期末真题必刷易错96题（46个考点专练）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北京版）

期末真题必刷易错96题（46个考点专练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 变量和常量 · 题型二 函数的基本概念 · 题型三 函数的表示法 · 题型四 平面直角坐标系 · 题型五 已知点所在象限求参数 · 题型六 坐标系中描点 · 题型七 点坐标规律探索 · 题型八 中点坐标 · 题型九 函数图象画法 · 题型十 正比例函数的定义 · 题型十一 一次函数的定义 · 题型十二 一次函数的图象 · 题型十三 一次函数的性质 · 题型十四 已知函数经过的象限求参数 · 题型十五 一次函数图象与坐标轴的交点问题 · 题型十六 一次函数图象平移问题 · 题型十七 一次函数的对称性 · 题型十八 一次函数图象旋转问题 · 题型十九 一次函数的增减性 · 题型二十 比较一次函数值的大小 · 题型二十一 一次函数的规律探究问题 · 题型二十二 求一次函数解析式 · 题型二十三 一次函数与方程 · 题型二十四 一次函数与不等式 · 题型二十五 一次函数的实际应用 · 题型二十六 多边形的相关概念 · 题型二十七 多边形的内角和与外角和 · 题型二十八 平行四边形的判定 · 题型二十九 平行四边形的性质 · 题型三十 矩形的判定 · 题型三十一 矩形的性质 · 题型三十二 菱形的判定 · 题型三十三 菱形的性质 · 题型三十四 正方形的判定 · 题型三十五 正方形的性质 · 题型三十六 平行四边形的折叠问题 · 题型三十七 中点四边形 · 题型三十八 三角形的中位线 · 题型三十九 中心对称与中心对称图形 · 题型四十 一元二次方程的相关概念 · 题型四十一 一元二次方程的解法 · 题型四十二 配方法的应用 · 题型四十三 换元法 · 题型四十四 根与系数的关系 · 题型四十五 一元二次方程的实际应用 · 题型四十六 方差与频数分布 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 第十四章 一次函数 1．（24-25八年级下·北京·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的定义，掌握函数的定义是解决本题的关键． 对于一个自变量x，只有唯一一个因变量y与之相对应，y是x的函数，据此逐项分析判断即可解答． 【详解】解：根据函数概念逐项分析判断如下： A、存在自变量x取一个值的时候，有多个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故A选项不符合题意； B、存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故B选项不符合题意； C、存在自变量x取一个值的时候，有2个y值与自变量x相对应，故y不是x的函数，故C选项不符合题意． D、对于每一个自变量x的值，都有1个y值与自变量x相对应，故y是x的函数，故D选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·北京·期中）平面直角坐标系中，对于点，若，均为负整数，则称点为“负整点”，特别地，当的值为整数时，称“负整点”为“超整点”．已知点，则下列说法正确的有（   ） ①当时，点为“负整点” ②若点为“负整点”，则点的个数有限 ③若点为“超整点”，则点的个数为1个 ④若点为“超整点”，则点到两坐标轴的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，理解题中所给“负整点”和“超整点”的定义是解题的关键． 根据所给“负整点”和“超整点”的定义，依次对所给说法进行判断即可． 【详解】解：由题知，当时，，． 因为2不是负整数， 所以点P不是“负整点”． 故①错误． 由且得， 所以当a为小于的整数时，点P的横、纵坐标都是负整数， 所以点P为“负整点”时，点P的个数无限．故②错误． 因为，且a为小于的整数， 所以只有当时，为整数， 所以当点P为“超整点”时，点P的个数为1个． 故③正确． 由上述过程可知． 当时，． 所以“超整点”P的坐标为， 则点P到两坐标轴的距离相等．故④正确． 故选：B． 3．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，以及坐标轴上的点不属于任何象限，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断，即可解题． 【详解】解：A. 位于第二象限，不符合题意； B. 位于第三象限，不符合题意； C. 不位于任何象限，不符合题意； D. 位于第四象限，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·北京通州·期中）下面三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，在直径为的半圆O上有一动点P，点P从点A出发，按顺时针方向绕半圆匀速运动到点B，再以相同的速度沿着直径回到点A停止，线段的长度y与运动时间x； ③如图3，在平行四边形中，点P从点D出发，沿在平行四边形的边上匀速运动至点A．点P的运动时间x与面积y． 其中，变量y与x之间的函数关系大致符合所给函数图象的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图像的识别， 根据货车在隧道内的长度从0开始随着时间的增加逐渐增大至最大，在隧道内长度不变，货车头出隧道时，货车在隧道内的长度随着时间的增加逐渐减小至0，可判断①；随着点P运动线段的长度不变，当点P运动到点B时，线段的长度逐渐减小至0，再逐渐增大，判断②；当点P在上运动时，随着时间的增加的面积逐渐增大，当点P在上运动时，随着时间的增加的面积不变，当点P在上运动时，随着时间的增加的面积逐渐减小至0，即可判断③． 【详解】解：货车在隧道内的长度从0开始随着时间的增加逐渐增大至最大，在隧道内长度不变，货车头出隧道时，随着时间的增加货车的长度逐渐减小至0，所以①符合题意； 随着点P运动线段的长度不变，当点P运动到点B时，线段的长度逐渐减小至0，再逐渐增大，所以②不符合题意； 当点P在上运动时，随着时间的增加的面积逐渐增大，当点P在上运动时，随着时间的增加的面积不变，当点P在上运动时，随着时间的增加的面积逐渐减小至0，所以③符合题意． 所以变量y与x之间的函数关系大致符合所给函数图像的是①③． 故选：B． 5．（24-25八年级下·北京通州·期中）已知点和点是一次函数图象上的两点，则a与b的大小关系是（   ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】A 【分析】本题主要查了一次函数的性质．根据一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点和点是一次函数图象上的两点， ∴． 故选：A 6．（24-25八年级下·北京·期中）已知点到轴的距离是到轴的距离的2倍，则的值是（   ） A．8 B．17 C．17或 D．8或2 【答案】D 【分析】此题考查了点到坐标轴的距离和解一元一次方程．根据到轴的距离等于到轴的距离的2倍列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题可知： ∴， ∴， ①当时，得：； ②当时，得， 即a的值是8或2． 故选：D． 7．（23-24八年级下·北京丰台·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点A第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…．依此规律跳动下去，点的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标中点的坐标规律问题，设第次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”，依此规律结合即可得出点的坐标，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”是解题的关键． 【详解】解：设第次跳动至点， 观察，发现：，，，，，，，，，，…， ∴，，，（n为自然数）． ∵， ∴，即， 故选：B． 8．（24-25八年级下·北京·阶段练习）若直线与直线的交点坐标为，则解为 的方程组是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，判断是否是二元一次方程组的解，等式的性质等知识点，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的解的定义并利用不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：直线与直线的交点坐标为， 是方程组的解， 即：是方程组的解， 故选：． 9．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若点到y轴的距离是2，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求点到坐标轴的距离，根据点到y轴的距离是2，得，则，即可作答． 【详解】解：∵点到y轴的距离是2， ∴， 解得． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，过轴上的点作垂直于轴，若，以为圆心，为半径作圆弧交轴正半轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，勾股定理，线段的和与差等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 先求出，的长，然后利用勾股定理求出的长，于是可得的长，利用线段的和与差可求得的长，于是即可求出点的坐标． 【详解】解：，，， ，， 又， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·北京大兴·期中）物理课上老师带领学生探究气体压强与气体体积的关系，他们在气缸内充入了一定量的气体，当保证温度不变时，记录气缸内的气体压强与气体体积（），数据如下： 气缸内的气体压强 240 200 160 120 96 80 气缸内气体体积（m3） 1 则用式子表示与之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，根据变量的变化规律写出变量之间的关系式是解题的关键 ，据表格中数据的变化规律解答即可． 【详解】解：∵ ∴与之间的关系是． 故答案为∶． 12．（24-25七年级上·北京西城·期中）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：）与出水速度（单位：）之间的关系如下表：用式子表示与的关系为 ． 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 2 5 … 【答案】 【分析】本题考查了用关系式表示变量间关系，根据表可得与的关系，，据此即可求解，由表中数据得出与的函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成反比例函数关系，， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点坐标，点坐标，线段上的一点到两坐标轴距离相等．则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意得出点的横坐标与纵坐标相等是解题的关键．先由题意得点的横坐标与纵坐标相等，再由点P在线段上可得点的纵坐标为8，据此可解决问题． 【详解】解：线段上的一点到两坐标轴距离相等． 点的横坐标与纵坐标相等， ∵点A坐标，点B坐标，且点P在线段上， ∴点的纵坐标为8， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·北京·开学考试）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是关键．当函数的图象位于函数的图象上方时，满足，再结合图象可得答案． 【详解】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象上方， 所以关于的不等式的解集是． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：将直线向下平移1个单位长度得， ∵， ∴，解得， 故答案为：2． 16．（24-25九年级上·北京·开学考试）七个边长为2的正方形按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，直线l经过点且将这七个正方形的面积分成相等的两部分，则直线l与x轴的交点B的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据直线l经过点且将这七个正方形的面积分成相等的两部分列方程求解是解本题的关键．作轴于D，轴于E， 设，则，根据题意有，代入相关数据即可求解． 【详解】解：作轴于D，轴于E ∵， ∴， 设，则， 则根据题意有： ∴， ∴， 解得： ∴直线l与x轴的交点B的横坐标为． