专题01 集合（讲义）- 山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年春季高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块1集合与充要条件的第1个专题：集合。本专题涵盖集合的概念及表示、集合与集合的关系、集合的运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 集合（讲义） 知识点1 集合的概念及表示 1．集合的基本概念 （1）集合：由某些确定的对象构成的整体称为集合，简称集. 集合通常用大写英文字母来表示，组成集合的每一个确定的对象称为这个集合的元素.元素通常用小写英文字母来表示. 注：不含任何元素的集合称为空集，符号表示为. （2）集合中元素的性质 ①确定性：对于任意一个集合和一个元素，要么属于，要么不属于.如某班个子高的同学就不能构成集合. ②互异性：集合中的元素不能相同. ③无序性：集合中的元素无先后顺序之分. （3）元素与集合的关系 ①属于：如果是集合中的元素，就说属于集合，记作. ②不属于：如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作. （4）常用数集及符号表示 数集 非负整数集（或自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 2．集合的表示方法 （1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用大括号“｛｝”括起来表示集合的方法称为列举法. （2）描述法 ①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为性质描述法. ②具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. （3）通常有两种形式：①一般形式：代表元素，代表元素具有的公共性质； ②简单形式：将集合元素的名称写在大括号中，如｛正偶数｝. 注：｛｝即表示“所有”“全部”的意思，所以｛｝内不能出现“所有”“全部”等字眼. 1．（2024山东真题）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023江苏真题）已知集合，则集合中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023重庆真题）与集合相等的是（   ） A． B． C． D． 4．（2020河北真题）下列集合中不是空集的是（   ） A． B． C． D． 5．（2016广西真题）下列关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 1．给出下列关系：①②③④，其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．集合，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．且 3．已知集合中只有一个元素1，若，则（   ） A．1 B． C． D．0 4．已知为集合的四个元素，那么以为边长构成的四边形可能是（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 5．用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合为（   ） A． B． C． D． 6．如果集合，那么（   ） A． B． C． D． 7．若集合，则集合用列举法表示为 8．设集合，若，则集合用列举法表示为 9．用适当的方法表示直线与轴的交点所组成的集合为 10．已知集合含有两个元素和，若，试求实数的值． 知识点2 集合与集合的关系 （1）子集：对于两个集合和，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集.记作（读作包含于）或（读作包含）. 子集的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②空集是任何一个集合A的子集，即. ③若，则. ④子集个数：集合的子集个数为，其中是指集合中的元素个数． （2）真子集：如果集合是集合B的子集且中至少有一个元素不属于，则集合是集合的真子集.记作或，读作真包含于或真包含. 子集的性质： ①空集是任何一个非空集合的真子集. ②真子集个数：一个集合的真子集个数为，其中是指集合中的元素个数． （3）集合相等：如果两个集合的元素完全相同，则称这两集合相等．集合与集合相等，记作. （4）子集、真子集、集合相等的关系： ①如果，则或. ②如果，且，则；反之，如果，则且. 1．（2022山东真题）已知集合，若，则实数的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 4 2．（2021河南真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2019安徽真题）设集合，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 3 4．（2019重庆真题）设集合，则集合的子集共有（    ）个 A．5 B．6 C．7 D． 8 5．（2021重庆真题）集合的所有子集为（    ） A． B． C． D． 1．下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D． 3．集合，则的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 4．集合，则的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D． 5 5．集合，则的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 5 6．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 7．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 8．若集合，则的取值是 9．若集合，则 10．若集合，则 知识点3 集合的运算 （1）集合的交集 自然语言 符号语言 图形语言 交集的性质 给定两个集合，由既属于又属于的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作 且 （1），，； （2） （2）集合的并集 自然语言 符号语言 图形语言 并集的性质 给定两个集合，把它们所有元素合并在一起组成的集合，称为与的并集，记作 或 （1），，； （2） （3）集合的补集 自然语言 符号语言 图形语言 补集的性质 如果是全集中的一个子集，那么由中所有不属于的元素组成的集合，称为在中的补集，记作 且 （1），； （2） 1．（2020山东真题）已知全集，集合，则=（    ） A． B． C． D． 2．（2021山东真题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023山东真题）已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 4．