22.3 实际问题与二次函数 第3课时课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题 学习目标 1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确建立坐标系，并运用二次函数的图像、性质解决实际问题.（难点） 2.通过建立坐标系解决实际问题，体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法.（重点） 情境引入 1.欣赏一组拱桥的图片(如图),观察桥拱的形状.这组石拱桥图案中,桥拱的形状和抛物线像吗?有关桥拱的问题可以用抛物线知识来解决吗? 2.广场中心处有高低不同的各种喷泉(如图),喷泉喷出的水柱的形状和抛物线像吗?有关喷泉的问题可以用抛物线知识来解决吗? 获取新知 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ 解： 以拱顶为坐标原点建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2. 将点(-2，-2)代入解析式， 可得-2=a · (-2)2. x y O (2,-2) (-2,-2) 水面 解得 所以抛物线解析式为 水面下降1米，即此时y=-3. 故此时水面的宽度为 水面宽度增加了 m 变式 如果以下降1 m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，与上一种方法的结果相同吗？ y O (2,1) (-2,1) 水面 x (0,3) 解： 依题意建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+3. 将点(-2，1)代入解析式， 可得1=a · (-2)2+3. 解得： 所以抛物线解析式为 虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的. 思考：你还有其他的方法吗？ y O (2,0) (-2,0) x (0,2) 还可以以水面未下降时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算. 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 例题讲解 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形 OABC 的长是，宽是，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 表示． (1)请写出该抛物线的函数解析式； 解：根据题意，得 C (0，4).将其代入 抛物线 中，得 c＝4 ， ∴ 抛物线解析式为 (2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ ∴ 对称轴为 x＝6. 由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点坐标为 (2，0) 或 (10，0)， ∴这辆货车能安全通过. 当 x＝2 或 x＝10 时， 6 2 10 解：抛物线解析式为 (3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ ，x2＝6﹣2 解得 x1＝6 + 2 8 解：令 y＝8，则 则 x1﹣x2＝ 所以两排灯的水平距离最小是 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度 y (m)与喷出水流离喷嘴的水平距离 x (m) 之间满足 (1) 喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？ (2) 喷嘴喷出水流的最远距离为多少？ 解： (1) 当 x = 2 时，有 y最大 = 2，故水流的最大高度是 2 m. (2) 令 y = 0，即 解得 x1 = 0，x2 = 4. 即喷嘴喷出水流的最远距离为 4 m． 课堂小结 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 抛物线形运动轨迹问题 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 实际问题 数学模型 转化的关键 课堂练习 1.如图，某桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数解析式为y＝－x2.当水面宽度AB为20 m时，水面到桥拱顶部的距离DO为(　 　) A.2 m B.4 m C.10 m D.16 m B 2.校运动会上，初一年级的同学们进行了投掷实心球比赛.我们发现：实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线.如图，建立平面直角坐标系，已知某同学投掷的实心球的高度 y(m)与水平距离x(m)的关系式是y＝－x2＋x＋，则该同学此次投掷实心球的成绩是(　 　) A.2 m B.6 m C.8 m D.10 m D 3.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).有下列结论： ①小球从抛出到落地需要6 s； ②小球运动过程中的高度可以是30 m； ③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度. 其中正确结论的个数是(　 　) A.0 B.1 C.2 D.3 C 4.汽车刹车后行驶的距离s(m)与行驶时间 t(s)之间的函数解析式是s＝－3t2＋8t，汽车从刹车到停下来所用时间是______s. 5.如图，一位篮球运动员投篮时，球从点A出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度y(m)与篮球距离出手点的水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－(x－)2＋.下列说法正确的是________.(填序号) ①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5 m； ②篮球出手点距离地面的高度为2.25 m.　　 ① 6.如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，当水面宽度增加(2－4)m时，则水面应下降的高度是_______m. 1 7.(2025·求精中学期中)足球训练中球员从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m.现以O为原点建立如图所示的直角坐标系. (1)求抛物线的函数解析式. 解：由题意，得抛物线的顶点坐标为(2，3). 设抛物线的函数解析式为y＝a(x－2)2＋3. 把点A(8，0)代入，得36a＋3＝0， 解得a＝－， ∴抛物线的函数解析式为y＝－(x－2)2＋3. 7.(2025·求精中学期中)足球训练中球员从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m.现以O为原点建立如图所示的直角坐标系. (2)已知球门高OB为2.44 m，通过计算判断球能否射进球门.(忽略其他因素) 解：当x＝0时， y＝－×4＋3＝＞2.44， ∴球不能射进球门. 8.(2025·长寿区期中改编)如图，在水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面上.安装师傅调试发现，喷头高为2.5 m时，水柱落点距点O有2.5 m，喷头高为4 m时，水柱落点距点O有3 m，则喷头高为______m时，水柱落点距点O有4 m. 8 9.如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)刻画，斜坡可以用直线y＝x刻画.小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表： (1)①m＝_______，n＝_______； x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … 3 6 9.如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)刻画，斜坡可以用直线y＝x刻画.小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表： (1) ②小球的落点是A，求点A的坐标. x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … 解：由表格，知抛物线过点(2，6)，(4，8)，代入y＝ax2＋bx， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋4x. 联立，得解得或 ∴点A的坐标是(，). 9.如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)刻画，斜坡可以用直线y＝x刻画.小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表： (2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系y＝－5t2＋vt. ①小球飞行的最大高度为_______米； 8 x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … 9.如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)刻画，斜坡可以用直线y＝x刻画.小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表： (2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系y＝－5t2＋vt. ②求v的值. x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … 解：y＝－5t2＋vt＝－5＋， ∴＝8， 解得v1＝4，v2＝－4(舍去)，∴v的值为4. 10.16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行. 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地平线的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2＋x和直线y＝－x＋b.其中，当火箭运行的水平距离为9 km时，自动引发火箭的第二级. (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km. ①直接写出a，b的值； 解：①∵y＝ax2＋x经过点(9，3.6)， ∴81a＋9＝3.6，解得a＝－. ∵y＝－x＋b经过点(9，3.6)，∴3.6＝－×9＋b， 解得b＝8.1. 10.16世纪中叶，我国发明了一 种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的 始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线，当火 箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行. 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地平线的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别 得到抛物线y＝ax2＋x和直线y＝－x＋b.其中，当火箭运行的水平距离为9 km时，自动引发火箭的第二级. (1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km. ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km，求这两个位置之间的距离. 解：由①，得y＝－x2＋x＝－(x－)2＋(0≤x≤9)， ∴火箭运行的最高点是 km，∴－1.35＝2.4(km)， ∴2.4＝－x2＋x， 整理，得x2－15x＋36＝0，解得x1＝12(舍去)，x2＝3. 由①，得y＝－x＋8.1，∴2.4＝－x＋8.1， 解得x＝11.4，∴11.4－3＝8.4(km). 答：这两个位置之间的距离为8.4 km. 10.16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行. 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地平线的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别 得到抛物线y＝ax2＋x和直线y＝－x＋b.其中，当火箭运行的水平距离为9 km时，自动引发火箭的第二级. (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. 解：当x＝9时，y＝81a＋9， ∴火箭第二级的引发点的坐标为(9，81a＋9). 设火箭落地点与发射点的水平距离为15 km， ∴y＝－x＋b经过点(9，81a＋9)，(15，0)， ∴解得 ∴当－＜a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km. $$