专题07 平面向量与复数（新高考通用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题07 平面向量与复数 题型概览 题型01 平面向量的线性运算 题型02 平面向量的数量积运算 题型03 平面两向量的垂直与平行 题型04 平面两向量与三角函数等知识的交汇 题型05 复数的概念 题型06 复数的基本运算 题型07 复数的几何意义 ( 题型0 1 )平面向量的线性运算 1．（2025·安徽滁州·二模）已知为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东滨州·二模）在平行四边形中，点在边上，且，则（   ） A．2 B．3 C．-2 D．4 3．（2025·山西·二模）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 4．(多选）（2025·河南焦作·三模）在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2025·重庆·二模）已知 为 内部的一点，满足 ，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（2025·湖北黄冈·二模）设平面向量的夹角为，若，且，则（    ） A．当时，三点共线 B．当时，平分 C．当时，的最大值为2 D．当时，的取值范围为 7．（2025·天津河北·二模）如图，在中，点D，E在边BC上，且，点F，M分别在线段AB，AD上，且，直线FM交AE于点G，且，则 ．若直线MC交AE于点N且是边长为1的等边三角形，则 ． 8．（2025·黑龙江·二模）在菱形中，为边的中点，若，则 . ( 题型0 2 )平面向量的数量积运算 1．（2025·江西·二模）设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（2025·山东潍坊·二模）已知向量在向量上的投影向量为，若，则（   ） A． B． C．3 D．9 3．（2025·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东揭阳·二模）已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·二模）已知向量，向量满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2025·河北邯郸·二模）已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山西吕梁·二模）已知向量，，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山西晋城·二模）已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．3 9．（2025·江西鹰潭·二模）若非零向量满足，且向量与向量的夹角，则的值为（    ） A． B．0 C． D．6 10．（多选）（2025·辽宁·二模）已知平面单位向量满足．设，向量与的夹角为，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·辽宁沈阳·二模）已知向量满足，，且，则 . ( 题型0 3 )平面两向量的垂直与平行 1．（2025·山东·二模）已知向量，，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江西上饶·二模）已知向量，若，则（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．（2025·广东清远·二模）已知，，且，则（   ） A．4 B． C． D． 4．（2025·陕西·二模）已知两个不相等的向量，若，则（    ） A． B．0 C． D． 5．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）设向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广西河池·二模）已知向量且，求（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东菏泽·二模）已知向量，，若与垂直，则实数的值为 ． 8．（2025·河北·二模）已知平面向量，，且，则 ． 9．（2025·江苏·二模）已知平面向量，，若，则实数的值为 . 10．（2025·辽宁辽阳·二模）已知向量，若，则 ． ( 题型0 4 )平面两向量与三角函数等知识的交汇 1．（2025·河北·二模）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D．无法确定，与有关 2．（2025·山东聊城·二模）中，，则的最大值为（    ） A．6 B． C．12 D． 3．（2025·山东临沂·二模）已知，若向量与向量互相垂直，则（    ） A． B． C．5 D． 4．（2025·山西·二模）已知向量，的夹角为60°，且，设，，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河南·二模）已知为抛物线上的动点，，为圆上的两个不同点，若恰为圆的一条直径，则的最小值为 ；若，均与圆相切，则的最小值为 . 8．（2025·云南昆明·二模）已知，，动点满足直线与直线斜率之积为．记的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点，若，求直线的方程． ( 题型0 5 )复数的概念 1．（2025·山西吕梁·二模）若复数，则其共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁辽阳·二模）复数的虚部为（    ） A．6 B． C． D． 3．（2025·河北·二模）复数，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·云南曲靖·二模）已知复数，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 5．（2025·广西河池·二模）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏南京·二模）已知，其中为虚数单位，是的共轭复数，则（   ） A． B．