专题03 高二下学期期末真题精选—数列（考题猜想，常考9大题型+压轴4大题型）-2024-2025学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019）

专题03 高二下学期期末真题精选 （常考9大题型，压轴4大题型） （人教A版2019选择性必修必修第二册第四章 数列） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等差（比）数列通项的基本量计算 · 题型二 等差（比）数列角标和性质 · 题型三 等差（比）数列前项和基本量计算 · 题型四 等差（比）数列前项和性质 · 题型五 数列求通项（高频） · 题型六 数列求和之倒序相加法（高频） · 题型七 数列求和之分组求和法（高频） · 题型八 数列求和之裂项相消法（高频） · 题型九 数列求和之错位相减法（易错） · 压轴一 数列求和之分组求和（分类讨论）（重点） · 压轴二 数列求和之裂项相加法 （易错） · 压轴三 数列不等式中的恒（能）成立问题 （难点） · 压轴四 数列新定义题（难点） 题型一、等差（比）数列通项的基本量计算 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北武汉·期末）记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 3．（24-25高二上·湖南永州·期末）已知数列的前项和，，则 ． 4．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知数列满足，则数列的通项公式 ，的通项公式 ． 5．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 题型二、等差（比）数列角标和性质 1．（24-25高二上·河南安阳·期末）设等差数列的公差为，若，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 4．（24-25高二上·广东·期末）在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D．1 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．10 B．9 C．6 D．3 7．（24-25高二上·湖北武汉·期末）若等比数列的各项均为正数，且，则 . 题型三、等差（比）数列前项和基本量计算 1．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)写出数列的前项和. 2．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）（1）已知等差数列中，，，求． （2）已知数列的前项和为，且，求和． 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求． 4．（24-25高二上·河南周口·期末）设为正项等比数列的前项和，已知，. (1)求数列的公比； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 5．（23-24高三上·山东济宁·期末）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 题型四、等差（比）数列前项和性质 1．（24-25高二上·山西·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）等比数列的前项和为,若,,则（   ） A． B．15 C．10 D．5 3．（多选）（23-24高三上·河北保定·期末）已知数列为等差数列，公差为；数列为等比数列，公比为，则下列说法正确的是（    ） A．存在和，使得． B．若为的前项和，则，，，成等差数列 C．若为的前项和，则，，，成等比数列 D．当时，存在实数A、使得 4．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期末）若两个等差数列的前项和分别为，满足，则 . 5．（23-24高二上·河南许昌·期末）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ． 6．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知等比数列的前n项和为，且，则 ． 题型五、数列求通项 1．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列 中，，则 （   ） A．5 B． C．4 D． 3．（多选）（24-25高二上·福建漳州·期末）已知数列满足，则（   ） A． B． C．的前n项和为 D．的前10项和为216 4．（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 ． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 6．（24-25高三上·广东·期末）已知数列{an}满足其前2025项的和为，则 . 7．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 8．（24-25高二上·河南信阳·期末）设为数列的前n项和，． (1)求； (2)证明： （i）； （ii）； (3)求的通项公式． 题型六、数列求和之倒序相加法 1．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知数列中，，则（   ） A．96 B．97 C．98 D．99 2．（多选）（2025·陕西榆林·二模）对于，满足，，且对于任意，恒有，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2023·山西晋中·二模）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（    ） A．一定有两个极值点 B．函数在R上单调递增 C．过点可以作曲线的2条切线 D．当时， 4．（2024·云南大理·一模）设函数是的导函数，函数是的导函数，经过研究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.已知函数，当函数图象的对称中心为时， ，当函数图象的对称中心为时， . 5．（24-25高二下·北京丰台·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 . 题型七、数列求和之分组求和法 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 2．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列的首项为，公差，等比数列的首项为，公比为，且满足，，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知数列的前项和为，对一切正整数，点在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 4．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 5．（24-25高二上·安徽·期末）在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 6．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 7．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知数列满足，且，设. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 题型九、数列求和之错位相减法 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 4．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 5．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）在等差数列中，已知公差，，前项和为.且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和 6．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数．数列的首项．以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是． (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论） 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列是等差数列，正项数列是等比数列，为数列的前项和．