清单02 一元二次方程（4个考点清单+9个题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

清单02 一元二次方程 清单01 一元二次方程的定义及一般形式 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 清单02 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 清单03 解一元二次方程 1、解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 清单04 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程 【考点题型一】判断是否是一元二次方程（） 例题：（24-25八年级下·重庆·期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可得出答案，牢记一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：．当时，不满足题意，故本选项不符合题意； ．含有两个未知数，故本选项不符合题意； ．含有分式，故本选项不符合题意； ．满足一元二次方程的定义，故本选项符合题意； 故选：． 【考点变式】 1．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； B、当时，方程不是一元二次方程，故不符合题意； C、方程化为，不是一元二次方程，故不符合题意； D、方程即是一元二次方程，故符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·重庆江北·期末）下列方程，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数x，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； B、，满足一元二次方程的定义，故该选项是正确的； C、不是整式方程，则不是关于x的一元二次方程，故该选项是错误的； D、，含有一个未知数x，未知数的最高次数是1，故该选项是错误的； 故选：B． 3．（23-24八年级下·吉林·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【考点题型二】一元二次方程的一般形式（） 例题：（24-25九年级上·广西钦州·期末）将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数、常数项即可． 【详解】解：将方程化成一元二次方程的一般形式为， 则二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为0， 故选：D． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·广东潮州·期末）把方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，，1 B．3，6，1 C．3，1，6 D．3，6， 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是（是常数，且），它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．通过移项，将方程化成一般形式，由此即可得． 【详解】解：把方程化成一般形式为， 则二次项系数为3、一次项系数为、常数项为1， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东河源·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程一般式的形式是解题的关键． 一元二次方程一般式为，由此即可求解． 【详解】解：， 整理得，， ∴， 故选：B ． 3．（24-25九年级上·四川泸州·期末）将方程改写成为的形式，则，，的值分别为（    ） A．3，，2 B．3，， C．3，， D．2，，8 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程转化为一般式后，进行判断即可． 【详解】解：将方程改写成为的形式为， 则，，的值分别为3，， 故选：C． 【考点题型三】利用一元二次方程的定义求参数（） 例题：（24-25九年级上·河北唐山·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：B． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的二次项系数不为零，最高次项的次数为，求解即可． 【详解】解：的方程是一元二次方程， ，且， 解得：， 故选：C． 2．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．或1 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义、绝对值方程 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义得出且，即可求出m的值． 【详解】解：若方程是关于x的一元二次方程， 则， 解得或， ， ， ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】3或 【知识点】由一元二次方程的定义求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，可知，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，， 解得或． 故答案为：3或． 【考点题型四】一元二次方程的解求参数的值（） 例题：（24-25九年级上·四川成都·期末）若一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 把代入方程中得，然后解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是， ∴， 解得：， 故答案为：． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·广东云浮·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于 ． 【答案】2025 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，把代入方程即可得到答案. 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：2025 2．（24-25八年级下·重庆·期末）若a是关于x的方程的一个根，则= 【答案】2022 【知识点】由一元二次方程的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题的关键． 将代入得出，再作为整体代入即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2022 ． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）若是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程的根的定义得，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型五】解一元二次方程（） 例题：（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·广东云浮·期末）按要求解下列方程． (1)．（因式分解法） (2)．（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法． （1）先提公因式x，然后根据或，即可求解． （2）先根据的情况判断根的情况，再根据求根公式求解即可． 【详解】（1）解： 因式分解，得， ∴或， 解得：， （2）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴， 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程 【分析】（）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】（1）解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， 或， ∴，． 3．（24-25九年级上·四川达州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的方法是关键； （1）先计算，再利用求根公式解方程即可； （2）把方程化为可得，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【考点题型六】解一元二次方程错解复原问题（） 例题：（24-25九年级上·河北保定·期末）习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第五步 ∴，第六步 乙：原方程可变形为： 第一步 第二步 则或第三步 ∴， 第四步 (1)分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错 (2)见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元二次方程的计算的步骤一步步检查即可； （2）根据配方法和因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：甲：原方程可变形为：第一步，故甲从第一步开始出错； 乙：原方程可变形为：第一步， 第二步，故乙从第二步开始出错； ∴甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错． （2）解：（方法不唯一） 配方法： 方程变形为：， ， 配方得， 则或， ，； 因式分解法： 方程变形为：， ， 则或， ，． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小明在学习一元二次方程解法时，解方程的过程如下： 解：     …第一步     …第二步    …第三步 ．   …第四步 ∴原方程没有实数根． 