专题05 概率（8种经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题05 概率 题型概览 题型01计算古典概型问题的概率 题型02有放回与无放回问题的概率 题型03利用概率的加法公式计算古典概型的概率 题型04互斥事件的概率加法公式 题型05利用对立事件的概率公式求概率 题型06独立事件的乘法公式 题型07独立事件的判断 题型08用频率估计概率 ( 题型01 ) 计算古典概型问题的概率 1．（23-24高一下·浙江台州·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子1次，记“出现点数之和为偶数”，“出现点数之积为偶数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用列表法结合古典概型求，结合概率的性质逐项分析判断. 【详解】由题意可知：基本事件的总数为， 对于事件A，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 2 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 3 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 4 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 5 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 6 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 可知，则； 对于事件B，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 2 √ √ √ √ √ √ 3 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 4 √ √ √ √ √ √ 5 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 6 √ √ √ √ √ √ 可知，则； 对于事件，列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 2 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 3 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 4 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 5 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ 6 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 可知，则； 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：C. 2．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦恩图，进行分析，结合古典概型计算即可. 【详解】，则, 则. 故选：B. 3.（23-24高一下·浙江绍兴·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数都为奇数”的概率是 ． 【答案】/ 【分析】根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】记“两枚骰子的点数都为奇数”为事件， 抛掷两枚质地均匀的骰子，所以可能结果有个， 其中事件包含的基本事件有：，，，，，， ，，共个， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）嘉兴市期末测试中数学多选题评分标准如下：若某试题有两个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若该试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，三个都选对得6分，有错选得0分，小明同学正在做一道数学多选题（多选题每题至少选一项且不能全选，假设每个选项被选到的概率是等可能的），请帮助小明求解以下问题： (1)若该多选题有两个正确选项，在完全盲猜（可以选一个选项、可以选两个选项、也可以选三个选项）的情况下，求小明得6分的概率； (2)若该多选题有三个正确选项，小明已经判定A正确（正确答案中有A选项，且A必选）的情况下，求小明得分大于等于4分的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据题意利用列举法结合古典概型即可得解. 【详解】（1）设总选项个数为，记事件“小明得6分”，选项个数为， 假设正确选项为AB，则， 列举法：单选项有A，B，C，D共计4个， 双选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共计6个， 三选项有ABC，ACD，ABD，BCD共计4个， 个， ； （2）设总选项个数为，记事件“小明得分大于等于4分”，选项个数为， 假设ABC为答案，小明已经判定A正确（正确答案中有A选项且小明A项必选）的情况下， 列举法：单选项有A共计1个，且仅得2分， 双选项有AB，AC，AD共计3个，其中2个得4分， 三选项有ABC，ACD，ABD共计3个，其中1得6分， ，， ． 5．（23-24高一下·浙江金华·期末）在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格.    (1)求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）. (3)根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率. 【答案】(1)，20.32小时 (2)21.73小时 (3) 【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出，利用平均数的定义进行计算； （2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18~22之间，设出60百分位数为，从而得到方程，求出答案； （3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举出求解相应的概率. 