专题6.3 反比例函数与几何综合（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题6.3 反比例函数与几何综合 · 典例分析 【典例1】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等边相交． （1）如图1，当反比例函数的图象经过的顶点A时，若，求反比例函数的表达式； （2）如图1，若点M是第（1）小题反比例函数图象上的一点，且满足的面积与的面积相等，求点M的坐标； （3）如图2，反比例函数的图象分别交的边于C，D两点，连接并延长交x轴于点E，连接，当时，求的值． 【思路点拨】 （1）过点A作于点F，根据等边三角形的性质可得，再结合勾股定理可得点A的坐标为，即可求解； （2）分两种情况，当点B，M在的同侧时；当点B，M在的两侧时，即可求解； （3）过点C作轴于点P，过点D作轴于点Q，设，再求出点C的坐标为，点D的坐标为，然后根据点C，D均在反比例函数解析式上，可得点D的坐标为，从而得到，再求出直线的解析式，可得点E的坐标为， 从而得到，即可求解． 【解题过程】 （1）解：过点A作于点F， ∵是等边三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴反比例函数表达式为：； （2）解：当点B，M在的同侧时，如图，连接，分别过点B，M作，垂足分别为点K，H，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， ∵， ∴点B的坐标为， 把点代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得： 解得：（舍去）或， ∴点M的坐标为； 当点B，M在的两侧时，如图，分别过点M，A作轴，轴，垂足分别为L，N，则，， 设点M的坐标为，则， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （3）解：如图，过点C作轴于点P，过点D作轴于点Q，设， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点D的坐标为， ∵点C，D均在反比例函数解析式上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点D的坐标为， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， 即， ∴ ∴． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）已知点，，反比例函数经过点，点在线段上，过点作直线与轴平行，交反比例函数图像于点，再分别过点和点作轴垂线，所形成的矩形的面积的最大值是（    ） A． B． C．4 D．5 2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 4．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，直线与双曲线交于两点，连接，轴于点轴于点；有以下结论：①；②；③若，则；④时，，其中结论正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④ 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，反比例函数的图象与直线交于点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，在平面直角坐标系内存在点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是 ． 6．（2023·上海长宁·三模）如图，的顶点B，C分别落在反比例函数和的图象上，连结，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的图象上，与交于点．已知的面积为，，则的值为 ． 7．（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点．为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 8．（23-24九年级下·山东济宁·自主招生）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作直线的垂线，垂足为点，再过点作交的图象于点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，正方形的顶点、在反比例函数的图象上，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上．求点，的坐标． 10．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点和，直尺的宽度为． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）点在反比例函数的图像上，点在坐标轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 11．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上． （1）求，的值； （2）若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标． 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点在第四象限，且轴于点A，轴于点，一次函数的图象分别交轴、轴于点，点，且，． （1）求反比例函数的表达式 （2）请写出当取何值时，一次函数的值不大于反比例函数的值？ （3）点是反比例函数图象上一个动点，连接，，并把沿翻折得到四边形，求出使四边形为菱形时点的坐标． 13．