法，利用图2写出的计算结果 ． 题型四 分式之选填题 31．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）若分式方程无解，则a的值是（    ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 32．（24-25八年级上·山东临沂·期末）《数书九章》是中国南宋时期的重要数学著作，提出了许多新的数学方法和理论．书中记载了这样一道题：“今有甲、乙两船，分别从A，B两地同时出发，相向而行，A，B两地相距120里、甲船顺流而下，乙船逆流而上，已知甲船在静水中的速度是乙船在静水中速度的倍，且水流速度为2里/时．若相遇时乙船行驶了48里，则甲乙两船的速度分别为多少？设乙船在静水中的速度为里/时，能列出的方程为：（   ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·福建福州·期末）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（ ） A． B．且 C． D．且 34．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知为整数，且为正整数，则所有符合条件的的值的和为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 35．（24-25七年级下·四川南充·期末）如果关于的分式方程有非负整数解，关于的不等式组有且只有2个整数解，则所有符合条件的的和是（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 36．（24-25八年级上·山东烟台·期末）小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为 ． 37．（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 38．（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式 （用含正整数的算式表示） 39．（24-25八年级上·山东聊城·期末）对于代数式m，n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 40．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列有四个结论： ①把分式中的，都扩大倍，分式的值不变； ②在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为； ③若，则； ④若关于的方程无解，则的值为或 其中正确的结论是 （填写序号） 题型五 相交线、平行线与平移之选填题 41．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，，将两块直角三角尺（，）按如图方式进行摆放，恰好满足．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图，已知，直线分别与直线、交于点，，平分，交于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 43．（23-24六年级下·山东烟台·期末）光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射变为，点G在射线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24七年级下·山东聊城·期末）眼镜是利用了凹透镜能使光发散的特点达到矫正视力的目的．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是（    ）      A． B． C． D． 45．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为．．．．．按此规律维续操作，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 46．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C放在一起，，，．点E在直线的上方，且，当这两块三角板有一组边互相平行时，的度数是 ． 47．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图是一盏可调节台灯示意图，其中支架与底座垂直，支架分别为可绕点和点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度．当支架和灯罩平行时，，，，则 ． 48．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，点E在延长线上，，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上一点，Q为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④，其中结论正确的序号是 ． 49．（23-24六年级下·吉林长春·期末）如图，，F为上一点，，且平分，过点作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的是 ． 50．（23-24七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． $$专题01 沪科版七年级下册期末复习选填压轴题 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 目录 题型一 实数之选填题 1 题型二 不等式与不等式组之选填题 7 题型三 整式乘法与因式分解之选填题 13 题型四 分式之选填题 22 题型五 相交线、平行线与平移之选填题 29 题型一 实数之选填题 1．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图，边长为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，(点在点的右侧)且，则点所表示的数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴 【分析】本题主要考查实数与数轴．根据题意得到，根据实数与数轴的概念即可求解． 【详解】解：，， ， 点表示的数为，且点在点的右侧， 点所表示的数为． 故选：B． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）公元6世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，从而发现了无理数．下列各数中不是无理数的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据“不能用整数或整数的比表示的数”是无理数判断各项，即可得出答案． 【详解】A．是分数，不是无理数，故该选项符合题意； B．不能用整数或整数的比表示，是无理数，故此选项不符合题意； C．不能用整数或整数的比表示，是无理数，故此选项不符合题意； D．是无限不循环小数，不能用整数或整数的比表示，是无理数，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24七年级下·四川德阳·期末）对任意两个实数定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，,．那么等于（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，以及实数运算，直接利用已知运算公式进而分析得出答案． 【详解】解： ． 故选：C． 4．（23-24七年级下·山东德州·期末）数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；； 计算式子 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与实数运算相关的规律题、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的规律问题，根据所给算式总结规律计算即可，熟练掌握算术平方根是解题的关键． 