专题05 成对数据的统计与分析（9种经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题05 成对数据的统计与分析 题型概览 题型01相关系数的意义及辨析 题型02残差的计算 题型03相关指数的计算及分析 题型04解释回归直线方程的意义 题型05根据回归方程进行数据估计 题型06根据样本中心点求参数 题型07求回归直线方程 题型08卡方的计算 题型09独立性检验解决实际问题 ( 题型01 ) 相关系数的意义及辨析 1．（多选）（24-25高二下·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（ ） A．数据1，2，3，5，7，9的中位数大于平均数 B．数据0，1，0，1，0，1的标准差大于方差 C．在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强 D．已知随机变量X服从正态分布且，则 2.（多选）（23-24高二下·浙江·期中）考虑两个变量和的样本数据集，其样本相关系数通过以下公式给出： 其中，和分别是和的第i个样本值，和分别是和的样本均值．下列关于样本相关系数公式各部分的陈述正确的是（   ） A．分母中的和是和的标准差. B．分子部分用于衡量两个变量之间变化趋势的一致性，即分子为正值时表示变量之间正相关，分子为负值时表示变量之间负相关. C．样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越强. D．通过对分子部分进行标准化处理，样本相关系数能够消除变量的度量单位的影响，使得不同数据集之间的相关性能够进行直接比较. 3．（多选）（22-23高二下·浙江宁波·期中）某兴趣小组研究光照时长x（单位：小时）和向日葵种子发芽数量y（单位：颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉后，下列说法正确的是（    ） A．x与y的线性相关性变强 B．样本相关系数r变小 C．残差平方和变大 D．决定系数R2变大 ( 题型0 2 ) 残差的计算 1.（多选）（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）下列说法正确的是（    ） A．数据1，2，3，5，7，9的中位数大于平均数 B．数据0，1，0，1，0，1的标准差大于方差 C．在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强 D．在回归分析中，残差平方和越大，相应模型的拟合效果越好 2．（多选）（24-25高三上·浙江绍兴·期末）下列说法正确的是（    ） A．事件与事件相互独立，且，，则 B．样本数据2，2，3，4，6，8，9，10，12，12的上四分位数为11 C．某分层抽样有层，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，则总方差为 D．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与点的残差相等，则 ( 题型0 3 ) 相关指数的计算及分析 1.（23-24高二下·浙江·期中）下列说法正确的是（    ） A．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C．正态分布的图象越瘦高，越大 D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 2.（多选）（23-24高三上·浙江宁波·期末）下列结论正确的有（    ） A．相关系数越接近1，变量，相关性越强 B．若随机变量，满足，则 C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D．设随机变量服从二项分布，则 ( 题型0 4 )解释回归直线方程的意义 1.（22-23高三上·浙江杭州·期末）给出下列命题，其中不正确的命题为（    ） ①若样本数据的方差为3，则数据的方差为6； ②回归方程为时，变量x与y具有负的线性相关关系； ③随机变量X服从正态分布，则； ④甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为． A．①③④ B．③④ C．①②③ D．①②③④ 2.（多选）（24-25高二下·浙江绍兴·期中）下列说法正确的是（   ） A．两个变量，的相关系数为，则越大，与之间的相关性越弱 B．在回归分析中，为0.99的模型比为0.98的模型拟合的更好 C．设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少4个单位 D．经验回归方程相对于点的残差为0.5 ( 题型0 5 ) 根据回归方程进行数据估计 1.（24-25高二下·浙江·期中）已知随机变量呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则变量的估计值有（   ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 2．（22-23高二下·浙江金华·期末）兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格（单位：Q元/千克）与上市时间t（单位：天）的数据如下表所示： 时间t/（单位：天） 10 20 70 销售价格Q（单位：元/千克） 100 50 100 根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系：.利用你选取的函数模型，在以下四个日期中，杨梅销售价格最低的日期为（    ） A．6月5日 B．6月15日 C．6月25日 D．7月5日 ( 题型0 6 ) 根据样本中心点求参数 1.（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 成交额（万元） 50 60 70 80 100 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（   ） A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元 2.（24-25高二下·浙江·期中）已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为，经验回归方程为，若，则 . ( 题型0 7 ) 求回归直线方程 1.（多选）（22-23高二下·浙江金华·期末）金华某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为万人，每晚最多能接纳的客流量为万人，主办公司决定通过微信公众号和其他进行广告宣传提高营销效果.