专题04 图形的性质（7题型）（广西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题04 图形的性质 题型概览 题型01相交线与平行线 题型02三角形的有关概念及应用 题型03四边形的有关概念及应用 题型04圆的有关概念及应用 题型05限定工具作图 相交线与平行线题型01 1．（2025·广西南宁·一模）如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若．则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广西来宾·一模）如图，点、分别在长方形纸片的、边上，与所夹的锐角，将纸片沿折叠得到图，点落到点处；点在边上，沿进行第二次折叠得到图3，点的对称点恰好落在上，则与的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广西南宁·一模）光的逆向反射又称再归放射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜．夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 三角形的有关概念及应用题型02 1．（2025·广西梧州·一模）如图是，两片木片放在地面上的情形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西桂林·一模）如图，是等边三角形，直线，点P在直线上运动，当点P与的两个顶点的距离相等时，警报器就会发出警报，则在直线上会发出警报的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·广西梧州·一模）如图，在和中，，点B在上．若，，，则（   ） A．8 B．10 C．13 D．15 4．（2025·广西贵港·一模）分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形．如图，等边的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 5．（2025·广西南宁·一模）如图是厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架结构，已知米，，则中柱（D为底边中点）的长是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（2025·广西钦州·一模）如图，抛物线与轴交于两点，的直角顶点在抛物线对称轴上，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广西贵港·一模）如图，在等腰中，，，点M是边上的动点，以为腰作等腰，，连接，若N为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 8．（2025·广西梧州·一模）如图，D、E分别是边的中点，连接．若，，则BD的长为 ． 9．（2025·广西贵港·一模）如图，在中，，，点为的中点，，若过点作交于点，则的长为 ． 10．（2025·广西柳州·一模）如图，在中，，，为边的高，点在轴上，点在轴上，点在第一象限，若从原点出发，沿轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点随之沿轴下滑，并带动在平面内滑动，设运动时间为秒，当到达原点时停止运动．连接，线段的长随的变化而变化，当最大时， ． 11．（2025·广西河池·一模）【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 四边形的有关概念及应用题型03 1．（2025·广西·一模）如图，在边长为2的正方形中，点是边上一个动点，在延长线上找一点，使点和点关于点对称，连接，相交于点．当动点从点运动到点时，点的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西·一模）如图，在中，，于点，于点，于点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广西南宁·一模）如图，四边形是菱形，，，以为圆心，的长为半径画弧，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广西贵港·一模）如图，扇形的半径为，菱形的顶点、、分别在、、上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广西贵港·一模）正六边形的每个外角都等于 度． 6．（2025·广西南宁·一模）如图，的对角线，相交于点，若，则 ． 7．（2025·广西玉林·一模）如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为 ． 8．（2025·广西玉林·一模）在交通行驶中，看到“停”的标志牌，表示车主需要停下车让行，其形状是一个正八边形，则其中一个内角度数为 ．    9．（2025·广西桂林·一模）如图，在中，，于点E，过点A作，连接并延长，交于点C． (1)求证：． (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 圆的有关概念及应用题型04 1．（2025·广西梧州·一模）如图，在半径为的中，弦的长为4，则圆心到的距离为（   ） A． B．4 C．2 D． 2．（2025·广西梧州·一模）如图，是的直径，与相切于点B，，半径的延长线交于点M，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 3．（2025·广西贵港·一模）如图，四边形是正方形，曲线，，，，……叫作“正方形的渐开线”，其中，，，的圆心依次按，，，循环，若，则弧所对应的扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广西来宾·一模）如图， 的直径，的弦于点，且，则的长为（    ） A．4 B． C．6 D．8 5．（2025·广西南宁·一模）图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为 ． 6．（2025·广西来宾·一模）如图，工人师傅用活口扳手拧一个六角螺丝，六角螺丝的头部为正六边形，边长为，扳手每次旋转度数为六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为 ． 7．（2025·广西钦州·一模）如图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为 米． 8．