【详解】解：由，，；； 则原式， ， 故选：． 5．（23-24七年级下·重庆綦江·期末）在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义运算“新运算操作”，正确理解“新运算操作”是解题关键． 根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，即可判断说法④． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴，故说法①正确； ∵， ∴，故说法②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误； 可能的“新运算操作”有， ， ， ， ， ， ， ∴所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，说法④错误． 故选：D． 6．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）比较与的大小，其结果是M N．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的大小比较 【分析】本题考查了算术平方根的运算．先利用算术平方根的性质求得M和N的值，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·广西河池·期末）将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是 ． 【答案】19 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查实数数字类规律，从题中实数的排列方式中找到规律是解决问题的关键．根据题中所给的实数排列方式，找到规律求解即可得到答案． 【详解】解：将实数按如图方式进行有规律排列，观察发现，具有如下规律： ①第行有个数； ②每行最后一个数字的绝对值等于行数； ③奇数行的最后一个为正； ④偶数行的最后一个为负； ∴第19行有个数， ∴根据如上规律可知，第19行的第37个数是19． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·广西南宁·期末）在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 【答案】或 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键． 按照程序的运算步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 9．（23-24七年级下·山东东营·期末）对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算*如下：那么 ． 【答案】3 【知识点】新定义下的实数运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算并掌握二次根式乘除法计算法则是解题的关键． 根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：3． 10．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ． 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查规律型：实数运算．根据题意可以得到每行五个数，且根号里面的数都是3的倍数，从而可以得出最大的有理数所在的位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数， 的被开方数是的被开方数3的30倍， ， 所以位于第六行第五个数，记为． 故最大的有理数位于第6行第2个数，记为． 故答案为：． 题型二 不等式与不等式组之选填题 11．（23-24七年级下·四川攀枝花·期末）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、若，当时，，结论错误，不符合题意； B、若，则，结论正确，符合题意； C、若，，则，结论错误，不符合题意； D、若，则，结论错误，不符合题意； 故选：B． 12．（23-24七年级下·山东聊城·期末）如果不等式组有解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式得到，再根据不等式组有解进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴， 故选：A． 13．（23-24七年级下·山东威海·期末）若关于x的不等式组解集为，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的值，以及解一元一次不等式，先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集，求出m的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 故选：A． 14．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）对实数x、y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组恰好有4个整数解，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、新定义下的实数运算 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次不等式组、由一元一次不等式组的整数解求参数，分两种情况：，，根据新定义列不等式组，求得x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数求m的取值范围即可． 【详解】解：当时，，不合题意（舍）； 当时，则 ．由，得 ∵有4个整数解， 整数解为 ． 故选D． 15．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知关于，的方程，其中，给出下列命题：是方程组的解；当时，，的值互为相反数；当时，方程组的解也是方程的解；若，则其中判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求不等式组的解集、加减消元法、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及一元一次不等式组，解决本题的关键是熟记方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 将与的值代入方程组求出的值，即可做出判断；将的值代入方程组计算求出与的值，即可做出判断；将的值代入方程组计算求出与的值，即可做出判断；将看做已知数求出与，根据的范围求出的范围，即可确定出的范围． 【详解】解：将，代入方程组得，不合题意，错误； 将代入方程组得：， 两方程相加得：，即， 将代入得：， 此时与互为相反数，正确； 将代入方程组得：， 解得：， 此时，为方程的解，正确； 方程， 解得：， ，即， ，即， 则，正确． 故选：D． 16．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，用m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式等知识，正确求解方程与不等式是关键；先用加减法得出，再根据，得关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：方程组中第一个方程减第二个方程，得：， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 17．（23-24七年级下·吉林·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组．①②，得，求出，根据关于x、y的方程组的解满足得出，再求出a的取值范围即可． 