专题06 数列（新高考通用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题06 数列 题型概览 题型01 数列的递推公式 题型02 等差数列及其性质的应用 题型03 等比数列及其性质的应用 题型04 等差数列与等比数列交汇问题 题型05 数列求和问题 题型06 数列中的新定义问题 题型07 数列与三角、解析几何等知识交汇 ( 题型0 1 )数列的递推公式 1．（2025·山东潍坊·二模）已知数列满足，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·江苏南京·二模）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知数列满足，，且，若记数列的前项的积为，，的前项和为，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等比数列         B． C．当为奇数时， D．当为偶数时， 4．（多选）（2025·山西临汾·二模）已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B．是单调递增数列 C．若为数列的前项和，则 D．若对任意，都有，则 5．（2025·重庆·二模）设等差数列的前项和为，且，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江西上饶·二模）已知数列满足，则数列的前4项的和为 ． 7．（2025·河北张家口·二模）已知数列不是递增数列，且，则k的取值范围为 . 8．（2025·广东清远·二模）已知数列的首项为，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足．求数列的前项和为； (3)设数列的前项和为，，且，若时，，求数列首项的取值范围． ( 题型0 2 )等差数列及其性质的应用 1．（2025·江西上饶·二模）已知为等差数列，，则（   ） A．12 B． C． D． 2．（2025·山西临汾·二模）记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 3．（2025·云南昆明·二模）已知等差数列，公差为，，前项和为，记集合，若中有2个元素，则，的关系可以为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川雅安·二模）记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江西萍乡·二模）已知等差数列满足：，则的公差为（   ） A．1 B．2 C． D． 6．（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．（2025·河北邯郸·二模）已知等差数列的前项和为，且，则公差 ． 8．（2025·安徽池州·二模）在等差数列中，若，则 . 9．（2025·河南新乡·二模）已知是等差数列的前项和，数列的公差为，且是等差数列，则 . 10．（2025·浙江金华·二模）已知数列为等差数列，为其前项和，满足，，则的值为 . 11．（2025·山东青岛·二模）记等差数列的前项和为，且，则 ． 12．（2025·陕西渭南·二模）已知等差数列满足是关于的方程的两个根. (1)求. (2)求数列的通项公式. (3)设，求数列的前项和. ( 题型0 3 )等比数列及其性质的应用 1．（2025·山东聊城·二模）各项均为正数的等比数列的前5项和为，且，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（2025·云南昆明·二模）已知正项等比数列，满足，，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．（2019·广东茂名·一模）已知数列为正数项的等比数列，是它的前项和，若，且，则（  ） A．34 B．32 C．30 D．28 4．（2025·安徽滁州·二模）已知首项为负数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东滨州·二模）设为等比数列，且，则（   ） A．12 B．24 C．48 D．96 6．（2025·山东菏泽·二模）已知为等比数列前项和，若，则（    ） A．5 B．3 C． D． 7．（2025·江苏·二模）已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁·二模）记为正项数列的前项和，，为等比数列，则 . 9．（2025·四川雅安·二模）在公比不为1的等比数列中，若，且有成立，则 . ( 题型0 4 )等差数列与等比数列交汇问题 1．（2025·安徽黄山·二模）已知各项均为整数的数列中，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东清远·二模）已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（   ） A．11 B．13 C．19 D．17 3．（多选）（2025·辽宁沈阳·二模）已知数列满足，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，则是等差数列 B．若，，则是等差数列 C．若，，则是等比数列 D．若，，则是等比数列 4．（多选）（2025·安徽淮北·二模）设数列的前项和为，对任意正整数有，下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．一定不是等差数列 C．若为等比数列，则公比为2 D．若，则为等比数列 5．（多选）（2025·江西新余·二模）已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，则（   ） A．存在公差为1的等差数列，使得 B．存在公比为2的等比数列，使得 C．若，则 D．若，则 6．（多选）（2025·辽宁锦州·二模）已知数列，其前n项和为，数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若为等差数列，则数列也是等差数列 B．若，则数列为等比数列 C．若，则时取到最小值 D．若为等比数列，且，则 7．（2025·云南曲靖·二模）已知是公比不为1的等比数列，将调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组的值依次为 （用数字作答）. 8．（2025·辽宁沈阳·二模）已知公差不为0的等差数列的首项为1，且，，成等比数列，则 ． 9．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，. (1)当数列为等差数列时，求的通项公式及； (2)当在单调递增时，设，求的值； (3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值. ( 题型0 5 )数列求和 1．（2025·陕西咸阳·二模）已知数列满足（，），则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津南开·二模）若数列满足，且，则的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 3．（2025·河南·二模）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，求证：. 4．（2025·山东聊城·二模）数列是递增数列，其前项和为，且． (1)求； (2)记，数列满足：，数列的前项积与前项和分别记为．证明： ①； ②． 5．（2025·广东广州·二模）设为数列的前项和，且是和8的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 6．（2025·辽宁·二模）已知数列的前项和满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 7．（2025·安徽滁州·二模）在数列中，，，其前项和为．数列是公差为的等差数列． (1)求； (2)若， （ⅰ）求数列的通项公式及前项和； （ⅱ）若，数列满足，，求证：对任意正整数，都有． ( 题型0 6 )数列中的新定义问题 1．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（   ） A．