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，一次函数与坐标轴分别交于点A、点B，且与反比例函数图象交于点、点： （1）求一次函数和反比例函数的解析式： （2）如图2，点P为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点C的右边，当的面积为6时，y轴上有一点Q，若有最大值时，求出这个最大值： （3）如图3，将沿着射线的方向平移个单位，点B平移后的对应点为，y轴上有一点E，平面中有一点F，当以点C、、E、F为顶点的四边形是以为边的菱形时，直接写出点F的坐标． 14．（23-24八年级下·四川内江·期末）如图1，已知双曲线经过的、两点，且点，，．    （1）求双曲线和直线对应的函数关系式； （2）如图2，点在双曲线上，点Q在y轴上，若以点、、、为顶点的四边是平行四边形，请直接写出满足要求的所有点的坐标； （3）如图3，以线段为对角线作正方形，点是边（不含点、）上一个动点，点是的中点，，交于点．当在上运动时，的度数是否会变化？若会的话，请给出你的证明过程．若不是的话，只要给出结论． 15．（23-24九年级下·四川达州·开学考试）已知点，都在反比例函数的图象上． （1）求，的值； （2）如图②，点为反比例函数第三象限上一点， ①当面积最小时，求点的坐标； ②若点和点关于原点对称，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由． 16．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求此反比例函数的表达式： （2）在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． （3）为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且， （1）求反比例函数解析式及C点的坐标； （2）过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正方形的边交于点，与边交于点D，一次函数的图象经过点D，与边交于点F． （1）求点F的坐标： （2）连接，探究与的数量关系，并证明； （3）在x轴上找两点M，N（M在N的右侧），使，且使四边形的周长最小，则点M的坐标为 ，四边形的周长最小为 ． 19．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图1，正方形中，，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点． （1）求证：； （2）求反比例函数的表达式及点的坐标； （3）如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 20．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点， （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，点在反比例函数的图象上且在点的右侧，过点作轴于点，连接、，交于点，若点是的中点，求的面积； （3）点在反比例函数的图象上，点坐标为，为整数，若是等边三角形，求的值．（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．） 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.3 反比例函数与几何综合 · 典例分析 【典例1】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等边相交． （1）如图1，当反比例函数的图象经过的顶点A时，若，求反比例函数的表达式； （2）如图1，若点M是第（1）小题反比例函数图象上的一点，且满足的面积与的面积相等，求点M的坐标； （3）如图2，反比例函数的图象分别交的边于C，D两点，连接并延长交x轴于点E，连接，当时，求的值． 【思路点拨】 （1）过点A作于点F，根据等边三角形的性质可得，再结合勾股定理可得点A的坐标为，即可求解； （2）分两种情况，当点B，M在的同侧时；当点B，M在的两侧时，即可求解； （3）过点C作轴于点P，过点D作轴于点Q，设，再求出点C的坐标为，点D的坐标为，然后根据点C，D均在反比例函数解析式上，可得点D的坐标为，从而得到，再求出直线的解析式，可得点E的坐标为， 从而得到，即可求解． 【解题过程】 （1）解：过点A作于点F， ∵是等边三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点A， ∴， ∴反比例函数表达式为：； （2）解：当点B，M在的同侧时，如图，连接，分别过点B，M作，垂足分别为点K，H，则， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 可设直线的解析式为， ∵， ∴点B的坐标为， 把点代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得： 解得：（舍去）或， ∴点M的坐标为； 当点B，M在的两侧时，如图，分别过点M，A作轴，轴，垂足分别为L，N，则，， 设点M的坐标为，则， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （3）解：如图，过点C作轴于点P，过点D作轴于点Q，设， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴点C的坐标为，点D的坐标为， ∵点C，D均在反比例函数解析式上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点D的坐标为， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， 即， ∴ ∴． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）已知点，，反比例函数经过点，点在线段上，过点作直线与轴平行，交反比例函数图像于点，再分别过点和点作轴垂线，所形成的矩形的面积的最大值是（    ） A． B． C．4 D．5 【思路点拨】 将代入，求得，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，则，矩形的面积为，根据二次函数的图象与性质求最值即可． 