2 C． D．8 7．（2025·辽宁·二模）使复数为纯虚数的最小自然数是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江西上饶·二模）已知复数，若为实数，则（   ） A．2 B．5 C．4 D．1 9．（2025·江西鹰潭·二模）复数，若为纯虚数，则（    ） A．4 B． C．1 D． 10．（2025·安徽滁州·二模）已知复数满足，则的实部与虚部之积为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·河北邯郸·二模）已知复数，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2025·重庆·二模）已知命题 ，命题 : 复数 为纯虚数，则命题 是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2025·辽宁·二模）若（i为虚数单位，），则的最大值是（   ） A． B． C． D． 14．（多选）（2025·云南昆明·二模）已知虚数，互为共轭复数，则（   ） A．为实数 B．为纯虚数 C． D． 15．（2025·天津河北·二模）已知i是虚数单位，复数的虚部是 ． 16．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知为虚数单位，若复数为纯虚数，为实数，则 ． ( 题型0 6 )复数的基本运算 1．（2025·河南·二模）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西晋城·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东清远·二模）设为虚数单位，复数满足，则（   ） A． B． C．2 D． 5．（2025·河南焦作·三模）若为方程的两个不同的根，则（    ） A．－2i B．2i C．－2 D．2 6．（2025·山东菏泽·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C．3 D．5 7．（2025·江西·二模）已知（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（2025·山东潍坊·二模）已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（   ） A． B． C．1 D．5 9．（2025·广东深圳·二模）已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·天津·二模）复数满足（其中i为虚数单位），则 . 11．（2025·江西萍乡·二模）若复数满足：，其中为虚数单位，则 ． 12．（2025·天津南开·二模）是虚数单位，若复数满足，则 ． 13．（2025·天津·二模）是虚数单位，复数 . ( 题型0 7 )复数的几何意义 1．（2025·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·湖北黄冈·二模）复数的共轭复数在复平面内对应的点位（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·山东聊城·二模）复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点在复平面的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东·二模）已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2025·河南·二模）已知复数，在复平面内，复数与对应的点关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 7．（2018·贵州黔东南·一模）已知复数满足，则的最小值为 A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2025·山东滨州·二模）在复平面内，点对应的复数为，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河北张家口·二模）已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 平面向量与复数 题型概览 题型01 平面向量的线性运算 题型02 平面向量的数量积运算 题型03 平面两向量的垂直与平行 题型04 平面两向量与三角函数等知识的交汇 题型05 复数的概念 题型06 复数的基本运算 题型07 复数的几何意义 ( 题型0 1 )平面向量的线性运算 1．（2025·安徽滁州·二模）已知为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】由题意得.故选：B. 2．（2025·山东滨州·二模）在平行四边形中，点在边上，且，则（   ） A．2 B．3 C．-2 D．4 【答案】B 【分析】用、作为基底表示出、，再由数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以 .故选：B。 3．（2025·山西·二模）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可. 【详解】对于选项A，，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误；对于选项B，，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误；对于选项C，不存在实数，使得，故C正确；对于选项D，，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误.故选：C. 4．（2025·河南焦作·三模）在中，若，点在边上，点在边上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】本题考查平面向量的运算性质，对于，先将表示为，求的坐标，再求出其模长；对于，先利用向量数量积的坐标表示求出，再求出；对于，由，得为边上的高，再由等面积法求出；对于，由，得到平分，即，又，所以，最后利用求出即可. 