38 B．51 C．66 D．83 2．（多选）（2025·江西萍乡·二模）若数列的前项中，最大项为，最小项为，则称数列为的“极差数列”．下列关于极差数列的说法正确的为（   ） A．若数列是等差数列，则它的极差数列也是等差数列 B．若数列的极差数列是等差数列，则也是等差数列 C．数列的极差数列可能为等比数列 D．数列的极差数列的极差数列仍是 3．（2025·山东青岛·二模）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定已知且Ø，则中所有元素之和为奇数的概率为 . 4．（2025·安徽黄山·二模）若数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且数列，的前项和分别为，． (1)若（是正整数），求，，的值； (2)若数列是公差为的等差数列，且，求证：数列是等差数列； (3)若（是正整数），判断是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据：，） 5．（2025·山西晋城·二模）设是项数为且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列称为的“等比关联数列”：①数列的项数为；②中任意两项乘积都是中的项；③是公比大于1的等比数列． (1)已知数列是的“等比关联数列”，且，，，求数列的通项公式； (2)已知数列是的“等比关联数列”，且的前3项成等比数列的概率为，求的值； (3)证明：不存在“等比关联数列”． 6．（2025·江西鹰潭·二模）对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列． (1)已知，，求，，，； (2)已知，若，且对恒成立，求的取值范围； (3)已知数列满足，且，数列，的前项和为，证明：． 7．（2025·河北张家口·二模）现定义：对于实数，若，则称b是a和c的加比中项；若，则称b是a和c的减比中项.已知数列满足，，且存在正数m，使是和的加比中项与减比中项. (1)若是与的等比中项，求m； (2)数列满足，，且是和的减比中项.记数列的前n项和为. （ⅰ）证明：是和的减比中项； （ⅱ）当时，证明：. 8．（2025·天津·二模）从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列. (1)求，的值； (2)求； (3)证明：. 9．（2025·山东滨州·二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 10．（2025·河北·二模）已知是公差不为0的无穷等差数列.若对于中任意两项，，在中都存在一项，使得，则称数列具有性质. (1)已知，，判断数列，是否具有性质； (2)若数列具有性质，证明：的各项均为整数； (3)若，求具有性质的数列的个数. 11．（2025·江苏·二模）若无穷数列满足：，，，则称为“均值递减数列”. (1)已知无穷数列的前项和为，若为“均值递减数列”，求证：，； (2)若数列的通项公式，判断是否为“均值递减数列”，并说明理由； (3)若两个正项数列和均为“均值递减数列”，证明：数列也为“均值递减数列”. ( 题型0 7 )数列与三角、解析几何等知识交汇 1．（2018·山东聊城·一模）设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·广东深圳·二模）已知等差数列的公差为，集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D． 4．（多选）（2025·云南曲靖·二模）已知数列是等比数列，且，数列满足，不等式的整数解个数记为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东·二模）已知项数为的数列满足，若数列中存在连续三项，使得成立，则称数列为“友好数列”.当时，“友好数列”的个数为 ；当时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为 6．（2025·云南昆明·二模）已知随机取或1，构成数列为初始数列，当不为常数列时，对数列进行如下操作：①统计中-1的个数，记为；②把改为，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数，否则将替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列，必在有限次操作后停止．如：，对初始数列1，，操作过程为1，，，，1；．当时，对所有可能的初始数列，对应操作次数的和为 ． 7．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)记，其中为二项式系数． （ⅰ）求数列的前项和；（ⅱ）求． 8．（2025·山东菏泽·二模）某选数游戏规则：给定个不同数（参与者不知道具体数值但知道的大小），屏幕每次随机出现一个数，参与者需通过按Y键选择该数，或按N键跳过继续查看下一个数，一旦按Y键选择，该游戏结束；若前个数均被跳过，系统将自动选定最后一个数．最终所选数若为这个数中最大的，则参与者获胜，反之则失败．小王参与该游戏时决定采取如下策略：对于给定的，前个数均按N键跳过（，表示直接选取第一次出现的数），从第个数开始，若当前数比前面所有已出现的数都大则按Y键选择，否则按N键继续观察下一个数，如此重复直至游戏结束，记小王获胜概率为． (1)当时，写出的值； (2)当时，求，并证明当最大时，满足 (3)已知当时，（为欧拉常数）．在本次游戏中，如果，最大时，求的估计值． 9．（2025·河北邯郸·二模）已知离心率且焦点在轴上的序列椭圆，其中的一个焦点为．过上一点作的两条弦，交于另两点，且的内心在垂直于轴的一条直线上． (1)求数列的通项公式； (2)求直线的斜率； (3)若为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：. 10．（2025·重庆·二模）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率为，点 在椭圆 上. (1)求的方程; (2)过点且斜率存在的两条直线 互相垂直，直线交于两点，直线交于两点， 分别为弦和的中点，直线交轴于点 ，其中. ① 求 ； ② 设椭圆的上顶点为 ，记的面积为，令 ，求证: . 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数列 题型概览 题型01 数列的递推公式 题型02 等差数列及其性质的应用 题型03 等比数列及其性质的应用 题型04 等差数列与等比数列交汇问题 题型05 数列求和问题 题型06 数列中的新定义问题 题型07 数列与三角、解析几何等知识交汇 SHAPE \* MERGEFORMAT 数列的递推公式 1．（2025·山东潍坊·二模）已知数列 满足 ，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据递推公式逐项计算可得 的值. 【详解】因为数列 满足 ，且 ，所以 ， ， ， .故选：D. 2．（多选）（2025·江苏南京·二模）已知数列 中， ， ， ，其前 项和为 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可得 、 ，结合等差数列的定义和通项公式可得 ，即可判断AB；结合数列的单调性即可判断C；结合放缩法计算即可判断D. 【详解】由 ，得 ，所以数列 是以 为公差的等差数列，而 ， ，所以 ，得 ，故A正确；所以 ，得 ，故B正确；令 ，解得 ，对于 ， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增，所以 ，故C错误； EMBED Equation.DSMT4 ，故D正确. 故选：ABD 3．（多选）（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知数列 满足 ， ，且 ，若记数列 的前 项的积为 ， ， 的前 项和为 ，则下列结论正确的是（   ） A．数列 是等比数列         B． C．当 为奇数时， D．当 为偶数时， 【答案】ABD 【分析】利用数列 的递推关系式以及 ，根据等比数列定义即可判断A正确，利用等比数列前 项和公式计算可得B正确，由 的通项公式可得 ，对 为奇数或偶数时进行分组计算可判断C错误，D正确. 