通过调研，公司发现另一处同等规模的夜市投入的广告费与每晚增加的客流量存在如下关系： x/万元 1 2 3 4 5 6 y/千人 5 6 8 9 12 20 参考数据： 附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式： 现用曲线拟合变量与的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计（精确到），依所求回归方程为预测依据，则（    ） A． B．曲线经过点 C．广告费每增加万元，每晚客流量平均增加人 D．若广告费超过万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力 2.（24-25高二下·浙江杭州·期中）在数字化浪潮汹涌澎湃的当下，DeepSeek以其强大的技术实力，为各领域带来了前所未有的变革与突破.某大型机械制造企业借助DeepSeek强大的数据分析能力，搭建了供应链智能平台.其中，DeepSeek可以实时收集市场需求数据，包括历史销售数据、市场趋势预测、客户订单信息等进行数据分析和优化算法.为统计某零部件产量情况，该企业利用DeepSeek收集到某市1-6月该零部件销售数据，如下表所示. 月份 1 2 3 4 5 6 销售额（万元） 14 16 22 21 24 25 甲、乙两名同学对这组数据进行回归分析，得到两个回归模型： 模型①；模型②， 两位同学对以上回归方程进行残差分析，得到下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销售额y（万元） 14 16 22 21 24 25 模型① 估计值 14.7 16.9 19.1 21.3 23.5 25.7 残差 2.9 0.5 模型② 估计值 14.6 16.1 17.8 19.7 21.8 24.1 残差 4.2 1.3 2.2 0.9 计算得到两个模型的残差平方和分别为：，， 若定义：残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据. (1)请你根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好，并在拟合效果较好的模型中判断哪组为异常数据？ (2)在问题（1）中拟合效果较好的模型中剔除异常数据后，请你重新求其经验回归方程，并预测7月份的销售额（保留小数点后一位）. 参考公式：， 参考数据： ( 题型 8 ) 卡方的计算 1.（多选）（23-24高三上·浙江湖州·期末）下列结论中正确的是（    ） A．在列联表中，若每个数据均变为原来的2倍，则的值不变 B．已知随机变量服从正态分布，若，则 C．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9 D．分别抛掷2枚相同的硬币，事件表示为“第1枚为正面”，事件表示为“两枚结果相同”，则事件是相互独立事件 2．（多选）（21-22高二下·浙江·阶段练习）某淘宝商家想通过软件广告推荐功能吸引潜在客户.为使广告能够精准投放达到利益最大化，随机抽取了200名在本店一季度消费过的客户数据，现统计如下： 按照年龄分为年轻人（<30岁）和非年轻人(30岁及以上)，若一季度内购买超过三次及以上就记为优质客户，其中非年轻人占比，通过数据可以得到结论（    ） 附：. 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A．为了增加优质客户的比例，应向30岁以下人群投放广告 B．有99.9%的把握认为是否为优质客户与年龄有关 C．已知一位顾客是年轻人，则他是优质客户的概率是 D．已知一位顾客仅购买一次，则他是非年轻人的概率是 ( 题型 9 ) 独立性检验解决实际问题 1.（24-25高二下·浙江杭州·期中）利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：下列叙述正确的是（    ） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” B．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” C．某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学 D．某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学 2.（24-25高二下·浙江·期中）为了研究大气污染物浓度的影响因素，研究人员检测了经济发展水平相当的24个城市的汽车流量.得到数据如下： 浓度（单位：） 汽车流量（单位：千辆/24小时） 合计 8 2 10 1 13 14 合计 9 15 24 (1)判断是否有的把握认为浓度与汽车流量有关？ (2)对于随机事件，，若，则认为事件对事件发生有促进作用，否则就认为是抑制作用.现记为“浓度超过”，为“城市汽车流量不超过1.4千辆/24小时”，用表格数据估计事件A、B发生的概率，试问：事件B对事件A是促进作用还是抑制作用? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 3．（24-25高二下·浙江·期中）2025年3月30日，第20届亚洲马拉松锦标赛在浙江嘉兴盛大启幕.为了解观众的观赛体验，从现场随机抽取了200位观众开展相关调查，得到满意率为80%. (1)根据所给数据，完成列联表； 性别 满意度 合计 满意 不满意 男性 20 女性 40 合计 (2)在（1）的条件下，依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？附：，. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·期中）根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，已知，，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 2．（24-25高二下·浙江宁波·期中）下列结论不正确的是（    ） A．若、两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强 B．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 D．由两个分类变量、的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断、相关，且犯错误的概率不超过 3．（21-22高二下·浙江嘉兴·阶段练习）随机询问50名大学生调查爱好某项运动是否和性别有关.利用2×2列联表计算得，则下列结论正确的是（    ） 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别无关” C．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别无关” 4．