根据小明的解题过程，解答下列问题： (1)上述过程中，从第_________步开始出现了错误． (2)正确解出这个方程（可选择合适的解方程的方法）， 【答案】(1)一 (2)，，过程见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可； （2）根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可． 【详解】（1）解：根据一元二次方程的解法可以判断出第一步开始出现了错误． 故答案为：一． （2）解：正确解答过程如下： ， ∴， ∴， ∴． ∴，． 2．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解：， 移项得，， 两边同除以2得，， 配方得，， 即，， ∴或， ∴，． 3．（24-25九年级上·广东清远·期末）下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： (1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 【答案】(1)等式的基本性质，完全平方公式 (2)二，解题过程见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键． 对于（1），根据等式的基本性质和完全平方公式解答即可； 对于（2），先移项，再配方，然后求出解即可． 【详解】（1）解：上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是等式的基本性质，其中“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式． 故答案为：等式的基本性质，完全平方公式； （2）解：小华同学利用配方法解题的过程中，从第二步开始出现错误，正确的解法如下： ， 移项，得， 配方，得， 即， 可得， ∴． 故答案为：二． 【考点题型七】根据判别式判断一元二次方程根的情况（） 例题：（24-25八年级下·重庆·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键； 先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：由可得 ∴原方程有两个相等的实数根， 故选：D． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·广东韶关·期末）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】计算出判别式的值即可得出答案． 本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的实数根； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程无实数根． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据方程的根的判别式，计算判断解答即可． 本题考查了根的判别式应用，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵的一元二次方程， 即， ∴， ∴， 故此方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式．先根据新定义把方程化为一元二次方程，再根据根的判别式的值得到，所以，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：关于x的方程化为：， 整理得， ∵ ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【考点题型八】利用一元二次方程根与系数的关系求值（） 例题：（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可． （2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可． 【详解】（1）证明： ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解： 又 ． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、绝对值及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系、根的判别式及绝对值的性质是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，得出，再结合即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题知， 方程的两个实数根分别为，， ， 又， ， 将代入方程得，， 解得． 2．（24-25九年级上·四川达州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1)且 (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个实数根”；根据根与系数的关系结合、，找出关于的一元二次方程． （1）根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系得出，，代入已知，得到关于的一元二次方程，，解方程，结合（1）的条件，取舍即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ，且 解得：且， 即的取值范围是且； （2），， ∵， ∴ 化简得到： ∴ 解得：或 ∵且 ∴ 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求a的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求a的值． 【答案】(1) (2)1 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式，列出不等式，求出的取值范围． （2）根据根与系数的关系，列出计算出a的值，并结合（1）中a的范围，求解出结果． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， 故的取值范围是； （2）解：方程的两根为， ， 又， ， 则， 解得或， 又， ． 【考点题型九】用一元二次方程解决实际问题（） 例题：（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． (1)的长为___________m；（用含的代数式表示） (2)若羊的活动范围的面积为，求的长； (3)羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)的长为或； (3)羊的活动范围的面积不能为．理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据得到，整理即可得到答案； （）根据羊的活动范围的面积为列出代数式即可； （）依题意得：，根据根的判别式，即可得到答案； 【详解】（1）解：依题意得，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：依题意得：羊的活动范围的面积为， ∴，即， 解得， ∴的长为或； （3）解：羊的活动范围的面积不能为．理由如下， 依题意得：，即， ∵， ∴羊的活动范围的面积不能为． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）一个农业合作社以每斤40元的成本收获了某种农产品，销往外地．若销售价为每斤50元，平均每天能售出100斤．经市场调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天多售出10斤． (1)设售价为元，每天能售出斤，请写出关于的函数表达式； (2)该合作社要想使平均每天的销售额达到6750元且获利，则售价应为多少元？ 【答案】(1) (2)售价应为元． 【知识点】求一次函数解析式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一次函数和一元二次方程的应用． （1）设售价为元，每天能售出斤，销售价为每斤50元，平均每天能售出100斤，当销售价每降低1元时，平均每天多售出10斤．据此列出一次函数解析式即可； （2）设售价为元，每天能售出斤，根据平均每天的销售额达到6750元列出方程，解方程并根据要获利得到答案即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 即 （2）设售价为元，每天能售出斤， 由题意可得，， 解得 ∵要获利， ∴，不符合题意，舍去， ∴售价应为元． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： (1)若新劳动基地的面积为，且，求和的长． (2)当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 【答案】(1)的长为，的长为 (2)不可以，见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，先设，结合的长为，的长为，且新劳动基地的面积为，且，进行列式，解出方程，即可作答． （2）依题意，先设，则，因为新劳动基地的面积可以为，故，再结合的最大长度为，的最大长度为进行作答即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）； ，； 答：的长为，的长为； （2）解：不可以， 理由：设，则， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 当时，，不合题意，舍去， 当时，新劳动基地的面积不可以为． 4．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． (1)直接写出________，________（用含有的代数式表示）； (2)求四边形的面积（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)不能，理由见解析 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、求不等式组的解集、函数解析式 【分析】此题考查列代数式，一元二次方程的实际运用，掌握三角形的面积计算方法是解决问题的关键． （1）根据路程=速度×时间解答即可； （2）根据可表示出四边形的面积，利用线段的长度与运动速度建立不等式得出答案即可； （3）利用（2）的结论建立方程求解判断即可． 