【详解】对于A，由 ， 可得： ，即 ，又 ，可得数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，可得A正确；对于B，由选项A分析可知， ，即B正确；对于C，易知 ，所以 ；当 为奇数时， ，可知C错误；对于D，当 为偶数时， EMBED Equation.DSMT4 ，可得D正确.故选：ABD 4．（多选）（2025·山西临汾·二模）已知数列 满足： ，则下列说法正确的是（    ） A． B． 是单调递增数列 C．若 为数列 的前 项和，则 D．若对任意 ，都有 ，则 【答案】ABC 【分析】根据累乘法可得 ，即可判断A,根据 即可求解B，根据裂项相消法即可求解C，根据单调性，对 分奇偶即可求解D. 【详解】由 ，可得 ，故 , 也符合，故 ， ，A正确，由于 ，故 ，因此 是单调递增数列，B正确， ， 故 ，C正确， 由 可定 ，当 为偶数时，则 恒成立，由于 单调递增，故 ，当 为奇数时，则 恒成立，由于 单调递增，故 ，故对任意 ，都有 ，则 ，故D错误， 故选：ABC 5．（2025·重庆·二模）设等差数列 的前 项和为 ，且 ，将数列 与数列 的公共项从小到大排列得到新数列 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据 与 之间的关系求得 ，可得 ，则 ，结合裂项法求和，即可求解. 【详解】因为 ，当 时，则 ，两式相减得 ，整理可得 ，且 ，则 ，可得 ，即 ，可知等差数列 的公差 ，当 时，则 ，解得 ；所以 ，可知数列 为正奇数列，对于数列 ，当 时，可得 为偶数；当 时，可得 为奇数；所以数列 与 的公共项从小到大排列得到数列 的通项公式为 ，则 ，所以 .故选：A. 6．（2025·江西上饶·二模）已知数列 满足 ，则数列 的前4项的和为 ． 【答案】 /0.8 【分析】根据给定的递推公式求出数列 的前4项，再利用裂项相消法求和. 【详解】数列 中，由 ，得 ，而 ， 则 ，所以 .故答案为： 7．（2025·河北张家口·二模）已知数列 不是递增数列，且 ，则k的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据数列单调性的定义结合通项公式列式求解. 【详解】因为 不是递增数列，所以 或 ，解得 .所以 的取值范围为 . 8．（2025·广东清远·二模）已知数列 的首项为 ，且满足 ． (1)求证： 是等比数列； (2)求数列 的前 项和 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由递推公式变形得 ，利用等比数列的定义即可证明 是等比数列. （2）由（1）得 ，再利用分组求和法及等比数列前 项和公式求和即可 【详解】（1）证明： 数列 满足 ，即 ， ，即 ，又 ， , 数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列． （2）由（1）知 ， ， ， 当 为偶数时，可得 ；当 为奇数时，可得 ； 综上可得， 9．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知正项数列 的前 项和为 ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)设数列 满足 ．求数列 的前 项和为 ； (3)设数列 的前 项和为 ， ，且 ，若 时， ，求数列 首项 的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令 可求得 的值，令 ，由 可得 ，两式作差推导出数列 为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列 的通项公式； （2）求得 ，利用裂项相消法可求得 ； （3）根据已知条件求出 ， ， ，分 、 ，求出 的表达式，根据 可得出关于 的不等式组，由此可求得 的取值范围. 【详解】（1）由已知条件可知，对任意的 ， .当 时， ，解得 ； 当 时，由 可得 ，上述两式作差得 ，即 ，即 ，由已知条件可知 ，所以 ， 所以，数列 是等差数列，且首项为 ，公差也为 ，因此， . （2）由（1）可得 ， 所以， . （3）因为 ，所以 ①， ②， ③，② ①可得 ，② ③可得 ，又 ，当 时， ，当 时， ，又因为 ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，对任意的 ，则 恒成立，故 . SHAPE \* MERGEFORMAT 等差数列及其性质的应用 1．（2025·江西上饶·二模）已知 为等差数列， ，则 （   ） A．12 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的通项公式，结合对数的运算法则求值. 【详解】因为 为等差数列，设公差为 .则 ， ，所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .故选：A 2．（2025·山西临汾·二模）记 为等差数列 的前 项和，公差 ，且 ，则 取得最小值时 为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 【答案】C 【分析】由题意可得数列 前 项全为负，从 开始为正，可得结论. 【详解】因为公差 ，所以数列 单调递增，所以 ，又 ，所以 ，所以数列 前 项全为负，从 开始为正，所以前 项的和 为 的最小值，故 .故选：C. 3．（2025·云南昆明·二模）已知等差数列 ，公差为 ， ，前 项和为 ，记集合 ，若 中有2个元素，则 ， 的关系可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式、前 项和列式建立关系，再逐项判断. 【详解】由 ，得 ，则 ，由 中有2个元素，得关于 的方程 有不小于2的整数解，而 ，则 ，方程 中 系数为2， 的系数 是正整数，选项A符合要求，选项BCD不符合要求.故选：A 4．（2025·四川雅安·二模）记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质求出 与 的值，进而求出首项 和公差 ，再根据等差数列的前 项和公式求出 ，最后得出 的表达式. 【详解】已知 是等差数列，根据等差数列的性质可得 ，则 . 又因为 ，所以 ，解得 . 设等差数列 的公差为 ，根据等差数列通项公式 ，可得 .解得 ， . 根据等差数列的前 项和公式可得 . 将 代入 可得： . 故选：D. 5．（2025·江西萍乡·二模）已知等差数列 满足： ，则 的公差为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】将 、 代入 ，求出 、 的值，再由等差数的性质求解即可. 【详解】解：设等差数列 的公差为 ，由 ，可知当 时，则有 ，当 时，则有 ，解得 ，所以 ， 解得 .故选：D. 6．（2025·山东临沂·二模）已知 为正项等差数列，若 ，则 的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由题意求得 ， ，进一步将所求转换为关于 的二次式子即可求解. 【详解】 ，解得 ，由于 为正项等差数列，则 ，解得 ， ，等号成立当且仅当 ，所以 的最大值为8.故选：C. 7．（2025·河北邯郸·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则公差 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的前 项和公式与通项公式即可求解. 【详解】由题意得 ，解得 ．故答案为： . 8．（2025·安徽池州·二模）在等差数列 中，若 ，则 . 【答案】16 【分析】根据题意，列式求出公差 ，求得通项公式 ，得解. 【详解】由 ，则 ，解得 ， ，则 ， . 9．（2025·河南新乡·二模）已知 是等差数列 的前 项和，数列 的公差为 ，且 是等差数列，则 . 【答案】 /0.5 【分析】根据等差数列的通项公式及前 项和公式可得 ，进而结合等差数列的特点求解即可. 【详解】由题意， ， 所以 ，因为 是等差数列，则 的通项是一次函数型，则 能整理成完全平方型，所以 ，化简得 ，所以 ，即 .故答案为： . 10．（2025·浙江金华·二模）已知数列 为等差数列， 为其前 项和，满足 ， ，则 的值为 . 【答案】3 【分析】设出等差数列的公差，根据求和公式建立方程组，求得首项与公差，利用通项，可得答案. 