【详解】（1）由，解得， 因为小时， 所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时. （2）时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格， 由题意知，即求60百分位数，又，， 所以60百分位数位于18~22之间， 设60百分位数为，则，解得小时. 故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀. （3）易知，5名学生中， 优秀有人，设为， 良好有人，设为， 合格有人，设为. 任选3人，总共有，10种情况， 其中符合的有，共4种， 故概率为. ( 题型0 2 ) 有放回与无放回问题的概率 1．（20-21高二下·浙江·期末）甲盒中有一个红球，两个白球，这三个球除了颜色外完全相同，有放回地连续抽取两次，每次从中任意抽取一个，取出的两个球中至少有一个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分析总的基本事件个数，再分析满足题意的事件的基本事件个数，最后根据古典概型求出概率即可. 【详解】由题意可知，设抽到红球为事件A，抽到两个白球分别为事件 则基本事件共有,,,,,,,,共9个， 则取出的两个球中至少有一个白球由8个基本事件， 所以由古典概型可知： , 故选：D 【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 2.（20-21高一下·浙江·期末）袋中装有4个形状､大小完全相同的球，其中白球2个､红球2个，甲先取出2个球(不放回)，乙再取出剩余的2个球，规定取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，取出球的总积分多者获胜. （1）求甲､乙成平局的概率； （2）记甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，比较与的大小. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可； （2）计算出甲胜与乙胜的概率后再比较即可 【详解】解：（1）记白球为1，2号，红球为3，4号，甲取出的球号记为， 则甲的可能取球共有以下6种情况： ，，，，，. 甲乙平局时都得3分，所以甲取出的2个小球是一白一红，共4种情况， 故平局的概率. （2）甲获胜时，得分只能是4分，取出的是2红，共1种情况， 故先取者(甲)获胜的概率， 后取者(乙)获胜的概率， ∴，故先取后取获胜的概率一样. ( 题型0 3 ) 利用概率的加法公式计算古典概型的概率 1.（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意，由概率加法公式计算可得的样本点个数，则可得的样本点个数，即可得解. 【详解】由题意可得事件共有个样本点，由有16个样本点， 又，故共有个样本点， 则有个样本点，故. 故选：C. 2.（20-21高一下·浙江·期末）若5张奖券中有2张是中奖的，先由甲抽1张，然后由乙抽1张，求： （1）甲中奖的概率；        （2）甲、乙都中奖的概率； （3）只有乙中奖的概率；     （4）乙中奖的概率． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）结合古典概型公式求解即可； （2）结合分步计数的概率乘法公式即可求解； （3）解法同（2）； （4）分为甲中奖和甲不中奖两类情况求解即可 【详解】（1）甲中奖的概率； （2）甲、乙都中奖的概率； （3）只有乙中奖的概率； （4）若甲中奖，乙也中奖，概率为，若甲未中奖，已中奖，则概率为，则乙中奖的概率 【点睛】本题考查古典概型及基本求法，分清采用分步计数还是分类计数求解概率是解题的关键，属于基础题 ( 题型0 4 ) 互斥事件的概率加法公式 1.（24-25高三上·浙江金华·期末）甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为，乙先走的情况下，甲胜的概率为，则甲获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由互斥事件的概率公式即可求解； 【详解】由题意可知：甲先走的概率为，则乙先走的概率为， 甲获胜有两种情形：甲先走且获胜；乙先走且甲获胜， 则甲获胜的概率， 故选：B. 2.（24-25高二上·浙江杭州·期中）杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)已知落在成绩的平均值为66，方差是7；落在成绩的平均值为75，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差； (3)若该学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 【答案】(1)人 (2)， (3) 【分析】（1）根据频率算出人数即可； （2）根据长方体面积和为1，求出a，根据分层抽样的平均值，方差公式计算即可； （3）根据概率的乘法和加法公式，可得答案. 【详解】（1）人，人，不高于50分的抽到人. （2）由题意可知，解得. 由图中可知：落在的学生人数为30人，落在的学生人数为60人， 故， . （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”事件A， 则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. ( 题型0 5 ) 利用对立事件的概率公式求概率 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出和，再利用概率的性质求出. 【详解】因为，所以. 又 所以. 故. 故选：D. 2．（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可. 【详解】因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又， 所以有， 故，故. 故选：A. ( 题型0 6 ) 独立事件的乘法公式 1．（23-24高二下·浙江嘉兴·期末）由甲､乙､丙三个地区的学生参加的某项竞赛，已知这三个地区参加竞赛人数的比为5：3：2，且甲､乙､丙三个地区分别有的学生竞赛成绩优秀.若小嘉同学成绩优秀，则他来自下列哪个地区的可能性最大（    ） A．甲地区 B．乙地区 C．丙地区 D．不能确定 【答案】A 【分析】求出三个地区参加竞赛人数的占比，乘以甲､乙､丙三个地区学生竞赛成绩优秀概率比较即可求解. 