，． (1)求数列和的通项公式； (2)若对任意正整数恒成立，求实数的最小值； (3)若，求数列的前项和． 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）在数列中，按照下面方式构成：，，，其中表示数列中最大的项. (1)若数列的前4项分别为，求数列的前4项； (2)若满足，且. ①求的值； ②求的前项和. 3．（24-25高二上·重庆·期末）已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，， (1)求和的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 4．（24-25高二上·湖北·期末）记是等差数列的前项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 5．（2024·陕西咸阳·三模）数列满足，. (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和. 压轴二：数列求和之裂项相加法 1．（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知表示不超过x的最大整数．例如：．已知数列满足，． (1)求． (2)证明：且数列是等比数列． (3)设数列的前n项和为，证明：． 2．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知数列为等差数列，前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)是否存在正整数m，n，（）使得成等差数列？若存在，求出，m，n的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，且，，，设． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 4．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知数列的前n项和为，． (1)证明数列为等比数列并求数列的通项公式； (2)若______，且，求满足条件的最大整数n． 请在①；②这两个条件中任意选择一个填入上面横线处，并完成解答． 5．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知正项数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为．证明：对于任意，都有． 6．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知数列中，，且满足（）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题 1．（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列的前项和为，且，数列满足. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)若不等式对都成立，求的最大值. 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）记数列的前n项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 (3)在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数． (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，数列的前n项和为，且恒成立，求的最大值． 4．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 5．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知数列满足，且. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和； (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 6．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前项和，存在，使成立，求的取值范围. 压轴四：数列新定义题 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为原数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列． (1)数列的通项公式为，证明：数列是二阶等差数列． (2)数列的通项公式为，证明：数列的前n项和公式为． (3)设数列是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式． 2．（24-25高二上·江苏南通·期末）记正整数的所有正因数的和为，如.若，则称为“好数”. (1)判断28是否为“好数”，并说明理由， (2)证明：不是“好数”； (3)设，求所有形如的“好数”. 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）定义：若数列满足（为常数，，则称数列为二阶等比数列，为二阶公比．已知二阶等比数列，，，二阶公比为． (1)求数列的通项公式； (2)求使的最小正整数的值． 4．（24-25高二上·福建三明·期末）设有穷数列A：，，…，的所有项之和为，所有项的绝对值之和为，若数列A满足下列两个条件，则称其为n阶“0－2数列”：①；②． (1)若2025阶“0－2数列”A：，，…，是递减的等差数列，求； (2)若阶“0－2数列”A：，，…，是等比数列，求A的通项公式（，用n，k表示）； (3)设n阶“0－2数列”A：，，…，的前m项和为，若，使得，证明：数列B：，，…，不可能为n阶“0－2数列”． 5．（24-25高二上·广东清远·期末）若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”. (1)已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围； (2)已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数，使得对恒成立，并说明理由； (3)已知正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，证明：数列是“超1数列”. $$专题03 高二下学期期末真题精选 （常考9大题型，压轴4大题型） （人教A版2019选择性必修必修第二册第四章 数列） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等差（比）数列通项的基本量计算 · 题型二 等差（比）数列角标和性质 · 题型三 等差（比）数列前项和基本量计算 · 题型四 等差（比）数列前项和性质 · 题型五 数列求通项（高频） · 题型六 数列求和之倒序相加法（高频） · 题型七 数列求和之分组求和法（高频） · 题型八 数列求和之裂项相消法（高频） · 题型九 数列求和之错位相减法（易错） · 压轴一 数列求和之分组求和（分类讨论）（重点） · 压轴二 数列求和之裂项相加法 （易错） · 压轴三 数列不等式中的恒（能）成立问题 （难点） · 压轴四 数列新定义题（难点） 题型一、等差（比）数列通项的基本量计算 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】应用化简得出数列是等比数列，再应用等比数列通项公式计算求解. 【详解】因为，则， 当时，作差得，所以， 所以，所以，因为，当时，， 数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 2．（24-25高二上·湖北武汉·期末）记为数列的前项积，已知，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【知识点】利用定义求等差数列通项公式 【分析】由题意可得，代入化简得，根据数列为等差数列可求通项公式. 【详解】由题意得，. ∵，∴，即， ∴， ∵，∴， ∴数列是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴. 故答案为：. 3．（24-25高二上·湖南永州·期末）已知数列的前项和，，则 ． 