【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，化简可得 ，解得 ，所以 .故答案为： . 11．（2025·山东青岛·二模）记等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 ． 【答案】 【分析】利用通项与前 项和的关系，把等式转化为 的递推关系，利用等差数列公式即可求解. 【详解】由 代入已知可得： ， 可得 是公差为2的等差数列，因为 ，所以 ，即 ，所以 ， 12．（2025·陕西渭南·二模）已知等差数列 满足 是关于 的方程 的两个根. (1)求 . (2)求数列 的通项公式. (3)设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用韦达定理，结合等差数列公式即可求解； （2）利用韦达定理可直接得到； （3）利用裂项相消法即可求和. 【详解】（1）数列 是等差数列，设公差为 ，由根与系数关系得 ， 于是有 ，则 ，故 ，则 ； （2）由（1）知 ，故 ，由根与系数关系知 ； （3）由（2）得 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 SHAPE \* MERGEFORMAT 等比数列及其性质的应用 1．（2025·山东聊城·二模）各项均为正数的等比数列 的前5项和为 ，且 ，则 （    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】A 【分析】利用等比数列的通项公式和等比数列的前 项和公式求解即可. 【详解】设等比数列的首项为 ，公比为 （ ），根据题意 即 ，解得 （ 舍），而 ，故 ，所以 选选：A. 2．（2025·云南昆明·二模）已知正项等比数列 ，满足 ， ，则 （   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出公比，进而求出首项. 【详解】设正项等比数列 的公比为 ，则 ，而 ，解得 ，所以 . 故选：B 3．（2019·广东茂名·一模）已知数列 为正数项的等比数列， 是它的前 项和，若 ，且 ，则 （  ） A．34 B．32 C．30 D．28 【答案】C 【分析】根据等比中项的性质得 ，结合已知得 EMBED Equation.DSMT4 ，再根据等比数列的公式求基本量，再由前n项和的公式得到结果. 【详解】数列 为正数项的等比数列，根据等比数列的性质得 ，由 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，根据等比数列的公式得 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 故选：C 4．（2025·安徽滁州·二模）已知首项为负数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列通项公式与求和公式可得解. 【详解】设数列 的公比为 ，则 ，又 ，则 ，即 ， 又 ，即 ，解得 ，又 ，则 ，所以 ， ，故选：C. 5．（2025·山东滨州·二模）设 为等比数列，且 ，则 （   ） A．12 B．24 C．48 D．96 【答案】D 【分析】利用等比数列性质以及等比数列定义直接计算即可. 【详解】设数列 的公比为 ，由 可得 ， 所以 .故选：D 6．（2025·山东菏泽·二模）已知 为等比数列 前 项和，若 ，则 （    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的通项公式和求和公式来求解即可. 【详解】由等比数列公式可得： ，所以 ，故选：A. 7．（2025·江苏·二模）已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则对于 ，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例即可判断ABC，再分类讨论 时和 时，结合等比数列求和公式即可判断． 【详解】令 ， ， ， ， ，A错； ，B错； ，C错；一般情况， 时， ， ， ， ，此时 ； 时， ， 左边 ， 右边 左边，D对； 故选：D． 8．（2025·辽宁·二模）记 为正项数列 的前 项和， ， 为等比数列，则 . 【答案】3 【分析】根据题意整理可得 ，可知等比数列 的公比为2，即可得 ，代入运算即可. 【详解】因为 ，则 ，可得 ，可知等比数列 的公比为2， 则 ，即 ，所以 . 9．（2025·四川雅安·二模）在公比不为1的等比数列 中，若 ，且有 成立，则 . 【答案】10或4049 【分析】设等比数列 的公比为 ，由 ，可得 ，利用通项公式化简条件等式 ，可得 即可求解. 【详解】设等比数列 的公比为 ，且 ，由 ，则 ，故 ，又 ， ， ，即 ， ，又 ， ， ， 化简整理得 ，即 ，解得 或 ，均满足 . SHAPE \* MERGEFORMAT 等差数列与等比数列交汇问题 1．（2025·安徽黄山·二模）已知各项均为整数的数列 中， ， ，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别求出等差数列的公差 和等比数列的公比 ，利用等比数列通项公式求值即可. 【详解】由题意，设前10项等差数列的公差为 ，则 ，解得 ，所以 .设第9项起依次成的等比数列的公比为 ，则 ，即 . 所以 .故选：B. 2．（2025·广东清远·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ，若 ，且 ， ， 成等比数列，则 的值为（   ） A．11 B．13 C．19 D．17 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质由等差数列的求和公式和等差中项可得 ，再由等比中项可得 ，两式联立可得 和 ，然后求出数列的通项可得. 【详解】 ，即 ，又因为 ， ， 成等比数列，则 ， 即 ，整理可得 ，再与 联立可得 ， ， 所以 ， ，故选：C． 3．（多选）（2025·辽宁沈阳·二模）已知数列 满足 ，则下列说法中正确的是（   ） A．若 ， ，则 是等差数列 B．若 ， ，则 是等差数列 C．若 ， ，则 是等比数列 D．若 ， ，则 是等比数列 【答案】BCD 【分析】根据题意给出的条件进行化简，并结合等差数列、等比数列知识进行逐项求解判断. 【详解】对于A，当 时，若 ，则 ，所以数列 不是等差数列，故A错误；对于B，当 时， ，因为 ，所以 ，即 ，因为 ，所以数列 是等差数列，故B正确；对于C，当 时，有 ， 因为 ，所以 ，即 所以 是等比数列，故C正确；对于D，当 时，有 ，因为 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 是等比数列，故D正确；故选：BCD． 4．（多选）（2025·安徽淮北·二模）设数列 的前 项和为 ，对任意正整数 有 ，下列命题正确的有（    ） A．若 ，则 B． 一定不是等差数列 C．若 为等比数列，则公比为2 D．若 ，则 为等比数列 【答案】ABD 【分析】求出 可判断A；假设 是等差数列，设公差为 ，求出 代入 根据多项式相等可判断C；若 为等比数列，由 两式相减得 ，求出 可判断C；求出 ，利用 可判断D. 【详解】对于A， ，当 时， ，故A正确；对于B，假设 是等差数列，设公差为 ，则 ， 由 得 ， 即 ，根据多项式相等可得 ，方程组无解，所以 一定不是等差数列，故B正确；对于C，若 为等比数列，由 两式相减得 ，即 ，由 得 ，解得 ，故C错误；对于D，若 ，则 ， ，当 时， ，所以 ，当 时， ，两式相减可得 ，即 ，所以数列 的奇数项是以 为首项， 为公比的等比数列，偶数项是以 首项 为公比的等比数列，又 ，所以数列 为等比数列，故D正确.故选：ABD. 5．（多选）（2025·江西新余·二模）已知递增数列 的各项均为正整数，且其前 项和为 ，则（   ） A．存在公差为1的等差数列 ，使得 B．存在公比为2的等比数列 ，使得 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】BCD 【分析】A选项用等差数列求和公式 算出 表达式，令其等于2025，看解出的首项 是否为正整数，不是则不存在． B选项用等比数列求和公式 算出 表达式，令其等于2025，看解出的首项 是否为正整数，是则存在．