【详解】因为这三个地区参加竞赛人数的比为5：3：2， 所以甲地区人数占比为，乙地区人数占比为，丙地区人数占比为， 所以甲地区学生竞赛成绩优秀概率为，乙地区学生竞赛成绩优秀概率为，丙地区学生竞赛成绩优秀概率为， 根据函数单调性知当时，甲地区学生竞赛成绩优秀概率大于乙地区学生竞赛成绩优秀概率大于丙地区学生竞赛成绩优秀概率， 所以他来自甲地区的可能性最大. 故选：A. 2．（22-23高一下·浙江温州·期末）在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件 “第二次摸出的球是红球”，事件“两次摸出的球颜色相同”，事件 “第二次摸出的球是黄球”，若，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对立事件的性质判断B；由结合乘法公式得出，进而判断ACD. 【详解】依题意，事件对立，，故B正确； 设盒子中有个红球，个黄球， ，，故AD正确； ，故C错误； 故选：C 3．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）已知，，且与相互独立， ． 【答案】/ 【分析】由和事件的概率公式与独立事件的概率公式结合已知条件求解即可. 【详解】因为与相互独立，所以， 因为，，， 所以， ，解得， 故答案为： 4．（22-23高二上·浙江台州·期末）集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作．否则就需要维修，则集成电路E需要维修的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意可得集成电路E需要维修时，三个电子元件中只有一个或都不能正常工作，再根据独立事件的乘法公式即可得解. 【详解】根据题意可得集成电路E需要维修时，三个电子元件中只有一个或都不能正常工作， 因为三个电子元件能正常工作的概率分别降为， 所以三个电子元件不能正常工作的概率分别降为， 故集成电路E需要维修的概率为. 故答案为：. 5.（23-24高一下·浙江宁波·期末）某高校的社团招聘面试中有 4 道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是 若每位面试者共有四次机会，一旦2次答对抽到的题目，则面试通过：否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的. (1)求李明第三次答题通过面试的概率； (2)求李明最终通过面试的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由前2次有一次答对，第3次答对，利用独立事件的概率求解；， （2）根据题意，由前2次都答对，前2次有一次答对，第3次答对和前3次有一次答对，第4次答对求解. 【详解】（1）由题意得：前2次有一次答对，第3次答对， 所以李明第三次答题通过面试的概率为： （2）李明最终通过面试的概率. 6．（23-24高一下·浙江台州·期末）某商店在“五一”期间举办促销活动，设立了抽奖环节，在一个不透明的抽奖箱里放置6个大小质地完全相同的三种颜色的球，其中1个白球，2个红球，3个黑球.凡在本店累计消费满百元的顾客，可以持购物凭证参与一次抽奖活动.抽奖采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，若取到两球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到两球异色，则称为不中奖.一次抽奖结束后，取出的球放回抽奖箱，供下一位顾客抽奖. (1)若一位顾客参与一次抽奖活动，求这位顾客中奖的概率； (2)现有甲､乙两位顾客各参与一次抽奖活动，求两人中至少有一人中奖的概率. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）列举法应用古典概型公式计算即可； （2）应用对立事件结合概率乘积公式计算即得. 【详解】（1）将白球编号为1，红球编号为2，3，黑球编号为. 记“取到两球同色”， ， ， ， 因此， （2）记“甲顾客中奖”，“乙顾客中奖”，相互独立， 则. 7．（23-24高一下·浙江宁波·期末）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数； (2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同. （i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值. 【答案】(1)，75 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据频率之和为即可求出，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可； （2）（i）根据古典概型结合相互独立事件的乘法公式求解即可； （ii）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图有， 解得， 因为，， 所以中位数在区间内，设为x， 则有，得， 所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75； （2）设 “任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”， “任选一道题，丙答对”， 则由古典概型概率计算公式得：，，， 所以有，，， （i）记 “甲、乙两位同学恰有一人答对”， 则有，且有与互斥， 因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立， 所以 ， 所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）记“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则， 所以 ， 解得：. ( 题型0 7 ) 独立事件的判断 1．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件： “正面向上的硬币数为i”，其中i=0，1，2，3，B=“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（    ） A．与B相互独立 B．与B对立 C． D． 【答案】D 【分析】列出所有基本事件，计算出对应概率，再根据独立事件和对立事件，即可逐一验证. 