【详解】解：， ①②，得， 即， 关于，的方程组的解满足， ∴， ， ∴， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·山东济宁·期末）对于x，符号表示不大于x的最大整数．如， ， 则满足关系式的x的 整数值有 个． 【答案】2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】此题主要考查不等式的整数解，解题的关键是根据题意列出不等式组. 根据符号的定义即可列出不等式进行求解. 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 整数有8，9共2个； 故答案为：2 19．（23-24七年级下·全国·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，那么所有符合条件的整数a的个数为 ． 【答案】7 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式（组）的解法、不等式（组）的特殊解等知识点，熟知方程组、不等式（组）的解法是解题的关键．先求出二元一次方程组的解，由得出a的范围；再由给出的不等式组有解的条件求出a的范围．综合考虑a的范围，即可确定符合条件的整数a的个数． 【详解】解：方程组的解为 ， ， ， 解得，， 解不等式组， 不等式①的解集是， 不等式②的解集是， ∵不等式组有解， ∴， 解得，， ， ∵a取整数， ， ∴符合条件的整数a有7个． 故答案为：7． 20．（23-24七年级下·山东德州·期末）对实数x，y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组恰好有3个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求不等式组的解集、新定义下的实数运算 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次不等式组、由一元一次不等式组的整数解求参数，分两种情况：，，根据新定义列不等式组，求得x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数求m的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，①若，， 由得，（舍）， ②若，， 解得， ∵不等式组有3个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 整式乘法与因式分解之选填题 21．（24-25八年级上·福建福州·期末）若m为自然数，则的值总能（ ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】A 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解是解题的关键．先将转化为，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， 为自然数， 的值总能被3整除， 故选： 22．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则为（    ） A．15 B．22 C．28 D．30 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，得到，设，得到，进而得到，进而得到，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴． 23．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（   ） A．32 B．64 C．128 D．256 【答案】B 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 求出，， ，，，可得到规律，即可求解． 【详解】解：展开式的各项系数为1，展开式的系数和是1 展开式的各项系数分别为1，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，2，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，3，3，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1；展开式的系数和是； …… ∴展开式的系数和是． 故选：B 24．（24-25七年级上·河南信阳·期末）李明在教材第83页的教学活动探索发现，如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第n个正方形比第个正方形多（　　）个小正方形？ A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需小正方形个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 拼第1个正方形需要的小正方形个数为：； 拼第2个正方形需要的小正方形个数为：； 拼第3个正方形需要的小正方形个数为：； …， 所以拼第n个正方形需要的小正方形个数为个， 则， 即拼第n个正方形比第个正方形多个正方形． 故选：D． 25．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）有A，B两个正方形，现将A的一边与B的一边重叠，（l，m过正方形A所在边的直线），又将正方形A，B的一边如图2所示部分重叠重新放置在大正方形中，若图1和图2中阴影部分面积分别为5和38．则正方形A，B的面积之和为（　　） A．43 B．33 C．38 D．48 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【详解】此题主要考查了完全平方公式的几何应用．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则正方形A，B的面积之和为，依题意得图1中阴影部分的面积，则，再根据图2中阴影部分的面积，得，进而得，由此即可得出答案． 【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， ∴正方形A，B的面积之和为， 如图所示： 在正方形中，， ∴，， ∴图1中阴影部分的面积为：， ∵图1中阴影部分的面积为：5， ∴，即， 在正方形中，， ∴图2中阴影部分的面积为：， 又∵图2中阴影部分的面积为：38， ∴， ∴， ∴， ∴正方形A，B的面积之和为43． 故选：A． 26．（24-25八年级上·四川资阳·期末）若，则的值为 ． 【答案】81 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再根据幂的乘方、同底数幂的除法法则计算即可得． 【详解】解：由得：， 则 ， 故答案为：81． 27．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方、积的乘方、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，从而求得四边形的值为，根据幂的乘方和积的乘方的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴． 故答案为：． 28．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为52，则阴影部分的面积是 ． 【答案】24 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，设，得到，将图形补成边长为的大正方形，利用分割法结合完全平方公式的变形式，进行求解即可． 【详解】解：设，由题意，得：， ∴， ∴， 如图，将图形补成边长为的大正方形， 则：阴影部分的面积为： ； 故答案为：24． 29．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）关于的二次三项式（是常实数），现有以下结论： （1）若，则二次三项式一定含有因式； （2）若，且，则； （3）若，则； （4）若则无论取何实数，总是正数． 其中正确结论的序号有 ． 