【解题过程】 解：将代入得，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， ∴矩形的面积为， ∵，， ∴当时，矩形的面积最大，最大为， 故选：A． 2．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 过点作轴于点，过点作 轴于点， 由点在双曲线 上， 可得 ，即得，根据的面积为，可得 即解得 然后计算得到即可求解． 【解题过程】 解：如图，过点作轴于点，过点作 轴于点， 点 在双曲线上， ， ， ， ， ， ，即 设，则 解得：或 (舍去) ， ， 轴，点，点在双曲线 图象上， ∴点，点 ， ， ， 故选： A. 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点则线段的长为（    ） A． B．1 C． D． 【思路点拨】 此题主要考查了反比例函数图象上的点，图形的折叠变换及性质，矩形的性质，勾股定理等，设，根据矩形的性质得，，，再由折叠的性质得，，则，利用勾股定理求出，则，进而在中由勾股定理求出，从而得点，则反比例函数的表达式为，然后根据点的纵坐标为4得点，据此可得的长,理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握图形的折叠变换及性质，矩形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【解题过程】 解：设， 四边形为矩形，点， ，，， 由折叠的性质得：，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 点的坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为：， 反比例函数的图象与边交于点， 点的纵坐标为4， 对于，当时，， 点， ． 故选：A． 4．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，直线与双曲线交于两点，连接，轴于点轴于点；有以下结论：①；②；③若，则；④时，，其中结论正确的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④ 【思路点拨】 本题考查了反比例函数的综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，设，，代入中得，，联立，求出，，从而得到，，证明，即可判断①②；作于，则，，证明，可得，，即可判断③；延长，交于点，则，，，证明是等腰直角三角形，由此即可判断④；熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 【解题过程】 解：设，，代入中得，， 联立得， 则， ， ，， ，， 在和中， ， ，故②正确； ，故①正确； 如图，作于， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， 同理可得：， ，， ，故③正确； 如图，延长，交于点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：A． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，反比例函数的图象与直线交于点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，在平面直角坐标系内存在点使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是 ． 【思路点拨】 此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定与性质，先将点的坐标代入反比例函数求得的值，然后将代入反比例函数解析式求得相应的的值，即得点的坐标；然后结合图象分类讨论以、、、为顶点的平行四边形，如图所示，找出满足题意的的坐标即可． 【解题过程】 解：把点代入得：， 故该反比例函数解析式为：． 点，轴， 把代入反比例函数，得 ． 则． ①如图，当四边形为平行四边形时，且． 、、， 点的横坐标为2，，故． 所以． ②如图，当四边形为平行四边形时，且． 、、， 点的横坐标为2，，故． 所以． ③如图，当四边形为平行四边形时，且． 、、， 即，故． 即，故． 所以． 综上所述，符合条件的点的坐标是：或或． 6．（2023·上海长宁·三模）如图，的顶点B，C分别落在反比例函数和的图象上，连结，将沿着翻折，点的对应点恰好落在的图象上，与交于点．已知的面积为，，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠问题．根据已知条件可得，进而得出；过点，点，点作轴，轴，轴，垂足分别为，证明得出，，则，根据得出，进而求得，即可求解． 【解题过程】 解：， ， ， 过点，点，点作轴，轴，轴，垂足分别为，如图所示 则． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 又∵ ∴， ，， ， ， ， ， 解得． ， ． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·安徽·单元测试）如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点．为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的应用，根据直角三角形的性质，求出、两点坐标，作出辅助线，证得，利用勾股定理及待定系数法求反比例函数解析式，再求出、的解析式，再联立方程组，求得点的坐标，分两种情况讨论即可求解． 【解题过程】 解：在中，，， ， ， 是的中点， ， 如图，过点作于， ∴， ， 在中，， ，． 反比例函数的图象经过斜边的中点， ， 解得． ∴反比例函数， 设直线的解析式为， 则， 解得， 的解析式为， ∵， 直线的解析式为， 点既在反比例函数图象上，又在直线上， 联立得， ∴， ∴，， ∴， ； 故答案为：4． 8．