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查求新定义函数值，先根据新定义的“衍生函数”，得到一次函数的“衍生函数”是，将代入“衍生函数”即可得到答案，读懂题意，理解“衍生函数”是解决问题的关键． 【详解】解：定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”， 一次函数的“衍生函数”是， 点在这个一次函数的“衍生函数”图象上， 当时，， 故答案为：1． 18．（23-24八年级下·广东广州·期末）小红和小明从甲地出发，骑自行车沿同一条路到距甲地24千米的乙地参加活动．如图，折线和线段分别表示小红和小明离甲地的距离（单位：）与时间（单位：）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，当小明到达乙地时，小红距乙地 千米． 【答案】4 【分析】本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 观察图象，由两人到达乙地时的横坐标即可求解；可得小红在段的速度为，根据路程速度时间可得此时小红行驶的路程，再求与乙地的差值即可． 【详解】解：由图象可知，当小明到达乙地时，小红还有小时到达乙地， 由图象可得，小红在段的速度为：， 则此时小红距乙地， 故答案为：4． 19．（24-25九年级上·北京密云·期中）某温室在的温度范围内培育一种植物幼苗，该幼苗的生长速度受温度影响．为了提高幼苗的生长速度，研究人员尝试使用一种新型肥料．实验发现，肥料的用量也会显著影响幼苗的生长速度．以下是部分实验数据： 设肥料用量为x克，温度下的幼苗每天生长速度为厘米/天，25℃温度下的幼苗每天生长速度为厘米/天 x 0 2 3 4 6 7 8 10 1.0 1.5 1.6 1.8 1.7 1.6 1.2 1.1 1.1 1.6 1.7 1.9 1.6 1.4 1.3 1.2 (1)在不使用肥料的情况下，该幼苗在时的生长速度是______厘米/天； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在下，使用约______克的肥料时，幼苗的生长速度最快（结果保留一位小数）； ②若希望幼苗的生长速度在和下都不低于1.5厘米/天，肥料的用量最少为______克，最多约为______克．（结果保留一位小数）． 【答案】(1)1 (2)见详解 (3)①5.0；②2.0，6.5 【分析】本题主要考查了函数的图象等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由表格可直接得解； （2）描点连线即可； （3）①根据数据和函数图象观察即可得解；②根据表格数据和函数图象观察即可得解． 【详解】（1）解：由表格可知幼苗在时的生长速度是1.0厘米天， 故答案为：1； （2）解：函数图象如下图； （3）解：①由图象观察可知，当时，最大， 故答案为：5.0； ②由表格和图象我们发现，当时，和都不低于1.5厘米天， 此时最少用料为2.0克，最多为6.5克； 故答案为：2.0，6.5． 20．（24-25八年级下·北京·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)请以x轴为对称轴，画出与对称的，同时写出点的坐标_______． (2)如果以点A、B、D为顶点的三角形与全等，那么点D的坐标是_______． 【答案】(1)图见详解， (2)或或． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据全等三角形的判定确定点的位置，即可得出答案． 本题考查作图轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 故答案为：． （2）解：如图，结合网格特征以及全等三角形的性质， 即点，，均满足题意， ∴点的坐标是或或． 故答案为：或或． 21．（2024·北京·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． 【答案】(1)；点A的坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象解不等式，数学结合是解答本题的关键． （1）当时，把点C的坐标代入，即可求得的k值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可． （2）根据图象得到不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵ ∴把点C的坐标代入， 解得， ∴一次函数表达式为， 当时，， 解得， ∵一次函数的图象与x轴交于点A， ∴点A的坐标为． （2）作如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，结合函数图象可知， 当时，， 解得． ∴． 22．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求一次函数的解析式； (2)该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为______． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积．正确求出一次函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出该一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， ∴该一次函数的解析式为； （2）解：如图， 对于，令，则， 解得：． 令，则， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：4． 23．（23-24八年级下·北京怀柔·期末）某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，关于x的函数关系式； (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 【答案】(1)，； (2)当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据题意写出函数关系式并掌握一元一次不等式的解法是本题的关键． （1）根据售价、购买数量和折扣可直接写出关于x的函数关系式；分别根据购买数量小于等于20件和大于20件两种情况列出方程即可； （2）根据x不同的取值范围，分别求出当、、时对应的x的取值范围即可． 【详解】（1）解：，， ∴， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：当时，， 当且为整数时： 若，得，解得； 若，得，解得； 若，得，解得； 综上，当时，在A厂家购买划算；当时，两个厂家付款一样；当时，在B厂家购买划算． 24．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线相交于点．    (1)求点B的坐标． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在一点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，根据一次函数解析式，求三角形的面积，解题的关键是数形结合． （1）把代入，求出点B的坐标即可； （2）先求出点，然后求出的面积即可； （3）设点M的坐标为，根据，得出，求出a的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，令，得：， 解得：， 点B的坐标为． （2）解：在中，令，则， 点， ． （3）解：存在．设点M的坐标为． ， ， ． 当时，点的坐标是； 当时，点的坐标是． 综上所述，点M的坐标为或． 25．（23-24八年级下·北京东城·期末）数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力与弹簧长度之间的数据，如表所示： 弹簧受到的拉力(单位：) 0 5 10 15 20 25 弹簧的长度 (单位：) 6 8 10 12 14 16 (1)在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线； (2)结合表中数据，求出弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式； (3)若弹簧的长度为，求此时弹簧受到的拉力的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)若弹簧的长度为，此时弹簧受到的拉力的值为 【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）先描点、再连线，即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出答案； （3）求出当时的的值即可． 【详解】（1）解：描点、连线如图所示： （2）解：设弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式为， 将，代入函数解析式得：， 解得：， ∴弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式为； （3）解：由题意得：当时，， 解得：， ∴若弹簧的长度为，此时弹簧受到的拉力的值为． 26．（23-24八年级下·北京顺义·期末）已知一次函数的图象经过点，，求这个一次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； 【详解】解：∵一次函数的图象经过，， ∴， 解得：． ∴这个一次函数的解析式为：． 27．（23-24八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，函数()与函数的图象交点为，与 y轴交于点A． (1)求k的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的图象和性质： （1）根据在上求出m的值，再将点P坐标代入即可求出k的值； （2）先求出直线()与y轴的交点A的坐标，则． 【详解】（1）解：∵在上， ∴． ∵过点， ∴． ∴ ． （2）解：∵直线()与y轴交于点A，   ∴． ∴． 28．（23-24八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，一次函数与不等式， （1）根据平移的性质可知k，再将点的坐标代入求出b，可得答案； （2）当时，，得，即可得答案． 【详解】（1）∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴． ∵一次函数经过点， ∴， ∴一次函数关系式为； （2）．理由如下： 由题意可知，当时，，得， 当时，， ∴ ∴当时，函数的值大于一次函数的值． 29．（23-24八年级下·北京石景山·期末）小明和弟弟小阳分别从家和科技馆同时出发，沿同一条路相向而行．小明开始以一定的速度跑步前往，10分钟后改为步行，到达科技馆恰好用了30分钟．小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家，两人离家的路程y（单位：米）与各自离开出发地的时间x（单位：分）之间的函数图像如图所示． (1)家与科技馆之间的路程为______米；小明步行的速度为每分钟______米； (2)求小阳离家的路程y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当离开出发地的时间为6分钟时，求小明和小阳之间的路程． 【答案】(1)；分钟/米 (2)小阳离家的路程y与x的函数解析式为 (3)小明和小阳之间的路程为米 【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是能从函数的图象中获取相关信息； （1）认真分析图象得到路程与速度数据； （2）采用待定系数法列出小阳离家路程y与时间x之间的函数关系式； （3）分别求出小明和小阳的路程即可． 【详解】（1）解：由图中可以看出，家与科技馆之间的路程为米； 由图中可以看出，小明步行时间为分钟，步行路程为米 ∴小明步行的速度为分钟/米 （2）解：∵小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家， 设小阳离家的路程y与x的函数解析式为 把代入得： ∴小阳离家的路程y与x的函数解析式为 当时， ∴自变量x的取值范围 （3）解：当离开出发地的时间为6分钟时，小阳距家米 由图中可以看出，小明跑步速度为分钟/米 ∴当离开出发地的时间为6分钟时，小明走了米 ∴小明和小阳之间的路程为米 30．（23-24八年级下·北京西城·期末）对于一些二次根式，我们可以用数形结合的方法进行研究． 例如，可以看作平面直角坐标系中，动点与定点或之间的距离（如图）．      请参考上面的方法解决下列问题： (1)若将看作平面直角坐标系中，动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是　　　　　（写出一个即可）； (2)若，直接写出d的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据已知条件得到，由（1）可知：表示点与点的距离和点与点的距离之差，根据三角形任意两边之差小于第三边，得出当P、E、F三点共线时，取最大值，且最大值为的长，求出最大值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是或． （2）解：∵， ∴由（1）可知：表示点与点的距离和点与点的距离之差， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴当P、E、F三点共线时，取最大值，且最大值为的长．    ∴d的最大值为：． 第十五章 四边形 31．（23-24八年级下·北京西城·期末）图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x的值为（   ） A．135 B．120 C．112.5 D．112 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用等知识．根据六边形的内角和列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 故选：C． 32．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在中，，分别以B，C为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧相交于D，E，作直线交，于点F，G，连接，若，则的长为（ ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的尺规作图以及垂直平分线的性质以及勾股定理，掌握垂直平分线的性质，是解题的关键． 尺规作图，可得直线垂直平分，然后根据勾股定理算出，再通过角度计算可知，进而得到即可求出答案． 【详解】根据尺规作图，可得直线垂直平分， ∴，即得，，， ∴根据勾股定理可知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 33．（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，矩形中，对角线交于点，边的中点分别是点，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】从图2中可看出当时，此时的面积为0，说明点一定在上，选项中有点和在上，此时观察图2，发现时，接近3，所以点的位置是图1中的点．本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是找出当时，此时的面积为0，说明点一定在上这一信息． 【详解】解：，，四边形是矩形， 当时，点到达点，此时的面积为0，说明点一定在上， ∵观察图2，发现时，接近3， 从选项中可得只有点最符合实际情况， ∴点的位置可能是图1中的点． 故选：D． 34．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．2 B． C．1 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，设与交于点，与交于点，证明，则面积面积，由此可得四边形面积面积，据此解答即可． 【详解】解：设与交于点，与交于点， 四边形，是正方形， ，．，， ，， ． ． ， ． ， 正方形的面积为， ，即两个正方形重叠部分的面积是 故选：C． 35．（24-25八年级下·北京·阶段练习）四边形中，E、F两点在上，G点在上，各点位置如图所示．连接、后，根据图中标示的角与角度，下列关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，平角的定义，根据三角形内角和定理和平角的定义可得，即可判断A、B；根据四边形内角和定理和平角的定义可得，，进而得到，据此可判断C、D． 【详解】解：∵， ∴，故A、B说法错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意． 故选：D． 36．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）如图，在中，，，，分别是角平分线和中线，过点C作于点F，连接，则线段的长为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交于G，根据等腰三角形的判定和性质得到，，进而求出，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：延长交于G， ∵为的角平分线，， ∴是等腰三角形， ∴，， ∴， ∵为的中线， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 37．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．不确定 【答案】A 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A 38．（23-24八年级下·北京延庆·期末）学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？ 甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等． 上述四名同学的说法中，正确的是（   ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丁 【答案】D 【分析】本题考查正方形的判定定理，熟记这些判定定理才能够正确做出判断． 根据正方形的判定方法进行解答即可．正方形的判定定理有：对角线相等的菱形；对角线互相垂直的矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形． 【详解】解：甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，故说法正确； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，故说法正确； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直，还需要对角线互相平分，故说法错误； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等，故说法正确； 故选：D． 39．（23-24八年级下·北京顺义·期末）如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型． 根据平行四边形的判定定理，即可解决问题． 【详解】解：如图，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画11个， 故选：D． 40．（23-24八年级下·北京西城·期末）如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形中位线定理，掌握线段垂直平分线性质和三角形中位线定理是解题的关键．根据D是的中点，，可以得到，进而求出，再由三角形中位线定理，即可求出． 【详解】解： D是的中点，，， 是的垂直平分线， , ，， ， D，E分别是，的中点， 是的中位线， ． 故选：A． 41．（23-24八年级下·上海·期末）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个正多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数是6， 故答案为：6． 42．（2024·北京朝阳·二模）如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，作，，，垂足分别是D、E、F，证明四边形是正方形即可求出． 【详解】解：作，，，垂足分别是D、E、F， 由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 43．（24-25八年级下·北京·期中）如图是一个五边形，图形中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多边形的内角和外角的计算，根据五边形的内角和等于计算即可． 【详解】解：依题意， 解得： 故答案为：． 44．（23-24八年级下·北京昌平·期末）如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为 ． 【答案】10 【分析】由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 45．（23-24八年级下·北京石景山·期末）在平行四边形中，，，过点D作于点H，连接．若平分，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理．根据平行四边形的性质得出，，推出，进而得出，则，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 46．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在线段上，，，，，线段的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了中位线，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，根据点D、E分别是边、的中点得是的中位线，即可得，根据，，和勾股定理的逆定理得，根据E是边的中点得，即可得；掌握中位线，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 故答案为：2． 47．（23-24八年级下·北京怀柔·期末）如图，已知矩形的对角线，相交于点O，，点P是矩形对角线上一点，且，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；根据四边形是矩形，可得，再根据，求出的度数，再利用，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ∴为等边三角形， ， ∵， ； ∵， ． 故答案为：． 48．（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形和图形的折叠问题，勾股定理．根据矩形和折叠的性质可得，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：， 在中，， ∴． 故答案为： 49．（23-24八年级下·北京·期中）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形的面积为10，，则小正方形对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出的长是解题的关键． 由正方形的面积公式可得，在中，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ， ， ， ， ， 则小正方形的边长为2， ∴， 故答案为：． 50．（23-24八年级下·北京·期中）如图，平行四边形的对角线、交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出的长是解题关键． 直接利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 51．（24-25九年级上·北京密云·期中）如图，中，，O是中点，D在线段上（不与重合），点E是内部一点，． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)已知点F是的中点，连接．用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再根据题意得出即可得出结论； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的判定定理，证明出，推出，即可得出结论． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ． （2）延长到，使，连接， ，即垂直平分， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵点F是的中点即， ， ． 52．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在矩形中 ，相交于点O ，E 为的中点，连接并延长至点F， 使， 连接． 求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形先证明四边形是平行四边形，再由矩形对角线相等且互相平分得到，由此即可证明四边形是菱形． 【详解】证明：∵E 为的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 53．（24-25九年级上·北京·开学考试）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见详解 (2)13；8 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形OEFG为矩形是解题的关键． （1）根据菱形的性质得，，再由三角形中位线定理得，得四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）由三角形的中位线定理得，再由矩形的性质得，，，然后由勾股定理求出的长，即可得出的长． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）∵四边形是菱形， ∴， 由（1）得：，四边形是矩形， ∴，，， ∵E是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 54．（23-24九年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，是中点，连接分别过点，点作，，交点为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论； （2）过点作于点，解直角三角形求出 结果即可； 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形为菱形是解题的关键． 【详解】（1）解：证明：，， 四边形是平行四边形， 在中，，是中点， ， 四边形是菱形； （2）过点作于点，则，如图： ， ， ， 在中，， 根据勾股定理可得，， 在中，，，，， ， 是的中点， ， ． 55．（23-24八年级下·北京平谷·期末）如图，，延长到，使，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，与交于点．若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】对于（1），先结合平行四边形的性质及已知条件说明四边形是平行四边形，再说明，可得结论； 对于（2），先求出，再设，表示，然后根据勾股定理求出答案． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， 设，则， 在中，， 解得（舍负）， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法． 56．（23-24八年级下·北京东城·期末）已知：如图，在中，． 求作：以为对角线的矩形． 作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D； ②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形 为所求的矩形． (1)根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)； (2)完成以下证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据) 由作图可知，平分， 又∵， ∴ ( )．(填推理的依据) ∴． ∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，角平分线的尺规作图，等腰三角形三线合一： （1）根据题意作图即可； （2）根据矩形的判定定理和等腰三角形三线合一定理证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ∴四边形为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． 由作图可知，平分， 又∵， ∴ (三线合一定理)． ∴． ∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)． 57．（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，菱形的对角线交于点O，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，结合矩形的性质得，再由勾股定理得，即可求解． 本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形． （2）解：如图，连接 四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形 ∴ ∴在中，由勾股定理得：． 58．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，点E，F分别在上，，与对角线相交于点O． (1)求证：； (2)连接，若点G为的中点，连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理： （1）证明，即可求证； （2）根据三角形的中位线定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，     ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵点G为的中点，， ∴是的中位线 ∴． 59．（23-24八年级下·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，，，．若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称点为矩形的矩宽点． 例如：下图中的点为矩形的一个矩宽点． (1)在点，，中，矩形的矩宽点是______； (2)若点为矩形的矩宽点，求的值． 【答案】(1)和 (2)或 【分析】本题考查的知识点是矩形的性质，解题关键是熟练掌握矩形的性质． （1）根据矩形对边相等的性质计算相应的周长，判断是否符合矩宽点定义即可； （2）根据矩形对边相等的性质分四种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：结合矩形性质可得：， 点是矩形的矩宽点， 过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形的四个小矩形周长均， 点不是矩形的矩宽点， ， 点是矩形的矩宽点． 故答案为：和； （2）解：若为矩形的矩宽点，结合矩形性质得： 或或或， 解得或或， 为矩形内的点， 和不合题意，舍去， 的值为或． 60．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）根据平行四边形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，，然后根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：与的数量关系为：，理由如下： 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 第十六章 一元二次方程 61．（24-25九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．1 B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出，，即可求出a的值． 【详解】解：若方程是关于x的一元二次方程， 则， 解得， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 62．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴把代入， 得， 解得， 故选：C 63．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知是方程的两个实数根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，即可得到答案． 【详解】已知是方程的两个实数根， 其中， 则有， 故选：D． 64．（23-24九年级上·北京西城·期中）自电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达18亿元，若将增长率记作x，则方程可列为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．第一天为2，根据增长率为x得出第二天为，第三天为，根据三天累计为18，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 65．（24-25九年级上·北京·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 66．（24-25九年级上·北京海淀·期中）方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是，，， 故选：． 67．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，先由一元二次方程定义可得，再结合一元二次方程根的判别式与根的关系即可解决问题． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且； 故选：B． 68．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） … 0 1 2 … … 0 6 14 … A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．能使成立的x的值即为所求． 【详解】解：由表格知，当或时，成立，即该方程的根是或． 故选：D． 69．（24-25九年级上·北京朝阳·期中）方程的根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，移项，然后利用直接开平方法求解即可． 【详解】 解得． 故答案为：． 70．（24-25九年级上·北京·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，解题关键是直接代值．根据一元二次方程的解的定义直接代值求解即可． 【详解】解：将代入， 得，解得， 故答案为：． 71．（24-25九年级上·北京·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得出，计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得：， 故答案为：． 72．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，因为关于的一元二次方程有两个不等实数根，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 73．（24-25九年级上·北京·期中）小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如上面表格所示，设小明从2024年到2024年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，可列方程为 ． 观鸟记录年度总结 2024年：观测鸟类150种 2024年：观测鸟类 2024年：观测鸟类216种 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用；根据增长率问题的等量关系列方程即可． 【详解】解：设小明从2024年到2024年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x， 由题意得：， 故答案为：． 74．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查根与判别式的关系，一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于0．根据根与判别式的关系列式求解即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：10． 75．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用配方法解答即可． 【详解】解： 解得： 76．（24-25八年级下·北京·期中）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）将方程变形为，得到，直接开立方即可； （2）将方程变形为，再用直接开平方法解方程即可； （3）先把方程化为整式方程整理得，解得，经检验是原方程的解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ； （3）解： 解得：， 经检验是原方程的解． 77．（24-25九年级上·北京海淀·期中）2024年2月3日，中央一号文件《中共中央国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》正式发布，提出推进乡村全面振兴“路线图”．文件指出，推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某扶贫单位为了提高某乡村贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示），设． (1)用含x的代数式表示边的长； (2)若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意，设，则，即可作答． （2）根据矩形养鸡场，代入数值，进行求解即可. 此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，设，且的铁栅栏， ∴长为， 即 （2）解：由题意可知： 解得：， ∵当时，，，不合题意，舍去． 当时，，符合题意， 答：鸡场的长为． 78．