（22-23高三上·浙江温州·阶段练习）在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7选3的模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位:人） 选物理 不选物理 总计 男生 340 110 450 女生 140 210 350 总计 480 320 800 表一 选生物 不选生物 总计 男生 150 300 450 女生 150 200 350 总计 300 500 800 表二 试根据小概率值的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（    ） 附: A．选物理与性别有关，选生物与性别有关 B．选物理与性别无关，选生物与性别有关 C．选物理与性别有关，选生物与性别无关 D．选物理与性别无关，选生物与性别无关 二、多选题 5．（23-24高二下·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1 B．正态曲线当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖” C．在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 D．对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 6．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）为研究某机器的连续使用时长（小时）和生产产品的合格率之间的关系，某课题研究小组采集了组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（    ） A．经验回归直线的斜率可能不变 B．样本的线性相关程度更高 C．样本相关系数变小 D．残差平方和变小 7．（23-24高三上·浙江宁波·期末）数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经济形态．近年来，在国家的大力推动下，我国数字经济规模增长迅猛，《“十四五”数字经济发展规划》更是将数字经济上升到了国家战略的层面．某地区2023年上半年月份与对应数字经济的生产总值（即GDP）（单位：亿元）如下表所示． 月份 1 2 3 4 5 6 生产总值 30 33 35 38 41 45 根据上表可得到回归方程，则（   ） A． B．与正相关 C．若表示变量与之间的相关系数，则 D．若该地区对数字经济的相关政策保持不变，则该地区7月份的生产总值约为亿元 8．（24-25高三上·浙江丽水·期末）每年4月23日为“世界读书日”，某学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表： 二月 三月 四月 五月 六月 月份代码 1 2 3 4 5 月借阅量（百册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得关于的经验回归方程为，则下列结论正确的是（    ） A． B．借阅量的下四分位数为5.7 C．与的线性相关系数 D．七月的借阅量一定不少于百册 三、解答题 9．（22-23高三上·浙江丽水·期末）为了解学生玩手机游戏情况，随机抽取100名男生和100名女生，通过调查得到如下数据：100名女生中有10人会玩手机游戏，100名男生中有40人会玩手机游戏. (1)判断是否有的把握认为性别与玩手机游戏有关联； (2)以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中玩手机游戏人数为，求的分布列、数学期望和方差. 附：，其中. 10．（22-23高二下·浙江金华·期末）海水养殖场进行某水产品的新､旧网箱养殖法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各水箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示.    (1)求新养殖法的频率分布直方图中小矩形高度x的值： (2)根据频率分布直方图，填写下面列联表，并根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关. 养殖法 箱产量 合计 箱产量<50 箱产量50 旧养殖法 新养殖法 合计 （） 11．（23-24高三上·浙江杭州·期末）我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下： 中秋天气 元宵天气 合计 降水 无降水 降水 19 41 60 无降水 50 90 140 合计 69 131 200 (1)依据的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？ (2)从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求. 参考公式与数据：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 12．（23-24高二下·浙江嘉兴·期末）为了了解某市市民平均每天体育锻炼的时间，在该市随机调查了位市民，将这位市民每天体育锻炼的时间（单位：分钟）分为五组，得到如图所示的频率分布直方图：    (1)求的值并估计该市市民每天体育锻炼时间的平均数； (2)假设每天的体育锻炼时间达到60分钟及以上为“运动达人”.若从样本中随机抽取一位市民，设事件“抽到的市民是运动达人”，“抽到的市民是男性”，且. （i）求和； （ii）假设有的把握认为运动达人与性别有关，求这次至少调查了多少位市民？ 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 成对数据的统计与分析 题型概览 题型01相关系数的意义及辨析 题型02残差的计算 题型03相关指数的计算及分析 题型04解释回归直线方程的意义 题型05根据回归方程进行数据估计 题型06根据样本中心点求参数 题型07求回归直线方程 题型08卡方的计算 题型09独立性检验解决实际问题 ( 题型01 ) 相关系数的意义及辨析 1．（多选）（24-25高二下·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（ ） A．数据1，2，3，5，7，9的中位数大于平均数 B．数据0，1，0，1，0，1的标准差大于方差 C．在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强 D．已知随机变量X服从正态分布且，则 【答案】BCD 【分析】对于A：求数据中位数和平均数即可得；对于B：求数据方差和标准差即可；对于C：根据相关系数的性质分析判断；对于D：根据正态分布的对称性分析判断. 【详解】对于选项A：数据1，2，3，5，7，9的中位数为，平均数为， 因为，所以中位数小于平均数，故A错误； 对于选项B：因为数据平均数为， 方差，标准差， 所以标准差大于方差，故B正确； 对于选项C：样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强，故C正确； 对于选项D：因为且， 所以，故D正确； 故选：BCD. 2.