暑假作业08 立体几何初步（巩固培优）高一数学苏教版

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业08 立体几何初步 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 3.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底·h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底·h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 3.空间中的平行关系 （1） 线线平行 ①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质（对边平行且相等） ③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 （2） 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 图形语言 符号语言 （3） 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 图形语言 符号语言 （4） 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 图形语言 符号语言 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 图形语言 符号语言 （5） 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 4.空间中的垂直关系 （1） 线线垂直 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 （2） 线面垂直的判定定理 判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 图形语言 符号语言 （3） 线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 图形语言 符号语言 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 （4） 面面垂直的判定定理 判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） 图形语言 符号语言 （5） 面面垂直的性质定理 性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 图形语言 符号语言 5.异面直线所成角 1.定义：已知两条异面直线经过空间任意一点作直线我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角） 2.范围： 3.平移两异面直线使它们相交，转化为相交直线所成角； 6.直线与平面所成角 1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 2.范围： 3.求法： （1）由定义作出线面角的平面角，再求解： （2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为 ）和到平面的距离（设为 则 7.二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角。 2.范围： 3.求法： 作出（或找出）二面角的平面角，再求解。在作二面角的平面角时，一般有二面角的平面角定义法，三垂线法，垂面法等 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．下列命题错误的是（    ） A．在正方体中，直线与是异面直线 B．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，平行四边形的直观图是平行四边形 C．棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点 D．圆心和圆上两点可确定一个平面 2．正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（    ） A．12 B． C．16 D． 3．棱长为的正方体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（   ） A． B． C．EI与BG共面 D．AF与BG异面 5．某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）下列说法正确的是（   ） A．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 B．通过圆台侧面一点，有无数条母线 C．过圆锥顶点截圆锥所得的截面图形都是等腰三角形 D．侧面是全等矩形的三棱柱一定是正三棱柱 7．（多选）关于球的下列说法正确的有（    ） A．若球的体积为，则球表面积也为 B．若球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的4倍 C．若一平面截球截得一半径为2的圆面且到此截面的距离为1，则球的表面积为 D．若一正方体的八个顶点都在球的球面上，则球的体积与正方体的体积之比为 8．（多选）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（   ） A． B．平面 C．正方体的外接球的表面积为 D．三棱锥的体积为 9．已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为 ． 10．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）.在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为 . 11．如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 12．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 1．在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则此三棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题正确的是（    ） A．平面 B．与相交 C．与是异面直线 D．四边形为正方形 4．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么（　　） A．6︰5 B．7︰5 C．8︰3 D．4︰3 5．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 6．（多选）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任意一点，则下列关系正确的是（    ） A． B．平面 C． D． 7．（多选）如图，在长方体中，．