（23-24九年级下·山东济宁·自主招生）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作直线的垂线，垂足为点，再过点作交的图象于点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 【思路点拨】 本题考查反比例函数、一次函数、等腰直角三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键思想是学会利用参数解决问题．过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，，利用几何性质和反比例函数先表示出点的坐标，再利用几何性质表示出点的坐标，利用反比例函数定义求解即可． 【解题过程】 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点， 由点在直线上，设， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴，点的纵坐标为，四边形是矩形， ∴，，，， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 化简得：， 设， 则，即， 解得：或（舍）， 即， ∴（负值舍）， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，正方形的顶点、在反比例函数的图象上，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上．求点，的坐标． 【思路点拨】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质．作轴于，轴于，轴于，于，设，则，，易得，，则，所以，则的坐标为，然后把的坐标代入反比例函数，得到的方程，解方程求出，得到的坐标；设的坐标为，易得，则，通过，这样得到关于的方程，解方程求出，得到的坐标． 【解题过程】 解：作轴于，轴于，轴于，于，如图所示： 设，则，， 四边形为正方形， ， ， ，， ， 在和中，， ， 同理：， ， ， ， 的坐标为， 把的坐标代入得：， 解得：（舍去）或， ， 设的坐标为， 又四边形为正方形， 同上：， ， ， ， 解得：（舍去），， ， 点的坐标为． 10．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点和，直尺的宽度为． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，求的面积； （3）点在反比例函数的图像上，点在坐标轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【思路点拨】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与结合图形，平行四边形的性质； （1）由图象确定出的坐标，然后将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可求得反比例函数解析式； （2）根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，再计算，然后利用进行计算即可． （3）分点在轴和在轴两种情况讨论，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式，即可求解． 【解题过程】 （1）解：设，则，， ∵在反比例函数上， ∴ 解得： ∴， 将点坐标代入中，得：， ， 双曲线的解析式为； （2）解：∵， 把代入，得， ， ，， ． （3）设，， 当在轴上时，设，由，， 当为对角线时， 解得：（舍去） 当为对角线时， 解得：，则 当为对角线时， 解得：，则与点重合，舍去； 当在轴时，设，，，， 当为对角线时， 解得：，则，与点重合，舍去； 当为对角线时， 解得：，则 当为对角线时， 解得：，舍去； 综上所述，或 11．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上． （1）求，的值； （2）若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标． 【思路点拨】 （1）过B作于E，得到，，，根据勾股定理得到，求得；过C作轴于F，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得； （2）由（1）知，，设，，根据平行四边形的性质列方程组即可得到结论． 【解题过程】 （1）解：过B作于E， ∵A的坐标为，点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 过C作轴于F， ∴， ∵将线段绕点A按顺时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点C恰好在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：由（1）知，， ∵P，Q分别为反比例函数，图象上一点， ∴设，， ∵以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为平行四边形的对角线时，由图象得这种情况不存在； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴； 当AQ为平行四边形的对角线时， ， 解得（不合题意）， 综上所述，． 12．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点在第四象限，且轴于点A，轴于点，一次函数的图象分别交轴、轴于点，点，且，． （1）求反比例函数的表达式 （2）请写出当取何值时，一次函数的值不大于反比例函数的值？ （3）点是反比例函数图象上一个动点，连接，，并把沿翻折得到四边形，求出使四边形为菱形时点的坐标． 【思路点拨】 （1）根据一次函数解析式求出，，根据，得出点P的横坐标为，把代入得出点P的纵坐标为，即，根据，求出，得出，代入反比例函数解析式求出m的值，即可得出反比例函数解析式； （2）先求出一次函数图象与反比例函数图象的另外一个交点的坐标，然后根据函数图象得出x的取值范围即可； （3）根据菱形的性质得出，，说明点N为的中点，根据，，得出，根据轴，得出轴，说明点的纵坐标为，代入反比例函数解析式求出点Q的坐标即可． 