（多选）（23-24高二下·浙江·期中）考虑两个变量和的样本数据集，其样本相关系数通过以下公式给出： 其中，和分别是和的第i个样本值，和分别是和的样本均值．下列关于样本相关系数公式各部分的陈述正确的是（   ） A．分母中的和是和的标准差. B．分子部分用于衡量两个变量之间变化趋势的一致性，即分子为正值时表示变量之间正相关，分子为负值时表示变量之间负相关. C．样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越强. D．通过对分子部分进行标准化处理，样本相关系数能够消除变量的度量单位的影响，使得不同数据集之间的相关性能够进行直接比较. 【答案】BD 【分析】根据标准差定义，判断A，根据相关系数的定义和性质，判断BCD. 【详解】A.和是和的标准差，故A错误； B.由相关系数的定义，可知B正确； C.样本相关系数的值越接近于0，表示和之间的线性关系越弱，故C错误； D.根据相关系数的演化过程，可知D正确. 故选：BD 3．（多选）（22-23高二下·浙江宁波·期中）某兴趣小组研究光照时长x（单位：小时）和向日葵种子发芽数量y（单位：颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉后，下列说法正确的是（    ） A．x与y的线性相关性变强 B．样本相关系数r变小 C．残差平方和变大 D．决定系数R2变大 【答案】AD 【分析】根据题意，由线性相关的概念以及相关系数的定义，结合图像即可得到结果. 【详解】由图可知，若去掉后，则x与y的线性相关性变强，则A正确； 样本相关系数r变大，故B错误； 残差平方和变小，故C错误； 决定系数R2变大，故D正确. 故选:AD ( 题型0 2 ) 残差的计算 1.（多选）（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）下列说法正确的是（    ） A．数据1，2，3，5，7，9的中位数大于平均数 B．数据0，1，0，1，0，1的标准差大于方差 C．在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强 D．在回归分析中，残差平方和越大，相应模型的拟合效果越好 【答案】BC 【分析】求出中位数与平均数判断A；求出标准差与方差判断B；根据样本相关系数的性质判断C；根据残差的性质判断D. 【详解】对于A，中位数为，平均数为：，所以中位数小于平均数，故A错误； 对于B，因为平均数为，则方差为，则标准差为， ，即标准差大于方差，故B正确； 对于C，在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强，C正确； 对于D，若残差平方和越大，则相应模型的拟合效果越差，故D错误. 故选：BC. 2．（多选）（24-25高三上·浙江绍兴·期末）下列说法正确的是（    ） A．事件与事件相互独立，且，，则 B．样本数据2，2，3，4，6，8，9，10，12，12的上四分位数为11 C．某分层抽样有层，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，第层样本数为，其平均数和方差分别为和，则总方差为 D．已知一系列样本点的经验回归方程为，若样本点与点的残差相等，则 【答案】ACD 【分析】利用独立事件的概率求法判断A，根据百分位数的定义判断B，根据平均数、方差公式判断C，根据残差的概念判断D. 【详解】选项A：因为事件与事件相互独立，且，， 所以，，说法正确； 选项B：样本数据共10个，从小到大排列为2，2，3，4，6，8，9，10，12，12， 因为，所以该组数据的上四分位数为从小到大排列的第8个数，即10，说法错误； 选项C：两层的样本总数为，总平均数为， 总方差为，说法正确； 选项D：因为经验回归方程为，若样本点与点的残差相等， 则，解得，说法正确； 故选：ACD ( 题型0 3 ) 相关指数的计算及分析 1.（23-24高二下·浙江·期中）下列说法正确的是（    ） A．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C．正态分布的图象越瘦高，越大 D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 【答案】D 【分析】值越大，模型的拟合效果越好可判断A；两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1，可判断B，正态分布的图象越瘦高，越小可判断C；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，判断D； 【详解】对于A：值越大，模型的拟合效果越好，故A错误； 对于B， 两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1 ，故B错误. 对于C，正态分布的图象越瘦高，越小，故C错误； 对于D，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故D正确． 故选：D． 2.（多选）（23-24高三上·浙江宁波·期末）下列结论正确的有（    ） A．相关系数越接近1，变量，相关性越强 B．若随机变量，满足，则 C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D．设随机变量服从二项分布，则 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，结合相关系数，方差的性质，相关指数的定义，二项分布概率计算公式计算，逐个判断即可. 【详解】对于A：由相关系数的定义可知，相关系数越接近，变量正相关性越强；相关系数越接近，变量负相关性越强，故A正确. 对于B：由随机变量，满足，则，故B错误. 对于C：由相关指数的定义可知，相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差，故C正确. 对于D：，故D正确. 故选：ACD ( 题型0 4 )解释回归直线方程的意义 1.（22-23高三上·浙江杭州·期末）给出下列命题，其中不正确的命题为（    ） ①若样本数据的方差为3，则数据的方差为6； ②回归方程为时，变量x与y具有负的线性相关关系； ③随机变量X服从正态分布，则； ④甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为． A．①③④ B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据方差的性质可判断①；根据变量x，y的线性回归方程的系数，判断变量x，y是负相关关系可判断②；利用正态分布的对称性，计算求得结果可判断③；根据简单随机抽样概率均等，计算出每人被抽取的概率可判断④. 【详解】对于①，若，则，故①错误； 对于②，回归方程为，可知，则变量x与y具有负的线性相关关系，故②正确； 对于③，∵，∴，∴， ∴，∴，故③错误； 对于④，根据简单随机抽样概率均等可知，甲被抽到的概率为，故④错误． 