【详解】对于，，故正确；对于，因为，所以，故错误；对于，因为， 所以为边上的高，的面积为， 所以，故错误；对于，因为，所以平分， 即，又，所以，所以，故正确．故选：. 5．（2025·重庆·二模）已知 为 内部的一点，满足 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】把变形得然后两边平方，再由平面向量数量积的运算律计算即可判断A；根据数量积的运算律和定义计算即可判断B；根据向量的求模公式和数量积的定义计算即可判断C；根据向量的线性运算即可判断D. 【详解】由，又， 所以，故A对； 由， 所以，故B错； ，故C对； ，故D对；故选：ACD 6．（2025·湖北黄冈·二模）设平面向量的夹角为，若，且，则（    ） A．当时，三点共线 B．当时，平分 C．当时，的最大值为2 D．当时，的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用平面向量基本定理即得；对于B，先证，得三点共线，过点作，利用中位线定理和三角形相似推得，即可证得；对于C，D，通过建系，设，将分别用的三角函数表示，利用三角恒等变换将目标函数化成正弦型函数，结合正弦函数的单调性即可求得其范围或最值. 【详解】对于A，当时，，由平面向量基本定理，可得三点共线，故A正确； 对于B，如图，当时，由，可得 ，即，故三点共线，且，过点作，交于点，因，，则，而，故，则，由可得，则，故平分，即B正确； 对于C，如图，以为坐标原点，所在直线为轴,建立平面直角坐标系， 则，即，因，不妨设，由可得，故得，解得，故，其中，故的最大值为，故C错误；对于D，根据C项建系，已得，则 ，因，故得，即的取值范围为，故D正确.故选：ABD. 7．（2025·天津河北·二模）如图，在中，点D，E在边BC上，且，点F，M分别在线段AB，AD上，且，直线FM交AE于点G，且，则 ．若直线MC交AE于点N且是边长为1的等边三角形，则 ． 【答案】 / 【分析】根据图形得到，结合三点共线即可求参数值，延长交于，设，进而有，可得，且，分别过作，交于，可得，，进而有，最后应用向量数量积的运算律求解. 【详解】由题设 ，又三点共线，则，可得，如下图，延长交于， 由， 若，则，而三点共线，所以，即，由， 分别过作，交于，若，则，， 所以，，即，， 综上，，则，为边长为1的正三角形， 所以.故答案为：， 8．（2025·黑龙江·二模）在菱形中，为边的中点，若，则 . 【答案】 【分析】方法一：根据数量积的运算律得到，由对称性易知，即可得解；方法二：设在上的投影向量分别为，易知，根据数量积的几何意义计算可得. 【详解】方法一：，，且由对称性易知，. 方法二：设在上的投影向量分别为，易知，由数量积的几何意义可知，，. ( 题型0 2 )平面向量的数量积运算 1．（2025·江西·二模）设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由投影向量的计算，求得数量积，利用数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可得，且，则， 所以.故选：D. 2．（2025·山东潍坊·二模）已知向量在向量上的投影向量为，若，则（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】A 【分析】根据计算投影向量的公式及，求得，再利用数量积的运算律即可得答案. 【详解】，∴, ,故选：A. 3．（2025·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点 ，求出，再列出方程，即可得解. 【详解】设点 ，则，又，所以，所以点的坐标为，故选：A 4．（2025·广东揭阳·二模）已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知结合数量积的运算律求出.进而得出，即可得出答案. 【详解】由已知，可得，，即.又平面向量与均为单位向量，所以.所以，，所以，，夹角为.故选：A. 5．（2025·辽宁·二模）已知向量，向量满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意可得：，，根据向量减法的运算性质即可得结果. 【详解】由题意可得：，因为，则，当且仅当反向时，等号成立，所以的最小值为1.故选：A. 6．（2025·河北邯郸·二模）已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量的数乘和加法运算求出与的坐标，再利用向量数量积的坐标运算公式计算它们的数量积，最后通过化简得到与的关系式． 【详解】，即． 故选：A. 7．（2025·山西吕梁·二模）已知向量，，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件及投影向量的定义计算即可求解. 【详解】由题意，，则，所以在上的投影向量是.故选：B． 8．（2025·山西晋城·二模）已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由，利用向量数量积运算和向量的模即可求解. 【详解】因为，，所以.由，得，即，整理得，解得，或（舍去）．故选：C． 9．（2025·江西鹰潭·二模）若非零向量满足，且向量与向量的夹角，则的值为（    ） A． B．0 C． D．6 【答案】B 【分析】由求出，进而得的值. 【详解】由有，所以 ， 所以，故选：B. 10．（2025·辽宁·二模）已知平面单位向量满足．设，向量与的夹角为，则的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由得，设，根据平面向量夹角公式表示出，设求得即可求解． 【详解】由得，，设， ，， 则，设，则， 则，所以，即，故选：AB． 11．（2025·辽宁沈阳·二模）已知向量满足，，且，则 . 【答案】 【分析】 根据复数模长公式计算即可. 【详解】. 故答案为：. ( 题型0 3 )平面两向量的垂直与平行 1．（2025·山东·二模）已知向量，，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量平行列出等式结合二次函数性质即可求解. 【详解】若，则，当时，有最小值为.故选：A 2．