C选项要使 最大，前面项应最小，设 ，后面项依次递增，根据求和公式算出 表达式，由 解出 ，进而得到 ，判断与285大小．D选项要使 最小，前面项应最小，设 ，后面项依次递增，根据求和公式算出 表达式，由 解出 ，进而得到 ，判断与207大小． 【详解】对于A，设公差为 的等差数列 的首项为 ， ．根据等差数列前 项和公式可得 ．若 ，则 ，解得 ，所以不存在这样的等差数列，A选项错误． 对于B，设公比为 的等比数列 的首项为 ， ． 根据等比数列前 项和公式可得 ．若 ，则 ，解得 ，所以存在这样的等比数列，B选项正确． 对于C，已知 ，因为数列 是递增数列且各项均为正整数．要使 尽可能大，则前面的项要尽可能小，设 ， ， ， ， ， ．则 ．由 ，可得 ，即 ，解得 ．所以 ，所以 成立，C选项正确． 对于D，同样因为 ，要使 尽可能小，则前面的项要尽可能小，设 ， ， ， ， ．由前面计算可知 ，解得 ，所以 ，所以 成立，D选项正确．故选：BCD 6．（多选）（2025·辽宁锦州·二模）已知数列 ，其前n项和为 ，数列 ，其前n项和为 ，则下列说法正确的是（   ） A．若 为等差数列，则数列 也是等差数列 B．若 ，则数列 为等比数列 C．若 ，则 时 取到最小值 D．若 为等比数列，且 ，则 【答案】AC 【分析】利用等差数列前 项和公式推导 的表达式，即可判断 ；根据等比数列的定义即可判断 ；通过等差数列前 项和的二次函数的形式即可判断 ；根据等比数列前 项和的形式与已知条件给出的形式，即可解得 . 【详解】因为 为等差数列，所以前 项和 ， 所以 ，所以 ， 所以数列 是等差数列，故 正确；因为 ，若 ，则所有项都为 ，所以数列 不是等比数列，故 错误；因为 ，所以 ，所以 为等差数列，首项为 ，公差为 ， 所以 ，此二次函数开口向上，对称轴为 ，因为 ，所以当 时， 取到最小值，故 正确；因为 为等比数列，且 ，故公比 不为1， 所以 ，所以 ，所以 ，故 错误.故选： . 7．（2025·云南曲靖·二模）已知 是公比不为1的等比数列，将 调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组 的值依次为 （用数字作答）. 【答案】 （答案不唯一） 【分析】设等比数列的公比为 ，利用等比数列的通项公式表示各项，调整顺序后借助等差中项的概念建立等量关系求得 的值，令 可得结果. 【详解】设等比数列 的公比为 ，则等比数列为 ，不妨设调整顺序后的等差数列为 ，则 ，∵ ，∴ ，解得 或 （舍），令 ，则 ， ，∴满足条件的一组 的值依次为 .故答案为： （答案不唯一）. 8．（2025·辽宁沈阳·二模）已知公差不为0的等差数列 的首项为1，且 ， ， 成等比数列，则 ． 【答案】 【分析】设等差数列 的公差为 ，由题意得 ，从而可求出 ，进而可求出 . 【详解】设等差数列 的公差为 ，因为 ， ， 成等比数列，所以 ，所以 ，化简整理得 ，解得 （舍去），或 ，所以 ．故答案为： ． 9．（2025·天津河西·二模）已知数列 为等差数列或等比数列，前 项和为 ，且满足 ， . (1)当数列 为等差数列时，求 的通项公式及 ； (2)当 在 单调递增时，设 ，求 的值； (3)当数列 为等比数列且为摆动数列时，设 ，求 的最大值和最小值. 【答案】(1) ， .(2) (3)最大值为1，最小值为 . 【分析】（1）根据等差数列定义列方程组解得首项和公差即可求得结果； （2）经分析可知只有当 时， 在 单调递增，满足题意，再利用裂项求和可得结果； （3）由（2）可知当 时 为等比数列且为摆动数列时，对表达式化简分析可求的结果. 【详解】（1）假设等差数列 的公差为 ，由题意得 ，所以 ， 所以 ， . （2）当数列 为等差数列时，由（1）知 ，显然 在 不单调；当数列 为等比数列时，假设公比为 ， ，解得 或 ，当 时， ，易知 在 单调递增；当 时， ，易知 在 不单调，所以 ，所以 ， . （3）当数列 为等比数列时，由（2）知 或 ，又 为摆动数列，所以 ， ，所以 ，当 为奇数时， 单调递减， ，当 时取得最大值1，当 为偶数时， 单调递增， ，当 时取得最小值 ， 所以 的最大值为1，最小值为 . SHAPE \* MERGEFORMAT 数列求和 1．（2025·陕西咸阳·二模）已知数列 满足 （ ， ），则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用等差数列的前 项和公式，即可求解. 【详解】因为 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，故选：B. 2．（2025·天津南开·二模）若数列 满足 ，且 ，则 的前2025项的和为（   ）． A．1350 B．1352 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】由数列的递推公式可得数列 可以看作以 为一个周期的数列，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ， ，所以数列 从第二项起是以1，1，0为周期的数列，则 EMBED Equation.DSMT4 .故选：B 3．（2025·河南·二模）已知数列 满足 ， . (1)求 的通项公式； (2)记 的前 项和为 ，求证： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知等式变形得出 ，可知数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列 的通项公式； （2）验证当 时，不等式成立；当 时，推导出 ，再利用等比数列的求和公式可证得不等式成立. 【详解】（1）由题设条件，可得若 ，则 ，用反证法，假设 ，由题设条件，显然 ，这与已知条件矛盾，所以 .因为 ，所以 ， ， ，所以 ， ，由 得 ，所以 ， 又 ，所以 是首项、公比均为 的等比数列.所以 ，则 . （2）显然 时， 成立，当 时， ，所以 ，所以 ， 所以 ，即 ，所以 ， 所以 .综上， ，得证. 4．（2025·山东聊城·二模）数列 是递增数列，其前 项和为 ，且 ． (1)求 ； (2)记 ，数列 满足： ，数列 的前 项积与前 项和分别记为 ．证明： ① ； ② ． 【答案】(1) ， (2)①证明见解析 ；②证明见解析 【分析】（1）降标作差得 ，再根据数列的增减性即可得 ，利用等差数列的通项公式和前 项和公式即可； （2）①通过变形得到 即可求 ；②通过变形得到 ，即可求 . 【详解】（1）由 得， ．两式相减得： ，即 ，因为 是递增数列，所以 ，由 ，得 ，所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ， ； （2）①由已知得， ，所以 ，即 ， 所以 ； ②由 ，可得 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ． 5．（2025·广东广州·二模）设 为数列 的前 项和，且 是 和8的等差中项. (1)求数列 的通项公式； (2)令 ，数列 的前 项和为 ，证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）解法1：由题意可求得 ，当 时，求得 ，当 时， ，可得 ，可求通项公式；解法2：由题意可得 ，先求得前几项，猜想通项公式，再利用数学归纳法证明即可； （2）由题意可得 ，可求得 ，可证结论. 【详解】（1）解法1：因为 是 和8的等差中项，所以 ，即 .① 当 时， ，得 .当 时， ，② ①－②得 ，得 ，即 .所以数列 是以首项为8，公比为2的等比数列.所以 . （2）因为 ，得 ， 所以 . 由于 ，得 ，得 ，所以 . 6．（2025·辽宁·二模）已知数列 的前 项和 满足 ，且 . (1)求数列 的通项公式 ； (2)记 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得 ，再由 与 的关系，即可得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） EMBED Equation.DSMT4 ， 当 时， ；当 时， ，且 满足上式，所以 . （2） EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 数列 的前 项和为 . 7．（2025·安徽滁州·二模）在数列 中， ， ，其前 项和为 ．