故选：A． 2.（多选）（24-25高二下·浙江绍兴·期中）下列说法正确的是（   ） A．两个变量，的相关系数为，则越大，与之间的相关性越弱 B．在回归分析中，为0.99的模型比为0.98的模型拟合的更好 C．设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少4个单位 D．经验回归方程相对于点的残差为0.5 【答案】BC 【分析】由相关系数r,回归直线方程，残差知识可逐一判断各个选项. 【详解】对于A项，两个变量的相关系数为，越大，与之间的相关性越强，故A错误 ； 对于B，在回归分析中， 越接近于1， 模型的拟合效果越好， ∴为0.99的模型比为0.98的模型拟合的更好，故B正确； 设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少4个单位，C正确； 对于 B，残差=观测值减去预测值=，故D错误. 故选：BC ( 题型0 5 ) 根据回归方程进行数据估计 1.（24-25高二下·浙江·期中）已知随机变量呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设，，利用最小二乘法，得到线性回归方程，则变量的估计值有（   ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 【答案】A 【分析】先根据已知条件将，代入线性回归方程，然后通过对数函数的性质求出的最值． 【详解】已知，把，代入可得： ． 得到． 因为，所以，那么，即． 因为对数函数在上单调递增，且，所以，即有最大值为． 变量的估计值有最大值为． 故选：A． 2．（22-23高二下·浙江金华·期末）兰溪杨梅从5月15日起开始陆续上市，据调查统计，得到杨梅销售价格（单位：Q元/千克）与上市时间t（单位：天）的数据如下表所示： 时间t/（单位：天） 10 20 70 销售价格Q（单位：元/千克） 100 50 100 根据上表数据，从下列函数模型中选取一个描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系：.利用你选取的函数模型，在以下四个日期中，杨梅销售价格最低的日期为（    ） A．6月5日 B．6月15日 C．6月25日 D．7月5日 【答案】C 【分析】根据表中数据，描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系不可能是常数函数、也不可能是单调函数，应选取进行描述，将表中数据代入可得，利用配方法结合日期可得答案. 【详解】根据表中数据，描述杨梅销售价格Q与上市时间t的变化关系不可能是常数函数、也不可能是单调函数， 函数在时均为单调函数，这与表格中的数据不吻合， 所以应选取进行描述， 将表中数据代入可得 ，解得，所以， ，所以当时杨梅销售价格最低， 而6月5日时，6月15日时，6月25日时，7月5日时， 所以时杨梅销售价格最低. 故选：C. ( 题型0 6 ) 根据样本中心点求参数 1.（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 成交额（万元） 50 60 70 80 100 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是（   ） A．84万元 B．96万元 C．108万元 D．120万元 【答案】C 【分析】求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，即可求出回归直线方程，再代入计算可得. 【详解】依题意，， 又线性回归方程为必过点， 所以，解得，所以， 2025年的年份代号为，所以当时，， 所以根据回归方程预测该店2025年“五一”黄金周的成交额是108万元. 故选：C. 2.（24-25高二下·浙江·期中）已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为，经验回归方程为，若，则 . 【答案】2 【分析】根据样本点坐标求出样本中心点，再利用经验回归直线过样本中心点这一性质来求解的值． 【详解】样本中心点的横坐标的计算公式为，其中为样本点的个数，为的总和． 已知，，将其代入公式可得： 样本中心点的纵坐标的计算公式为，其中为样本点的个数，为的总和． 已知，，将其代入公式可得： 因为经验回归直线过样本中心点， 所以将，代入经验回归方程中，可得：，解上述方程： 故答案为：． ( 题型0 7 ) 求回归直线方程 1.（多选）（22-23高二下·浙江金华·期末）金华某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为万人，每晚最多能接纳的客流量为万人，主办公司决定通过微信公众号和其他进行广告宣传提高营销效果.通过调研，公司发现另一处同等规模的夜市投入的广告费与每晚增加的客流量存在如下关系： x/万元 1 2 3 4 5 6 y/千人 5 6 8 9 12 20 参考数据： 附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式： 现用曲线拟合变量与的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计（精确到），依所求回归方程为预测依据，则（    ） A． B．曲线经过点 C．广告费每增加万元，每晚客流量平均增加人 D．若广告费超过万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力 【答案】BD 【分析】利用题目的数据，得出，的最小二乘估计，即可得出回归方程，逐个选项判断即可. 【详解】由题知，，， ，， 所以， ，A错； 所以，即， 令，求得，B正确； 由上式可知，每增加，应该平均增加，C错； 若，， 而每晚最多能接纳的客流量为万人，故D正确. 故选：BD 2.（24-25高二下·浙江杭州·期中）在数字化浪潮汹涌澎湃的当下，DeepSeek以其强大的技术实力，为各领域带来了前所未有的变革与突破.某大型机械制造企业借助DeepSeek强大的数据分析能力，搭建了供应链智能平台.其中，DeepSeek可以实时收集市场需求数据，包括历史销售数据、市场趋势预测、客户订单信息等进行数据分析和优化算法.为统计某零部件产量情况，该企业利用DeepSeek收集到某市1-6月该零部件销售数据，如下表所示. 月份 1 2 3 4 5 6 销售额（万元） 14 16 22 21 24 25 甲、乙两名同学对这组数据进行回归分析，得到两个回归模型： 模型①；模型②， 两位同学对以上回归方程进行残差分析，得到下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销售额y（万元） 14 16 22 21 24 25 模型① 估计值 14.7 16.9 19.1 21.3 23.5 25.7 残差 2.9 0.5 模型② 估计值 14.6 16.1 17.8 19.7 21.8 24.1 残差 4.2 1.3 2.2 0.9 计算得到两个模型的残差平方和分别为：，， 若定义：残差的绝对值超过1.5的数据为异常数据. (1)请你根据残差平方和判断哪个模型拟合效果更好，并在拟合效果较好的模型中判断哪组为异常数据？ (2)在问题（1）中拟合效果较好的模型中剔除异常数据后，请你重新求其经验回归方程，并预测7月份的销售额（保留小数点后一位）. 参考公式：， 参考数据： 【答案】(1)模型①拟合效果更好，3月的销售数据为异常数据 (2)，预测7月份的销售额约为万元 【分析】（1）根据残差及异常数据的定义判断即可； （2）剔除3月的销售数据，然后根据表中的数据和公式求出经验回归方程，再由可预测7月份的销售额. 【详解】（1）由题意，， 则模型①拟合效果更好， 其中3月的销售数据为异常数据. （2）剔除3月的销售数据，得到剩余的五组数据， 此时，， ，， 所以， 则， 则模型①新的经验回归方程为，， 当时，， 由此预测7月份的销售额为万元. ( 题型 8 ) 卡方的计算 1.（多选）（23-24高三上·浙江湖州·期末）下列结论中正确的是（    ） A．在列联表中，若每个数据均变为原来的2倍，则的值不变 B．已知随机变量服从正态分布，若，则 C．在一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为0.9 D．分别抛掷2枚相同的硬币，事件表示为“第1枚为正面”，事件表示为“两枚结果相同”，则事件是相互独立事件 【答案】BD 【分析】根据独立性检验的公式，可得判定A不正确；根据方差的性质，可判定B正确；根据相关性的定义，可判定C不正确；根据独立事件的判定方法，可判定D正确. 【详解】对于A中，若的列联表中的每个数字变成原理的2倍， 则， 此时变为原理的2倍，所以A错误； 对于B中，在随机变量服从正态分布，若，则，所以B正确； 对于C中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据完全相关，所以这组样本数据的样本相关系数为，所以C不正确； 对于D中，分别抛掷2枚相同的硬币，事件表示为“第1枚为正面”，事件表示为“两枚结果相同”，可得，，可得，所以事件是相互独立事件，所以D正确. 故选：BD. 2．（多选）（21-22高二下·浙江·阶段练习）某淘宝商家想通过软件广告推荐功能吸引潜在客户.为使广告能够精准投放达到利益最大化，随机抽取了200名在本店一季度消费过的客户数据，现统计如下： 按照年龄分为年轻人（<30岁）和非年轻人(30岁及以上)，若一季度内购买超过三次及以上就记为优质客户，其中非年轻人占比，通过数据可以得到结论（    ） 附：. 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 A．为了增加优质客户的比例，应向30岁以下人群投放广告 B．有99.9%的把握认为是否为优质客户与年龄有关 C．已知一位顾客是年轻人，则他是优质客户的概率是 D．已知一位顾客仅购买一次，则他是非年轻人的概率是 【答案】BC 【分析】根据图表中的数据求出年轻人和非年轻人的人数，列出列联表逐个分析判断即可 【详解】由题意可知抽取的年轻人为人，非年轻人为人， 抽取的优质客户有人，则非优质客户为80人，其中优质客户中年轻人有60人，非年轻人有60人，则列联表如下 优质客户 非优质客户 合计 年轻人 60 60 120 非年轻人 60 20 80 合计 120 80 200 对于A，优质客户中年轻人和非年轻人的人数相同，而年轻人的优质客户有，非年轻人的优质客户有，所以非年轻人购买力强，所以为了增加优质客户的比例，应向30岁以上人群投放广告，所以A错误， 对于B，因为，所以有99.9%的把握认为是否为优质客户与年龄有关， 对于C，因为年轻人共120人，其中优质客户60人，所以已知一位顾客是年轻人，则他是优质客户的概率是，所以C正确， 对于D，因为非优质客户80人中，非年轻人20人，所以已知一位顾客仅购买一次，则他是非年轻人的概率是，所以D错误， 故选：BC ( 题型 9 ) 独立性检验解决实际问题 1.（24-25高二下·浙江杭州·期中）利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用列联表，计算可得，参照临界值表：下列叙述正确的是（    ） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” B．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” C．某学生是该校女生，那么她有的可能爱好数学 D．某学生是该校男生，那么他有的可能爱好数学 【答案】B 【分析】根据与临界值比较即可得出答案. 【详解】因为， 所以在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关”. 故选：B. 2.（24-25高二下·浙江·期中）为了研究大气污染物浓度的影响因素，研究人员检测了经济发展水平相当的24个城市的汽车流量.得到数据如下： 浓度（单位：） 汽车流量（单位：千辆/24小时） 合计 8 2 10 1 13 14 合计 9 15 24 (1)判断是否有的把握认为浓度与汽车流量有关？ (2)对于随机事件，，若，则认为事件对事件发生有促进作用，否则就认为是抑制作用.现记为“浓度超过”，为“城市汽车流量不超过1.4千辆/24小时”，用表格数据估计事件A、B发生的概率，试问：事件B对事件A是促进作用还是抑制作用? 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有的把握认为浓度与汽车流量有关- (2)是抑制作用 【分析】（1）通过卡方检验算出卡方值，再判断两个变量是否有关； （2）通过计算相关指标判断事件之间的作用关系. 【详解】（1）设：浓度与汽车流量无关，由 ， 所以有的把握认为不成立，即浓度与汽车流量有关. （2）由题知， 则，所以事件对事件是抑制作用. 3．（24-25高二下·浙江·期中）2025年3月30日，第20届亚洲马拉松锦标赛在浙江嘉兴盛大启幕.为了解观众的观赛体验，从现场随机抽取了200位观众开展相关调查，得到满意率为80%. (1)根据所给数据，完成列联表； 性别 满意度 合计 满意 不满意 男性 20 女性 40 合计 (2)在（1）的条件下，依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联？附：，. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析 (2)性别与满意度有关联 【分析】（1）根据总人数200以及满意率为80%．即可求解满意的人数，进而可求. （2）计算卡方，与临界值比较即可求解. 【详解】（1） 性别 满意度 合计 满意 不满意 男性 120 20 140 女性 40 20 60 合计 160 40 200 （2）零假设为：性别与满意度无关. 此时. 根据小概率值的独立性检验，推断不成立. 