E，F，G，H分别为，的中点，下列说法正确的是（   ）    A．长方体外接球的表面积为 B．与所成角的余弦值为 C．平面 D．与平面所成角的正切值为 8．（多选）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥外接球体积为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 9．三棱锥的侧棱长为，底面是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为 . 10．如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点，且，则 ． 11．如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. (1)求证： 平面； (2)求证： 平面 (3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 12．如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值. 1．一口古井的形状为正四棱台，下小上大，在枯水时节，其水面面积大约为，水深，丰水时节水面面积大约为，水深，则枯水时节的水量大约为（   ） A． B． C． D． 2．已知三棱锥的各条棱都与同一个球面相切，若，则三角形的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 3．祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一､距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（    ）    A． B． C． D． 4．（多选）如图，正三棱柱的侧面为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是（   ） A．内切圆的半径为 B．被挖掉的圆柱的侧面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 5．在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计.灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性.现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为，下底边长为，高度为；中间结构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为，高度为；底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱台，其形状、大小均与顶部的正六棱台相同. (1)求灯笼总体积. (2)灯笼所需纸张的总表面积.（备注：灯笼上下底不糊纸.） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业08 立体几何初步 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 平行、相等且垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面 展开图 矩形 扇形 扇环 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 3.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底·h 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底·h 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 3.空间中的平行关系 （1） 线线平行 ①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质（对边平行且相等） ③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 （2） 线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 图形语言 符号语言 （3） 线面平行的性质定理 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 图形语言 符号语言 （4） 面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 图形语言 符号语言 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平行 图形语言 符号语言 （5） 面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 4.空间中的垂直关系 （1） 线线垂直 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 （2） 线面垂直的判定定理 判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 图形语言 符号语言 （3） 线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 图形语言 符号语言 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 （4） 面面垂直的判定定理 判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） 图形语言 符号语言 （5） 面面垂直的性质定理 性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面 图形语言 符号语言 5.异面直线所成角 1.定义：已知两条异面直线经过空间任意一点作直线我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角） 2.范围： 3.平移两异面直线使它们相交，转化为相交直线所成角； 6.直线与平面所成角 1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 2.范围： 3.求法： （1）由定义作出线面角的平面角，再求解： （2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为 ）和到平面的距离（设为 则 7.二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角。 2.范围： 3.求法： 作出（或找出）二面角的平面角，再求解。在作二面角的平面角时，一般有二面角的平面角定义法，三垂线法，垂面法等 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．下列命题错误的是（    ） A．在正方体中，直线与是异面直线 B．