【详解】解：总的可能有: (正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正反),(反,反,正),(反,反,反), 故, ,,,而， ,故选项A错误; ,故选项B错误; ,故选项C错误; {(正,反,反),(反,正反),(反,反,正)}, {(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正)}, {(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正反),(反,反,正)}, 所以，故选项D正确; 故选:D. 2．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中，，则（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C互为对立 D．事件A与事件C相互独立 【答案】B 【分析】根据互斥事件和对立事件，事件相互独立的定义逐一判断即可得解. 【详解】对于A，，所以与事件B可以同时发生，故A错； 对于B， , ,所以事件A与事件B相互独立，故B正确； 对于C ， ,所以事件A与事件C不对立，故C错误； 对于D，由图可知，所以，所以，所以事件A与事件C不相互独立，故D错误； 故选：B. ( 题型 8 ) 用频率估计概率 1.（22-23高二下·浙江宁波·期末）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如下： 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 241 571 188 如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（    ） A．0.57 B．0.33 C．0.24 D．0.19 【答案】C 【分析】本题主要考查概率的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.利用表中数据直接计算即可. 【详解】由已知统计表可知在1000名志愿者中， 服药后出现体重减轻的人数为241人， 因此服药后出现体重减轻的频率为， 故选：C. 2.（21-22高二下·浙江金华·期末）重庆轨道交通号线一期已于今年月日开通运营，全长公里，从高滩岩站至兴科大道站一路经过座车站．沙坪坝站是目前客流量最大的站点，某数学兴趣小组在沙坪坝站作乘客流量来源地相关调查，从上车人群中随机选取了名乘客，记录了他们从来源地到沙坪坝站所花费时间t，得到下表： 时间 人数（人） (1)从在沙坪坝站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间小于的概率； (2)估计所有在沙坪坝站上车的乘客花费时间的中位数； (3)已知的人，其平均数和方差分别为，；的人，其平均数和方差分别为，，计算样本数据中的平均数和方差． 【答案】(1) (2) (3)平均数为，方差为 【分析】（1）由频率估计概率即可得到结果； （2）设中位数为，可求得，由中位数定义知，由此可得解得结果； （3）根据加权平均数和方差的计算方法直接求解即可. 【详解】（1）由表格数据可知：乘客花费时间小于的共有人， 所求概率. （2）设中位数为， 由表格数据知：花费时间小于分钟的频率为，花费时间小于分钟的频率为，； ，解得：， 即估计所有在沙坪坝站上车的乘客花费时间的中位数为. （3）样本数据中的平均数； 方差 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由古典概型的计算公式即可求解. 【详解】两名男生，一名女生记为 两名男生，一名女生排成一排可能为：，故总可能数， 女生站在中间的可能为：，故可能数， 则女生站在中间的概率. 故选：A. 2．（23-24高一下·浙江温州·期末）一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【分析】根据概率值判断相等，再应用独立事件概率乘法公式判断独立事件. 【详解】因为A=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到红球”，A与B不相等，D选项错误； 则, ,A与B相互独立，C选项正确； A与B可以同时发生，A选项错误；B选项错误； 故选：C. 3．（23-24高二下·浙江丽水·期末）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，事件“第一次摸出球的标号为奇数”，则（    ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】D 【分析】以、分别表示第次、第次摸球的编号，以为一个基本事件，列举出所有的基本事件，以及事件、、、、所包含的基本事件，利用互斥事件以及独立事件的定义逐项判断，即可得出合适的选项. 【详解】以、分别表示第次、第次摸球的编号，以为一个基本事件.摸球方式为不放回摸球，则所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共种， 事件包含的基本事件有：、、、、、，共种， 事件包含的基本事件有：、、、、、，共种， 事件包含的基本事件有：、，共种， 事件包含的基本事件有：、、、、、，共种， 事件包含的基本事件有：、、，共3种， 则，根据互斥事件的概念可知与不互斥，所以A错误； ，，所以与不相互独立，所以B错误； ，根据互斥事件的概念可知与不互斥，所以C错误； ，，所以与相互独立， 所以D正确. 故选：D 4．（23-24高一下·浙江台州·期末）设是样本空间中三个概率大于0的随机事件，则下列选项错误的是（    ） A．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B．事件相互独立与互斥不能同时成立 C．若成立，则事件与相互独立 D．若成立，则事件一定两两独立 【答案】D 【分析】利用互斥事件与对立事件的概念可判断A；利用互斥事件的概念及独立事件的概念可判断BCD. 【详解】对于A，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A正确； 对于B，因为，若事件相互独立，则， 故事件不互斥，若事件互斥，则，故事件不独立， 所以事件相互独立与互斥不能同时成立，故B正确； 对于C，若成立，则事件与相互独立，故C正确； 对于D，若成立，不一定能得出， ，，则事件不一定两两独立，故D错误. 故选：D. 5．（23-24高二上·浙江宁波·期末）电信网络诈骗作为一种新型犯罪手段，已成为社会稳定和人民安全的重大威胁．2023年11月17日外交部发言人毛宁表示，一段时间以来，中缅持续加强打击电信诈骗等跨境违法犯罪合作，取得显著成效．