数列 是公差为 的等差数列． (1)求 ； (2)若 ， （ⅰ）求数列 的通项公式 及前 项和 ； （ⅱ）若 ，数列 满足 ， ，求证：对任意正整数 ，都有 ． 【答案】(1) 或 (2)（ⅰ） ． ；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）方法1：由 及 ，利用等差数列基本量的运算求解即可； 方法2：先求出 ，然后利用 化简得 ，将已知条件代入求解即可. （2）（ⅰ） 与 相减得 ， ，利用累乘法得 ，即可 ； （ⅱ）由（ⅰ）得 ，进而求得 ，累加法结合 即可证明. 【详解】（1）方法1： ， ， ， 由 或 ，于是 或 ，所以 或 ． 方法2：显然 ，则 ，于是 ，所以 ， 相减得 ，即 ， 所以 ， ，又 ， ，解得 或 . （2）（ⅰ）当 时， ，即 ，所以 ，相减整理得 ， ，所以 ， ，…， ，累乘得 ， ， 也满足上式，所以 ．所以 ． （ⅱ） ， ，显然 ． ， 所以 ， ，…， ， 累加得 ，得证． SHAPE \* MERGEFORMAT 数列中的新定义问题 1．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差， ， ， ， ，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（   ） A．38 B．51 C．66 D．83 【答案】B 【分析】由高阶等差数列的定义，通过列举即可求解. 【详解】由 ， ， ， ，可知： ，即 ， ，即 EMBED Equation.DSMT4 ，即 ，即第8项是 ，故选：B 2．（多选）（2025·江西萍乡·二模）若数列 的前 项中，最大项为 ，最小项为 ，则称数列 为 的“极差数列”．下列关于极差数列的说法正确的为（   ） A．若数列 是等差数列，则它的极差数列 也是等差数列 B．若数列 的极差数列 是等差数列，则 也是等差数列 C．数列 的极差数列 可能为等比数列 D．数列 的极差数列 的极差数列仍是 【答案】AD 【分析】A选项可利用等差数列的定义进行验证；B选项可以举反例排除；当 时， ，则可判断C；推导出 ， ，由此能证明 的“极差数列”仍是 ，则可判断D. 【详解】对于A，设等差数列 的公差为d，当 时， ， ，则 ，此时 是等差数列，当 时， ， ， ，当 时， ， ，结合等差数列的概念可知A正确；对于B，形如 ，从 开始奇数项依次减去1，偶数项依次加上1，则数列 是一个以首项为0，公差为1的等差数列，但是数列 不是等差数列，故B选项错误；对于C，当 时， ，则 不可能为等比数列，故C错误；对于D，∵ ， ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ ，∵ ， ∴ ， ∴ 的“极差数列”仍是 ，故D正确；故选：AD. 3．（2025·山东青岛·二模）斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列： 在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定 已知 且 Ø，则 中所有元素之和为奇数的概率为 . 【答案】 【分析】记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成，然后可解. 【详解】由斐波那契数列规律可知，集合 中的元素有675个偶数，1350个奇数，记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B，可看成 ，显然集合E共有个 ，集合F共有 个，所以所有元素之和为奇数的集合B共有 个，又集合A的非空子集共有 个，所以B中所有元素之和为奇数的概率为 .故答案为： . 4．（2025·安徽黄山·二模）若数列 ， ，其中 ，对任意正整数 都有 ，则称数列 为数列 的“接近数列”．已知 为数列 的“接近数列”，且数列 ， 的前 项和分别为 ， ． (1)若 （ 是正整数），求 ， ， 的值； (2)若数列 是公差为 的等差数列，且 ，求证：数列 是等差数列； (3)若 （ 是正整数），判断是否存在正整数 ，使得 ？如果存在，请求出 的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据： ， ） 【答案】(1) ， ， ； (2)证明见解析； (3)存在，最小k为7. 【分析】（1）根据定义有 且 ，将 代入依次求出 ； （2）根据已知有 ， 得 ，进而有 ， ， ，即可证； （3）根据题设定义得到 且 ，进而有 且 ，结合 及不等式能成立求n的范围，即可得. 【详解】（1）由题设 ，且 ，所以 ，即 ， ， ，即 ， ， ，即 ， ，所以 ， ， ； （2）由题设 ，则 ， ，所以 ， ，则 ，所以 ， ， ，所以 ，故 ，即数列 是等差数列； （3）当 为奇数时 ， ，则 ， 由 ，即 ， ，则 ；当 为偶数时 ， ，则 ，由 ，即 ， ，则 ； 所以 且 ，则 且 ， 而 ， 要使 ，则 ， 当 且 ，则 ， 所以 ，则 ，可得 ； 当 且 ，则 ， 所以 ，则 ，显然不成立；综上， 时 的最小值为7. 5．（2025·山西晋城·二模）设 是项数为 且各项均不相等的正项数列，满足下列条件的数列 称为 的“ 等比关联数列”：①数列 的项数为 ；② 中任意两项乘积都是 中的项；③ 是公比大于1的等比数列． (1)已知数列 是 的“ 等比关联数列”，且 ， ， ，求数列 的通项公式； (2)已知数列 是 的“ 等比关联数列”，且 的前3项成等比数列的概率为 ，求 的值； (3)证明： 不存在“ 等比关联数列” ． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）根据定义计算出 的前三项，即可写出等比数列 的通项公式； （2）先计算出 及 的项数，再由 的公比为 ，写出确定的 ，进而求出 ，再分两种情况讨论 的可能性，从而得到使 的前3项成等比数列的所有可能情况，进而求出概率； （3）先计算出 的项数，再由 的公比为 ，写出确定的 ，进而求出 ，再求出确定的 ，推理出 ， ， 是连续三项，从而推理出 是第4项或第7项，进而分两种情况讨论即可得证. 【详解】（1）因为 ， ， ，由定义可知， ，故数列 的通项公式为 ； （2）因为 中4项均不相同，所以 有 种， 有 项，假设 ，则 ， ， ， ．设 的公比为 ，则 ， 又数列 的第三项 ，第四项 ，或第三项 ，第四项 ，所以 ，且 ，得 ，且 ，或 ，且 ，得 ，且 ，这两种情况，不能同时成立，使得 的前3项为等比数列有4种情况，故 ． （3）当 时，假设 的各项从小到大排列，此时数列 有 项，则 ， ， ， ，因为 是等比数列，所以 ，即 ，所以 ． 设 的公比为 ，则 ，所以 ，所以 ， ，剩余四项为 ， ， ， ，又公比 ，所以 ， ， 是连续三项，因此 是第4项或第7项，当 时， ，所以 ，即 ，不符合题意；当 时， ，所以 ，即 ，不符合题意；因此当 时， 不存在“ 等比关联数列” ． 6．（2025·江西鹰潭·二模）对于数列 ，记 ，称数列 为数列 的一阶差分数列．记 ，称数列 为数列 的二阶差分数列，……，一般地，对于 ，记 ，规定： ， ，称 为数列 的 阶差分数列． (1)已知 ， ，求 ， ， ， ； (2)已知 ，若 ，且 对 恒成立，求 的取值范围； (3)已知数列 满足 ，且 ，数列 ， 的前 项和为 ，证明： ． 【答案】(1) ， ， ， ． (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由数列新定义计算可得； （2）由等比数列的求和公式求出数列 的前 项和，再由累加法求出 ，判断数列 递增， 对 恒成立，从而得出 ，解出结果后再证明充分性即可； （3）先求出数列 的通项公式，然后写出 ，再由两角和与差的余弦公式结合拆角得到 ，把 改写后结合余弦函数的值域和放缩证明即可. 【详解】（1）因为 ， ， ，所以 ， ；由题意 ，则 ，又因为 ，所以 ． 综上可知， ， ， ， ． （2）若 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ． ，因为 ，所以 ，即 ，故数列 递增，所以要使 对 恒成立， 则必有 ，即 ，所以 ，解得 ； 故 是 对 恒成立的必要条件． 下面证明充分性：若 ，即 ，又 ，即 ， 又 ，故 成立；由 ，又 递增， ， 则 ，故 ；故满足 对 恒成立，即 是 对 恒成立的充分条件．综上所述，要使 对 恒成立， 则 的取值范围为 ． （3）由 ，即 则 为等差数列，又 得 ． 