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，平行四边形的直观图是平行四边形 C．棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点 D．圆心和圆上两点可确定一个平面 【答案】D 【分析】根据正方体的性质判断A，根据斜二测画法判断B，根据棱台的定义判断C，根据基本事实判断D. 【详解】对于A：在正方体中，直线与既不平行也不相交，所以直线与是异面直线，故A正确， 对于B：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，平行四边形的直观图是平行四边形，故B正确； 对于C：棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点，故C正确； 对于D：圆上两点在直径的端点时，三点共线，不能唯一确定一个平面，故D错误. 故选：D 2．正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（    ） A．12 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的原理作出原图形，求出边长即可得原图形的周长. 【详解】从直观图可得， 原图形为： 则四边形OABC为平行四边形，， ， 所以其周长为. 故选：C. 3．棱长为的正方体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体的体对角线即为外接球的直径，即可得解. 【详解】棱长为的正方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为, 则，即， 所以外接球的表面积. 故选：B 4．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（   ） A． B． C．EI与BG共面 D．AF与BG异面 【答案】C 【分析】画出该正方体的直观图，根据直线共面，异面直线和直线夹角进行判断，得到答案. 【详解】根据题意，画出该正方体的直观图， A选项，，为等边三角形，AF与CH所成的角为，A错误； B选项，CH与BD异面，B错误； C选项，直线EI与BG相交，所以直线EI与BG共面，C正确； D选项，，直线AF与BG共面，D错误. 故选：C. 5．某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可． 【详解】设上、下两圆锥的底面半径为，高分别为，体积分别为， 因为上圆锥的高与底面半径相等，所以， 则得，， 上圆锥的母线为，下圆锥的母线为， 所以上、下两圆锥的母线长之比为， 故选：A． 6．（多选）下列说法正确的是（   ） A．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 B．通过圆台侧面一点，有无数条母线 C．过圆锥顶点截圆锥所得的截面图形都是等腰三角形 D．侧面是全等矩形的三棱柱一定是正三棱柱 【答案】ACD 【分析】利用棱锥，圆台，圆锥和正棱柱的定义和结构特征逐一判断选项即可. 【详解】对于A，因棱锥都是由一个多边形的底面和另外多个有一个公共顶点的三角形构成， 依题意平行四边形所在的面必是底面，故它一定是四棱锥，故A正确； 对于B，因圆台可由圆锥用平行于底面的平面截得，而圆锥的母线是连接圆锥顶点与底面圆上一点的连线， 所以经过圆台侧面一点，有且只有一条母线，故B错误； 对于C，因过圆锥顶点截圆锥所得的截面图形是由两条母线和底面圆的一条弦构成的三角形，故它一定是等腰三角形，故C正确； 对于D，三棱柱的侧面是矩形，说明它是直三棱柱，这些矩形为全等矩形，可分为两种情况考虑： ①全等的矩形与底面的交线都相等，此时底面是正三角形，故是正三棱柱； ②全等的两个矩形中一个矩形的侧棱与另一个矩形的底面边相等，此时可推得棱柱的所有棱长相等，故也能推出正三棱柱，故D正确. 故选：ACD. 7．（多选）关于球的下列说法正确的有（    ） A．若球的体积为，则球表面积也为 B．若球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的4倍 C．若一平面截球截得一半径为2的圆面且到此截面的距离为1，则球的表面积为 D．若一正方体的八个顶点都在球的球面上，则球的体积与正方体的体积之比为 【答案】ACD 【分析】利用球的体积公式、球的表面积公式、球的截面性质、正方体外接球特性逐项判断即可. 【详解】对于A，设球的半径为，则，解得，球表面积，A正确； 对于B，球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的8倍，B错误； 对于C，依题意，球的半径，球的表面积为，C正确； 对于D，令正方体的棱长为2，则球的半径为，则球的体积与正方体的体积之比： ，D正确. 故选：ACD 8．（多选）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（   ） A． B．平面 C．正方体的外接球的表面积为 D．三棱锥的体积为 【答案】ABC 【分析】对选项A，根据线面垂直的判定于性质判断A正确；对选项B，根据题意得到，再利用线面平行的判定即可得到平面，即B选项正确；对选项C，首先求出正方体外接球半径，再求表面积即可判断C正确；对选项D，根据，即可判断D错误. 【详解】对选项A，连接，因为平面，且平面，则， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以，故A正确； 对选项B，因为， 所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面， 所以平面，故B正确； 对选项C，正方体外接球半径， 所以球体表面积，故C正确； 对选项D，，故D错误. 故选：ABC 9．已知一个球内切于正方体，且这个球的体积为，那么这个正方体的体积为 ． 【答案】64 【分析】利用球的体积公式求出球半径，进而求出正方体的棱长即可. 【详解】设正方体的内切球半径为，则该正方体的棱长为， ，可得，则正方体的棱长为4， 这个正方体的体积为. 故答案为：64 10．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）.在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为 . 【答案】 【分析】利用割补法，结合体积公式求解即可. 【详解】因为，所以，，设AC，BD相交于点O，则O到AB的距离为， 所以蒺藜形多面体体积为正方体体积减去，即. 故答案为：. 11．如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）要证平面，根据线面平行的判定定理在平面内找到一条直线与之平行即可； （2）将线线垂直转化为与所在的某个平面垂直即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 则直三棱柱中，四边形为平行四边形， 则为的中点，又为的中点，故， 平面，平面，故平面. （2）取中点为，连接，，为的中点， 故，而底面， 故底面，底面，故； 又为的中点，则，而，即， 故， 而，平面，平面， 故平面， 又平面，故，即. 12．