【答案】（1）（3）（4） 【知识点】运用完全平方公式进行运算、因式分解的应用 【分析】此题考查了因式分解、完全平方公式的应用，熟练掌握因式分解和完全平方公式是关键．利用因式分解和完全平方公式逐项进行判断即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ∴二次三项式一定含有因式； 故（1）正确， （2）若，且， ∴或， 则或； 故结论（2）不正确； （3）∵， ∴， ∴， 故结论（3）正确； （4）∵ ∵， ∴当时，即时， 无论取何实数时，总是正数， 故结论（4）正确； 故答案为：（1）（3）（4） 30．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图1所示，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和． 根据这样的等积法，我们可以得出结论：． 请你根据等积法，利用图2写出的计算结果 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】用代数式分别表示图形中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系进行解答即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【详解】解：整体上是边长为的正方形， 因此面积为， 拼成大正方形的9个部分的面积和为， ∴， 故答案为：． 题型四 分式之选填题 31．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）若分式方程无解，则a的值是（    ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解．熟练掌握：分式方程无解情况①分式方程化为整式方程后，整式方程无解，即分式方程无解；②分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但这个解会使分式方程的最简公分母为0，即解为分式方程的增根；是解题的关键． 先解分式方程得到，再进行讨论，①当时，整式方程无解，则分式方程无解；②把增根代入求解． 【详解】解：， ， ， ①当时，整式方程无解，则分式方程无解； ②把增根代入得，， 解得：， 综上：或时，分式方程无解， 故选：D． 32．（24-25八年级上·山东临沂·期末）《数书九章》是中国南宋时期的重要数学著作，提出了许多新的数学方法和理论．书中记载了这样一道题：“今有甲、乙两船，分别从A，B两地同时出发，相向而行，A，B两地相距120里、甲船顺流而下，乙船逆流而上，已知甲船在静水中的速度是乙船在静水中速度的倍，且水流速度为2里/时．若相遇时乙船行驶了48里，则甲乙两船的速度分别为多少？设乙船在静水中的速度为里/时，能列出的方程为：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设乙船在静水中的速度为里/时，则甲船在静水中的速度为里/时，根据相遇时乙船行驶了48里，可得乙船的航行时间为小时，甲船的航行时间为小时，即可得出关于的分式方程． 【详解】设乙船在静水中的速度为里/时，则甲船在静水中的速度为里/时，根据题意得， 即． 故选：B． 33．（24-25八年级上·福建福州·期末）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件、解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件，熟练解分式方程是解题的关键．根据题意，解分式方程，得到，结合条件，得到，结合分式有意义的条件，得，从而得到结果． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 分式方程的解是正数， ， ， 时，分式方程无意义， ， ， ， 综上所述，且， 故选：． 34．（24-25八年级上·河北沧州·期末）已知为整数，且为正整数，则所有符合条件的的值的和为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 【答案】B 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算和化简，乘法公式等知识点，解题的关键是熟练掌握公式法因式分解和分式的约分． 利用分式混合运算法则对原式进行化简，根据要求知道分子是分母的正整数倍，得出符合题意的的值． 【详解】解： ∵为正整数，且为整数， ∴或， ∴的取值为6，4， 则所有符合条件的的值的和为， 故选：B． 35．（24-25七年级下·四川南充·期末）如果关于的分式方程有非负整数解，关于的不等式组有且只有2个整数解，则所有符合条件的的和是（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查分式方程的解以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 由题意根据分式方程去分母转化为整式方程，由解为非负整数解以及不等式组只有2个整数解，确定出符合条件m的值，求出它们的和即可． 【详解】解：去分母得：， 解得， 由解为非负整数解，得到，且，即且， 不等式组整理得：， 由不等式组只有2个整数解，得到， 即， 解得：， 则符合题意，它们的和为8. 故选：C． 36．（24-25八年级上·山东烟台·期末）小明在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即，通过查看答案，答案为，则被污染的代数式为 ． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题考查了分式除法运算．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键．利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， ∴被污染的代数式为， 故答案为：． 37．（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行∶①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，解出x，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入求出m的值即可． 【详解】解： 去分母得： 解得： 关于的分式方程有增根， ，即． 把代入中得：． 故答案为：3 38．（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式 （用含正整数的算式表示） 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、分式乘法 【分析】本题考查了数字类规律、分式的乘法，解决本题的关键是通过观察前几个式子的变化规律，用含的分式把算式的各部分分别表示出来，然后再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 按照以上规律可知：． 故答案为： ． 39．（24-25八年级上·山东聊城·期末）对于代数式m，n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】8 【知识点】新定义下的实数运算、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的加减法，根据定义运算表示出的式子，再将进行运算，便得到A和B的值，最后代入中，求出结果即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：8． 40．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列有四个结论： ①把分式中的，都扩大倍，分式的值不变； ②在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为； ③若，则； ④若关于的方程无解，则的值为或 其中正确的结论是 （填写序号） 【答案】①②③ 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式无意义的条件、利用分式的基本性质判断分式值的变化、分式方程无解问题 【分析】本题考查分式的基本性质，分式方程的解法，根据分式的基本性质，利用完全平方公式求代数式的值，分式方程的解法依次分析即可作出判断．