【答案】4050 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】由已知根据递推关系可得数列为等差数列，再根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】当时，，可得， 当时，，又，所以，所以， 所以数列是首项为4，公差为2的等差数列， 所以，所以. 故答案为：4050. 4．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知数列满足，则数列的通项公式 ，的通项公式 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式 【分析】由条件可得，，结合等比数列定义及通项公式求，与联立求结论. 【详解】①，②， ①＋②得，又，所以． ①－②得，又， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 即． 故答案为：；． 5．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【详解】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 题型二、等差（比）数列角标和性质 1．（24-25高二上·河南安阳·期末）设等差数列的公差为，若，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列通项公式的性质求得，进而求得，再根据等差数列通项公式求公差即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，故公差. 故选：D 2．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列的性质即可求解； 【详解】根据题意，因为，又因为数列为等差数列， 所以，，可得，所以． 故选：B 3．（24-25高二上·湖北武汉·期末）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列下标和的性质得，进而可求. 【详解】由，得，即，所以 故选：D 4．（24-25高二上·广东·期末）在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列项的性质计算求解即可. 【详解】因为等比数列中，若，则. 故选：C. 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知数列为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】利用韦达定理求出的值，利用对数的运算性质结合等比数列的性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为和是方程的两个根，由韦达定理可得， 又数列为各项均为正数的等比数列，所以，， 因此，. 故选：D. 6．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．10 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用、对数的运算性质的应用 【分析】利用对数的运算性质和等比数列的性质可求得的值. 【详解】因为数列是各项都为正数的等比数列，则， 所以，，则，故. 故选：B. 7．（24-25高二上·湖北武汉·期末）若等比数列的各项均为正数，且，则 . 【答案】6 【知识点】等比数列下标和性质及应用、对数的运算 【分析】根据等比数列下标和性质和对数运算求解可得. 【详解】解：因为等比数列的各项均为正数，且，则， 因为， 由等比数列的性质知：， 所以 故答案为：6 题型三、等差（比）数列前项和基本量计算 1．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)写出数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】（1）由等差数列及其前项和基本量的计算可得，由此即可得解. （2）由等差数列前项和公式的二次函数特性即可得解. 【详解】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为， 由题意，， 解得， 所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可知，所以. 2．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）（1）已知等差数列中，，，求． （2）已知数列的前项和为，且，求和． 【答案】（1）（2），. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用、由Sn求通项公式 【分析】（1）利用等差中项的性质可求得的值，可求得等差数列的公差，进而可求得的值； （2）利用求出数列的通项公式，进而可求得的值. 【详解】解：（1）设等差数列的公差为， 由等差中项的性质可得，可得，故， 所以，； （2）因为数列的前项和， 当时，， 当时，，适合上式， 故，． 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解即可. 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以， 由，所以公差， 所以. （2）由（1）得：，，所以. 4．（24-25高二上·河南周口·期末）设为正项等比数列的前项和，已知，. (1)求数列的公比； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，即可解出的值； （2）求出的值，代入等比数列的通项公式可求得数列的通项公式； （3）利用等比数列的求和公式可求得的表达式. 【详解】（1）因为数列是正项等比数列，则， 由题意得，， 整理得，即， 解得或（舍去）. （2）因为，所以， 故. （3）. 5．（23-24高三上·山东济宁·期末）已知是等比数列的前项和，成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差中项的应用、写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）由条件转化为首项和公比的方程，即求解； （2）根据（1）的结果，以及等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）设数列的首项为，公比为， 由条件可知，，即， 所以，得， 又因为，得， 所以； （2）由（1）可知，，， 所以. 题型四、等差（比）数列前项和性质 1．（24-25高二上·山西·期末）已知等比数列的前项和为，若，则（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】由等比数列的前项和公式和因式分解化简，求出的值，同理化简并求出的值，从而得到. 【详解】设等比数列的公比为， 由，显然， 则，即， 所以， 所以. 故选：C. 2．（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）等比数列的前项和为,若,,则（   ） A． B．15 C．10 D．5 【答案】B 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设等比数列的首项为,公比为,由,列出方程组, 求得,由可得,进而求得的值. 【详解】设等比数列的首项为,公比为, 由题得：,两式相除得：, 即,所以,（舍去）, 由得, . 故选：B. 3．（多选）（23-24高三上·河北保定·期末）已知数列为等差数列，公差为；数列为等比数列，公比为，则下列说法正确的是（    ） A．存在和，使得． B．若为的前项和，则，，，成等差数列 C．若为的前项和，则，，，成等比数列 D．当时，存在实数A、使得 【答案】ABD 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列片段和的性质及应用、写出等比数列的通项公式、等比数列片段和性质及应用 【分析】对于AC：距离说明即可；对于B：根据等差数列的定义和性质分析判断；对于D：令，代入运算即可判断. 【详解】对于选项A：例如，，故A正确； 对于选项B：因为 ， 所以，，，成等差数列，故B正确； 对于选项C：例如，则， 可得，，，不一定成等比数列，故C错误； 对于选项D：因为数列为等差数列，设， 又因为，则， 令， 则， 即存在实数A、使得，故D正确； 故选：ABD. 4．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·期末）若两个等差数列的前项和分别为，满足，则 . 【答案】 【知识点】等差数列前n项和的其他性质及应用 【分析】由等差数列的前项和公式结合等差数列的性质求解. 【详解】因为数列均为等差数列， 所以. 故答案为： 5．