专题1.2 充要条件（讲义）- 湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第一章集合的第2个专题：充要条件。本专题涵盖充要条件的概念和判断方法等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题1.2 集合的概念和运算（讲义） 知识点 充要条件 1.四种条件的概念 p是条件，q是结论 推出关系 条件关系 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 2.充要条件的判断方法 （1）定义法：从逻辑推理关系上判断，将命题写成“若p,则q”的句式，若p,则q成立，就是，理清推出关系，再根据定义来确定具体的条件关系。 如：若p，则q成立，即，任意q，则p不成立，即，所以p是q的充分不必要条件。 （2） 集合法：将条件 p、q 对应为集合 A、B，通过集合的包含关系直观判断条件关系。 条件关系判定表如下： 集合关系 条件关系 通俗理解 Venn图 （A是B的真子集） p是q的充分不必要条件 A完全包含在B内 （B是A的真子集） p是q的必要不充分条件 B完全包含在A内 p是q的充要条件 两集合完全重合 且（A不是B的子集，B也不是A 的子集） p是q的既不充分也不必要条件 两集合部分重叠或不相交 1.（2020湖南对口升学）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的概念分析. 【详解】当时，成立，故“” “”. 当时，或，故“” “”. 即，“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 2.（2021湖南对口升学）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】将代入可判断充分性，求解方程可判断必要性，即可得到结果. 【详解】将代入中可得， 即“”是“”的充分条件， 由可得， 即或，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3.（2022湖南对口升学）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求方程的解，再判断充分条件与必要条件. 【详解】∵的解为或， ∴能推出， 但不能推出， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 4.（2024湖南对口升学）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】因为， 则或， 即或. 而， 则. 所以是的必要不充分条件. 故选：B 5.（2025湖南模拟）已知角和角为的两个内角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据正弦函数的性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【详解】由题意得，，当时，由正弦定理可得,则； 当时，，因此“”是“”的充要条件． 故选：C． 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及充分条件以及必要条件的性质求解即可. 【详解】由解得或， 所以能得出， 但成立不一定能得到， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性，幂函数单调性以及充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以由可得：， 因为在上单调递增，所以由可得：， 所以“”能推出“”，“”推不出“” “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．“”是“椭圆的焦距为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件以及椭圆的焦距求解即可. 【详解】椭圆的焦距为或，解得或. “”可以推出“椭圆的焦距为2”. “椭圆的焦距为2”，则或，推不出. 所以“”是“椭圆的焦距为2”的充分不必要条件. 故选：A. 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念结合正弦函数的性质进行分析即可. 【详解】若， 则或， 则“”不能推出“”，故充分性不成立， 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5．命题p：；命题q： ，则p成立是q成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解一元二次不等式，再根据包含关系以及充分性、必要性的判断，即可求解. 【详解】由题意知命题p：， 解得p：， 因为命题q： ， 所以q的解集是p 的解集的真子集， 所以p成立是q成立的必要不充分条件. 故选：B. 6．已知，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质和充要条件的概念，即可求解. 【详解】当时，不等式两边乘以，得到，即“” “”， 不等式两边乘以，得到，即“” “”， 因此“”是“”的充要条件． 故选：B 7．“为第二象限角或第三象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用角的范围与余弦值的关系，结合充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当为第二象限角或第三象限角时，显然有，即充分性成立； 当时，取，满足， 但此时即不是第二象限角，也不是第三象限角，即必要性不成立； 综上，前者是后者的充分不必要条件. 故选：A. 8．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的概念，即可得解. 【详解】由得或， 所以“”“”， “”“”， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 9．二次函数的图像在x轴上方的充要条件是 . 【答案】且 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，及充要条件的概念，即可求解. 【详解】因为二次函数的图像在x轴上方， 所以抛物线开口向上，且与x轴无交点， 所以，反之亦成立， 即二次函数的图像在x轴上方的充要条件是且. 故答案为：且. 10．若，，则是的 条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据充分条件和必要条件的概念即可求得. 【详解】因为，所以不是的充分条件； 又因为，所以是的必要条件； 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 11．“a是3的倍数”是“a是6的倍数” 条件. 【答案】必要不充分 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】若是的倍数，则是的倍数成立，当时，满足是的倍数，但是的倍数不成立． “是的倍数”是“是的倍数”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分. 12．“”是“且”的 条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据题意结合充分性与必要性的定义即可得解. 【详解】当时，或即可，例如，满足，所以推不出且，故充分性不成立； 当且时，，故必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 13．判断下列各题中，是的什么条件？ (1) (2)四边形四边相等，四边形是正方形. 【答案】(1)充分不必要条件 (2)必要不充分条件 【分析】（1）（2）根据充分条件和必要条件的概念分析即可. 【详解】（1）若，则，即， 若，则或，即不能推出， 所以是的充分不必要条件. （2）若四边形四边相等，则四边形是菱形不一定是正方形， 所以不能推出， 若四边形是正方形，则四边形四边相等，所以， 所以是的必要不充分条件. 14．已知条件，条件． (1)若，试判断条件是否为条件的必要条件，并说明理由； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）代入确定条件，结合必要条件的定义，进而确定条件和条件的关系； （2）由是的充分不必要条件，列出式子确定的取值范围. 【详解】（1）若，则条件， 已知条件， 因为是的真子集， 则条件可推出条件，但条件推不出条件， 因此条件是条件的必要条件. （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 15．已知或，，若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据题目条件可转化为集合之间的关系进行求解即可. 【详解】 或，，是的充分不必要条件， ， ， 故的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第一章集合的第2个专题：充要条件。本专题涵盖充要条件的概念和判断方法等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题1.2 集合的概念和运算（讲义） 知识点 充要条件 1.四种条件的概念 p是条件，q是结论 推出关系 条件关系 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 2.充要条件的判断方法 （1）定义法：从逻辑推理关系上判断，将命题写成“若p,则q”的句式，若p,则q成立，就是，理清推出关系，再根据定义来确定具体的条件关系。 如：若p，则q成立，即，任意q，则p不成立，即，所以p是q的充分不必要条件。 （2） 集合法：将条件 p、q 对应为集合 A、B，通过集合的包含关系直观判断条件关系。 条件关系判定表如下： 集合关系 条件关系 通俗理解 Venn图 （A是B的真子集） p是q的充分不必要条件 A完全包含在B内 （B是A的真子集） p是q的必要不充分条件 B完全包含在A内 p是q的充要条件 两集合完全重合 且（A不是B的子集，B也不是A 的子集） p是q的既不充分也不必要条件 两集合部分重叠或不相交 1.（2020湖南对口升学）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.（2021湖南对口升学）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2022湖南对口升学）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.（2024湖南对口升学）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5.（2025湖南模拟）已知角和角为的两个内角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“”是“椭圆的焦距为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．命题p：；命题q： ，则p成立是q成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．“为第二象限角或第三象限角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．二次函数的图像在x轴上方的充要条件是 . 10．若，，则是的 条件. 11．“a是3的倍数”是“a是6的倍数” 条件. 12．“”是“且”的 条件. 13．判断下列各题中，是的什么条件？ (1) (2)四边形四边相等，四边形是正方形. 14．已知条件，条件． (1)若，试判断条件是否为条件的必要条件，并说明理由； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 15．已知或，，若是的充分不必要条件，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$