（2025·广西南宁·一模）如图1，在中，，以为直径作交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)如图2，在上取一点，连接，，．若，． ①求的长； ②求的面积． 9．（2025·广西梧州·一模）如图，在中，，，是的直径，交于点，于点，交于点，连接，的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 10．（2025·广西河池·一模）据史料记载，马车的发明者是多年前生活于夏王朝初年的奚仲．马车的发明是中国科技史上的一大创举．如图是古代马车的侧面示意图，是车轮的直径，过圆心O的车架的一端点C着地时，水平地面与车轮相切于点D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求车轮的半径长． 11．（2025·广西桂林·一模）如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 12．（2025·广西来宾·一模）如图，为的直径，点在的延长线上，为上一点，连接，，，分别是，的中点，连接，，延长，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：是的切线； (3)在（2）的条件下，若，，求的半径． 13．（2025·广西河池·一模）如图，是的直径，点A在上，点E是的中点，连接并延长交于点D，过点D作交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若点A为的中点，求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，若的半径长为4，连接，求的值． 14．（2025·广西南宁·一模）如图，已知为的直径，，弦，直线，相交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)当，时，求的半径． 15．（2025·广西钦州·一模）如图，四边形内接于是的直径，平分，点在延长线上，． (1)求的度数； (2)若，求半径的长； (3)求证：是的切线． 16．（2025·广西玉林·一模）如图，内接于，为直径，平分交于点D． (1)过点D作，求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 限定工具作图题型05 1．（2025·广西梧州·一模）已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（   ） 甲 ①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙 ①利用圆规截取，； ②连接，，相交于点； ③作射线，即为所求． 丙 ①在上取点，利用圆规截取； ②过，作； ③作射线，即为所求． A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 2．（2025·广西贵港·一模）如图，在矩形中，，．连接，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；连接交于点H，则的面积是（    ）    A． B． C．15 D． 3．（2025·广西梧州·一模）如图，在平行四边形中，以点B为圆心，长为半径画弧交于F点，再分别以点A，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接并延长交于E点，连接，，相交于O点，若，，则的长为 ． 4．（2025·广西梧州·一模）如图，在平行四边形中，是对角线． (1)实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交于点E，交于点F，连接．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想四边形是什么图形，并加以证明． 5．（2025·广西南宁·一模）如图，已知． (1)尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若．求证：． 6．（2025·广西来宾·一模）如图，是等腰三角形，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母） (2)若，，求的周长． 7．（2025·广西玉林·一模）如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点D和点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的度数． 8．（2025·广西贵港·一模）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，是弦上一点． (1)根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点，交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点（，两点不重合），连接； (2)请连接，，，，引理的结论为：．请你证明此结论． 9．（2025·广西·一模）如图，以的顶点为圆心，长为半径作交于点． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点，且点位于直线上方，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)在（1）所作的图中． ①求证：是的切线； ②若，，三点共线，求证：． 1．（2025·广西河池·一模）【课本再现】 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明过程如下：取边中点G，连接．在正方形中， ∵E是边的中点，G是边的中点， ∴， ∴． ∵是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【问题解决】 （1）如图1，四边形是正方形，E是边的任一点，，交正方形外角的平分线于点F，结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由； 【拓展探究】 在等边中，E为边上一点，G为延长线上一点，过点E作，交的平分线于点M． （2）如图2，当点E在边的中点位置时，猜想与的数量关系：_______； （3）如图3，若把条件“E是边的中点”改为“E为上任意一点”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 2．（2025·广西柳州·一模）如图，是的外接圆，过点作于点，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，与交于点．