（23-24高二上·河南许昌·期末）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ． 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】 根据等差数列的性质即可求解. 【详解】， 由于， 故答案为： 6．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知等比数列的前n项和为，且，则 ． 【答案】14 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列片段和性质及应用 【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到也成等比数列，列出方程，即可求解． 【详解】由等比数列满足，可得等比数列的公比， 根据等比数列的性质，可得也成等比数列， 即， 得， 解得． 故答案为： 题型五、数列求通项 1．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】累加法求数列通项 【分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列 中，，则 （   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】累加法求数列通项、对数的运算 【分析】由已知可得，利用累加法结合对数的运算法则求解即可. 【详解】在数列中， 即 , 所以 故选：A. 3．（多选）（24-25高二上·福建漳州·期末）已知数列满足，则（   ） A． B． C．的前n项和为 D．的前10项和为216 【答案】AB 【知识点】求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】先根据关系式求出通项公式，再根据等差数列求和公式求和即可判定. 【详解】当时，. 当时，因为 ①， 那么 ②. 由①-②得：，整理得. 当时，也满足，所以. 所以B选项正确. 当时，，所以A选项正确. 因为，根据等差数列求和公式，其中，，则，所以选项错误. 当时，. 当时，令，解得. 当时，，. 当时，，. . 前项和. . .   后项和. . . . 根据等差数列前项和公式，则.   所以，所以选项D错误. 故选：AB. 4．（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 ． 【答案】/ 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和、由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和 【分析】化简得，用累加法和裂项相消公式求出即可求解的值. 【详解】因为，所以， 则，，……，，， 所以当时， ， 又满足上式，所以，所以， . 故答案为：. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】先求，再利用与关系求出，再检验是否符合即可求解. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 经检验，不符合上式， 所以. 故答案为： 6．（24-25高三上·广东·期末）已知数列{an}满足其前2025项的和为，则 . 【答案】 【知识点】累加法求数列通项、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据，得到，利用累加法得到，，从而得到，再由其前2025项的和为求解. 【详解】解：因为， 所以，则， 所以， ， 则，， 所以， 所以， 所以其前2025项的和， ， ， 解得，所以， 故答案为： 7．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 8．（24-25高二上·河南信阳·期末）设为数列的前n项和，． (1)求； (2)证明： （i）； （ii）； (3)求的通项公式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】（1）根据递推公式代入数据可得结果. （2）（i）根据递推公式及可证明结论. （ii）根据递推公式及可证明结论. （3）设，根据条件求，利用的取值及等比数列的通项公式可得结果. 【详解】（1）由题意得，，，，， ，，. （2）（i） . （ii） . （3）设，对比得，， 解得或. 当时，， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴①， 当时，同理可得②， ②－①得，. 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是利用递推公式及数据特征进行凑项计算，逐步推导可证明结论.解决第（3）问的关键是构造等比数列，利用等比数列的通项公式可求结果. 题型六、数列求和之倒序相加法 1．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知数列中，，则（   ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】A 【知识点】倒序相加法求和 【分析】由倒序相加法求和即可； 【详解】， 所以， 两式相加可得：， 所以， 故选：A 2．（多选）（2025·陕西榆林·二模）对于，满足，，且对于任意，恒有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】函数周期性的应用、函数对称性的应用、倒序相加法求和 【分析】抽象函数，对于ACD选项采用赋值法求解，B选项倒序相加即可； 【详解】A选项：因为，所以取得，，A选项正确； B选项：令，则， 两式相加得， 解得，B选项错误； C选项：因为，所以取得，，由， 取得，，解得， 因为，所以，，，，，C选项正确； D选项：因为，，且， 所以，即，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数，赋值法是基本，针对选项进行赋值即可. 3．（多选）（2023·山西晋中·二模）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（    ） A．一定有两个极值点 B．函数在R上单调递增 C．过点可以作曲线的2条切线 D．当时， 【答案】BCD 【知识点】求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性、倒序相加法求和、求已知函数的极值点 【分析】对求导，得出，没有极值点，可判断A，B；由导数的几何意义求过点的切线方程条数可判断C；求出三次函数的对称中心，由于函数的对称中心为，可得，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D. 【详解】由题意知，，恒成立， 所以在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确； 设切点为，则， 切线方程为， 代入点得， 即，解得或， 所以切线方程为或，C正确； 易知，令，则． 当时，，，所以点是的对称中心， 所以有，即． 令， 又， 所以， 所以，D正确． 故选：BCD. 4．（2024·云南大理·一模）设函数是的导函数，函数是的导函数，经过研究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.已知函数，当函数图象的对称中心为时， ，当函数图象的对称中心为时， . 【答案】 【知识点】导数的运算法则、倒序相加法求和 【分析】根据三次函数的图象都有对称中心，且，可求出，函数图象的对称中心为，即，可得，利用倒序相加法即可求解. 【详解】因为，且图象的对称中心为， 所以，解得， 而，解得； 因为函数图象的对称中心为，即， 所以， 同理 设① ② 由①+②得，所以. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：倒序相加法求和：当有多个数相加，且每两个相邻加数的差值为定值时，可以将整体颠倒顺序，再与原式相加，如本题中满足， ① ② 将两式相加除以2即可求和. 5．（24-25高二下·北京丰台·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 . 【答案】1012 【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 题型七、数列求和之分组求和法 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）在数列中， (1)证明：数列是等比数列． (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】求等比数列前n项和、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）由题设得，结合等比数列定义即可得证； （2）由（1）求出数列的通项公式，再由等差、等比数列前n项和公式即可计算得解. 