22.3 实际问题与二次函数 第2课时课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 第2课时 最大利润问题 学习目标 1.能用二次函数表示实际问题中的数量关系(包括写出解析式、自变量的取值范围、画出图象草图).（重点） 2.会用二次函数求销售问题中的最大利润.（重点） 复习引入 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，已知商品的进价为每件 40 元，则每星期的销售额是多少？销售利润是多少？ 解：∵销售额 = 单价×销售量=60×300=18000 总成本=成本×销售量=40×300=12000； 总利润 = 销售额 - 总成本 = 18000-12000 =6000. 获取新知 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ （1）若涨价销售： 则设每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，填空： 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 涨价销售 20 300 20 + x 300 - 10x (20 + x)(300 - 10x) 所得利润 y = (20 + x)(300 - 10x) = -10x2 + 100x + 6000. 6000 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以确定x的取值范围，故 300 - 10x≥0，且 x≥0，即自变量的取值范围是 0≤x≤30. 整理上述函数得： y = -10x2 + 100x + 6000 (0≤x≤30). 当 时，y = -10×52 +100×5+6000 = 6250. 即每件涨价 5 元时，利润最大，最大利润是 6250 元. （2）若降价销售： 则设每件降价 x 元，每星期售出商品的利润 y 元，填空： 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 降价销售 20 300 (20 − x) (300 + 20x) (20 − x)(300 + 20x) 所得利润 y = (20 − x)(300 + 20x) = −20x2 + 100x + 6000. 6000 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以确定x的取值范围，故 20 − x≥0，且 x≥0，即自变量的取值范围是 0≤x≤20. 综上可知，当定价为 65 元时，商品才有最大利润，最大利润为 6250 元. 当 时， 即每件降价 2.5 元时，利润最大，最大利润是 6125 元. 整理得： y = −20x2 + 100x + 6000 (0≤x≤20). 变式 某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45 元/件，每销售一件需缴纳平台推广费 5 元，该款小电器每天的销售量 (件)与每件的销售价格 (元)满足函数关系：为保证市场稳定，供货商规定销售价格不得低于 75 元/件且不得高于 90 元/件． (1) 写出每天的销售利润 (元) 与销售价格 (元) 的函数关系式； 解：(1)由题意可得 w=(x−50)(−2x+180)=−2x2+280x−9000. ∴ 当 x = 75 时，有最大利润，最大利润为 750 元. (2)w = −2x2 + 280x − 9000 = −2(x − 70)2 + 800. ∵ 销售价格不得低于 75 元/件且不得高于 90 元/件， ∴ 75≤x≤90. (2) 每件小电器的销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？最大是多少元？ (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润 = 总售价 - 总成本” “总利润 = 单件利润×销售量” (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 求解最大利润问题的一般步骤 课堂小结 最大利润问题 建立函数关系式 总利润 = 单件利润×销售量或总销量 = 总售价-总成本 确定自变量的取值范围 涨价：要保证销售量≥0； 降价：要保证单件利润≥0 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出 课堂练习 1.某种商品每天的销售利润y(元)关于单价x(元)(x≥2)之间的函数解析式为y＝－(x－3)2＋60，则这种商品每天的最大利润为 (　 　) A.50元 B.60元 C.40元 D.30元 B 2.某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品.据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克.设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x之间的函数解析式为(　 　) A.y＝(50＋x－40)(500－10x) B.y＝(x＋40)(10x－500) C.y＝(x－40)[500－5(x－50)] D.y＝(50＋x－40)(500－5x) D 3.已知某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件.根据市场调查发现：商品的售价每降低1元，则每星期可多卖出该商品20件.有下列结论： ①当降价3元时，每星期可卖出360件； ②当每星期的利润为6 120元时，该商品的售价为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6 250元. 其中正确结论的个数是(　 　) A.3 B.2 C.1 D.0 C 4.(教材P51习题T2变式)服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x＞100)元出售，每天可销售(200－x)件.若想获得最大利润，则x应定为_________. 150 5.某商店销售一批水果，平均每天可售出40千克，每千克盈利4元.经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10千克水果，则该商店平均每天的利润最高为_________元. 180 6.某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如下表： 为获得最大利润，生产数量应为_______万件. 生产数量/万件 生产成本/(元/件) 销售价格/(元/件) 1 9 16 2 8 14 3 7 12 4 7.广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，那么每天的销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？请求出其最大值. 解：设该果商定价为x万元时每天的“利润”为w万元，每天的“销售收入”为y万元. w＝(x－2)[100＋50(5－x)] ＝－50(x－4.5)2＋312.5. ∵－50＜0， ∴当x＝4.5时，w有最大值，最大值为312.5万元. y＝x[100＋50(5－x)] ＝－50(x－3.5)2＋612.5. ∵－50＜0， ∴当x＝3.5时，y有最大值，最大值为612.5万元. 答：该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”最大，最大值为312.5万元；该果商定价为3.5万元时才能使每天的“销售收入”最大，最大值为612.5万元. 8.某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足的一次函数关系如图所示. (1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围). 解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b. 由题图可知，函数图象经过点(25，50)，(35，30). ∴解得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋100. 8.某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足的一次函数关系如图所示. (2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天该玩具的销售单价是多少元？ 解：设当天该玩具的销售单价是m元. 由题意，得(m－10)(－2m＋100)＝600， 解得m1＝40，m2＝20. 答：当天该玩具的销售单价是40元或20元. 8.某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足的一次函数关系如图所示. (3)设该玩具的日销售利润为w元，当销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：根据题意，得w＝(x－10)(－2x＋100)＝－2(x－30)2＋800. ∵－2＜0， ∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800. 故当销售单价定为30元时，日销售利润最大，最大利润是800元. 9.