已知，，． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)求的半径． (3)取线段的两个端点和线段上的一点，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，求的值． (4)在内取一点，使四边形为平行四边形，连接，，直接写出的面积． 3．（2025·广西贵港·一模）【阅读理解】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． 【类型一】“定点＋定长”：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：由于，根据圆的定义可知，点、、一定在以点（定点）为圆心，（定长）为半径的上，则是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到的度数． 【类型二】“定角＋定弦”：如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ， ． （定角）． 点在以（定弦）为直径的上． 又点在内部， 点在弧上（不包括点、点（如图）…． 【问题探究】 （1）①根据类型一的学习，可求得 °； ②请完成类型二后面的过程； 【问题解决】 （2）如图，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长． 4．（2025·广西玉林·一模）如图1，在矩形中，，，点P从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点C运动，且点Q的速度是点P的两倍．的面积为S，求： (1)点P的速度为，后的面积S是多少？ (2)若P、Q运动过程中，S与时间t的关系如图2所示，求点P的速度． (3)在（2）的条件下，求出当t为何值时S取最大值，最大值是多少？ 5．（2025·广西河池·一模）【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则， ∴， ∴． 同理可得，， 即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里． (1)求的面积； (2)求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 图形的性质 题型概览 题型01相交线与平行线 题型02三角形的有关概念及应用 题型03四边形的有关概念及应用 题型04圆的有关概念及应用 题型05限定工具作图 相交线与平行线题型01 1．（2025·广西南宁·一模）如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握是解题的关键． 根据平行线同旁内角之和为即可解题． 【详解】解：由题意得，和为平行线间同旁内角， 故． 故选C． 2．（2025·广西来宾·一模）如图，点、分别在长方形纸片的、边上，与所夹的锐角，将纸片沿折叠得到图，点落到点处；点在边上，沿进行第二次折叠得到图3，点的对称点恰好落在上，则与的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键． 过点作，则，由折叠得，，，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，则， 由折叠得， 由折叠可得，， ∴， 故选：． 3．（2025·广西南宁·一模）光的逆向反射又称再归放射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜．夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由光的反射定律得，，由平角定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：由光的反射定律得：，， ， ， ， ， ． 故选：B． 三角形的有关概念及应用题型02 1．（2025·广西梧州·一模）如图是，两片木片放在地面上的情形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选B． 2．（2025·广西桂林·一模）如图，是等边三角形，直线，点P在直线上运动，当点P与的两个顶点的距离相等时，警报器就会发出警报，则在直线上会发出警报的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据三角形的特点，结合线段垂直平分线的性质确定不同的点即可． 【详解】解：根据垂直平分线的性质及等边三角形的性质可知， 直线上会发出警报的点P有：、、的垂直平分线与直线的交点，共3个． 故选：C． 3．（2025·广西梧州·一模）如图，在和中，，点B在上．若，，，则（   ） A．8 B．10 C．13 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，先根据勾股定理求出，再利用全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴． 故选C． 4．（2025·广西贵港·一模）分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形．如图，等边的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质和扇形面积的计算，解直角三角形，能根据图形得出阴影部分的面积=三块扇形的面积相加、再减去三个等边三角形的面积是解此题的关键． 过A作于D，则，，再求出和扇形面积，利用阴影部分的面积等于三块扇形的面积相加，再减去三个等边三角形的面积求解． 【详解】解：过A作于D， ，， ， ，， 的面积为， ∴， ， 故选：A． 5．（2025·广西南宁·一模）如图是厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架结构，已知米，，则中柱（D为底边中点）的长是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义解题的关键．先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：米，点是的中点， ， 在中，， （米）， 故选：A． 6．（2025·广西钦州·一模）如图，抛物线与轴交于两点，的直角顶点在抛物线对称轴上，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数交点式，二次函数图象及性质，勾股定理，等积法求线段长，三角函数等．根据题意先求出，，后求出对称轴，再设，再利用勾股定理求出，再过点作，再用等积法求出，再利用三角函数即可得到本题答案． 