【详解】（1）由得，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，则， . 2．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列的首项为，公差，等比数列的首项为，公比为，且满足，，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【知识点】求等比数列前n项和、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式，即可求出数列的通项； （2）利用等差数列与等比数列的求和公式计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，，所以， 计算可得，可得或3， 又因为，所以， 由此可得， ； （2）， 所以， 利用等差数列与等比数列的求和公式计算可得， ． 3．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知数列的前项和为，对一切正整数，点在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据关系求数列的通项公式； （2）应用分组求和，结合等差、等比数列的前n项和公式求. 【详解】（1）由题设，知， 当时，， 当时，， 经验证，满足， ． （2）， 数列是以首项为1，公比为2的等比数列， ， ． 4．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2). 【知识点】写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据给定条件，求出公差得数列的通项；利用等比数列性质求出得数列的通项. （2）由（1）的结论，利用分组求和法，结合公式法求得解. 【详解】（1）在等差数列中，，，公差， 所以数列的通项公式为； 在等比数列中，，由，得， 解得，，而，因此， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知， . 5．（24-25高二上·安徽·期末）在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. (1)求的通项公式； (2)若求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、等差中项的应用、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据条件求出，结合可得公比，由此计算可得数列的通项公式. （2）利用分组求和法可得. 【详解】（1）∵是和的等差中项，∴， ∵，∴，解得，故. 设等比数列的公比为，则，解得或（舍）， ∴， ∴. （2）由（1）得， ∴ . 6．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知等差数列的前n项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由等差数列的性质求出公差后，可得通项公式；（2）用分组求和法． 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，得，    解得，，    所以 （2）    于是有， 7．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知数列满足，且，设. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）结合已知等式构造后应用等比数列定义证明即可； （2）应用分组求和再分别应用等差数列求和公式及等比数列求和公式计算. 【详解】（1）由已知，， 且，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）知，，，所以， . 题型九、数列求和之错位相减法 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）运用关系式，得到，再用等比数列公式计算即可； （2）先求出，再用错位相减求和. 【详解】（1）当时，，则； 当时，，整理得， 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为； 由得，即，所以数列是常数列，，所以数列的通项公式为 （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ，所以. 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】错位相减法求和、累乘法求数列通项、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设出等差数列的公差，由等差数列的通项整理等式，可得的通项，利用前项和与末项的关系，结合累乘法，再验首项，可得的通项； （2）利用错位相减法可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，则， 化简可得，由，则，所以； 由，则（），两式相减可得， 所以（），当时，， 可得，则（），显然可使上式成立， 所以. （2）由题意可得， 则， 两式相减可得， 则， 所以. 3．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式、错位相减法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意结合等差数列通项公式列式求，即可得通项公式； （2）由（1）可知：，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，则， 整理得，且，即． 又因为，则， 解得，所以． （2）由（1）可知：， 则， ． 两式相减得 ， 所以． 4．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和 【分析】（1）递推关系两边同除以可得，两边同时减1，化简后利用等比数列的定义与通项公式求解即可； （2）利用错位相减法与分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）由，两边同除以可得， 化为，又因为， 所以数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以，则； （2） 即， 设①， 则②， ①减②得：， 所以 所以. 5．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）在等差数列中，已知公差，，前项和为.且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、等比中项的应用 【分析】（1）由条件结合等比中项的性质及等差数列通项公式列方程求，由此可求数列数列的通项公式； （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【详解】（1）由题意知，，，， 因为，，成等比数列，所以， 即，整理得，解得或， 因为，所以， 所以； （2）由（1）知，， 则① ② ①②得， ， ， ， 所以. 6．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数．数列的首项．以后各项按如下方式取定：记曲线在处的切线为，若，则记与轴交点的横坐标是． (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求等比数列前n项和、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、错位相减法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）利用导数来求出切线，再求出与轴交点横坐标，从而可得到数列的递推关系，然后再利用证明的等比数列后一项，通过递推代入得到与前一项的关系，再加以说明非0，即可得证等比数列； （2）利用第一问即可求得，从而利用错位相减法来求数列的前项和即可. 【详解】（1）由，得， 曲线在处的切线方程为， 根据题意令可得，， 由， 因为，所以，且由得， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列． （2）由上式得，， 则，① 两边乘以2可得：，②. 由①－②得，， 所以． 压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论） 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列是等差数列，正项数列是等比数列，为数列的前项和．