【解题过程】 （1）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴点P的横坐标为， 把代入得：， ∴点P的纵坐标为，即， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴反比例函数解析式为：． （2）解：根据解析（1）可知：， ∴一次函数的解析式为：， 令， 解得：或， 把代入得：， ∴反比例函数图象与一次函数图象的另外一个交点的坐标为， ∴根据函数图象可知：当或时，一次函数的值不大于反比例函数的值； （3）解：设交于点N； ∵四边形为菱形， ∴，， 即点N为的中点， ∵，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴点的纵坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴． 13．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，一次函数与坐标轴分别交于点A、点B，且与反比例函数图象交于点、点： （1）求一次函数和反比例函数的解析式： （2）如图2，点P为反比例函数图象在第一象限上的一点，且在点C的右边，当的面积为6时，y轴上有一点Q，若有最大值时，求出这个最大值： （3）如图3，将沿着射线的方向平移个单位，点B平移后的对应点为，y轴上有一点E，平面中有一点F，当以点C、、E、F为顶点的四边形是以为边的菱形时，直接写出点F的坐标． 【思路点拨】 （1）将代入可得，即；进而求得点，然后运用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）先求出点A的坐标，如图：过P作轴交于E，设 ，易得，再根据的面积为6可求得，即；如图：作D关于y轴的对称点，连接，则，即；再根据三角形中两边之差小于第三边即可解答； （3）先求出，则，利用平移分四种情况进行解答即可． 【解题过程】 （1）解：将代入可得：，即， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入可得：，即， 则有， 解得：， 所以一次函数的解析式为： （2）解：∵一次函数的解析式为：， ∴， 如图：过P作轴交于E， 设 ，则，即， ∵的面积为6， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴， 如图：作D关于y轴的对称点，连接，则， ∴， 若有最大值时，即的最大值， ∵，， ∴， ∴的最大值为． （3）解：∵， ∴, ∵ ∴与x轴的夹角的正切为4， ∴将沿着射线的方向平移个单位，相当于向上平移8个单位，向右平移2个单位， ∵将沿着射线的方向平移个单位，点B平移后的对应点为， ∴， ∵， ∴， ∵点E在y轴上， ∴第一种情况：点向右平移1个单位，向上平移个单位得到, 则点C按照同样平移规律得到点 第二种情况：点向左平移1个单位，向下平移个单位得到, 则点按照同样平移规律得到点 第三种情况：点向左平移1个单位，向上平移个单位得到, 则点按照同样平移规律得到点 第四种情况：点向右平移1个单位，向下平移个单位得到, 则点C按照同样平移规律得到点 综上可知，点F的坐标为或或或． 14．（23-24八年级下·四川内江·期末）如图1，已知双曲线经过的、两点，且点，，．    （1）求双曲线和直线对应的函数关系式； （2）如图2，点在双曲线上，点Q在y轴上，若以点、、、为顶点的四边是平行四边形，请直接写出满足要求的所有点的坐标； （3）如图3，以线段为对角线作正方形，点是边（不含点、）上一个动点，点是的中点，，交于点．当在上运动时，的度数是否会变化？若会的话，请给出你的证明过程．若不是的话，只要给出结论． 【思路点拨】 （1）把代入求出值，可得反比例函数解析式，根据平行四边形的性质得出点坐标，利用待定系数法即可得出直线解析式； （2）可分两种情况：为边、为对角线讨论，然后运用中点坐标公式即可解决问题； （3）过点作于，作于，连接、，根据正方形的性质及角平分线的性质可得，利用可证明，得出，由此可得，即可得到是等腰直角三角形，因而为定值． 【解题过程】 （1）解：∵双曲线经过的、两点，且点，，， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴， 设直线的函数关系式为：，则， 解得：， ∴直线DC的函数关系式为：． （2）解：由（1）知：反比例函数的解析式为：， ∵点P在双曲线上，点Q在y轴上， ∴设，， ①如图1，当为边时，    若四边形为平行四边形，则， 解得：， ∴， ∴， ∴中点坐标为，， ∴， 解得：， ∴． 如图2，若四边形为平行四边形，    ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴． ②如图3，当AB为对角线时，    ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∴． 综上所述，满足要求的所有点的坐标为：、、． （3）解：当在上运动时，的度数不会变化，等于，理由如下： 过点作于，作于，连接，，如图所示，    ∵， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 15．（23-24九年级下·四川达州·开学考试）已知点，都在反比例函数的图象上． （1）求，的值； （2）如图②，点为反比例函数第三象限上一点， ①当面积最小时，求点的坐标； ②若点和点关于原点对称，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由． 