【详解】解：∵抛物线与轴交于两点， ∴令，即或， ∴，， ∵在抛物线对称轴上， ∴，对称轴：直线， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，解得：， ∵如图点在第三象限， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴过点作， ， ∴，即，解得：， ∴， ∴， 故选：A． 7．（2025·广西贵港·一模）如图，在等腰中，，，点M是边上的动点，以为腰作等腰，，连接，若N为的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先以点A为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，再分别表示，，运用两点距离公式进行列式得，结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：以点A为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ∵在等腰中，，， ∴ ∵点M是边上的动点，以为腰作等腰，， ∴设，， 则， ∵N为的中点， ∴， 即， ∵ 故 ∵， ∴开口向上，在时，有最小值， 把代入， 得， 即最小值为 故答案为：． 8．（2025·广西梧州·一模）如图，D、E分别是边的中点，连接．若，，则BD的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得，证明得出 【详解】解：∵D、E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：6． 9．（2025·广西贵港·一模）如图，在中，，，点为的中点，，若过点作交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据含角的直角三角形的性质可得，由，点为的中点，可得，，得到，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， ，点为的中点， ，， ， ， 故答案为：． 10．（2025·广西柳州·一模）如图，在中，，，为边的高，点在轴上，点在轴上，点在第一象限，若从原点出发，沿轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点随之沿轴下滑，并带动在平面内滑动，设运动时间为秒，当到达原点时停止运动．连接，线段的长随的变化而变化，当最大时， ． 【答案】 【分析】本题考查三线合一，勾股定理：三线合一结合斜边上的中线求出的长，根据，得到当三点共线时，最大，得到此时，求出的长，进行求解即可． 【详解】解：∵，为边的高， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最大， 此时：， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（2025·广西河池·一模）【项目式学习】 项目主题：安全用电，防患未然． 项目背景：近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升，据悉，约的火灾都在充电时发生，某校九年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究． （1）图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2为其喷射截面示意图，在中，，喷射角，地面有效保护直径为米，喷嘴O距离地面的高度OC为 米； 任务二：模型构建 由于干粉灭火器只能扑灭明火，并不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头． （2）如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．已知学校的停车棚左侧靠墙建造，其截面示意图为矩形，创新小组以点O为坐标原点，墙面所在直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系．他们查阅资料后，提议消防喷淋头M安装在离地高度为3米，距离墙面水平距离为2米处，即米，米，水喷射到墙面D处，且米． ①求该水柱外层所在抛物线的函数解析式； ②按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径为 米； 任务三：问题解决 （3）已知充电车棚宽度为7米，电动车电池的离地高度为0.2米，创新小组想在喷淋头M的同一水平线上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池，喷淋头N距离喷淋头M至少 米． 【答案】（1）3；（2）①；②；（3） 【分析】（1）证明为等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出； （2）①用待定系数法求出抛物线的解析式即可； ②求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出答案； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，顶点为N的抛物线解析式为：，把代入得出，求出m的值即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴根据勾股定理得：； （2）①根据题意得：抛物线的顶点M的坐标为，点D的坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； ②把代入得：， 或（舍去）， ∴米； （3）设喷淋头N距离喷淋头M至少m米，根据题意得：点N的坐标为，则顶点为N的抛物线解析式为：， 放在充电车棚最右边的电动车电瓶处的坐标为， 把代入得：， 解得：（舍去）或， ∴喷淋头N距离喷淋头M至少米． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，数形结合，熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． 四边形的有关概念及应用题型03 1．（2025·广西·一模）如图，在边长为2的正方形中，点是边上一个动点，在延长线上找一点，使点和点关于点对称，连接，相交于点．当动点从点运动到点时，点的运动路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形等知识点，能够正确做出辅助线是解题关键； 作点关于点的对称点，连接和交于点，过点作于点，交于点，连接，则为点的运动轨迹，先根据正方形性质可知，设，则，进而得到，，通过平行可知，再通过相似三角形性质解出x，再通过勾股定理即可求解． 