即认为性别与满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·期中）根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，已知，，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】利用回归直线方程过样本中心点，可求的值. 【详解】因为，，所以样本中心点， 因为回归方程过样本中心点，所以，解得. 故选：C. 2．（24-25高二下·浙江宁波·期中）下列结论不正确的是（    ） A．若、两组成对数据的样本相关系数分别为，，则组数据比组数据的相关性强 B．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 C．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 D．由两个分类变量、的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断、相关，且犯错误的概率不超过 【答案】C 【分析】根据相关系数的概念可判断A选项；利用方差的性质可判断B选项；利用残差分析可判断C选项；利用独立性检验可判断D选项. 【详解】对于A选项，样本相关系数的绝对值越接近，相关性越强，故A正确 对于B选项，一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满足方差的性质，故 B正确 对于C选项，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故 C错误 对于D选项，因为， 所以，依据的独立性检验，可判断、相关，且犯错误的概率不超过，故D正确. 故选：C. 3．（21-22高二下·浙江嘉兴·阶段练习）随机询问50名大学生调查爱好某项运动是否和性别有关.利用2×2列联表计算得，则下列结论正确的是（    ） 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 A．在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别有关” B．在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别无关” C．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【分析】本题考查独立性检验的理解，注意越大，有关系的可能性越大（或没有关系的可能性越小）． 【详解】∵ ∴在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别有关”， A正确，B错误； ∵ ∴没有充分的证据说明在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关”， C、D错误； 故选：A． 4．（22-23高三上·浙江温州·阶段练习）在新高考改革中，浙江省新高考实行的是7选3的模式，即语数外三门为必考科目，然后从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术（含信息技术和通用技术）7门课中选考3门.某校高二学生选课情况如下列联表一和列联表二（单位:人） 选物理 不选物理 总计 男生 340 110 450 女生 140 210 350 总计 480 320 800 表一 选生物 不选生物 总计 男生 150 300 450 女生 150 200 350 总计 300 500 800 表二 试根据小概率值的独立性检验，分析物理和生物选课与性别是否有关（    ） 附: A．选物理与性别有关，选生物与性别有关 B．选物理与性别无关，选生物与性别有关 C．选物理与性别有关，选生物与性别无关 D．选物理与性别无关，选生物与性别无关 【答案】C 【分析】结合题干数据，以及公式，分别计算物理和生物学科的值，与比较，分析即得解 【详解】由题意，先分析物理课是否与性别有关： 根据表格数据， 结合题干表格数据，， 因此，有充分证据推断选择物理学科与性别有关 再分析生物课是否与性别有关： 根据表格数据， 结合题干表格数据，， 因此，没有充分证据推断选择生物学科与性别有关 故选：C 二、多选题 5．（23-24高二下·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1 B．正态曲线当一定时，越小，正态曲线越“瘦高”；越大，正态曲线越“矮胖” C．在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好 D．对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】BC 【分析】直接利用独立性检验和变量间的关系、回归直线的相关系数、正态分布曲线的特点，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A选项，两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，故A错误； 对于B选项，正态曲线中，当一定时，越小，总体分布越集中，则正态曲线越“瘦高”； 越大，总体分布越分散，则正态曲线越“矮胖”，故B正确； 对于C选项，在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好，故C正确； 对于D选项，对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小，故D错误. 故选：BC 6．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）为研究某机器的连续使用时长（小时）和生产产品的合格率之间的关系，某课题研究小组采集了组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（    ） A．经验回归直线的斜率可能不变 B．样本的线性相关程度更高 C．样本相关系数变小 D．残差平方和变小 【答案】ABD 【分析】根据题设给定散点图为两个特异点，且距离经验回归直线较远，结合相关性、相关系数、残差平方和的概念判断各项的正误. 【详解】由图知，若与所得经验回归直线的距离相同时，去掉后所得直线斜率不变，A对； 由于为两个特异点，且相对于其它点距离经验回归直线较远， 所以去掉后，样本的线性相关程度更高，样本相关系数变大，残差平方和变小，即B、D对，C错. 故选：ABD 7．（23-24高三上·浙江宁波·期末）数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经济形态．近年来，在国家的大力推动下，我国数字经济规模增长迅猛，《“十四五”数字经济发展规划》更是将数字经济上升到了国家战略的层面．某地区2023年上半年月份与对应数字经济的生产总值（即GDP）（单位：亿元）如下表所示． 月份 1 2 3 4 5 6 生产总值 30 33 35 38 41 45 根据上表可得到回归方程，则（   ） A． B．