【思路点拨】 本题考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质，利用直线解析式判断直线平行，平行线的性质是解题的关键； （1）根据题意，将，代入，即可求解； （2）①设直线的解析式为：，点在直线与抛物线相切的点上，进而求解即可；②设，过点作轴，点关于直线的对称点，点关于直线的对称，连接，，，根据平行线的性质即可求解 【解题过程】 （1）解：将，代入， ， 解得： （2）①，， 设直线的解析式为：， 将，坐标代入解析式中， ， 解得：， 直线的解析式为：， 点在直线与抛物线相切的点上，此时面积最小 ， 设， ， ， ， ， 点在第三象限，故， ， 解得：， 故的坐标为： ②， ， 设， 过点作轴，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点， 连接，，，则， ∵点和点关于原点对称 ， 由待定系数法得：直线的解析式为：， 点在直线上， 、、共线， 由对称性可知， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， ， 解得：， ， ， 16．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求此反比例函数的表达式： （2）在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． （3）为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）把，两点代入一次函数，运用求自变量，函数值的方法即可得到的坐标，再运用待定系数法即可求解反比例函数解析式； （2）如图所示，作点关于轴的对称点，可得，此时的值最小，运用两点之间的距离公式即可求解； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质，图形结合分析，分类讨论：当点在点的右侧时；当点在点的左侧时；运用三角形全等的判定和性质列式求解即可． 【解题过程】 （1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴把，两点代入一次函数得，，， ∴，即，， 把代入反比例函数得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：如图所示，作点关于轴的对称点， ∴， ∴，此时的值最小， ∴，且， ∴， ∴的最小值为； （3）解：存在，理由如下， 设点，，且， 当点在点的右侧时，如图所示，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点， ∵是以为底的等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， 解得，， ∴； 当点在点的左侧时，如图所示， 同理可得，，则，且，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或． 17．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，函数的图象过点和两点．点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，且， （1）求反比例函数解析式及C点的坐标； （2）过C点作，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键． （1）将、两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得、的值，得到反比例函数解析式，设直线解析式，由点A的坐标可求得此解析式，过点做轴于点，交于点，以为底，由的面积解出点坐标； （2）先用待定系数法求得进而求出直线的解析式，再分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；②以为直角边，为直角顶点．证明三角形全等并利用点的移动特点写出答案． 【解题过程】 （1）解：函数的图象过点和两点，代入得： ， 解得， 反比例解析式为． ，， 点， 设直线的解析式为：， 把代入，得， 解得， 直线的解析式为：， 过点作轴于点，交直线于点，如图1， 设， ， ， ， 或（不符合题意舍去）， ； （2）解：第二象限内存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，理由如下： ，直线的解析式为，， 设直线的解析式为：， 点在直线上， ，即， 直线的解析式为：， 当时，， ，， 当时，， ，， 根据题意，分两种情况进行讨论： ①以为直角边，为直角顶点，如图1； 过做轴于点，可知：， ， ， 又， ， 又， ， ，， 故点到点的平移规律是：向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标， ，且在第二象限， 即； ②以为直角边，为直角顶点，如图2； 同①理得，将点向左移3个单位，向上移6个单位得点坐标，得． 综上所述：点或． 18．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正方形的边交于点，与边交于点D，一次函数的图象经过点D，与边交于点F． （1）求点F的坐标： （2）连接，探究与的数量关系，并证明； （3）在x轴上找两点M，N（M在N的右侧），使，且使四边形的周长最小，则点M的坐标为 ，四边形的周长最小为 ． 【思路点拨】 （1）由正方形，，可得，将代入反比例函数表达式得：，则反比例函数的表达式为：，当时，，即，将代入，可求，则一次函数的表达式为：，当时，，可求，则； （2）待定系数法求直线的表达式为：；如图1，过点E作交过O作的角平分线于点G，过点G作于点N，设，则，证明，则，由勾股定理得，，，由勾股定理得，，即，可求，即，同理，直线的表达式为：，设交于点T，当时，，即，，证明，则，； （3）如图2，作点D关于x轴的对称点，将点向右平移2个单位使得，则，连接交x轴于点M，将点M向左平移2个单位得到点N，连接， 证明四边形为平行四边形，则，由四边形的周长为，可知此时四边形的周长最小，由勾股定理得，，，则四边形的周长的最小值为；同理，直线的表达式为，当时，，可求，则点M． 