【详解】作点关于点的对称点，连接和交于点，过点作于点，交于点，连接，则为点的运动轨迹， 四边形是正方形， ，，. ， ， ， 设，则， ，， ， ， 又点关于点对称， ， 当点在起点处时，， ， 又， ， ， ，解得， ， 在中，由勾股定理得， 点的运动路径长为的长为， 故选：B． 2．（2025·广西·一模）如图，在中，，于点，于点，于点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，利用转化思想是解题的关键． 勾股定理可求，由面积法求得，证明四边形是矩形，根据对角线相等即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：A． 3．（2025·广西南宁·一模）如图，四边形是菱形，，，以为圆心，的长为半径画弧，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则也考查了菱形的性质和解直角三角形．连接，如图，先根据菱形的性质得到，，则和都为等边三角形，然后根据等边三角形的面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分面积进行计算． 【详解】解：连接，过点作于点，如图， 四边形是菱形， ， ， ， 和都为等边三角形， ∴ 阴影部分面积 故选：C． 4．（2025·广西贵港·一模）如图，扇形的半径为，菱形的顶点、、分别在、、上，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，扇形面积计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，相交于点，根据菱形的性质，结合三角函数关系得出，进而得到，推出是等边三角形，得到，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，相交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 5．（2025·广西贵港·一模）正六边形的每个外角都等于 度． 【答案】60 【分析】本题考查了正多边形的外角，熟练掌握多边形的外角和为是解题的关键．根据正六边形的外角和为即可求解． 【详解】解：正六边形的外角和为， 正六边形的每个外角都等于． 故答案为：60． 6．（2025·广西南宁·一模）如图，的对角线，相交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，证明是矩形是解题的关键．先证明是矩形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：的对角线，相交于点，若， ， 是矩形， ， ， 故答案为：． 7．（2025·广西玉林·一模）如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将正方形拆解拼成另一个没有缝隙的等腰三角形，再利用面积相等得到相关边的长度关系． 如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，根据题意得，设，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比即可． 【详解】解：如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形， 设， 根据题意，得 ， ∴， 解得： (负值舍去)， ∴， ∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为： ． 故答案为：． 8．（2025·广西玉林·一模）在交通行驶中，看到“停”的标志牌，表示车主需要停下车让行，其形状是一个正八边形，则其中一个内角度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正多边形的外角和与内角的综合应用．根据正多边形的每个外角相等，用外角和除以边数即可求解外角，再进一步求解即可． 【详解】解：正八边形的每个外角等于， ∴其中一个内角度数为； 故答案为：． 9．（2025·广西桂林·一模）如图，在中，，于点E，过点A作，连接并延长，交于点C． (1)求证：． (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据三线合一证明即可； （2）根据证明得，进而可证四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：，， ． （2）证明：， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 圆的有关概念及应用题型04 1．（2025·广西梧州·一模）如图，在半径为的中，弦的长为4，则圆心到的距离为（   ） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆中求线段长的方法是解题的关键． 先由垂径定理得到，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵弦的长为4， ∴由垂径定理可知， 在中，， ∴由勾股定理可得． 故选：C． 2．（2025·广西梧州·一模）如图，是的直径，与相切于点B，，半径的延长线交于点M，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理．熟练掌握圆的相关知识并利用数形结合的思想是解题关键．由切线的性质可得出．由圆周角定理可知，即可求出，最后由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径，与相切于点B， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 3．（2025·广西贵港·一模）如图，四边形是正方形，曲线，，，，……叫作“正方形的渐开线”，其中，，，的圆心依次按，，，循环，若，则弧所对应的扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算．依次求出弧，，，，……所对应的扇形的面积，发现规律即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形，且， 以为圆心的圆的半径为，则所对应的扇形的面积为， 以为圆心的圆的半径为，则所对应的扇形的面积为， 以为圆心的圆的半径为，则所对应的扇形的面积为， 以为圆心的圆的半径为，则所对应的扇形的面积为， ……， 依次类推，所对应的扇形的面积为(为大于的正整数)， 弧所对应的扇形的面积为． 故选：A． 4．（2025·广西来宾·一模）如图， 的直径，的弦于点，且，则的长为（    ） A．