（2025·江西上饶·二模）已知向量，若，则（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数量积的坐标表示，结合垂直关系的向量表示列式求解. 【详解】由，得，而，所以.故选：C 3．（2025·广东清远·二模）已知，，且，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量共线的坐标运算列式求解值. 【详解】因为，，且，所以，解得.故选：B. 4．（2025·陕西·二模）已知两个不相等的向量，若，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】由向量平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】由，可得：即：，解得：或（舍去，相等了）故选：C。 5．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）设向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量平行、垂直的坐标表示，及数量积、模长的坐标表示逐项判断. 【详解】对于A，由坐标易知不成立，错误；对于B：，错误； 对于C：，正确，对于D：，所以，错误，故选：C 6．（2025·广西河池·二模）已知向量且，求（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算坐标表示计算，，再有向量垂直数量积为0列式计算可得，即可求得. 【详解】因为，所以，，由得，，则有，解得或，因为，所以，即.故选：C 7．（2025·山东菏泽·二模）已知向量，，若与垂直，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】，，由题意， 可得：，得，故答案为： 8．（2025·河北·二模）已知平面向量，，且，则 ． 【答案】 【分析】先求出的坐标，再利用即可. 【详解】由题意得，，又，则，解得． 9．（2025·江苏·二模）已知平面向量，，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】先求出，根据向量平行得到方程，求出实数的值. 【详解】，，，.故答案为：。 10．（2025·辽宁辽阳·二模）已知向量，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由可解得的值，即可写出的坐标，从而得到的坐标，再由数量积的坐标形式即可得出答案. 【详解】由，可得，解得，则，所以．故答案为：. ( 题型0 4 )平面两向量与三角函数等知识的交汇 1．（2025·河北·二模）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D．无法确定，与有关 【答案】C 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求得，再应用向量模长的坐标运算求. 【详解】由题，则， 所以.故选：C 38．（2025·山东聊城·二模）中，，则的最大值为（    ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】根据正弦定理可得在以半径为的圆上，由向量线性运算得，根据向量运算几何意义，计算即可求解. 【详解】由正弦定理可得，，所以在以半径为的圆上， 则，由向量数量积几何意义及垂径定理可知：，当与同向时，有最大值为， 所以的最大值为.    故选：D. 2．（2025·山东临沂·二模）已知，若向量与向量互相垂直，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】依题意可得、、、均不为，将两式相除得到，再由及两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为，，显然、、、均不为，所以，即，所以，所以因为向量与向量互相垂直，所以，则，又，解得.故选：C 3．（2025·山西·二模）已知向量，的夹角为60°，且，设，，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】从充分性、必要性两方面证明即可. 【详解】一方面，因为，夹角为，，， 所以， 当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，故，所以是的充分条件.另一方面，因为，夹角为，，，所以，所以， 所以，即，所以，故是的必要条件.综述：是的充要条件. 故选：C. 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M为双曲线E右支上一点，点N在x轴上，满足，若，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得以、为邻边的平行四边形为菱形，即可得到，再由双曲线的定义求出、，最后利用余弦定理求出、的关系，即可求出离心率. 【详解】因为，所以以、为邻边的平行四边形的以点为起点的对角线对应的向量与共线， 又，为的角平分线，以、为邻边的平行四边形为菱形，，由双曲线定义知：，，， 在中，由余弦定理， 即，即，双曲线的离心率.故选：C. 5．（2025·江苏南京·二模）在四边形中，，，，E是线段中点，是线段上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立坐标系，表示出的坐标，根据是线段上的动点用参数表示点的函数，从而题目可转换为关于的二次函数在闭区间上的最小值问题. 【详解】由题以点为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，E是线段中点，所以，而是线段上的动点，从而可设，所以点的坐标是，所以， ， 所以当时，的最小值是.故选：C. 6．（2025·河南·二模）已知为抛物线上的动点，，为圆上的两个不同点，若恰为圆的一条直径，则的最小值为 ；若，均与圆相切，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求圆的圆心坐标和半径，设，利用表示并求其最小值，再结合向量运算法则求的最小值，设，根据数量积的定义及二倍角公式利用表示，结合对勾函数性质求最小值即可. 【详解】圆的圆心为，半径，设，则，， （时取等号）.