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知方程， (1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根； (2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根的判别式和解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． （1）先根据根的判别式求出，再由判别式证明即可； （2）把代入方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）已知方程， 其中， ， 对任意实数m，方程总有两个实数根． （2）当时， 原式变为， 整理得， 则或， 解得． 79．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的根，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． （1）利用一元二次方程根的判别式求解即可． （2）先根据一元二次方程根的定义得到，再把展开得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：把代入方程得， 即， ∴原式 80．（24-25九年级上·北京东城·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及解方程的方法，是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式，结合题意即可求解； （2）根据m的范围确定m的取值，代入方程，因式分解即可求得方程的根． 【详解】（1）解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得； （2）解：由（1）得， 所以符合条件的最大整数为2， 即， 此时方程为， 分解因式得， 解得． 81．（24-25九年级上·北京·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查因式分解法，公式法求解一元二次方程，掌握因式分解法，求根公式的运用是解题的关键． （1）运用因式分解法计算即可求解； （2）运用求根公式计算即可求解． 【详解】（1）解：， 因式分解得，， ∴或， 解得，，； （2）解：， ∴，， ∴， ∴，． 82．（24-25九年级上·北京东城·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程只有一个实数根为负数，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求证即可； （2）利用公式法求得方程的两个根为，，根据题意可得，，据此即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴方程的两个根为，， ∵该方程只有一个实数根为负数， ∴，解得， 故答案为：． 83．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵方程， ，，， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根． （2）解：由求根公式，得． ，， ∵方程有一个根为负数， ． ∴． ∴的取值范围是． 84．（24-25八年级下·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义： 对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于的多项式．关于对称，求的值； (3)整式关于______对称． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，灵活运用配方法以及新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）先对多项式进行配方，再根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可解答； （3）先对多项式进行配方，再根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：，则多项式关于对称． 故答案为：3． （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∵关于的多项式，关于对称， ∴， ∴． （3）解： ∴关于对称． 故答案为：． 85．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知：关于的一元二次方程 (1)求证；该方程总有两个实数根； (2)请你给出一个整数的值，使得此时方程的解均为整数，并求出此时方程的解． 【答案】(1)证明见解析 (2)，， 【分析】（）求出的值，进而即可求证； （）当时，方程为，方程的解均为整数，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：当时，方程为， 解得，． 86．（24-25七年级上·北京·期中）某商场将进货价为元的台灯以元的销售价出售，平均每月能销售出个．市场调研表明，当销售价每上涨元时，其销售量将减少个．若设每个台灯的销售价上涨元． (1)试用的代数式填空： ①涨价后，每个台灯的销售价格为　　元； ②涨价后每个台灯的利润为　　元； ③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为　　个； (2)商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到元，有如下的方案，销售经理甲说，“在原销售价每个元的基础上再上涨元，可以完成任务．”销售经理乙说，“不用涨那么多，在原售价每个元的基础上再上涨元就可以了．”试判断甲和乙的说法是否正确，并说明说明理由． 【答案】(1)①；②；③ (2)甲、乙的说法都是正确的，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）①根据每个台灯的销售价上涨元，列出代数式即可； ②根据某商场将进货价为元的台灯以元的销售价出售，每个台灯的销售价上涨元，列出代数式即可； ③根据当销售价每上涨元时，其销售量将减少个，列出代数式即可； （2）根据该台灯的销售利润平均每月达到元，列出一元二次方程，解方程，即可得出结论． 【详解】（1）解：①涨价后，每个台灯的销售价格为元， 故答案为：； ②涨价后每个台灯的利润为元，即元， 故答案为：； ③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为个， 故答案为：； （2）解：甲、乙的说法都是正确的，理由如下： 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 即商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到元，在原销售价每个元的基础上再上涨元或元， ∴甲、乙的说法都是正确的． 87．（24-25九年级上·北京海淀·期中）学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． (1)长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米； (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 【答案】(1)10； (2)能，1米． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，找出不等关系式和等量关系式是解题的关键． （1）设与墙垂直的一面为米，另一面则为米，然后利用这堵墙的长度为不超过米，列出不等式求解即可； （2）设小路的宽为a米，两边的长分别为米，米，列出方程求解即可求解． 【详解】（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米， 根据题意得：． 解得：， 答：长方形车棚与墙垂直的一面至少米； （2）解：设小路的宽为a米， 根据题意得，． 整理得；， 解得：（舍去），． 答：小路的宽为1米． 88．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）我校在诚正楼南面准备建一个动物家园（养小鸭和小兔），购买了15m的木栅栏，准备用这些木栅栏靠墙（墙长7m）围建一个中间带有木栅栏的矩形动物家园（如图所示）． (1)若要建的动物家园面积为，求动物家园的长和宽； (2)由于动物增加，需要增加动物家园的面积，如不增加木栅栏的长，能否使得动物家园的面积达到吗？请说明理由． 【答案】(1)鸡场的长为，宽为 (2)不能理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设，则，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，分别代入中，取使得小于等于7的值即可得出结论； （2）不能，理由如下，设，则，同（1）可得出关于的一元二次方程，由根的判别式△，即可得出结论． 【详解】（1）解：设，则， 依题意，得：， 解得：，． 当时，，符合题意， 当时，，，不合题意，舍去． 答：鸡场的长为，宽为． （2）不能，理由如下： 设，则， 依题意，得：， 整理，得：． △， 该方程无实数根，即该扶贫单位不能建成一个的矩形养鸡场． 第十七章 方差与频数分布 89．（2024·北京朝阳·一模）图是国家统计局公布的年居民消费价格月度涨跌幅度，月度同比和月度环比的平均数分别为，，方差分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平均数，方差，利用平均数和方差公式计算即可求解，掌握平均数和方差计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵同比的数据为， ∴， ， ∵环比的数据为， ∴， ∴， ∴， 故选：． 90．（23-24八年级下·北京顺义·期末）一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都减去200得到一组新的数据，这组新数据的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平均数和方差的计算，熟练掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．将这组数据的每个数都减去200得到一组新的数据为，然后利用平均数和方差的计算公式，分别计算化简即可求解． 【详解】解： 一组数据的平均数为，方差为， ，， 将这组数据的每个数都减去200得到一组新的数据为， 这组新数据的平均数为： 方差为： 这组新数据的平均数和方差分别为，． 故选：B． 91．（24-25九年级上·北京·开学考试）在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式： ，并由公式得出以下信息：①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是4，⑤样本的方差是0.5，那么上述信息中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据方差的概念，得到这组数据为：3，3，4，6，再根据极差，中位数，众数，平均数的概念，得到其大小，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， ∴样本的容量是4，故①说法正确； 这组数据为：3，3，4，6， 则中位数为：，故②说法错误； 样本的众数为：3，故③说法正确； 样本平均数为：，故④说法正确； 方差为：，故⑤说法错误； 则上述信息正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了方差，中位数，众数，算术平均数以及总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握相关概念是解答本题的关键． 92．（23-24八年级下·北京平谷·期末）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙两家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家民宿体验过的游客参与调查，得到了这两家民宿的“综合满意度”评分．现从这两家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，绘制出折线图如下： 设甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了方差的意义，方差是衡量一组数据的波动情况，掌握数据波动程度越大，方差越大成为解题的关键． 根据甲、乙两单位“综合满意度”评分的折线图的波动情况即可判断方差大小． 【详解】解：由折线统计图可知，甲的数据波动比乙的数据波动大，即． 故答案为：． 93．（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）某中学举行了2024年奥运会相关知识的竞赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩，并制作成图表如下． 