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，证明见解析， 【分析】（1）由线面平行的性质即可证明； （2）由线面平行及面面平行的判定即可证明． 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，则点是的中点， 因为平面，平面平面，平面， 所以， 所以，所以点是的中点． （2）存在点，使得平面平面，此时， 因为，所以为中点， 又因为点是的中点，所以 又平面，平面，所以平面， 由（1）知，同理可得，平面， 又，平面，所以平面平面． 1．在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】注意到，则、所成角，即为与所成角，然后由题意及余弦定理可得答案. 【详解】连接、，由题可得，又， 则四边形为平行四边形，则， 即，所成角，即为与所成角或其补角， 又由题可得，， 则. 因此，异面直线，所成角的余弦值为. 故选：B. 2．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则此三棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三棱锥三条侧棱两两垂直求出三棱锥的体积，再求出底面三角形的面积，最后根据三棱锥体积公式反推出三棱锥的高． 【详解】 因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，所以可把当作底面，当作高． 可得． 再根据三棱锥体积公式，可得． 在中，根据勾股定理，可得． 在中，根据勾股定理，可得． 在中，根据勾股定理，可得． 由，，可知是等腰三角形，底边上的高． 可得． 设三棱锥的高为，根据三棱锥体积公式， 已知，，则，解得． 此三棱锥的高为． 故选：D． 3．如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题正确的是（    ） A．平面 B．与相交 C．与是异面直线 D．四边形为正方形 【答案】A 【分析】由空间中线面的位置关系逐个判定即可. 【详解】因为分别为的中点，在正方体中易证平面，不在平面内，所以平面，A对， 在平面内，与平面相交于点，不在上，所以与为异面直线，B错， 因为分别为的中点，易知， 所以与共面，C错， 设正方体的棱长为2，易知，， ， 所以四边形为菱形而不是正方形，D错， 故选：A． 4．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么（　　） A．6︰5 B．7︰5 C．8︰3 D．4︰3 【答案】B 【分析】因为分别为的中点，得到，利用棱台的体积公式，求得，得到则，即可求得的值. 【详解】设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，则， 因为分别为的中点，所以， 所以，则，所以. 故选：B. 5．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值． 【详解】过点分别作交于点，交于点，连接， 要想平面， 则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立，故. 故选：B. 6．（多选）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任意一点，则下列关系正确的是（    ） A． B．平面 C． D． 【答案】BD 【分析】根据线面垂直的判定定理及性质判断各选项即可. 【详解】由题意，平面，因为平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，且为圆上异于的任意一点，所以， 故A错误； 因为，，又平面， 所以平面，故B正确； 因为平面，又平面，所以，故D正确； 若，由，平面， 则平面，又平面，则，这与矛盾，故C错误. 故选：BD. 7．（多选）如图，在长方体中，．E，F，G，H分别为，的中点，下列说法正确的是（   ）    A．长方体外接球的表面积为 B．与所成角的余弦值为 C．平面 D．与平面所成角的正切值为 【答案】AD 【分析】对于A，根据长方体外接球的直径即为体对角线，进而求出外接球的半径，再求解其表面积，即可判断；对于B，设中点为，连接，可证明，得到为与所成角（或补角），进而求解判断即可；对于C，连接，易得，进而判断即可；对于D，连接，易得平面，可得为与平面所成角，进而求解判断即可. 【详解】对于A，长方体外接球的直径即为体对角线， 则其外接球的半径为， 则其外接球的表面积为，故A正确； 对于B，设中点为，连接， 在长方体中，由于F，G，H分别为，的中点， 所以，， 则四边形为平行四边形，则， 所以为与所成角（或补角）， 因为， 所以， 则，， 则，， 又，则， 在中，， 则与所成角的余弦值为，故B错误；    对于C，连接， 因为E，F分别为的中点，所以， 在长方体中，，则， 而与平面相交，则不平行于平面，故C错误；    对于D，连接，由B知，， 在长方体中，平面， 则平面，又平面，则， 所以为与平面所成角， 由， 所以，，， 则， 所以在中，，故D正确.    故选：AD. 8．（多选）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（   ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．圆锥外接球体积为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】代入圆锥的侧面积公式，判断A，根据点的位置，确定三棱锥体积的最大值，判断B，根据题中的条件，确定圆锥的外接球的球心和半径，判断C，翻折，使四点共面，即可确定的最小值. 【详解】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误； B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确； C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确； D. 若，则是等腰直角三角形，，， 所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面， 此时三点共线时，的最小值是， 中，， 由余弦定理可知，，故D正确. 故选：BCD 9．三棱锥的侧棱长为，底面是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为 . 【答案】 【分析】根据题意该三棱锥为正三棱锥，作出球心，构建勾股定理可得半径. 【详解】 该三棱锥正三棱锥，为底面的中心， 底面，球心在直线上， 底面是边长为的等边三角形，为底面的中心， ，， ， 设外接球半径为R，在中， ，， 所以体积， 故答案为：. 10．如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点，且，则 ． 【答案】 【分析】首先证明平面平面，即可得到三棱锥和三棱锥高之比为，再由，即可得到其底面积之比，从而得解. 【详解】因为，所以，，， 又平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，平面，所以平面平面， 且三棱锥和三棱锥高之比也为， 由等角定理得，， 所以， 由， 可得， 所以. 