所以，当为圆的一条直径时，，，所以，当且仅当点的坐标为时等号成立，所以的最小值为.    当，均与圆相切时，则，设，则， 所以， 因为函数在上单调递增，，所以当时，即点的坐标为时，取最小值，最小值为.      7．（2025·云南昆明·二模）已知，，动点满足直线与直线斜率之积为．记的轨迹为． (1)求的方程； (2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点，若，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）根据斜率公式即可化简求解， （2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据向量的坐标运算求解. 【详解】（1）设，据题意知，化简得， 所以的方程为． （2）设，，，联立消得， 故，，据题意知且，所以，，由得，所以，解得，所以直线的方程为．    ( 题型0 5 )复数的概念 1．（2025·山西吕梁·二模）若复数，则其共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据共轭复数的概念判断. 【详解】，则.故选：C． 2．（2025·辽宁辽阳·二模）复数的虚部为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据复数的乘法计算公式化简复数，再求虚部. 【详解】，所以复数的虚部为6．故选：A 3．（2025·河北·二模）复数，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法法则求得复数，可求的虚部. 【详解】，故的虚部是.故选：A． 4．（2025·云南曲靖·二模）已知复数，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数的分类列式计算作答. 【详解】因为,所以，故选：C 5．（2025·广西河池·二模）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算即可求得复数z，进而求得结果. 【详解】，故，所以的虚部为.故选：B 6．（2025·江苏南京·二模）已知，其中为虚数单位，是的共轭复数，则（   ） A． B．2 C． D．8 【答案】C 【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的概念可得，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】由，得，所以，所以.故选：C 7．（2025·辽宁·二模）使复数为纯虚数的最小自然数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简、，结合复数的概念可得出结论. 【详解】因为，，因此使得复数为纯虚数的最小自然数是.故选：C. 8．（2025·江西上饶·二模）已知复数，若为实数，则（   ） A．2 B．5 C．4 D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件求出复数，进而求出其模. 【详解】由复数为实数，得，即，则，所以.故选：C 9．（2025·江西鹰潭·二模）复数，若为纯虚数，则（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由共轭复数的概念和纯虚数的概念结合复数的乘法运算可得. 【详解】由题意可得，因为为纯虚数，即为纯虚数，所以，解得.故选：D 10．（2025·安徽滁州·二模）已知复数满足，则的实部与虚部之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算进行化简，即可得解. 【详解】由，则，其实部为，虚部为，故实部与虚部之积为，故选：A. 11．（2025·河北邯郸·二模）已知复数，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由求参数，再结合必要不充分条件定义即可得解. 【详解】，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C. 12．（2025·重庆·二模）已知命题 ，命题 : 复数 为纯虚数，则命题 是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先将命题看成真命题求出的取值，再根据充要条件与集合间的关系即可写出答案 【详解】因为是纯虚数，所以 ， 所以.故命题是命题 的充要条件故选：C. 13．（2025·辽宁·二模）若（i为虚数单位，），则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数相等，可得，即可根据不等式求解. 【详解】由可得，所以且， 故，当且仅当时取到等号，故选：B 14．（2025·云南昆明·二模）已知虚数，互为共轭复数，则（   ） A．为实数 B．为纯虚数 C． D． 【答案】AB 【分析】利用复数的代数形式表示，再逐项求解判断. 【详解】依题意，设，则，对于A，，A正确；对于B，为纯虚数，B正确；对于C，，C错误；对于D，，当时，，，D错误.故选：AB 15．（2025·天津河北·二模）已知i是虚数单位，复数的虚部是 ． 【答案】/ 【分析】应用复数模的求法及除法运算化简，即可得虚部. 【详解】由，则虚部为. 16．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知为虚数单位，若复数为纯虚数，为实数，则 ． 【答案】 【分析】设出复数，再由纯虚数定义以及实数定义可求得，；可得出. 【详解】设，由题可知为纯虚数，即，解得；又为实数，可得，即，因此，所以. ( 题型0 6 )复数的运算 1．（2025·河南·二模）已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的乘除法运算及共轭复数的定义即可求解． 【详解】由题意可得，故，其虚部为．故选：C． 2．（2025·山西晋城·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的除法运算计算可得. 【详解】由，得．故选：A． 3．（2025·江苏·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数除法和减法法则计算出答案. 