掌握相应的知识点是解题的关键． 【详解】解：：①把分式中的，都扩大倍得：，分式的值不变，故结论①正确； ②若， 则，即， ∴， 此时分式的分母为零，无意义， ∴在实数范围内，不存在，，的值，使式子的值为，故结论②正确； ③若，则， ∴，即， ∴，故结论③正确； ④方程两边同乘以，得： ， 整理得：， 当时，一元一次方程无解，此时； 当时，则， 解得：或， 综上所述，或或时，关于的方程无解，故结论④错误； ∴正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 题型五 相交线、平行线与平移之选填题 41．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，，将两块直角三角尺（，）按如图方式进行摆放，恰好满足．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差． 根据角的和差求出，根据平行线的性质求得，进而可求得，，又由平行线的性质求出，进而即可解答． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 42．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图，已知，直线分别与直线、交于点，，平分，交于，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、垂线的定义理解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了垂线的定义、与角平分线有关的计算、平行线的性质，由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，再由平行线的性质得出，由垂线的定义得出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 43．（23-24六年级下·山东烟台·期末）光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射变为，点G在射线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用邻补角互补求角度、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义及角度的和差计算，熟知平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质得到，再根据得到结果． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 44．（23-24七年级下·山东聊城·期末）眼镜是利用了凹透镜能使光发散的特点达到矫正视力的目的．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，，则的度数是（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故选：A 45．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，平行线，被直线所截，分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为；分别作和的角平分线，交点记为．．．．．按此规律维续操作，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数字类规律探究；根据题意得出，即可求解． 【详解】如图所示，过点作，    ∵， ∴， 又∵是和的角平分线 ∴， ∴ 同理可得， ∴ ∴ 故选：D． 46．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C放在一起，，，．点E在直线的上方，且，当这两块三角板有一组边互相平行时，的度数是 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】分两种情况讨论：①当时，②当时,根据平行线的性质即可求解． 本题主要考查了平行线的性质，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当时，， 则， 则； ②当时, ． 故答案为：或． 47．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图是一盏可调节台灯示意图，其中支架与底座垂直，支架分别为可绕点和点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度．当支架和灯罩平行时，，，，则 ． 【答案】/80度 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．分别过点A，B作，根据平行线的性质求出，结合，，即可求解． 【详解】解：如图，分别过点A，B作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 48．（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，点E在延长线上，，交于点F，且，，比的余角小，P为线段上一点，Q为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④，其中结论正确的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的判定与性质，互为余角的定义，角平分线的定义是解决问题的关键． ①根据得，则，再根据得，由此可对结论①进行判断； ②设，根据得，再根据比的余角小，得，则，即，过点作，则，，由此得，然后根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③设，根据得，则，由此可对结论③进行判断； ④根据，得，再根据为的平分线得，然后根据可得出的度数，进而可对结论④进行判断． 【详解】解：①， ， ， ， ， ， 故结论①正确； ②设， 由①可知， ， 比的余角小， ， 解得：， ， 过点作，如图所示： ，， ， 即， ， ， ， ， 故结论②不正确； ③， 设， ， ， ， 平分， 故结论③正确； ④由②可知，由③可知：， ， 为的平分线， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①③④． 故答案为：①③④． 49．（23-24六年级下·吉林长春·期末）如图，，F为上一点，，且平分，过点作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的是 ． 【答案】①②/②① 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、垂线的定义理解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断②；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和④． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 解得：，则结论①正确； ， ， ， 则结论②正确； ，， ， ，， 但不一定等于，也不一定等于，所以平分，平分都不一定正确，则结论③和④都错误； 综上，正确的是①②， 故答案为：①②． 50．（23-24七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 【答案】/度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】过G点作，过E点作．如图设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 【详解】解：如图，过G点作，过E点作． ， ． 设，，则，，． ∵平分， ， ， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． $$