分数段 频数 频率 60 0.15 m 0.45 120 n 40 0.1 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)表中的数n＝ ； (2)请在图中补全频数分布直方图； (3)若绘制扇形统计图，分数段所对应扇形的圆心角的度数是 ； (4)全校共有2000名学生参加比赛，估计该校成绩不低于80分的学生有多少人？ 【答案】(1) (2)图见解析 (3) (4)估计该校成绩不低于80分的学生有800人 【分析】本题考查频数（率）分布直方图，用样本估计总体，频数（率）分布表，扇形统计图，解答本题的关键要结合生活实际，绘制频数分布直方图或从统计图中获取有用的信息， （1）根据的频数及其频率求得总人数，进而计算可得n的值； （2）求出m.的值，可以补全直方图； （3）用乘以样本中分数段的频率即可得； （4）总人数乘以样本中成绩范围内的学生人数所占比例. 【详解】（1）解：本次调查的总人数为人， ， 故答案为：0.3； （2）解：， 补全频数分布直方图如下： （3）解：若绘制扇形统计图，分数段所对应扇形的圆心角的度数是， 故答案为：； （4）解：（人）， 答：估计该校成绩不低于80分的学生有800人． 94．（24-25九年级上·北京·阶段练习）某物流企业为了提高配送效率和客户满意度，对公司业务流程进行了细致的分析．公司随机抽取了件某日发往市的快递包裹，称重并记录每件包裹的重量（单位：，精确到）．下面给出了部分信息． a．下图为每件包裹重量的频数分布直方图如下（数据分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组，第8组，第9组，第组，第组）： b．在这一组的数据如下：      c．这件包裹重量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 包裹重量（单位：） 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)写出的值； (3)下面五个结论中，①的值一定在这一组；②的值可能在这一组；③的值可能在这一组；④的值不可能在这一组；⑤的值不可能在这一组．所有正确结论的序号是________； (4)某日此快递公司将要发往A市的快递包裹统一打包装箱，其中一个集装箱中的包裹总重量为，请估计这个集装箱中共有多少件包裹？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)③⑤ (4)件 【分析】（1）解：由题意知，第3组的人数为（人），然后补图即可； （2）由题意知， ，，的包裹数为（件），则中位数在 这一组，然后根据中位数是第个数的平均数求解作答即可； （3）由题意知，每一组共个重量值，然后根据众数的定义判断作答即可； （4）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第3组的人数为（人）， ∴补全统计图如下； （2）解：由题意知，，，的包裹数为（件）， ∴中位数在这一组， 将这一组的数从小到大依次排序为：， ∴， ∴的值为； （3）解：由题意知，这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； ∵每一组共个重量值， ∴的值可能在这一组，可能性较大，①说法太绝对，错误，故不符合要求； 的值不可能在这一组，频数太小，②错误，故不符合要求； 的值可能在这一组，可能性较大，③正确，故符合要求； 的值可能在这一组，④错误，故不符合要求； 的值不可能在这一组，⑤正确，故符合要求； 故答案为：③⑤． （4）解：由题意知，（件）， ∴估计这个集装箱中共有件包裹． 【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识．熟练掌握条形统计图，中位数，众数，平均数是解题的关键． 95．（24-25九年级上·北京·期中）为了加强学校体育工作，促使学生积极参加体育锻炼，促进学生身心健康发展，教育部和国家体育总局颁发了《学生体质健康标准》，某校体育老师为准确掌握初中学生体质健康变化情况，对同一届学生在初一学年和初二学年的体质健康测试成绩进行了统计，并从中随机抽取了20名学生，对他们的两次测试成绩（百分时制）进行整理、描述和分析． 下面给出了部分信息： .这20名学生初一测试、初二测试成绩得分统计如图： .这20名学生初一测试成绩、初二测试成绩的平均数、中位数、方差如下表： 平均数 中位数 方差 初一测试 72.0 71.5 99.7 初二测试 86.8 88.4 .按照初二测试成绩把学生成绩分为三个等级，若初二测试的成绩为，被抽取的20名学生中有8人是等级，有7人是等级，有5人是等级，其中等级所有学生的成绩是：80，82，83，85，87，88，88． 根据以上信息，回答下列问题： (1)小涵同学初一测试的成绩为80分，初二测试的成绩为95分，请在图中用“○”圈出小涵对应的点； (2)写出表中的值，_____； (3)全年级学生共760人，估计能获得“等级”的学生有_____人； (4)若“体质健康增长率”，请在图中用“△”标记出8名获得等级的学生中体质健康增长率最高的学生所对应的点． 【答案】(1)见详解 (2)87.5 (3)304人 (4)见详解 【分析】本题主要考查了统计图、中位数、利用样本估计总体等知识，正确理解题意，由题意获取所需信息是解题关键． （1）分析统计图，从中标记出小涵对应的点即可； （2）结合题意将初二测试成绩按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的定义求解即可； （3）根据“学生总人数等级学生占比”，即可求得答案； （4）根据体质健康增长率的定义，可知在统计图中靠近左上角的点符合题意，即可获得答案． 【详解】（1）解：将小涵同学初一测试的成绩和初二测试的成绩在图中用“○”圈出对应的点，如下图所示； （2）初二测试的成绩，被抽取的20名学生中有8人是等级，有7人是等级，有5人是等级， 其中等级所有学生的成绩是：80，82，83，85，87，88，88， 将初二测试成绩按照从小到大的顺序排列，排在10和11位的是87，88， 则初二测试成绩的中位数． 故答案为：87.5； （3）（人）， 即全年级学生共760人，估计能获得“等级”的学生有304人． 故答案为：304； （4）根据“体质健康增长率”， 则标记8名获得等级的学生中体质健康增长率最高的学生所对应的点，如下图所示： ． 96．（24-25九年级上·北京顺义·期中）某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）： 整理、分析过程如下，请补充完整． (1)按如下分数段整理、描述这两组数据：    成绩x 学生 甲 0 5 0 0 乙 1 1 4 2 1 1 (2)两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 极差 平均数 中位数 众数 方差 甲 14 83.7 13.21 乙 24 83.7 82 81 46.21 (3)若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选______（填“甲”或“乙），理由为______． 【答案】(1)1，4 (2)84.5，86 (3)甲，理由见解析 【分析】本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． （1）依据统计图，即可得到甲组数据中落在各分数段的次数； （2）依据中位数和众数的定义进行计算即可； （3）依据平均数、中位数、方差以及众数的角度分析，即可得到哪个学生的水平较高． 【详解】（1）解：由图可得，甲组数据中落在分数段的有1个，落在分数段的有4个，, 故答案为：1，4； （2）解：甲组数据排序后，最中间的两个数据为：84和85，故中位数， 甲组数据中出现次数最多的数据为86，故众数为86； 故答案为： 84.5，86； （3）解：甲，理由：两人的平均数相同且甲的方差小于乙，说明甲成绩稳定；两人的平均数相同且甲的极差小于乙，说明甲成绩变化范围小． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题必刷易错96题（46个考点专练） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 变量和常量 · 题型二 函数的基本概念 · 题型三 函数的表示法 · 题型四 平面直角坐标系 · 题型五 已知点所在象限求参数 · 题型六 坐标系中描点 · 题型七 点坐标规律探索 · 题型八 中点坐标 · 题型九 函数图象画法 · 题型十 正比例函数的定义 · 题型十一 一次函数的定义 · 题型十二 一次函数的图象 · 题型十三 一次函数的性质 · 题型十四 已知函数经过的象限求参数 · 题型十五 一次函数图象与坐标轴的交点问题 · 题型十六 一次函数图象平移问题 · 题型十七 一次函数的对称性 · 题型十八 一次函数图象旋转问题 · 题型十九 一次函数的增减性 · 题型二十 比较一次函数值的大小 · 题型二十一 一次函数的规律探究问题 · 题型二十二 求一次函数解析式 · 题型二十三 一次函数与方程 · 题型二十四 一次函数与不等式 · 题型二十五 一次函数的实际应用 · 题型二十六 多边形的相关概念 · 题型二十七 多边形的内角和与外角和 · 题型二十八 平行四边形的判定 · 题型二十九 平行四边形的性质 · 题型三十 矩形的判定 · 题型三十一 矩形的性质 · 题型三十二 菱形的判定 · 题型三十三 菱形的性质 · 题型三十四 正方形的判定 · 题型三十五 正方形的性质 · 题型三十六 平行四边形的折叠问题 · 题型三十七 中点四边形 · 题型三十八 三角形的中位线 · 题型三十九 中心对称与中心对称图形 · 题型四十 一元二次方程的相关概念 · 题型四十一 一元二次方程的解法 · 题型四十二 配方法的应用 · 题型四十三 换元法 · 题型四十四 根与系数的关系 · 题型四十五 一元二次方程的实际应用 · 题型四十六 方差与频数分布 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 第十四章 一次函数 1．（24-25八年级下·北京·期中）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·北京·期中）平面直角坐标系中，对于点，若，均为负整数，则称点为“负整点”，特别地，当的值为整数时，称“负整点”为“超整点”．已知点，则下列说法正确的有（   ） ①当时，点为“负整点” ②若点为“负整点”，则点的个数有限 ③若点为“超整点”，则点的个数为1个 ④若点为“超整点”，则点到两坐标轴的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·北京通州·期中）下面三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，在直径为的半圆O上有一动点P，点P从点A出发，按顺时针方向绕半圆匀速运动到点B，再以相同的速度沿着直径回到点A停止，线段的长度y与运动时间x； ③如图3，在平行四边形中，点P从点D出发，沿在平行四边形的边上匀速运动至点A．点P的运动时间x与面积y． 其中，变量y与x之间的函数关系大致符合所给函数图象的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（24-25八年级下·北京通州·期中）已知点和点是一次函数图象上的两点，则a与b的大小关系是（   ） A． B． C． D．以上都不正确 6．（24-25八年级下·北京·期中）已知点到轴的距离是到轴的距离的2倍，则的值是（   ） A．8 B．17 C．17或 D．8或2 7．（23-24八年级下·北京丰台·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点A第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…．依此规律跳动下去，点的坐标（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·北京·阶段练习）若直线与直线的交点坐标为，则解为 的方程组是（  ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若点到y轴的距离是2，则a的值是 ． 10．（24-25八年级下·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，过轴上的点作垂直于轴，若，以为圆心，为半径作圆弧交轴正半轴于点，则点的坐标为 ． 11．（24-25七年级上·北京大兴·期中）物理课上老师带领学生探究气体压强与气体体积的关系，他们在气缸内充入了一定量的气体，当保证温度不变时，记录气缸内的气体压强与气体体积（），数据如下： 气缸内的气体压强 240 200 160 120 96 80 气缸内气体体积（m3） 1 则用式子表示与之间的关系是 ． 12．（24-25七年级上·北京西城·期中）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：）与出水速度（单位：）之间的关系如下表：用式子表示与的关系为 ． 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 2 5 … 13．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点坐标，点坐标，线段上的一点到两坐标轴距离相等．则点的坐标为 ． 14．