所以 ， 因为 ， 且 ， 可得 ．由 ，得 ，则 ， ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，即 ，且 ， 得 ，所以 ． 7．（2025·河北张家口·二模）现定义：对于实数 ，若 ，则称b是a和c的加比中项；若 ，则称b是a和c的减比中项.已知数列 满足 ， ，且存在正数m，使 是 和 的加比中项与减比中项. (1)若 是 与 的等比中项，求m； (2)数列 满足 ， ，且 是 和 的减比中项.记数列 的前n项和为 . （ⅰ）证明： 是 和 的减比中项； （ⅱ）当 时，证明： . 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）由条件得到 ，通过对 赋值，求得 ， ，再结合等比中项概念即可求解； （2）（i）根据等比中项和减比中项定义，可推演得到 ，由此可得 ，即为所证； （ii）结合累乘法可得 ，结合不等式性质得到 ，根据（i）中的结论 ，由 可整理得到结论. 【详解】（1）由题意： 且 ，所以 ， 令 可得： ，又 ， ，则 ，令 可得： ，则 ，令 可得： ，则 ，又 是 与 的等比中项，所以 ，又 为正数， 解得 ； （2）（i） 是 和 的减比中项， ，又 为正数， 为正项数列， . ， 为正项数列， ， ， ， 即 ， 是 和 的减比中项.所以 是 和 的减比中项； （ii） ， ，又 ， ， ， ，易得 ， ，即 ，由（i）有： ， ， EMBED Equation.DSMT4 . 8．（2025·天津·二模）从数列 中选取第 项，第 项，…，第 项 ，并按原顺序构成的新数列称为数列 的“ 连续子列”.已知数列 中， ， ，对 ，数列 的“ 连续子列”是公比为 的等比数列. (1)求 ， 的值； (2)求 ； (3)证明： . 【答案】(1) ， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）依题意 对 恒成立，代入计算可得； （2）依题意可得 ， ，再利用累乘法求出 ，再结合 ，计算可得； （3）由（2）知 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）由题意知 ， ， 是公比为 的等比数列， 对 恒成立，又 ， ， ， ，又 ，所以 ； （2）因为 对 恒成立，所以 ， ， ，当 时 也成立， ，又 ， ； （3）由（2）知 ，故 ，当 时， ； 当 时， EMBED Equation.DSMT4 ； 综上可得 . 9．（2025·山东滨州·二模）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第 次“积扩充”后所得数列的项数记为 ，所有项的积记为 ． (1)求 和 ； (2)求 和 ． (3)求数列 的前 项积 ． 【答案】(1) ， (2) ， (3) 【分析】（1）根据“积扩充”的概念直接求解即可； （2）由题意 ，变形为 ，然后利用等比数列的定义及通项公式求得 ；设 ，则 ，即 ，然后利用等比数列的定义及通项公式求得 ，进而得 ； （3）对 两边取对数得 ，结合等比数列求和公式利用并项求和法求得 EMBED Equation.DSMT4 ，即可得解. 【详解】（1）由题意 ， ， ， . （2） ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 ，所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列，所以 ，即 ； 设 ，则 ，即 ，又因为 ，所以 ，所以 ，所以数列 是以6为首项，3为公比的等比数列，所以 ，即 ，所以 . （3）要求 ，只需求 ， 又 ，所以 ，所以 ，所以 . 10．（2025·河北·二模）已知 是公差不为0的无穷等差数列.若对于 中任意两项 ， ，在 中都存在一项 ，使得 ，则称数列 具有性质 . (1)已知 ， ，判断数列 ， 是否具有性质 ； (2)若数列 具有性质 ，证明： 的各项均为整数； (3)若 ，求具有性质 的数列 的个数. 【答案】(1)数列 具有性质 ；数列 不具有性质 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据数列 具有性质 的定义即可求解. （2）设数列 的公差为 ，由题意知存在 ，同理存在 ，两式相减，根据等差数列的定义即可得证. （3）由题意结合（2）知数列 的各项均为整数，所以 为整数.首先证明 为正整数，其次证明 为 的约数，从而即可得解. 【详解】（1） ， ，即 ，所以数列 具有性质 . ，令 ，则 ， 不符合 ，则 不具有性质 . （2）设数列 的公差为 ，因为数列 具有性质 ，所以存在 ， 同理存在 ，两式相减得 ， 即 ，因为 ，所以 .所以 的各项均为整数. （3）由（2）可知，数列 的各项均为整数，所以 为整数. 假设 为负整数，则 为递减数列，所以 中各项最大值为 ， 由题意， 中存在某项 ，且 ，所以 ， 而数列 中存在 ，则 ，与题意相矛盾，所以 不是负整数， 为正整数. 由 得， ， 所以 ， 所以 为整数，即 为 的约数. 由 为正整数，所以 为 的正约数， ，所以 的正约数共有 个，则 ，具有性质 的数列 的个数为 . 11．（2025·江苏·二模）若无穷数列 满足：， ， ，则称 为“均值递减数列”. (1)已知无穷数列 的前 项和为 ，若 为“均值递减数列”，求证： ， ； (2)若数列 的通项公式 ，判断 是否为“均值递减数列”，并说明理由； (3)若两个正项数列 和 均为“均值递减数列”，证明：数列 也为“均值递减数列”. 【答案】(1)证明见解析 (2)是，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】法一： （1）“均值递减数列”定义可得答案； （2）求出 的前 项和为 ，令 ，则判断 的正负可得答案； （3）设 ，求出 ，结合 ， 得 EMBED Equation.DSMT4 ，求和由（1）的结论知 ， ，可得答案； 法二： （1）根据 为“均值递减数列”得 化简可得答案； （2）判断出 的单调性，得 ，设 前 项和为 ，利用归纳法可得答案； （3）设 的前 项和为 ， 的前 项和为 ，设 的前 项和为 ，利用归纳法可得答案. 【详解】（1）法一： ； 法二： 为“均值递减数列”， 关于 单调递减，即 关于 单调递减， ， EMBED Equation.DSMT4 ； （2）设 的前 项和为 ， 令 ，则 ，判别式小于零，所以 递减，因此 是“均值递减数列”； （3）法一：设 依题意 ， 均为递减数列，而 ，相乘展开得 ，由于 ， ，则由补充不等式有 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 求和得 ，由（1）的结论知 ， ，所以 ，于是再由（1）的结论即可知 是“均值递减数列”； 法二：设 的前 项和为 ， 的前 项和为 ， 和 均为均值递减数列，由（1）知 对 恒成立，由①②知 ， ，记 的前 项和为 ， 证对 ， ， 时不等式显然成立，设当 ， 时， 成立，即 ， ， ， ， ，即 时，不等式也成立， 对 恒成立， 也为“均值递减数列”. SHAPE \* MERGEFORMAT 数列与三角、解析几何等知识交汇 1．（2018·山东聊城·一模）设等比数列 的各项均为正数，其 前项和为 ，则“ ”是“数列 是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】把 转化为 ，从而 ，结合数列为正数数列可知 为 是增数列的充要条件． 【详解】由 得 ，故 是递增数列，反之也成立，所以为充要条件．选C． 2．（2025·天津·二模）已知 是一个无穷数列，“ ”是“ 为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据递增数列的概念及充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即 .若 是摆动数列，可能有 ，但是 不是递增数列，则仅 不能推出 为递增数列，但 为递增数列可以推出 .所以“ ”是“ 为递增数列”的必要不充分条件.故选：B. 3．（2025·广东深圳·二模）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，则 （   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】先写出等差数列的通项公式，然后根据三角函数的周期性和已知集合的元素个数来分析 的取值情况，进而求出 的值. 