此前公安部通过技术手段分析电信诈骗严重的地区，在排查过程，若某地区有10人接到诈骗电话，则对这10人随机进行核查，只要有一人被骗取钱财，则将该地区确定为“诈骗高发区”．假设每人被骗取钱财的概率为且相互独立，若当时，至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率取得最大值，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率写出概率公式，再用导数的方法确定的值. 【详解】设至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率为， 则. 因为：. 由，得：. 所以在上递增，在上递减. 所以当时，取得最大值.即. 故选：B 二、多选题 6．（22-23高一下·浙江金华·期末）如图是一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件B与C互斥 B． C．事件与相互独立 D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件的概念以及相关公式和古典概型与事件独立的乘法公式进行计算与判断即可. 【详解】由题意得，事件的样本点为，事件的样本点为，事件的样本点为， 事件与共有样本点，所以不互斥，故错误； 事件的样本点为，所以，故正确； ，的样本点为，所以，所以事件与不相互独立，故错误； 事件的样本点为，所以，，故正确； 故选：. 7．（23-24高一下·浙江杭州·期末）下列命题正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则成立. B．若事件两两独立，则成立. C．若事件相互独立，则与也相互独立. D．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立. 【答案】ACD 【分析】利用互斥事件的概率公式可判断选项A；举反例判断选项B；利用事件相互独立的判定公式判断选项C，利用事件的独立性质和互斥判断选项D. 【详解】对于A选项，若事件两两互斥，则与互斥， 所以，，因此A正确； 对于B，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，因此B错误； 对于C，若事件相互独立，则， 又，， 则 ，因此C正确； 对于D，若，事件相互独立， 则， 若互斥，则，因此D正确. 故选：ACD. 三、填空题 8．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）为迎接创卫考核，现从高二（11）班随机选取两名学生参加调查问卷．已知选中的两名学生都是男生的概率是，选中的两名学生都是女生的概率是，则选中的两名学生是一男一女的概率是 ． 【答案】 【分析】利用对立事件的概率求解. 【详解】解：因为从高二（11）班随机选取两名学生参加调查问卷，有三种情况： 一是选中的两名学生都是男生，二是选中的两名学生都是女生，三是选中的两名学生是一男一女， 所以选中的两名学生是一男一女的概率是， 故答案为：， 9．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）甲乙两人下棋，每局甲获胜的概率均为0.6，且没有和棋，在三局两胜制的规则下（即先胜两局者获得最终胜利），则甲获胜的概率为 . 【答案】/ 【分析】分别计算出甲前两局赢的概率和前两局赢一局，第三局赢的概率，然后利用独立事件乘法公式及互斥事件求和公式即可得结果. 【详解】根据题意，甲获胜一种是前两局赢，另一种是前两局赢一局，第三局赢这两种情况， 故分别计算这两种情况的概率，前两局赢的概率为， 前两局赢一局，第三局赢的概率为， 则甲获胜的概率为， 故答案为：0.648 10．（22-23高一下·浙江宁波·期末）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论： ①和是互斥事件但不是对立事件；     ②和是互斥事件也是对立事件； ③；     ④. 其中，正确结论的序号是 .（请把你认为正确结论的序号都写上） 【答案】②④ 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可. 【详解】事件“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”，“选择历史学科”，“选择地理学科” 所以事件“选择政治学科”，包含于事件，故事件可以同时发生，不是互斥事件，故①不正确； 事件“选择一门理科学科”，与事件    “选择一门文科学科”，不能同时发生，且必有一个事件发生，故和是互斥事件也是对立事件，故②正确； 由题意可知，所以，故③不正确； 事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生，故和是互斥事件，所以，故④正确. 故答案为：②④. 四、解答题 11．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）某班学生分A，，，四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为，出现平局的概率为，每场比赛相互独立. (1)求A组在参加两场比赛后得分为3分的概率； (2)一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率. 【答案】(1) (2)7种， 【分析】（1）A组在参加两场比赛后得分为3分有两种情况，一场胜二场负和一场负二场胜，根据分步乘法原理和分类加法原理可得； （2）求出6场比赛都出现平局的概率以及每组学生3场比赛结果均为1胜1平1负的概率，再求和即可. 【详解】（1）A组在参加两场比赛后得分为3分的概率为 （2）四组总积分一样，可以每次都是平局， 也可以每组学生是一胜一负一平. 如: A胜B负，A负C胜，AD平 BC平，B胜D负，C负D胜 不难发现，A的三种情况确定后，比赛结果是确定的， 所以只要去看可能出现的情况， A胜B负，A负C胜，AD平， A负B胜，A胜C负，AD平 A胜B负，A负D胜，AC平 ， A负B胜，A胜D负，AC平 A胜C负，A负D胜，  AB平 ， A负C胜，A胜D负，AB平 共6+1=7种 12．（23-24高一下·浙江湖州·期末）若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”． (1)求和的值； (2)求两次摸到的不都是红球的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用首先计算样本容量，再计算事件和包含的样本点，即可求解； （2）利用对立事件概率公式，即可求解. 