【详解】（1）解：∵运动的时间为t，点P的速度为，点Q的速度为， ，． 故答案为：，； （2）解：． ， ． （3）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． ． 不在x的取值范围内． ∴四边形的面积不能等于． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 一元二次方程 清单01 一元二次方程的定义及一般形式 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 清单02 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 清单03 解一元二次方程 1、解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 2、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 3、解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 4、解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 清单04 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程 【考点题型一】判断是否是一元二次方程（） 例题：（24-25八年级下·重庆·期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【考点变式】 1．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·重庆江北·期末）下列方程，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·吉林·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】一元二次方程的一般形式（） 例题：（24-25九年级上·广西钦州·期末）将方程化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·广东潮州·期末）把方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．3，，1 B．3，6，1 C．3，1，6 D．3，6， 2．（24-25九年级上·广东河源·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25九年级上·四川泸州·期末）将方程改写成为的形式，则，，的值分别为（    ） A．3，，2 B．3，， C．3，， D．2，，8 【考点题型三】利用一元二次方程的定义求参数（） 例题：（24-25九年级上·河北唐山·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D．不存在 【考点变式】 1．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D．或 2．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．或1 B．1 C． D． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【考点题型四】一元二次方程的解求参数的值（） 例题：（24-25九年级上·四川成都·期末）若一元二次方程的一个根是，则的值为 ． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·广东云浮·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值等于 ． 2．（24-25八年级下·重庆·期末）若a是关于x的方程的一个根，则= 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）若是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【考点题型五】解一元二次方程（） 例题：（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·广东云浮·期末）按要求解下列方程． (1)．（因式分解法） (2)．（公式法） 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）解下列方程： (1)； (2)． 3．（24-25九年级上·四川达州·期末）解方程： (1) (2) 【考点题型六】解一元二次方程错解复原问题（） 例题：（24-25九年级上·河北保定·期末）习题课上，数学老师展示了解方程时的两种错误解答过程： 甲：原方程可变形为： 第一步 第二步 第三步 第四步 则第五步 ∴，第六步 乙：原方程可变形为： 第一步 第二步 则或第三步 ∴， 第四步 (1)分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的； (2)请写出正确的解答过程． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小明在学习一元二次方程解法时，解方程的过程如下： 解：     …第一步     …第二步    …第三步 ．   …第四步 ∴原方程没有实数根． 根据小明的解题过程，解答下列问题： (1)上述过程中，从第_________步开始出现了错误． (2)正确解出这个方程（可选择合适的解方程的方法）， 2．（24-25九年级上·湖南湘西·期末）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 3．（24-25九年级上·广东清远·期末）下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 移项，得．…………………………………………第一步 配方，得，即………………第二步 由此，可得．…………………………………………第三步 ……………………………………第四步 请完成下列任务： (1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”） (2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程． 【考点题型七】根据判别式判断一元二次方程根的情况（） 例题：（24-25八年级下·重庆·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 【考点变式】 1．（24-25九年级上·广东韶关·期末）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．（24-25九年级上·云南昆明·期末）对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【考点题型八】利用一元二次方程根与系数的关系求值（） 例题：（24-25九年级上·福建莆田·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且满足，求m的值． 【考点变式】 1．（24-25九年级上·河南周口·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 2．（24-25九年级上·四川达州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求a的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求a的值． 【考点题型九】用一元二次方程解决实际问题（） 例题：（24-25九年级上·全国·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【考点变式】 1．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，某农户准备利用墙面（墙面足够长），用长的栅栏围一个矩形羊圈和一个边长为的正方形狗屋（图中阴影部分为羊的活动范围）．设． (1)的长为___________m；（用含的代数式表示） (2)若羊的活动范围的面积为，求的长； (3)羊的活动范围的面积能否为？若能，求出此时的长；若不能，请说明理由． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）一个农业合作社以每斤40元的成本收获了某种农产品，销往外地．若销售价为每斤50元，平均每天能售出100斤．经市场调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天多售出10斤． (1)设售价为元，每天能售出斤，请写出关于的函数表达式； (2)该合作社要想使平均每天的销售额达到6750元且获利，则售价应为多少元？ 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与实践 项目主题：劳动基地扩建方案 项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习． 信息获取： 信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为； 信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为． 问题解决： (1)若新劳动基地的面积为，且，求和的长． (2)当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由． 4．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合）．如果，分别从，同时出发，设运动的时间为（单位：），四边形的面积为（单位：）． (1)直接写出________，________（用含有的代数式表示）； (2)求四边形的面积（用含有的代数式表示），并写出的取值范围； (3)四边形的面积能否等于，若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$