某商店销售某种商品所获得的利润y(元)关于售卖件数x的函数解析式是y＝－x2＋1 000x－200 000，则当0＜x≤450时获得的最大利润为(　 　) A.2 500元 B.47 500元 C.50 000元 D.250 000元 B 10.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位：万元)与销售量x(单位：辆)之间分别满足y1＝－x2＋10x，y2＝2x.若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为________万元. 46 11.某公司电商平台在五一长假期间举行了商品打折促销活动.经市场调查发现：某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元)的一次函数.下表仅列出了该商品的售价x(元)、周销售量y(件)、周销售利润W(元)的三组对应数据. (1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围). x/元 40 70 90 y/件 180 90 30 W/元 3 600 4 500 2 100 解：设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b. 由题意，得解得 ∴y关于x的函数解析式为y＝－3x＋300. 11.某公司电商平台在五一长假期间举行了商品打折促销活动.经市场调查发现：某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元)的一次函数.下表仅列出了该商品的售价x(元)、周销售量y(件)、周销售利润W(元)的三组对应数据. (2)若该商品的进价为a元，当售价x为多少时，周销售利润W最大？求出此时的最大利润. x/元 40 70 90 y/件 180 90 30 W/元 3 600 4 500 2 100 解：由题意，得W＝(－3x＋300)(x－a)， 由表可知，当x＝40时，W＝3 600， ∴3 600＝(－3×40＋300)(40－a)， 解得a＝20， ∴W＝(－3x＋300)(x－20)＝－3x2＋360x－6 000＝－3(x－60)2＋4 800. ∵－3＜0， ∴当x＝60时，周销售利润W最大，此时最大利润为4 800元. 11.某公司电商平台在五一长假期间举行了商品打折促销活动.经市场调查发现：某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元)的一次函数.下表仅列出了该商品的售价x(元)、周销售量y(件)、周销售利润W(元)的三组对应数据. (3)因原材料价格上涨，该商品的进价提高了m(m＞0)元，公司为回馈消费者，规定该商品的售价x不得超过55元，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足(1)中的函数关系，若周销售利润最大是4 050元，求m的值. x/元 40 70 90 y/件 180 90 30 W/元 3 600 4 500 2 100 解：由题意，得W＝(－3x＋300)(x－20－m)＝－3x2＋(360＋ 3m)x－6 000－300m(20＜x≤55)，其对称轴是x＝60＋＞60. ∵－3＜0， ∴当20＜x≤55时，W随x的增大而增大， ∴当x＝55时，周销售利润W有最大值， 即4 050＝(－3×55＋300)(55－20－m)， 解得m＝5. 12.5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季.为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园第x天的单价、销售量与x的关系如下表所示： 已知A樱桃园第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，且每天的固定成本为745元.B樱桃园第x天的利润y2(元)与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2＋bx＋25刻画，其图象如图所示. (1)A樱桃园第x天的单价是____________元/盒.(用含x的代数式表示)   单价/(元/盒) 销售量/盒 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天   10x＋10 (－2x＋52)　 12.5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季.为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园第x天的单价、销售量与x的关系如下表所示： 已知A樱桃园第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，且每天的固定成本为745元.B樱桃园第x天的利润y2(元)与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2＋bx＋25刻画，其图象如图所示. (2)求A樱桃园第x天的利润y1(元)与x之间的函数解析式.(利润＝单价×销售量－固定成本)   单价/(元/盒) 销售量/盒 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天   10x＋10 解：根据题意，得y1＝(－2x＋52)(10x＋10)－745＝－20x2＋500x－225， ∴A樱桃园第x天的利润y1(元)与x之间的函数解析式为y1＝ －20x2＋500x－225. 12.5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季.为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园第x天的单价、销售量与x的关系如下表所示： 已知A樱桃园第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，且每天的固定成本为745元.B樱桃园第x天的利润y2(元)与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2＋bx＋25刻画，其图象如图所示. (3)①y2与x之间的函数解析式为_________________________；   单价/(元/盒) 销售量/盒 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天   10x＋10 y2＝－30x2＋500x＋25 解：由图象可知，二次函数y2＝ax2＋bx＋25的图象经过点(1，495)，(2，905)， ∴解得 ∴y2＝－30x2＋500x＋25. 故答案为y2＝－30x2＋500x＋25. 12.5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季.为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园第x天的单价、销售量与x的关系如下表所示： 已知A樱桃园第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，且每天的固定成本为745元.B樱桃园第x天的利润y2(元)与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2＋bx＋25刻画，其图象如图所示. (3) ②求第几天两处樱桃园的利润之和(即y1＋y2)最大，最大是多少元？   单价/(元/盒) 销售量/盒 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天   10x＋10 解：y1＋y2＝(－20x2＋500x－225)＋(－30x2＋500x＋25) ＝－50x2＋1 000x－200＝－50(x－10)2＋4 800. ∵－50＜0， ∴当x＝10时，y1＋y2的值最大，最大值为4 800，∴第10天两处樱桃园的利润之和最大，最大值是4 800元. 12.5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季.为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园第x天的单价、销售量与x的关系如下表所示： 已知A樱桃园第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，且每天的固定成本为745元.B樱桃园第x天的利润y2(元)与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2＋bx＋25刻画，其图象如图所示. (4)这15天中，共有_______天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大.   单价/(元/盒) 销售量/盒 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天   10x＋10 4 解：根据题意，得y2＞y1， ∴－30x2＋500x＋25＞－20x2＋500x－225，即－10x2＞－250，解得－5＜x＜5. ∵x取正整数， ∴x＝1或2或3或4，∴这15天中共有4天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大. 故答案为4. $$