（24-25九年级上·北京·开学考试）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是 ． 15．（23-24八年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则 ． 16．（24-25九年级上·北京·开学考试）七个边长为2的正方形按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，直线l经过点且将这七个正方形的面积分成相等的两部分，则直线l与x轴的交点B的横坐标为 ． 17．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）定义：对于给定的一次函数（为常数，且），把形如的函数称为一次函数的“衍生函数”，已知一次函数，若点在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则的值是 ． 18．（23-24八年级下·广东广州·期末）小红和小明从甲地出发，骑自行车沿同一条路到距甲地24千米的乙地参加活动．如图，折线和线段分别表示小红和小明离甲地的距离（单位：）与时间（单位：）之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，当小明到达乙地时，小红距乙地 千米． 19．（24-25九年级上·北京密云·期中）某温室在的温度范围内培育一种植物幼苗，该幼苗的生长速度受温度影响．为了提高幼苗的生长速度，研究人员尝试使用一种新型肥料．实验发现，肥料的用量也会显著影响幼苗的生长速度．以下是部分实验数据： 设肥料用量为x克，温度下的幼苗每天生长速度为厘米/天，25℃温度下的幼苗每天生长速度为厘米/天 x 0 2 3 4 6 7 8 10 1.0 1.5 1.6 1.8 1.7 1.6 1.2 1.1 1.1 1.6 1.7 1.9 1.6 1.4 1.3 1.2 (1)在不使用肥料的情况下，该幼苗在时的生长速度是______厘米/天； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在下，使用约______克的肥料时，幼苗的生长速度最快（结果保留一位小数）； ②若希望幼苗的生长速度在和下都不低于1.5厘米/天，肥料的用量最少为______克，最多约为______克．（结果保留一位小数）． 20．（24-25八年级下·北京·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)请以x轴为对称轴，画出与对称的，同时写出点的坐标_______． (2)如果以点A、B、D为顶点的三角形与全等，那么点D的坐标是_______． 21．（2024·北京·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． 22．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求一次函数的解析式； (2)该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为______． 23．（23-24八年级下·北京怀柔·期末）某校要采购一款水杯，了解到有A，B两家超市可供选择，此款水杯在A，B两家超市售价均为50元，为了促销两家超市给出了不同的优惠方案： A超市：打8折出售； B超市：20个以内（含20个）不打折，超过20个后，超过的部分打7折． 该校计划购买水杯x个，设去A超市购买应付元，去B超市购买应付元． (1)分别求出，关于x的函数关系式； (2)若该校只在一个超市购买，怎样买更划算． 24．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线相交于点．    (1)求点B的坐标． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在一点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（23-24八年级下·北京东城·期末）数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力与弹簧长度之间的数据，如表所示： 弹簧受到的拉力(单位：) 0 5 10 15 20 25 弹簧的长度 (单位：) 6 8 10 12 14 16 (1)在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线； (2)结合表中数据，求出弹簧长度关于弹簧受到的拉力的函数表达式； (3)若弹簧的长度为，求此时弹簧受到的拉力的值． 26．（23-24八年级下·北京顺义·期末）已知一次函数的图象经过点，，求这个一次函数的表达式． 27．（23-24八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，函数()与函数的图象交点为，与 y轴交于点A． (1)求k的值； (2)求的面积． 28．（23-24八年级下·北京延庆·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 29．（23-24八年级下·北京石景山·期末）小明和弟弟小阳分别从家和科技馆同时出发，沿同一条路相向而行．小明开始以一定的速度跑步前往，10分钟后改为步行，到达科技馆恰好用了30分钟．小阳骑自行车以每分钟250米的速度直接回家，两人离家的路程y（单位：米）与各自离开出发地的时间x（单位：分）之间的函数图像如图所示． (1)家与科技馆之间的路程为______米；小明步行的速度为每分钟______米； (2)求小阳离家的路程y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当离开出发地的时间为6分钟时，求小明和小阳之间的路程． 30．（23-24八年级下·北京西城·期末）对于一些二次根式，我们可以用数形结合的方法进行研究． 例如，可以看作平面直角坐标系中，动点与定点或之间的距离（如图）．      请参考上面的方法解决下列问题： (1)若将看作平面直角坐标系中，动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是　　　　　（写出一个即可）； (2)若，直接写出d的最大值． 第十五章 四边形 31．（23-24八年级下·北京西城·期末）图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x的值为（   ） A．135 B．120 C．112.5 D．112 32．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，在中，，分别以B，C为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧相交于D，E，作直线交，于点F，G，连接，若，则的长为（ ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 33．（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，矩形中，对角线交于点，边的中点分别是点，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 34．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．2 B． C．1 D．无法确定 35．（24-25八年级下·北京·阶段练习）四边形中，E、F两点在上，G点在上，各点位置如图所示．连接、后，根据图中标示的角与角度，下列关系判断正确的是（    ） A． B． C． D． 36．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）如图，在中，，，，分别是角平分线和中线，过点C作于点F，连接，则线段的长为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．不确定 38．（23-24八年级下·北京延庆·期末）学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？ 甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等． 上述四名同学的说法中，正确的是（   ） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丁 39．（23-24八年级下·北京顺义·期末）如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 40．（23-24八年级下·北京西城·期末）如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 41．（23-24八年级下·上海·期末）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 42．（2024·北京朝阳·二模）如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为 ． 43．（24-25八年级下·北京·期中）如图是一个五边形，图形中的值为 ． 44．（23-24八年级下·北京昌平·期末）如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为 ． 45．（23-24八年级下·北京石景山·期末）在平行四边形中，，，过点D作于点H，连接．若平分，则的长是 ． 46．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在中，点D、E分别是边、的中点，点F在线段上，，，，，线段的长度是 ． 47．（23-24八年级下·北京怀柔·期末）如图，已知矩形的对角线，相交于点O，，点P是矩形对角线上一点，且，则 °． 48．（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，则的长为 ． 49．（23-24八年级下·北京·期中）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形的面积为10，，则小正方形对角线的长为 ． 50．（23-24八年级下·北京·期中）如图，平行四边形的对角线、交于点，若，，，则的长为 ． 51．（24-25九年级上·北京密云·期中）如图，中，，O是中点，D在线段上（不与重合），点E是内部一点，． (1)求的大小（用含的式子表示）； (2)已知点F是的中点，连接．用等式表示与的数量关系，并证明． 52．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在矩形中 ，相交于点O ，E 为的中点，连接并延长至点F， 使， 连接． 求证：四边形是菱形． 53．（24-25九年级上·北京·开学考试）如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，点F，G在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求和的长． 54．（23-24九年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，是中点，连接分别过点，点作，，交点为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 55．（23-24八年级下·北京平谷·期末）如图，，延长到，使，连接，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，与交于点．若，，求的长． 56．（23-24八年级下·北京东城·期末）已知：如图，在中，． 求作：以为对角线的矩形． 作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D； ②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形 为所求的矩形． (1)根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)； (2)完成以下证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据) 由作图可知，平分， 又∵， ∴ ( )．(填推理的依据) ∴． ∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据) 57．（23-24八年级下·北京丰台·期末）如图，菱形的对角线交于点O，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 58．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在中，点E，F分别在上，，与对角线相交于点O． (1)求证：； (2)连接，若点G为的中点，连接．若，求的长． 59．（23-24八年级下·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，，，．若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称点为矩形的矩宽点． 