，． (1)求数列和的通项公式； (2)若对任意正整数恒成立，求实数的最小值； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、根据数列的单调性求参数 【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式列方程组计算可得结果. （2）分离参数得，分析数列的单调性可得结果. （3）计算为偶数或奇数时的值可得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ∵，， ∴，解得或， ∵，∴，故． （2）∵对任意正整数恒成立， ∴对任意正整数恒成立. 令，则， ∵， ∴，即数列单调递减， ∴，故，即的最小值为． （3）由，得， ∴， 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 综上得，. 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）在数列中，按照下面方式构成：，，，其中表示数列中最大的项. (1)若数列的前4项分别为，求数列的前4项； (2)若满足，且. ①求的值； ②求的前项和. 【答案】(1) (2)①392；② 【知识点】错位相减法求和、分组（并项）法求和、构造法求数列通项、数列新定义 【分析】（1）根据题意求，即可得结果； （2）根据题意分析可知数列是以首项和公比均为的等比数列，进而可得.①结合题意即可得；②根据题意可得的通项公式，利用分组求和法结合错位相减法运算求解. 【详解】（1）因为数列的前4项分别为， 则， 所以的前4项分别为 （2）因为，即， 且，可知数列是以首项和公比均为的等比数列， 则，所以. ①当为奇数时，； 当为偶数时，，可知数列为递增数列， 可知， 所以； ②当时，； 当时，， （i）当为奇数时， ， 令， 作差得 ， 所以； 经检验也满足上式，所以； （ii）当为偶数时，； 综上所述：. 【点睛】方法点睛：1.错位相减法的关注点 （1）适用题型：等差数列与等比数列对应项相乘型数列求和； （2）步骤：①求和时先乘以数列的公比；②把两个和的形式错位相减；③整理结果形式． 2.分奇偶的求和问题 如果数列的奇数项与偶数项有不同的规律，当n为奇数或偶数时的表达式不一样，因此需要分奇偶分别求. 3．（24-25高二上·重庆·期末）已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，， (1)求和的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）设数列公差为，数列公比为，利用等差数列通项公式和等比数列通项公式将条件转化为的方程，解方程求，再利用等差数列通项公式，等比数列通项公式求结论； （2）由（1）可得，分别在为偶数和奇数条件下，利用分组求和法，裂项相消法及等比数列求和公式求结论. 【详解】（1）设数列公差为，数列公比为， 由，得解得． 所以． 由于，即，又，， 所以，解得或（舍去） 所以； （2）由（1）得： 所以 所以 所以 当为偶数时： 当为奇数时： . 4．（24-25高二上·湖北·期末）记是等差数列的前项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最小值； (3)求数列的前项的和． 【答案】(1) (2)4 (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意列方程组，求出，即得数列通项； （2）利用求和公式求出，解不等式求得的范围，取整即得； （3）将所求和式按照为奇数和偶数进行分类，利用并组求和法与等差数列求和公式计算即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意知，，解得， 所以. （2）由（1）可得， 由可得，解得或， 因为，故正整数的最小值为. （3）因 当为偶数时， ； 当为奇数时， . 所以数列的前项和为：. 5．（2024·陕西咸阳·三模）数列满足，. (1)求数列通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、分组（并项）法求和、构造法求数列通项 【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列求出通项即得. （2）利用（1）的结论，求出，按为奇数和偶数并结合并项求和法分别求和. 【详解】（1）数列中，，，显然，则， 数列是首项为1，公差为1的等差数列，， 所以数列通项公式是. （2）由（1）知，， 当时，，， 当时，， 所以. 压轴二：数列求和之裂项相加法 1．（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知表示不超过x的最大整数．例如：．已知数列满足，． (1)求． (2)证明：且数列是等比数列． (3)设数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、根据数列递推公式写出数列的项、构造法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】（1）根据题中通递推公式结合取整函数的定义运算求解即可； （2）可知数列为递增数列，根据题中通递推公式结合取整函数的定义可证，分析可得，利用构造法结合等比数列定义分析证明； （3）由（2）得，，利用裂项相消法分析证明. 【详解】（1）因为，所以， 则，且，所以． （2）由题可得为正整数，则， 所以数列为递增数列， 当时，则，，， 可得，即． 由， 且均为正整数，得， 因为满足，所以， 则，由，得，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （3）由（2）得，则． ， 则， 因为，所以． 【点睛】方法点睛：数列与函数、不等式的综合问题的常见题型 1.数列与函数的综合问题主要有以下两类： ①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形． 2.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等问题，需要熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题． 2．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知数列为等差数列，前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)是否存在正整数m，n，（）使得成等差数列？若存在，求出，m，n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，. 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、等差中项的应用 【分析】（1）由等差数列通项公式及求和公式列出等式求出首项、公差即可； （2）由裂项相消法求和即可； （3）由等差中项列出等式求解即可. 【详解】（1）由， 可得：， 解得：， 所以； （2）由（1）可得：， 所以， 所以 （3）假设存在正整数m，n，（），使得成等差数列， 则， 即， 即， 取，可得：， 所以存在，，. 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，且，，，设． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【知识点】求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）转化已知条件，求得，即可证明为等比数列，结合逐差法，即可求得； （2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得，再根据恒成立问题，求得的最大值，即可求得的取值范围. 【详解】（1），故可得，又，即， 故数列为首项，公比为的等比数列，则； 故，则， 即，故. （2）， 故的前项和为 ， 不等式对任意恒成立， 则，即恒成立； 令，则， 则， 当时，，当时，， 故数列的最大项为， 故恒成立，也即，故实数的取值范围为. 4．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知数列的前n项和为，． (1)证明数列为等比数列并求数列的通项公式； (2)若______，且，求满足条件的最大整数n． 请在①；②这两个条件中任意选择一个填入上面横线处，并完成解答． 