【详解】（1）将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5． 第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果， 第二次摸球时都有4种等可能的结果． 将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果， 第一次摸到红球的可能结果有8种，即， 所以． 第二次摸到红球的可能结果也有8种，即， 所以． （2）事件“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即， 则两次摸到都是红球的概率， 故两次摸到的不都是红球的概率． 13．（22-23高一下·浙江宁波·期末）为了纪念中国古代数学家祖冲之在圆周率上的贡献，联合国教科文组织第四十届大会上把每年的3月14日定为“国际数学日”.2023年3月14日，某学校举行数学文化节活动，其中一项活动是数独比赛（注：数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，又称九宫格）.甲、乙两位同学进入了最后决赛，进行数独王的争夺.决赛规则如下：进行两轮数独比赛，每人每轮比赛在规定时间内做对得1分，没做对得0分，两轮结束总得分高的为数独王，得分相同则进行加赛.根据以往成绩分析，已知甲每轮做对的概率为0.8，乙每轮做对的概率为0.75，且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响，各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响. (1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率； (2)求不进行加赛甲就获得数独王的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设“甲第i轮做对”，设“乙第i轮做对”，设“两轮比赛甲得i分”，设“两轮比赛乙得i分”，根据独立事件的乘法公式与互斥事件的加法公式运算即可； （2）设“不进行加赛甲就获得数独王”，根据独立事件的乘法公式与互斥事件的加法公式运算即可. 【详解】（1）设“甲第i轮做对”，设“乙第i轮做对”，设“两轮比赛甲得i分”，设“两轮比赛乙得i分”． . 所以两轮比赛结束乙得分为1分的概率为； （2）设“不进行加赛甲就获得数独王”. ， ， ， 所以不进行加赛甲就获得数独王的概率为. 14．（23-24高一下·浙江宁波·期末）全国中学生奥林匹克数学竞赛是由中国数学会主办的获得教育部批准的全国性赛事，相应的赛区初赛也是该项活动的一个环节.按照中国数学会有关全国中学生奥林匹克数学竞赛组委会的精神，以及浙江省科协的要求，2024年5月19日全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛如期举行.已知某中学有40人参加此次数学竞赛（满分为150分），其取得的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值及学生成绩的第75百分位数； (2)若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在内的学生中抽取人参加座谈会，求成绩为分的学生甲恰好被抽到的概率. 【答案】(1)，第75百分位数96； (2) 【分析】（1）利用所有小矩形面积之和为1即可求得，根据百分位数定义计算即可得出结果； （2）由分层抽样比计算出各组抽取的人数，再由古典概型计算可得结果. 【详解】（1）由题意可知， 解得； 易知60分到90分的人数频率之和为0.6，60分到100分的人数频率之和为0.85. 所以第75百分位数位于90分到100分之间，且90分到100分之间的频率为； 估计第75百分位数为， （2）在的学生频率分别为0.1和0.05，则其人数分别为4和2， 设在中的4人为，在中的2人为， 令为甲，且其成绩为107. 由分层随机抽样可得在分别抽取2人与1人， 则总共有以下12种可能： , ; 其中学生甲恰好被抽到的情况共有6种， 所以抽到107分的学生甲的概率. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 概率 题型概览 题型01计算古典概型问题的概率 题型02有放回与无放回问题的概率 题型03利用概率的加法公式计算古典概型的概率 题型04互斥事件的概率加法公式 题型05利用对立事件的概率公式求概率 题型06独立事件的乘法公式 题型07独立事件的判断 题型08用频率估计概率 ( 题型01 ) 计算古典概型问题的概率 1．（23-24高一下·浙江台州·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子1次，记“出现点数之和为偶数”，“出现点数之积为偶数”，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（    ）    A． B． C． D． 3.（23-24高一下·浙江绍兴·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数都为奇数”的概率是 ． 4．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）嘉兴市期末测试中数学多选题评分标准如下：若某试题有两个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若该试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，三个都选对得6分，有错选得0分，小明同学正在做一道数学多选题（多选题每题至少选一项且不能全选，假设每个选项被选到的概率是等可能的），请帮助小明求解以下问题： (1)若该多选题有两个正确选项，在完全盲猜（可以选一个选项、可以选两个选项、也可以选三个选项）的情况下，求小明得6分的概率； (2)若该多选题有三个正确选项，小明已经判定A正确（正确答案中有A选项，且A必选）的情况下，求小明得分大于等于4分的概率． 5．（23-24高一下·浙江金华·期末）在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格.    (1)求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）. (3)根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率. ( 题型0 2 ) 有放回与无放回问题的概率 1．