【详解】，故选：B. 4．（2025·广东清远·二模）设为虚数单位，复数满足，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先用除法法则得到，利用模长公式得到答案 【详解】因为，所以，所以.故选：B． 5．（2025·河南焦作·三模）若为方程的两个不同的根，则（    ） A．－2i B．2i C．－2 D．2 【答案】A 【分析】利用复数的运算求出两根的关系，进而可得答案. 【详解】因为，所以．故选：A 6．（2025·山东菏泽·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由复数的除法运算、模长公式即可求解. 【详解】，得，所以，故选：B 7．（2025·江西·二模）已知（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据虚根成对原理也是方程的一个根，利用韦达定理计算可得. 【详解】因为（是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，所以也是方程的一个根，则，所以，.故选：C 8．（2025·山东潍坊·二模）已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的性质得到另一个根，再结合韦达定理求出参数值，最后求解的值即可. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根，所以是关于的实系数方程的另一个复数根，由韦达定理得，解得， ，则，故D正确.故选：D 9．（2025·广东深圳·二模）已知复数均不为0，则下列等式不恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的运算性质可一一验证. 【详解】设，对A，， ，，故A正确； ， ，，故B正确； ， ，故C错误；，，，故D正确；故选：C. 10．（2025·天津·二模）复数满足（其中i为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】利用复数的除法运算求解即得. 【详解】依题意，. 11．（2025·江西萍乡·二模）若复数满足：，其中为虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模. 【详解】因为，所以， 所以.故答案为： 12．（2025·天津南开·二模）是虚数单位，若复数满足，则 ． 【答案】/ 【分析】由复数的运算法则可求复数. 【详解】∵，∴，故答案为：. 13．（2025·天津·二模）是虚数单位，复数 . 【答案】/ 【分析】根据复数的乘法运算法则计算即可得解. 【详解】.故答案为：. ( 题型0 7 )复数的几何意义 1．（2025·山东·二模）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】求出可得答案. 【详解】由得，则在复平面内所对应的点为，位于第三象限.故选：C. 2．（2025·湖北黄冈·二模）复数的共轭复数在复平面内对应的点位（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先化简，再得到共轭复数，最后得到点对应象限. 【详解】，则共轭复数为，对应的点，在第二象限. 故选：B. 3．（2025·山东聊城·二模）复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点在复平面的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到复数，然后结合复数的几何意义即可知道结果. 【详解】因为，所以则其对应点的坐标为，位于第二象限.故选：B. 4．（2025·河北秦皇岛·一模）已知复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘法求出的实部和虚部，即可得出其对应的点. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以，所以，则在复平面内对应的点为.故选：. 5．（2025·山东·二模）已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】设复数，根据共轭复数的定义求出，再结合已知条件列出方程组求解的值，从而得到复数，最后确定其在复平面内的位置. 【详解】设复数，则共轭复数，因为， 列出方程组为：求解该方程组得：.所以复数.在复平面内对应点坐标为，横坐标，纵坐标，所以该点在第一象限.故选：A. 6．（2025·河南·二模）已知复数，在复平面内，复数与对应的点关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出复数对应的点，再得出复数对应的点，得到复数和，再进行减法运算. 【详解】在复平面内，对应的点为，而关于直线对称的点为，则，所以.故选：D 7．（2018·贵州黔东南·一模）已知复数满足，则的最小值为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】设，，∴，∴， ∴，则==≥．当时取等号．故选：B． 8．（2025·山东滨州·二模）在复平面内，点对应的复数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用复数的几何意义求出复数，再结合模的公式计算即可. 【详解】因为在复平面内，点对应的复数为，所以， 所以，则.故选：C 9．（2025·河北张家口·二模）已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先设出复数的代数形式，再根据共轭复数的定义求出，然后将与代入已知等式，根据复数相等的条件求出的实部与虚部，最后确定在复平面内所对应的点所在的象限． 【详解】设，其中，根据共轭复数的定义可知． 将，代入可得：根据平方差公式，可得，则上式可化为： 因为等式两边的复数相等，根据复数相等的条件，可得方程组．由，解得． 将代入，可得，解得，由，，可得，在复平面内，复数所对应的点的坐标为，所以该点位于第一象限． 故选：A． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$