与正相关 C．若表示变量与之间的相关系数，则 D．若该地区对数字经济的相关政策保持不变，则该地区7月份的生产总值约为亿元 【答案】ABD 【分析】对于A，先算出代入验算即可；对于B，由判断即可；对于C，由的公式对比即可求解；对于D，代入预测模型表达式验算即可. 【详解】对于A，，， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以与正相关，故B正确； 对于C，相关系数，故C错误； 对于D，当时，，故D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高三上·浙江丽水·期末）每年4月23日为“世界读书日”，某学校于四月份开展“书香润泽校园，阅读提升思想”主题活动，为检验活动效果，学校收集当年二至六月的借阅数据如下表： 二月 三月 四月 五月 六月 月份代码 1 2 3 4 5 月借阅量（百册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表，可得关于的经验回归方程为，则下列结论正确的是（    ） A． B．借阅量的下四分位数为5.7 C．与的线性相关系数 D．七月的借阅量一定不少于百册 【答案】AC 【分析】对于A：根据回归方程必过样本中心点分析运算；对于B：根据百分位的定义分析运算；对于C：根据相关系数的概念分析理解；对于D：取，代入回归直线分析运算. 【详解】对于A：因为，， 所以，得，所以A正确； 对于B：因为，所以借阅量的下四分位数为，所以B错误； 对于C：因为，所以与的线性相关系数，所以C正确； 对于D：由选项A可知线性回归方程为， 当，则， 所以七月的借阅量约为百册，所以D错误； 故选：AC. 三、解答题 9．（22-23高三上·浙江丽水·期末）为了解学生玩手机游戏情况，随机抽取100名男生和100名女生，通过调查得到如下数据：100名女生中有10人会玩手机游戏，100名男生中有40人会玩手机游戏. (1)判断是否有的把握认为性别与玩手机游戏有关联； (2)以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取3人，记其中玩手机游戏人数为，求的分布列、数学期望和方差. 附：，其中. 【答案】(1)有的把握认为性别与玩手机游戏有关联 (2)分布列见解析，数学期望为，方差为 【分析】（1）由题意得到列联表，再根据里面的数据求得，与临界值表对照下结论； （2）由题意得到经常玩手机游戏的频率为，再根据随机变量服从求解. 【详解】（1）解：列联表如下： 不玩手机游戏 玩手机游戏 合计 男 60 40 100 女 90 10 100 合计 150 50 200 有的把握认为性别与玩手机游戏有关联. （2）由题意可得，经常玩手机游戏的频率为， 则在本校中随机抽取1人玩手机游戏的概率为， 随机变量的所有可能取值为 由题意可得，， 故的分布列为： 0 1 2 3 故 . 10．（22-23高二下·浙江金华·期末）海水养殖场进行某水产品的新､旧网箱养殖法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各水箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示.    (1)求新养殖法的频率分布直方图中小矩形高度x的值： (2)根据频率分布直方图，填写下面列联表，并根据小概率的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关. 养殖法 箱产量 合计 箱产量<50 箱产量50 旧养殖法 新养殖法 合计 （） 【答案】(1) (2)表格见解析，有关 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质求解即可. （2）列出列联表，求出，即可得出结论. 【详解】（1）， 解得. （2）列联表如下： 养殖法 箱产量 合计 箱产量 箱产量 旧养殖法 60 40 100 新养殖法 34 66 100 合计 94 106 200 零假设为：箱产量与养殖方法独立，即箱产量与养殖方法无关. 因， 所以推断不成立，即箱产量与养殖方法有关，此推断犯错误的概率不大于 11．（23-24高三上·浙江杭州·期末）我国有天气谚语“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”，说的是如果中秋节有降水，则来年的元宵节亦会有降水.某同学想验证该谚语的正确性，统计了40地5年共200组中秋节与来年元宵节的降水状况，整理如下： 中秋天气 元宵天气 合计 降水 无降水 降水 19 41 60 无降水 50 90 140 合计 69 131 200 (1)依据的独立性检验，能否认为元宵节的降水与前一年的中秋节降水有关？ (2)从以上200组数据中随机选择2组，记随机事件A为二组数据中中秋节的降水状况为一降水一无降水，记随机事件B为二组数据中元宵节的降水状况为一降水一无降水，求. 参考公式与数据：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)无关 (2) 【分析】（1）计算的值，与临界值比较得出结论； （2）利用条件概率公式求解. 【详解】（1）零假设为：元宵节的降水与中秋节的降水无关. ， 因为，所以没有充分证据推断不成立，故元宵节的降水与中秋节的降水无关. （2）中秋节的降水状况为一降水一无降水概率为， 中秋节、元宵节的降水状况均为一降水一无降水概率为， 故. 12．（23-24高二下·浙江嘉兴·期末）为了了解某市市民平均每天体育锻炼的时间，在该市随机调查了位市民，将这位市民每天体育锻炼的时间（单位：分钟）分为五组，得到如图所示的频率分布直方图：    (1)求的值并估计该市市民每天体育锻炼时间的平均数； (2)假设每天的体育锻炼时间达到60分钟及以上为“运动达人”.若从样本中随机抽取一位市民，设事件“抽到的市民是运动达人”，“抽到的市民是男性”，且. （i）求和； （ii）假设有的把握认为运动达人与性别有关，求这次至少调查了多少位市民？ 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，49.8 (2)（i）；（ii）300 【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为求出的值，再利用频率分布直方图计算平均数公式计算平均数即可； （2）（i）解法一：利用条件概率和全概率公式求解，解法二：由列联表利用古典概型的概率公式求解；（ii）根据列联表计算，对照临界值表列式求解即可. 【详解】（1），解得， 所以每天体育锻炼时间的平均数为. （2）（i）解法1：（概率性质） 由频率分布直方图可知，所以， 因为，所以，， 所以，解得. 解法2：（古典概型） 由频率直方图可知，由列联表： 合计 合计 可知，解得， 所以. （ii）由（2）可得如下列联表：（其中） 合计 合计 所以，解得 所以取最小值15， 所以该样本至少有人. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$