【解题过程】 （1）解：∵正方形，， ∴， 将代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数的表达式为：， 当时，，即， 将代入得，， 解得，， ∴一次函数的表达式为：， 当时，， 解得，， ∴； （2）解：，理由如下： 设直线的表达式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的表达式为：； 如图1，过点E作交过O作的角平分线于点G，过点G作于点N， 设，则， ∵，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 同理，直线的表达式为：， 设交于点T， 当时，，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，作点D关于x轴的对称点，将点向右平移2个单位使得，则，连接交x轴于点M，将点M向左平移2个单位得到点N，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为， ∴此时四边形的周长最小， ∵， 由勾股定理得，，， ∴四边形的周长的最小值为； 同理，直线的表达式为， 当时，， 解得， ∴点M， 故答案为：；． 19．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图1，正方形中，，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点． （1）求证：； （2）求反比例函数的表达式及点的坐标； （3）如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 此题属于反比例函数的综合题．考查了反比例函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的性质等． （1）由正方形性质可得，，利用同角的余角相等得出，再利用即可证得结论； （2）先求得，代入，求得，可得，当时，，即可求得答案； （3）利用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得直线的解析式为，设，，分三种情况：当、为对角线时，当、为对角线时，当、为对角线时，分别列方程组求解即可求得答案． 【解题过程】 （1）如图1，四边形是正方形， ，， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ； （2），， ，， ， ，， ， ∴ 同理可证， ∴， ∴， ∴点E的横坐标为， 设反比例函数的表达式为， 把代入，得， ， 当时，， 点的坐标为； （3）在平面内存在点，使得点、、、四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下： 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， 直线， 设直线的解析式为，把代入得， 解得：， 直线的解析式为， 点是直线上的一点，点是平面内一点， 设，， 又，， 当、为对角线时， ， 解得：， ，； 当、为对角线时， ， 解得：或（舍去）， ； 当、为对角线时， ， 解得：或， ，或，； 综上所述，在平面内存在点，使得点、、、四个点依次连接构成的四边形是菱形，点的横坐标为或3或或． 20．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点， （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，点在反比例函数的图象上且在点的右侧，过点作轴于点，连接、，交于点，若点是的中点，求的面积； （3）点在反比例函数的图象上，点坐标为，为整数，若是等边三角形，求的值．（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．） 【思路点拨】 （1）将代入得，于是得到结论； （2）由轴，得到，根据点是的中点，得到，得到点和点横坐标相等，将代入得到，求得点坐标为，解方程得到的解析式为，得到点坐标为，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）①当在轴正半轴时，如图1，在延长线上取点，使得，在延长线上取点使得，过点作轴于点1，得到，在中，，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到(负值舍去)，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到点坐标为，解方程得到； ②当在轴负半轴时，如图2在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得 ，过点作轴于点，根据等边三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到(负值舍去)，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解题过程】 （1）解：将代入，得，解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵轴， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∵轴于点， ∴点和点横坐标相等， 将代入得， ∴点坐标为， 设的解析式为，将代入得，解得， ∴的解析式为， 将代入，得， ∴点坐标为， ∴， ∴； （3）解：①当在轴正半轴时，如图，在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，过点作轴于点，         ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得（负值舍去）， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为， ∵为反比例上的点， ∴， 即， ∵为整数且在轴正半轴上， ∴； ②当在轴负半轴时，如图，在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，过点作轴于点， ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 设，则，由勾股定理得， 即，解得（负值舍去）， ∴，，， 同理可证：， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∵为反比例上的点， ∴，即， ∵为整数且在轴负半轴上， ∴， ∴综上所述，的值为1或． 第 1 页 共 52 页 学科网（北京）股份有限公司 $$