（2017山东真题）已知全集，集合，则=（    ） A． B． C． D． 5．（2016山东真题）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，. 则 (　 　) A． B． C． D． 3．设集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．5 B．2 C．3 D．4 6．满足的所有集合的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知集合，，则 ． 8．若全集，则 . 9．已知集合，，若，求实数的值. 10．已知集合，，若，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年春季高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块1集合与充要条件的第1个专题：集合。本专题涵盖集合的概念及表示、集合与集合的关系、集合的运算等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题01 集合（讲义） 知识点1 集合的概念及表示 1．集合的基本概念 （1）集合：由某些确定的对象构成的整体称为集合，简称集. 集合通常用大写英文字母来表示，组成集合的每一个确定的对象称为这个集合的元素.元素通常用小写英文字母来表示. 注：不含任何元素的集合称为空集，符号表示为. （2）集合中元素的性质 ①确定性：对于任意一个集合和一个元素，要么属于，要么不属于.如某班个子高的同学就不能构成集合. ②互异性：集合中的元素不能相同. ③无序性：集合中的元素无先后顺序之分. （3）元素与集合的关系 ①属于：如果是集合中的元素，就说属于集合，记作. ②不属于：如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作. （4）常用数集及符号表示 数集 非负整数集（或自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 2．集合的表示方法 （1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用大括号“｛｝”括起来表示集合的方法称为列举法. （2）描述法 ①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为性质描述法. ②具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. （3）通常有两种形式：①一般形式：代表元素，代表元素具有的公共性质； ②简单形式：将集合元素的名称写在大括号中，如｛正偶数｝. 注：｛｝即表示“所有”“全部”的意思，所以｛｝内不能出现“所有”“全部”等字眼. 1．（2024山东真题）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合的关系、集合之间的关系即可求解． 【详解】为自然数，为整数，所以，A正确； 为无理数，B错误； 空集不含任何元素，C错误； 0是自然数，D错误. 故选：A 2．（2023江苏真题）已知集合，则集合中的元素个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】因为集合. 故选：B 3．（2023重庆真题）与集合相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的表示方法即可求解． 【详解】依题意，. 故选：D 4．（2020河北真题）下列集合中不是空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空集的定义即可求解． 【详解】，不为空集； 因为，，故方程无解，为空集； 因为恒成立，所以为空集； 为空集的符号表示. 故选：A 5．（2016广西真题）下列关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用元素与集合的关系即可求解． 【详解】为点集，2为一个实数，故. 故选：C 1．给出下列关系：①②③④，其中正确的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】依据常用数集的概念即可求解． 【详解】为无理数，无理数和有理数统称实数，故，①正确； 时无理数，故，②错误； 0不是正整数，故，③正确； ，④正确. 故选：C 2．集合，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】利用元素的互异性即可求解． 【详解】因为，解得且. 故选：D 3．已知集合中只有一个元素1，若，则（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】利用元素的确定性即可求解． 【详解】因为集合中只有一个元素1，若，所以. 故选：C 4．已知为集合的四个元素，那么以为边长构成的四边形可能是（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【分析】利用元素的互异性即可求解． 【详解】因为为集合的四个元素，所以互不相同. 因为菱形的四边相等，所以C错误； 因为矩形、平行四边形的对边相等，所以A 、B错误； 故选：D 5．用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法的定义即可求解． 【详解】大于2且小于5的自然数为3，4. 故选：A 6．如果集合，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用元素与集合的关系即可求解． 【详解】因为，所以. 故选：D 7．若集合，则集合用列举法表示为 【答案】 【分析】利用元素的性质，结合列举法的定义即可求解． 【详解】因为，故，所以. 故答案为： 8．设集合，若，则集合用列举法表示为 【答案】 【分析】代入求，结合列举法的定义即可求解． 【详解】代入，即，所以，所以. 故答案为： 9．用适当的方法表示直线与轴的交点所组成的集合为 【答案】 【分析】根据点集的定义即可求解． 【详解】因为直线与轴只有一个交点，故可以用列举法表示为. 故答案为： 10．已知集合含有两个元素和，若，试求实数的值． 【答案】0或 【分析】利用集合中元素的互异性、确定性即可求解． 【详解】因为，所以或， 解得或，且此时满足集合中元素的互异性，所以或. 知识点2 集合与集合的关系 （1）子集：对于两个集合和，如果集合的任何一个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集.记作（读作包含于）或（读作包含）. 子集的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②空集是任何一个集合A的子集，即. ③若，则. ④子集个数：集合的子集个数为，其中是指集合中的元素个数． （2）真子集：如果集合是集合B的子集且中至少有一个元素不属于，则集合是集合的真子集.记作或，读作真包含于或真包含. 子集的性质： ①空集是任何一个非空集合的真子集. ②真子集个数：一个集合的真子集个数为，其中是指集合中的元素个数． （3）集合相等：如果两个集合的元素完全相同，则称这两集合相等．