【答案】(1)证明见解析， (2)选择，；选择， 【知识点】错位相减法求和、裂项相消法求和、由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）构造数列等式作差可以判断等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）设， 选条件①：则，利用错位相差法求和进行判断即可； 选条件②：则，利用裂项相消法求和进行判断． 【详解】（1）由，① 当时，得，得， 当时，得，② 由①－②得， 得， 得，即， 而，故， 得数列为等比数列，首项为，公比为3， 得， 得． （2）设， 选条件①：则， 令， 则， 两式相减，得， 得， 则， 显然数列单调递增， 得，， 故满足条件的最大整数； 选条件②：则， 则， 显然数列单调递增， 得， 故满足条件的最大整数． 5．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知正项数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为．证明：对于任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】（1）运用之间的关系式，结合等差数列性质公式计算即可； （2）运用裂项相消法计算，结合不等式性质，证明即可. 【详解】（1）∵， 当时，， ∴两式相减并化简得， 又，则； 当时，， 即，∴， ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴. （2）证明：由（1）得，， 又，则， 则 . 6．（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知数列中，，且满足（）． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列 【分析】（1）由题意，可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1），根据等比数列的通项公式计算即可求解； （3）由（2）可得，利用裂项相消求和法可得，结合作差法即可证明. 【详解】（1）由题意知，所以， 由于，故，故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1）可知是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 （3）由（2）知． 所以， 故 ， 由于，故， 又， 故，所以 压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题 1．（24-25高二上·福建福州·期末）已知数列的前项和为，且，数列满足. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)若不等式对都成立，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】错位相减法求和、数列不等式恒成立问题、由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用变形推理得证. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. （3）求出，分离参数并构造新数列，探讨数列单调性求出最小值即可得解. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，则， 即，因此是以为首项，公差为1的等差数列， 则，. （2）由（1）得， ， 则， 则， 所以； （3），不等式， 即对任意正整数都成立， 令，则， 则，数列是递增数列， 因此，即，所以实数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第3问，分离参数，构造新数列，再探讨单调性是求解的关键. 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）记数列的前n项和为，已知 (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 (3)在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）由可直接求得答案； （2）结合（1）得，再利用错位相减法求和即可； （3）将原式化为恒成立，结合一次函数的性质列不等式组即可求得k的范围. 【详解】（1）因为，① 令，得，所以 当时，，② ①②，得，整理得 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 当时也符合上式，故. （2）由题意知 两式作差，得： 所以； （3）由恒成立，得恒成立，即恒成立． 所以解得， 所以k的取值范围是. 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数． (1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； (2)设，数列的前n项和为，且恒成立，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、数列不等式恒成立问题、数列新定义 【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可； （2）求出表达式，再分段求和即可.通过参变分离求最值即可求解； 【详解】（1）点在函数的图象上， ，， 数列是“平方递推数列”， 因为， 对两边同时取对数得， 数列是以1为首项、2为公比的等比数列； （2）由（1）知， 所以， 故数列的奇数项构成1为首项，4为公差的等差数列，偶数项构成2为首项，4为公比的等比数列， 由等差数列求和公式及等比数列求和公式可得： 所以等价于： 化简可得： ， 令，则，当且仅当时取等号，等号无法成立， 当，即时，；当，即时，； 所以， 所以的最大值 4．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、数列不等式恒成立问题、等比中项的应用、裂项相消法求和 【分析】(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的通项公式求出首项和公差,进而求出数列的通项公式; (2)利用裂项相消法求和，求得，然后作差法判断的单调性，以及结合，求得，然后根据恒成立建立不等式组，从而得解. 【详解】（1）设等差数列{ }的公差为， 由题意知： 解方程组得，所以， 即 （2）， ， 单调递增，， 又 若使得对一切恒成立，则，解得， ∴实数m的取值范围是． 5．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知数列满足，且. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和； (3)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【知识点】错位相减法求和、裂项相消法求和、由递推关系证明数列是等差数列、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）对递推式变形结合等差数列的概念即可证明，然后根据等差数列的通项公式求解即可； （2）由（1）知，然后利用错位相减法求和即可； （3）利用裂项相消法求和化简已知得，存在，使得成立，分离参数，变形后利用基本不等式求解最值即可得解. 【详解】（1）由，可得， 又，所以是1为首项1为公差的等差数列， 所以，所以； （2）由（1）知，所以， ， 两式相减，得， 故； （3）由（1）知， 所以 ， 由题可知，存在，使得成立， 所以， 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 故实数的取值范围是. 6．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前项和，存在，使成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列不等式能成立（有解）问题、裂项相消法求和、导数的加减法 【分析】（1）根据二次函数的导函数及所过的点可得，进而有，应用的关系求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法得，根据数列不等式能成立，讨论的奇偶性求参数范围. 【详解】（1）设二次函数且，则，故， 所以，又函数经过坐标原点，则，故， 又点均在函数的图象上，所以， 当，则，故，显然也满足， 所以； （2）由（1）， 所以， 由在上能成立， 当为奇数时，因为，所以； 当为偶数时，因为，所以； 存在，使能成立，只需或， 即. 压轴四：数列新定义题 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）对一个给定的数列的相邻两项作差，得到一个新数列，，…，，…这个数列称为的一阶差数列．