故答案为：. 11．如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. (1)求证： 平面； (2)求证： 平面 (3)求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行. （2）通过证明，，进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，可证面面垂直. （3）先作出直线与平面所成的角，然后用直角三角形中的边角关系求角的正弦值. 【详解】（1）如图：取的中点，连接， 则，且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 由题设易知为直角梯形，且， 则，所以， 因为，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，平面，所以平面. （3）如图：取的中点，连接， 则，由（2）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 12．如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图，易知，根据面面垂直的性质、线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理与性质可得，结合和线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，确定为与平面所成的角.在中，利用勾股定理和余弦定理计算即可求解； （3）由（1），根据线面垂直的性质与判定定理确定为二面角的平面角，利用等面积法和正弦定理计算即可求解. 【详解】（1）取中点，连接. 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. 又因为，，、平面， 所以平面，而平面，所以. 因为为的中点，所以， 又，，平面， 所以平面. （2）过点作，垂足为. 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以为与平面所成的角. 因为，，， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以与平面所成角的余弦值为. （3）取的中点，连接，易知，， 过点作，垂足为，连接. 由（1）知，平面，所以平面. 又，平面，所以，. 因为，，平面，所以平面. 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 由（1）知平面，平面，所以， 所以在中，， 由（2）知，平面，又平面，所以. 在中，， 即，解得， 在中，， 所以二面角的平面角的正弦值为. 1．一口古井的形状为正四棱台，下小上大，在枯水时节，其水面面积大约为，水深，丰水时节水面面积大约为，水深，则枯水时节的水量大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，作正四棱台的中截面，即可得到各边长，然后结合棱台的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】    作正四棱台的中截面，如图所示，AB，DC，FE分别为丰水、枯水、井底的水面边长， 则． 因为，所以， 所以枯水时节的水量为． 故选：B 2．已知三棱锥的各条棱都与同一个球面相切，若，则三角形的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】由过球外一点与球面相切的切线长相等，求出的长，可得三角形的周长. 【详解】 由已知，设球与棱的切点分别为， 则，设， 因为， 则， 又，所以，解得， 则，， 所以三角形的周长为. 故选：D. 3．祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一､距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若平面平面，是的中点，连接，从而得到是平面与平面所成角的平面角，即为所求角，结合已知求其正切值. 【详解】若平面平面，则平面与平面所成角，即为平面与平面所成角， 由题意有，即是等腰三角形，腰长约为8米，，易知， 若是的中点，连接，则，且平面， 由平面，则，都在平面内， 所以平面，则是平面与平面所成角的平面角， 其中，，则.    故选：B 4．（多选）如图，正三棱柱的侧面为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是（   ） A．内切圆的半径为 B．被挖掉的圆柱的侧面积为 C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积为 【答案】BD 【分析】对于A，正三角形，其内切圆半径可根据边长通过特定关系求得；对于B，圆柱的侧面积、体积有相应的计算公式；对于C，组合体的表面积是正三棱柱表面积减去两个圆面积再加上圆柱侧面积，对于D，体积是正三棱柱体积减去圆柱体积.分别计算各选项中涉及的量，然后判断选项的正确性. 【详解】对于A，已知正三棱柱的侧面为边长为的正方形，则正三棱柱底面正三角形的边长. 设正三角形内切圆半径为，根据正三角形内切圆半径公式， 把代入，得，所以A选项错误.   对于B，由A可知圆柱底面半径，正三棱柱的高（即圆柱的高）. 根据圆柱侧面积公式（其中为底面半径，为高）. 把，代入公式，得，所以B选项正确.   对于C，先求正三棱柱两个底面正三角形的面积，把代入得. 正三棱柱三个侧面的面积，两个内切圆的面积，圆柱侧面积（已在B中求出）. 则该几何体的表面积，所以C选项错误.   对于D，正三棱柱的体积，把，代入得. 圆柱的体积，把，代入得. 该几何体的体积，所以D选项正确.   故选：BD. 5．在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计.灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性.现在有一盏独特的节庆灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下：顶部装饰：灯笼的顶部是一个正六棱台，上底边长为，下底边长为，高度为；中间结构：灯笼的中部是一个正六棱柱，底面边长为，高度为；底部基座：灯笼的底部是一个倒置的正六棱台，其形状、大小均与顶部的正六棱台相同. (1)求灯笼总体积. (2)灯笼所需纸张的总表面积.（备注：灯笼上下底不糊纸.） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据棱台与棱柱的体积公式计算即可； （2）利用等腰梯形的性质可求得正六棱台的侧棱长，进而求得侧面的斜高，进而可求得表面积. 【详解】（1）. . . . （2）作出正六棱台的示意图所示： 由题意可得正方棱台的截面也是等腰梯形，过作于， 由题意可得，所以，所以， 由侧面是等腰梯形，且上底为，下底为，腰为， 所以梯形的高为 . . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$