集合与集合相等，记作. （4）子集、真子集、集合相等的关系： ①如果，则或. ②如果，且，则；反之，如果，则且. 1．（2022山东真题）已知集合，若，则实数的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 4 【答案】A 【分析】利用子集的定义即可求解． 【详解】因为，且， 所以且，所以. 故选：A 2．（2021河南真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用子集的定义即可求解． 【详解】因为集合，所以. 故选：C 3．（2019安徽真题）设集合，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 3 【答案】B 【分析】利用相等集合的定义即可求解． 【详解】因为集合，所以. 故选：B 4．（2019重庆真题）设集合，则集合的子集共有（    ）个 A．5 B．6 C．7 D． 8 【答案】D 【分析】利用子集的性质即可求解． 【详解】因为集合有3个元素，故集合的子集共有个. 故选：D 5．（2021重庆真题）集合的所有子集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用子集的定义即可求解． 【详解】集合的所有子集为. 故选：D 1．下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用元素与集合的关系、集合之间的关系即可求解． 【详解】与表示集合与元素的关系，应为； 与表示集合与集合的关系，应为. 故选：B 2．集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用子集的定义即可求解． 【详解】用数轴表示集合知，集合的元素都是集合的元素. 故选：A 3．集合，则的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用真子集的性质即可求解． 【详解】集合中有4个元素，故的真子集个数为. 故选：B 4．集合，则的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D． 5 【答案】A 【分析】利用子集的定义即可求解． 【详解】满足条件的可能为，，，，，，，共8个. 故选：A 5．集合，则的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 5 【答案】A 【分析】利用真子集的定义即可求解． 【详解】满足条件的可能为，. 故选：A 6．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考察集合之间的关系，可借助数轴观察解题. 【详解】由图知， 当时，一定成立；当时，，，也成立.综上所述，. 故选：A 7．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图知， 当时，；当时，，，因此当时，满足.故选：B 8．若集合，则的取值是 【答案】2 【分析】利用元素的性质，结合子集的定义即可求解． 【详解】因为，所以或， 当时，即，当时，，故舍去； 当时，，故舍去； 当时，即（舍去）或，， 综上所述，. 故答案为：2 9．若集合，则 【答案】4 【分析】利用相等集合的定义即可求解． 【详解】因为，所以，故，所以. 故答案为：4 10．若集合，则 【答案】2 【分析】利用相等集合的定义即可求解． 【详解】因为，所以，故，所以. 故答案为：2 知识点3 集合的运算 （1）集合的交集 自然语言 符号语言 图形语言 交集的性质 给定两个集合，由既属于又属于的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作 且 （1），，； （2） （2）集合的并集 自然语言 符号语言 图形语言 并集的性质 给定两个集合，把它们所有元素合并在一起组成的集合，称为与的并集，记作 或 （1），，； （2） （3）集合的补集 自然语言 符号语言 图形语言 补集的性质 如果是全集中的一个子集，那么由中所有不属于的元素组成的集合，称为在中的补集，记作 且 （1），； （2） 1．（2020山东真题）已知全集，集合，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补集的定义即可求解． 【详解】因为全集，集合，则=. 故选：C 2．（2021山东真题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集和补集的定义即可求解． 【详解】因为，所以. 故选：B 3．（2023山东真题）已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集的定义即可求解． 【详解】因为集合，，所以=. 故选：A 4．（2017山东真题）已知全集，集合，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补集的定义即可求解． 【详解】因为全集，集合，所以=. 故选：C 5．（2016山东真题）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用并集的定义即可求解． 【详解】因为集合，集合，所以. 故选：B 1．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考察由离散元素构成的集合之间的运算，易通过观察法得出结论. 【详解】因为，，所以. 故选：D 2．已知全集，集合，. 则 (　 　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以. 故选C 3．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集的定义即可求解. 【详解】因为集合，所以. 故选：A 4．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用并集的定义即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D 5．已知集合，则中元素的个数为（    ） A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用列举法表示集合，结合交集的定义即可求解. 【详解】因为，故，所以元素个数为2. 故选：B 6．满足的所有集合的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】. 故答案为：D 7．已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】利用集合间的运算求解，注意集合的正确书写形式. 【详解】 . 故答案为： 8．若全集，则 . 【答案】 【分析】利用集合间的运算求集合即可. 【详解】，又全集， 所以. 故答案为： 9．已知集合，，若，求实数的值. 【答案】-2，0，1 【详解】因为，所以，由题意可知或； 当时，，但时不合题意，舍去，所以； 当时，或，符合题意. 综上所述，的值为-2，0，1. 10．已知集合，，若，求实数的值． 【答案】-1 【详解】因为集合，，且， 所以，解得. 经检验可知，不合题意，应舍去，所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$