例如：下图中的点为矩形的一个矩宽点． (1)在点，，中，矩形的矩宽点是______； (2)若点为矩形的矩宽点，求的值． 60．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，已知，相交于点O，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点F，连接，判断与的数量关系，并说明理由． 第十六章 一元二次方程 61．（24-25九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．1 B． C． D．不存在 62．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（   ） A．1 B． C． D． 63．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知是方程的两个实数根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 64．（23-24九年级上·北京西城·期中）自电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达18亿元，若将增长率记作x，则方程可列为（   ） A． B． C． D． 65．（24-25九年级上·北京·期中）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 66．（24-25九年级上·北京海淀·期中）方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 67．（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 68．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） … 0 1 2 … … 0 6 14 … A． B． C．或 D．或 69．（24-25九年级上·北京朝阳·期中）方程的根为 ． 70．（24-25九年级上·北京·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ． 71．（24-25九年级上·北京·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为 ． 72．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，则k的取值范围为 ． 73．（24-25九年级上·北京·期中）小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如上面表格所示，设小明从2024年到2024年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，可列方程为 ． 观鸟记录年度总结 2024年：观测鸟类150种 2024年：观测鸟类 2024年：观测鸟类216种 74．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么 ． 75．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）解方程：． 76．（24-25八年级下·北京·期中）解方程 (1) (2) (3) 77．（24-25九年级上·北京海淀·期中）2024年2月3日，中央一号文件《中共中央国务院关于学习运用“千村示范、万村整治”工程经验有力有效推进乡村全面振兴的意见》正式发布，提出推进乡村全面振兴“路线图”．文件指出，推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某扶贫单位为了提高某乡村贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示），设． (1)用含x的代数式表示边的长； (2)若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长． 78．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知方程， (1)求证：对任意实数m，方程总有两个实数根； (2)任给一个m值，使得方程有两个不同的正实数根，并求出方程的两根． 79．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的根，求代数式的值． 80．（24-25九年级上·北京东城·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 81．（24-25九年级上·北京·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 82．（24-25九年级上·北京东城·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程只有一个实数根为负数，求m的取值范围． 83．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求的取值范围． 84．（24-25八年级下·北京·期中）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义： 对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于的多项式．关于对称，求的值； (3)整式关于______对称． 85．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知：关于的一元二次方程 (1)求证；该方程总有两个实数根； (2)请你给出一个整数的值，使得此时方程的解均为整数，并求出此时方程的解． 86．（24-25七年级上·北京·期中）某商场将进货价为元的台灯以元的销售价出售，平均每月能销售出个．市场调研表明，当销售价每上涨元时，其销售量将减少个．若设每个台灯的销售价上涨元． (1)试用的代数式填空： ①涨价后，每个台灯的销售价格为　　元； ②涨价后每个台灯的利润为　　元； ③涨价后商场的台灯的平均每月的销售量为　　个； (2)商场要想使该台灯的销售利润平均每月达到元，有如下的方案，销售经理甲说，“在原销售价每个元的基础上再上涨元，可以完成任务．”销售经理乙说，“不用涨那么多，在原售价每个元的基础上再上涨元就可以了．”试判断甲和乙的说法是否正确，并说明说明理由． 87．（24-25九年级上·北京海淀·期中）学校计划利用一片空地建一个长方形自行车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米．在与墙平行的一面开一个2米宽的门，已知现有的木板材料可修建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． (1)长方形车棚与墙垂直的一面至少为__________米； (2)如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到54平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 88．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）我校在诚正楼南面准备建一个动物家园（养小鸭和小兔），购买了15m的木栅栏，准备用这些木栅栏靠墙（墙长7m）围建一个中间带有木栅栏的矩形动物家园（如图所示）． (1)若要建的动物家园面积为，求动物家园的长和宽； (2)由于动物增加，需要增加动物家园的面积，如不增加木栅栏的长，能否使得动物家园的面积达到吗？请说明理由． 第十七章 方差与频数分布 89．（2024·北京朝阳·一模）图是国家统计局公布的年居民消费价格月度涨跌幅度，月度同比和月度环比的平均数分别为，，方差分别为，，则（   ） A． B． C． D． 90．（23-24八年级下·北京顺义·期末）一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都减去200得到一组新的数据，这组新数据的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 91．（24-25九年级上·北京·开学考试）在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式： ，并由公式得出以下信息：①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是4，⑤样本的方差是0.5，那么上述信息中正确的是 ． 92．（23-24八年级下·北京平谷·期末）某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙两家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这两家民宿体验过的游客参与调查，得到了这两家民宿的“综合满意度”评分．现从这两家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理，绘制出折线图如下： 设甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，，则 ．（填“”或“”） 93．（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）某中学举行了2024年奥运会相关知识的竞赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩，并制作成图表如下． 分数段 频数 频率 60 0.15 m 0.45 120 n 40 0.1 请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)表中的数n＝ ； (2)请在图中补全频数分布直方图； (3)若绘制扇形统计图，分数段所对应扇形的圆心角的度数是 ； (4)全校共有2000名学生参加比赛，估计该校成绩不低于80分的学生有多少人？ 94．（24-25九年级上·北京·阶段练习）某物流企业为了提高配送效率和客户满意度，对公司业务流程进行了细致的分析．公司随机抽取了件某日发往市的快递包裹，称重并记录每件包裹的重量（单位：，精确到）．下面给出了部分信息． a．下图为每件包裹重量的频数分布直方图如下（数据分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组，第8组，第9组，第组，第组）： b．在这一组的数据如下：      c．这件包裹重量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 包裹重量（单位：） 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)写出的值； (3)下面五个结论中，①的值一定在这一组；②的值可能在这一组；③的值可能在这一组；④的值不可能在这一组；⑤的值不可能在这一组．所有正确结论的序号是________； (4)某日此快递公司将要发往A市的快递包裹统一打包装箱，其中一个集装箱中的包裹总重量为，请估计这个集装箱中共有多少件包裹？ 95．（24-25九年级上·北京·期中）为了加强学校体育工作，促使学生积极参加体育锻炼，促进学生身心健康发展，教育部和国家体育总局颁发了《学生体质健康标准》，某校体育老师为准确掌握初中学生体质健康变化情况，对同一届学生在初一学年和初二学年的体质健康测试成绩进行了统计，并从中随机抽取了20名学生，对他们的两次测试成绩（百分时制）进行整理、描述和分析． 下面给出了部分信息： .这20名学生初一测试、初二测试成绩得分统计如图： .这20名学生初一测试成绩、初二测试成绩的平均数、中位数、方差如下表： 平均数 中位数 方差 初一测试 72.0 71.5 99.7 初二测试 86.8 88.4 .按照初二测试成绩把学生成绩分为三个等级，若初二测试的成绩为，被抽取的20名学生中有8人是等级，有7人是等级，有5人是等级，其中等级所有学生的成绩是：80，82，83，85，87，88，88． 根据以上信息，回答下列问题： (1)小涵同学初一测试的成绩为80分，初二测试的成绩为95分，请在图中用“○”圈出小涵对应的点； (2)写出表中的值，_____； (3)全年级学生共760人，估计能获得“等级”的学生有_____人； (4)若“体质健康增长率”，请在图中用“△”标记出8名获得等级的学生中体质健康增长率最高的学生所对应的点． 96．（24-25九年级上·北京顺义·期中）某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）： 整理、分析过程如下，请补充完整． (1)按如下分数段整理、描述这两组数据：    成绩x 学生 甲 0 5 0 0 乙 1 1 4 2 1 1 (2)两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 极差 平均数 中位数 众数 方差 甲 14 83.7 13.21 乙 24 83.7 82 81 46.21 (3)若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选______（填“甲”或“乙），理由为______． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$