（20-21高二下·浙江·期末）甲盒中有一个红球，两个白球，这三个球除了颜色外完全相同，有放回地连续抽取两次，每次从中任意抽取一个，取出的两个球中至少有一个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 2.（20-21高一下·浙江·期末）袋中装有4个形状､大小完全相同的球，其中白球2个､红球2个，甲先取出2个球(不放回)，乙再取出剩余的2个球，规定取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，取出球的总积分多者获胜. （1）求甲､乙成平局的概率； （2）记甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，比较与的大小. ( 题型0 3 ) 利用概率的加法公式计算古典概型的概率 1.（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知某样本空间中共有18个样本点，其中事件有10个样本点，事件有8个样本点，事件有16个样本点，则（    ） A． B． C． D． 2.（20-21高一下·浙江·期末）若5张奖券中有2张是中奖的，先由甲抽1张，然后由乙抽1张，求： （1）甲中奖的概率；        （2）甲、乙都中奖的概率； （3）只有乙中奖的概率；     （4）乙中奖的概率． ( 题型0 4 ) 互斥事件的概率加法公式 1.（24-25高三上·浙江金华·期末）甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为，乙先走的情况下，甲胜的概率为，则甲获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·浙江杭州·期中）杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)已知落在成绩的平均值为66，方差是7；落在成绩的平均值为75，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差； (3)若该学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. ( 题型0 5 ) 利用对立事件的概率公式求概率 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）设是一个随机试验中的两个事件，记为事件的对立事件，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江舟山·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 独立事件的乘法公式 1．（23-24高二下·浙江嘉兴·期末）由甲､乙､丙三个地区的学生参加的某项竞赛，已知这三个地区参加竞赛人数的比为5：3：2，且甲､乙､丙三个地区分别有的学生竞赛成绩优秀.若小嘉同学成绩优秀，则他来自下列哪个地区的可能性最大（    ） A．甲地区 B．乙地区 C．丙地区 D．不能确定 2．（22-23高一下·浙江温州·期末）在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件 “第二次摸出的球是红球”，事件“两次摸出的球颜色相同”，事件 “第二次摸出的球是黄球”，若，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）已知，，且与相互独立， ． 4．（22-23高二上·浙江台州·期末）集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作．否则就需要维修，则集成电路E需要维修的概率为 . 5.（23-24高一下·浙江宁波·期末）某高校的社团招聘面试中有 4 道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是 若每位面试者共有四次机会，一旦2次答对抽到的题目，则面试通过：否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的. (1)求李明第三次答题通过面试的概率； (2)求李明最终通过面试的概率. 6．（23-24高一下·浙江台州·期末）某商店在“五一”期间举办促销活动，设立了抽奖环节，在一个不透明的抽奖箱里放置6个大小质地完全相同的三种颜色的球，其中1个白球，2个红球，3个黑球.凡在本店累计消费满百元的顾客，可以持购物凭证参与一次抽奖活动.抽奖采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，若取到两球同色，则称为中奖，可以领取一张优惠券；若取到两球异色，则称为不中奖.一次抽奖结束后，取出的球放回抽奖箱，供下一位顾客抽奖. (1)若一位顾客参与一次抽奖活动，求这位顾客中奖的概率； (2)现有甲､乙两位顾客各参与一次抽奖活动，求两人中至少有一人中奖的概率. 7．（23-24高一下·浙江宁波·期末）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数； (2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同. （i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值. ( 题型0 7 ) 独立事件的判断 1．（22-23高一下·浙江绍兴·期末）抛掷三枚质地均匀的硬币，有如下随机事件： “正面向上的硬币数为i”，其中i=0，1，2，3，B=“恰有两枚硬币抛掷结果相同”，则下列说法正确的是（    ） A．与B相互独立 B．与B对立 C． D． 2．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中，，则（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B相互独立 C．事件A与事件C互为对立 D．事件A与事件C相互独立 ( 题型 8 ) 用频率估计概率 1.（22-23高二下·浙江宁波·期末）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如下： 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 241 571 188 如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（    ） A．0.57 B．0.33 C．0.24 D．0.19 2.