如果记该数列为，其中，再求的相邻两项之差，那么称所得数列，，…，，…为原数列的二阶差数列．依此类推，对任意，可以定义数列的p阶差数列．如果的p阶差数列是一个非零常数列，那么称它为p阶等差数列．特别地，一阶等差数列就是我们常说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列统称为高阶等差数列． (1)数列的通项公式为，证明：数列是二阶等差数列． (2)数列的通项公式为，证明：数列的前n项和公式为． (3)设数列是一个三阶等差数列，其前面的若干项为1，2，8，22，47，86，…，求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、数列新定义 【分析】（1）根据二阶等差数列的定义即可证得结果. （2） 再分组求和，即可求得结果. （3）计算的各阶等差数列，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．再利用累加法即可求出数列，再用累加法计算得. 【详解】（1）数列的通项公式为，设数列的一阶差数列为， 则， 即， 所以数列的一阶差数列为， 所以的1阶差数列是一个以为首项，2为等差的等差数列， 则 的2阶差数列是一个以2为首项的常数列， 根据二阶等差数列定义可知数列是二阶等差数列. （2）证明： ． ∵， ∴， ∴．证毕． （3）计算的各阶等差数列，设的一阶差数列为，二阶差数列为，三阶差数列为， 得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…． ∵是一个三阶等差数列，∴是一个常数列， ． ∵，，2，…， ∴， ∴． 同理可解得， 故． 【点睛】关键点点睛：先计算出的各阶等差数列，得：1，6，14，25，39，…；：5，8，11，14，…；：3，3，3，…．再利用累加法即可求出数列的通项公式.. 2．（24-25高二上·江苏南通·期末）记正整数的所有正因数的和为，如.若，则称为“好数”. (1)判断28是否为“好数”，并说明理由， (2)证明：不是“好数”； (3)设，求所有形如的“好数”. 【答案】(1)28是“好数”，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】求等比数列前n项和、数列新定义 【分析】（1）根据“好数”的概念计算判断；（2）根据“好数”的概念，结合等比数列求和公式，计算判断；（3）根据“好数”的概念,结合等比数列的求和公式和指数增长规律计算即可. 【详解】（1）对于，它的正因数有. 计算这些正因数的和，通过加法运算得到. 而，即，满足“好数”的定义，所以28是“好数”. （2）求的正因数之和，的正因数为，这是一个首项，公比，项数的等比数列. 根据等比数列求和公式，可得. 而，因为，即，所以不是“好数”. （3）先求，因为，根据正因数的性质，等于的正因数和与的正因数和的乘积. 的正因数和为， 的正因数和为. 所以. 令，即，化简得. 当时，左边， 右边，等式成立. 当时，对展开得，.通过分析指数函数的增长速度可知，此时左边大于右边，方程无解. 所以，那么形如的“好数”为，即形如的“好数”集合为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结合已知结论求解，本题中，根据“好数"的定义，结合等差数列与等比数列的通项公式与求和公式进行求解，考查等比数列与等比数列的综合应用，属于难题. 3．（24-25高二上·云南昆明·期末）定义：若数列满足（为常数，，则称数列为二阶等比数列，为二阶公比．已知二阶等比数列，，，二阶公比为． (1)求数列的通项公式； (2)求使的最小正整数的值． 【答案】(1)； (2)8. 【知识点】求等差数列前n项和、累乘法求数列通项、数列新定义、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据数列新定义可得，再利用累乘法求得的表达式. （2）利用（1）的结论解数列不等式，即可求得答案. 【详解】（1）依题意，二阶等比数列的二阶公比为，则， 于是当时，， ， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，不等式，而， 由，得，又的值随n的增大而增大，且， 当时，，当时，， 数列是递增数列，因此， 所以使的最小正整数的值为8. 4．（24-25高二上·福建三明·期末）设有穷数列A：，，…，的所有项之和为，所有项的绝对值之和为，若数列A满足下列两个条件，则称其为n阶“0－2数列”：①；②． (1)若2025阶“0－2数列”A：，，…，是递减的等差数列，求； (2)若阶“0－2数列”A：，，…，是等比数列，求A的通项公式（，用n，k表示）； (3)设n阶“0－2数列”A：，，…，的前m项和为，若，使得，证明：数列B：，，…，不可能为n阶“0－2数列”． 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【知识点】数列的概念及辨析、写出等比数列的通项公式、数列新定义 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前n项和公式，结合2025阶“数列的定义求解即可； （2）讨论和，由等比数列的通项公式和前n项和公式，结合阶“数列的定义求解即可； （3）假设数列B：，，…，为n阶“0－2数列”为阶，则，设数列B：，，…，的前i项和为，则，所以，进而得出，结合n阶“0－2数列”的定义与性质②不能同时成立，即可得证. 【详解】（1）设等差数列A的公差为d，， 由①得，即， 所以，所以， 则，， 又，，且，所以， 所以，解得， 由，得． （2）设数列A的公比为q， 当时，由①知，则，不符合题意，所以， 由①得， 因为，，所以， 由②可知，则或， 故数列A的通项公式为或． （3）证明：由数列A为n阶“0－2数列”可知， 所有非正项的和为，所有正项的和为1，所以， 若，使得， 由上可知，，…，，，，…，， 且． 假设数列B：，，…，为n阶“0－2数列”，则， 设数列B：，，…，的前i项和为，则， 所以， 又，所以．则，． 所以， 又，所以，，…，， ， 与性质②不能同时成立， 故数列B：，，…，不可能为n阶“0－2数列”． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 5．（24-25高二上·广东清远·期末）若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”. (1)已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围； (2)已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数，使得对恒成立，并说明理由； (3)已知正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，证明：数列是“超1数列”. 【答案】(1) (2)不存在符合要求的实数，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】数列新定义、数列不等式恒成立问题、数列综合 【分析】（1）利用“超1数列”的定义得，且，即可求得结果. （2）先假设存在实数，使得对恒成立， 等价于对恒成立.推出矛盾即可证明. （3）由正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，得出公比或4.再分情况讨论，利用“超1数列”的定义证明数列是“超1数列” 【详解】（1）由题知，，且， 解得， 所以实数的取值范围为. （2）不存在， 理由如下：由题知，对恒成立， 所以数列是等差数列，且，公差为， 所以. 假设存在实数，使得对恒成立， 即对恒成立， 所以对恒成立. 当时，； 当时，恒成立， 因为，所以，与矛盾， 所以假设不成立， 故不存在符合要求的实数. （3）由题意，设数列的公比为且，则. 因为， 所以在数列中，为最小项. 所以在数列中，为最小项. 因为为“超1数列”， 所以只需，即， 又，所以. 又不是“超1数列”，且为最小项， 所以，即. 又，所以， 又，所以或4. 当时，， 令， 则， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”. 当时，， 令， 则， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”. 综上所述，数列是“超1数列”. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，直接模仿定义中的条件来列式计算即可对(1)问求解，然后结合新定义及假设存在，最后推出矛盾即可对（2）问进行求解.对于第（3）问则根据题干中的条件正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”，得出公比或4.再分情况分别证明即可. $$