【详解】根据已知条件，等差数列的通项公式为： .根据三角函数的性质， .这说明数列 的周期为3.因为集合 ，即 有三个不同的值.设 时， ； 时， ； 时， .根据三角函数两角和公式可得： . . 则 ，故选：B. 4．（多选）（2025·云南曲靖·二模）已知数列 是等比数列，且 ，数列 满足 ，不等式 的整数解个数记为 ，数列 的前 项和为 ，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知条件求出等比数列 的公比，得到 ，再由对数运算求得 ，然后求出 ，最后利用等比数列及等差数列求和公式求出数列 的前 项和． 【详解】对于A，设等比数列 的公比为 ，由 ，得 ，所以 ， 又 ，所以 ，正确；对于B， ，正确；对于C，由 ，得 ，不等式 的整数解个数为 ，所以 ，错误； 对于D， ，正确． 故选：ABD 5．（2025·山东·二模）已知项数为 的数列 满足 ，若数列 中存在连续三项 ，使得 成立，则称数列 为“友好数列”.当 时，“友好数列”的个数为 ；当 时，随机选取一个数列，该数列是“友好数列”的概率为 【答案】 6 【分析】①根据“友好数列”的定义，直接枚举 时所有可能的三元组； ②当 时，分别计算满足前三个和后三个条件以及同时满足两个条件的数列数目，再通过容斥原理求总数. 【详解】对于①：当 时，数列共有 种可能.需满足 ，分情况讨论： ： 可取0，1，2，对应 ，共3种； ： 可取0，1，共2种； ： 可取0，共1种；总数为 .对于②：当 时，数列共有 种可能.需满足存在至少一个三元组满足条件：计算满足前三个条件的数列数目：前三个元素满足 ，有6种可能， 任意，共有 种.计算满足后三个条件的数列数目：后三个元素满足 ，有6种可能， 任意，共有 种.计算同时满足两个条件的数列数目：需满足 ， ，有4种可能.根据容斥原理，总数为 所以概率为 .故答案为：①6     ② . 6．（2025·云南昆明·二模）已知 随机取 或1，构成数列 为初始数列，当 不为常数列 时，对数列 进行如下操作：①统计 中-1的个数，记为 ；②把 改为 ，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列 ，停止操作，记录操作次数 ，否则将 替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列 ，必在有限次操作后停止．如： ，对初始数列1， ，操作过程为1， ， ， ，1； ．当 时，对所有可能的初始数列 ，对应操作次数的和为 ． 【答案】24 【分析】按 的个数及出现的位置分类，利用列举法分别求出操作次数即可. 【详解】当 时，按 的个数及出现的位置，初始数列共有7种情况：初始数列 ， ；初始数列 ， ；初始数列 ， ； 初始数列 ， ； 初始数列 ， ；初始数列 ， ； 初始数列 ， ；所以所求操作次数的和为 .故答案为：24 7．（2025·天津南开·二模）已知等差数列 的前 项和为 ． (1)求 的通项公式； (2)记 ，其中 为二项式系数． （ⅰ）求数列 的前 项和 ；（ⅱ）求 ． 【答案】(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ） 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等差数列求和公式基本量运算求解； （2）（ⅰ）根据已知化简再应用等比数列求和公式求解即可；（ⅱ）应用裂项相消法计算求解. 【详解】（1）设首项为 ，公差为 ，由题意得 解得 ，所以 ． （2）（ⅰ）由（1）知 ，因为 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ．所以 ，所以 ． （ⅱ）因为 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ． 8．（2025·山东菏泽·二模）某选数游戏规则：给定 个不同数（参与者不知道具体数值但知道 的大小），屏幕每次随机出现一个数，参与者需通过按Y键选择该数，或按N键跳过继续查看下一个数，一旦按Y键选择，该游戏结束；若前 个数均被跳过，系统将自动选定最后一个数．最终所选数若为这 个数中最大的，则参与者获胜，反之则失败．小王参与该游戏时决定采取如下策略：对于给定的 ，前 个数均按N键跳过（ ， 表示直接选取第一次出现的数），从第 个数开始，若当前数比前面所有已出现的数都大则按Y键选择，否则按N键继续观察下一个数，如此重复直至游戏结束，记小王获胜概率为 ． (1)当 时，写出 的值； (2)当 时，求 ，并证明当 最大时， 满足 (3)已知当 时， （ 为欧拉常数）．在本次游戏中，如果 ， 最大时，求 的估计值． 【答案】(1) ； ； (2) ，证明见解析 (3) . 【分析】（1）设三个数是1，2，3，通过列举法，由古典概率模型计算公式求解即可； （2）设最大数在 （ ）次出现，要想获胜，前 个数中的最大值必出现在前 次中，且第 次取到最大值，得到 ，结合 ， ，即可求证； （3）由（2）得到 ，再由条件得到 ①， ②， ③，联立可得， ，即可求解. 【详解】（1）不妨设三个数是1，2，3，三个数的大小排列有6种情形：123，132，213，231，312，321.当 时，取到最大的情形有：312，321.  所以 ；当 时，取到最大的情形有：132，213，231，所以 ；当 时，取到最大的情形有：123，213. 所以 . （2）当最大数在第 次出现时，均有可能获胜.设最大数在 （ ）次出现，要想获胜，前 个数中的最大值必出现在前 次中，且第 次取到最大值，所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 同理 EMBED Equation.DSMT4 ，因此，当 时， 最大. （3）首先对于 ，当 最大时， . 否则若 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 . ①， ②， ③，① ②得 ，所以 ，① ③得 ，所以 ，所以， . 9．（2025·河北邯郸·二模）已知离心率 且焦点在 轴上的序列椭圆 EMBED Equation.DSMT4 ，其中 的一个焦点为 ．过 上一点 作 的两条弦 ，交 于另两点 ，且 的内心在垂直于 轴的一条直线上． (1)求数列 的通项公式； (2)求直线 的斜率； (3)若 为坐标原点，当 的面积为 时，直线 交 轴于 ，证明： . 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由已知可得 ，进而可得 ，可求数列 的通项公式； （2）设 的方程为 ．联立直线与椭圆方程，由根与系数的关系可得 ，由已知可得 ，进而可得 ，计算可求直线 的斜率； （3）求得 ，结合三角形的面积可得 ，可得 ，可证明结论. 【详解】（1）由 ，解得 ． 的一个焦点为 ， ， ． 由（1）知 ． 的内心在垂直于 轴的一条直线上， ．设 的方程为 ．代入 中整理得 ． ，即 ， ， ，由 得 ，即 ， 代入 与 整理得 ，当 时， 过点 ，舍去． ． （3）由（2）知 的方程为 ，此时 ， ， ， 到直线 的距离 ， 的面积 ，解得 满足 ， ． ， ， 则 EMBED Equation.DSMT4 ． 10．（2025·重庆·二模）已知椭圆 的中心为坐标原点，焦点在 轴上，离心率为 ，点 在椭圆 上. (1)求 的方程; (2)过点 且斜率存在的两条直线 互相垂直，直线 交 于 两点，直线 交 于 两点， 分别为弦 和 的中点，直线 交 轴于点 ，其中 . ① 求 ； ② 设椭圆 的上顶点为 ，记 的面积为 ，令 ，求证: . 【答案】(1) ；(2)① ②证明过程见解析 【分析】（1）根据已知列出关于 的方程组即可求解； （2）①设 的方程为 ，根据韦达定理以及中点坐标公式求得 的坐标，同理可得 的坐标，进一步可得点 的坐标即可得解；②依次得出 ， ，进而得到 ，从而通过放缩和裂项即可求解. 【详解】（1）由题意，设椭圆方程为 ，则有 ，解得 ， 所以椭圆 的方程为 . （2） ①设 的方程为 ． ， 由 ，得 ， ， 同理可得： ， 三点共线，当 轴时，则 ，当 与 轴不垂直时，由 得： ， ②因为 ，所以 ，由 得： ，且 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， . 题型01 题型02 题型03 题型03 题型04 题型05 题型06 2 / 4 $$