（21-22高二下·浙江金华·期末）重庆轨道交通号线一期已于今年月日开通运营，全长公里，从高滩岩站至兴科大道站一路经过座车站．沙坪坝站是目前客流量最大的站点，某数学兴趣小组在沙坪坝站作乘客流量来源地相关调查，从上车人群中随机选取了名乘客，记录了他们从来源地到沙坪坝站所花费时间t，得到下表： 时间 人数（人） (1)从在沙坪坝站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间小于的概率； (2)估计所有在沙坪坝站上车的乘客花费时间的中位数； (3)已知的人，其平均数和方差分别为，；的人，其平均数和方差分别为，，计算样本数据中的平均数和方差． 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江温州·期末）一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 3．（23-24高二下·浙江丽水·期末）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，事件“第一次摸出球的标号为奇数”，则（    ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与互斥 D．与相互独立 4．（23-24高一下·浙江台州·期末）设是样本空间中三个概率大于0的随机事件，则下列选项错误的是（    ） A．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B．事件相互独立与互斥不能同时成立 C．若成立，则事件与相互独立 D．若成立，则事件一定两两独立 5．（23-24高二上·浙江宁波·期末）电信网络诈骗作为一种新型犯罪手段，已成为社会稳定和人民安全的重大威胁．2023年11月17日外交部发言人毛宁表示，一段时间以来，中缅持续加强打击电信诈骗等跨境违法犯罪合作，取得显著成效．此前公安部通过技术手段分析电信诈骗严重的地区，在排查过程，若某地区有10人接到诈骗电话，则对这10人随机进行核查，只要有一人被骗取钱财，则将该地区确定为“诈骗高发区”．假设每人被骗取钱财的概率为且相互独立，若当时，至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率取得最大值，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（22-23高一下·浙江金华·期末）如图是一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（    ） A．事件B与C互斥 B． C．事件与相互独立 D． 7．（23-24高一下·浙江杭州·期末）下列命题正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则成立. B．若事件两两独立，则成立. C．若事件相互独立，则与也相互独立. D．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立. 三、填空题 8．（21-22高一下·浙江嘉兴·期末）为迎接创卫考核，现从高二（11）班随机选取两名学生参加调查问卷．已知选中的两名学生都是男生的概率是，选中的两名学生都是女生的概率是，则选中的两名学生是一男一女的概率是 ． 9．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）甲乙两人下棋，每局甲获胜的概率均为0.6，且没有和棋，在三局两胜制的规则下（即先胜两局者获得最终胜利），则甲获胜的概率为 . 10．（22-23高一下·浙江宁波·期末）据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论： ①和是互斥事件但不是对立事件；     ②和是互斥事件也是对立事件； ③；     ④. 其中，正确结论的序号是 .（请把你认为正确结论的序号都写上） 四、解答题 11．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）某班学生分A，，，四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为，出现平局的概率为，每场比赛相互独立. (1)求A组在参加两场比赛后得分为3分的概率； (2)一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率. 12．（23-24高一下·浙江湖州·期末）若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到红球”． (1)求和的值； (2)求两次摸到的不都是红球的概率． 13．（22-23高一下·浙江宁波·期末）为了纪念中国古代数学家祖冲之在圆周率上的贡献，联合国教科文组织第四十届大会上把每年的3月14日定为“国际数学日”.2023年3月14日，某学校举行数学文化节活动，其中一项活动是数独比赛（注：数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，又称九宫格）.甲、乙两位同学进入了最后决赛，进行数独王的争夺.决赛规则如下：进行两轮数独比赛，每人每轮比赛在规定时间内做对得1分，没做对得0分，两轮结束总得分高的为数独王，得分相同则进行加赛.根据以往成绩分析，已知甲每轮做对的概率为0.8，乙每轮做对的概率为0.75，且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响，各轮比赛甲、乙是否做对也互不影响. (1)求两轮比赛结束乙得分为1分的概率； (2)求不进行加赛甲就获得数独王的概率. 14．（23-24高一下·浙江宁波·期末）全国中学生奥林匹克数学竞赛是由中国数学会主办的获得教育部批准的全国性赛事，相应的赛区初赛也是该项活动的一个环节.按照中国数学会有关全国中学生奥林匹克数学竞赛组委会的精神，以及浙江省科协的要求，2024年5月19日全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛如期举行.已知某中学有40人参加此次数学竞赛（满分为150分），其取得的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值及学生成绩的第75百分位数； (2)若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在内的学生中抽取人参加座谈会，求成绩为分的学生甲恰好被抽到的概率. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$