4 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意连接，则，，利用勾股定理即可求得，最后由完成解答． 【详解】解：连接， 则， ∴， 由勾股定理得： ∴ 故选：D． 5．（2025·广西南宁·一模）图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质；首先根据对称与等腰三角形的三线合一得到，再由勾股定理求得半径的长，进而得到，解题即可． 【详解】解 与关于直线对称， ，且， 与的半径相等， 设半径为， ， 由勾股定理可知，即， 解得， ， ， 故答案为：． 6．（2025·广西来宾·一模）如图，工人师傅用活口扳手拧一个六角螺丝，六角螺丝的头部为正六边形，边长为，扳手每次旋转度数为六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，求弧长，先求出正六边形的中心角是，结合旋转四次，然后根据弧长公式进行列式计算即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由正六边形的性质可知，，中心角为， 由弧长公式可得，旋转四次后，点经过的弧长为， 答案为：． 7．（2025·广西钦州·一模）如图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中长度为米，长度为米，圆心角，则裙长为 米． 【答案】1 【分析】本题考查了扇形的弧长公式．解题的关键在于正确的计算． 由题意知，，，计算求解的值，然后根据计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， ∴， 故答案为：1． 8．（2025·广西南宁·一模）如图1，在中，，以为直径作交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)如图2，在上取一点，连接，，．若，． ①求的长； ②求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了圆的几何性质、切线的判定定理、勾股定理和三角形面积计算公式，熟练掌握是解题的关键． （1）即证明，方法一：连接，则，得为的垂直平分线，，根据等腰三角形性质可得，，即．方法二：连接，则，，再证明为的中位线，得，即可得证． （2）①先求出的长，因为为直径，所以是直角三角形，根据勾股定理即可求出的长；②过点作与点，根据圆周角性质得，易得，再根据勾股定理求出，得、的长，即可求出的面积． 【详解】（1）解：方法一：连接， 是的直径，． ，为的垂直平分线． ，， ，即． 又为的半径，是的切线． 方法二：连接． ，． ． 又，， 为的中位线． ，，即． 又为的半径，是的切线． （2）解：①方法一：在中，， ，则， 是的直径，． 在中，，， ． 方法二：在中，， ， ， ， 是的直径，． 在中，，， ． ②过点作与点． ， 又，， ， 在和中， ，． ． 的面积为：． 的面积为3． 9．（2025·广西梧州·一模）如图，在中，，，是的直径，交于点，于点，交于点，连接，的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理和解直角三角形． （1）连接，，根据圆周角定理得，由，根据等腰三角形的直线得，所以为的中位线，则，然后利用得到，再根据切线的判定定理即可得到结论； （2）由是的直径得，再根据等角的余角相等得，则，，然后利用勾股定理可计算出． 【详解】（1）证明：连接，， 是直径， ， ， 垂直平分，即， 为的中位线， ， ， ， 为的切线； （2）解：由（1）可知：四边形是矩形，， 四边形也是正方形， ， 是的直径， ， ， ， ， ，在中， ， ， ． 10．（2025·广西河池·一模）据史料记载，马车的发明者是多年前生活于夏王朝初年的奚仲．马车的发明是中国科技史上的一大创举．如图是古代马车的侧面示意图，是车轮的直径，过圆心O的车架的一端点C着地时，水平地面与车轮相切于点D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求车轮的半径长． 【答案】(1) (2)车轮的半径长米 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，掌握相关性质定理成为解题的关键． （1）如图：连接，由切线的性质可得，即，再根据圆周角定理即可解答； （2）由切线的性质可得，设车轮的半径为r，则，，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵地面与车轮相切于点D， ∴，即， ∴， ∴． （2）解：∵地面与车轮相切于点D， ∴，即， 设车轮的半径为r，则，， ∵， ∴，解得：． ∴车轮的半径长米． 11．（2025·广西桂林·一模）如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点D作于点H，根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质，得到，即可证明结论； （2）先由三角形外角的性质求出，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点D作于点H． 为的切线， ． 又平分， ． 是的切线． （2）解：平分，， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，弧长公式等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题关键． 12．（2025·广西来宾·一模）如图，为的直径，点在的延长线上，为上一点，连接，，，分别是，的中点，连接，，延长，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：是的切线； (3)在（2）的条件下，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据题意得，结合垂径定理得和，则，即可证明四边形是矩形． （2）连接，有，得，进一步判定，等量代换为，即，即可证明结论成立； （3）结合题意设，．根据勾股定理得，有．进一步判定，有，求得，再利用勾股定理列方程求得x即可． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴． ∵，分别是，的中点，且，经过圆心， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：连接．如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，即， ∴． 又∵为半径， ∴是的切线． （3）解：∵， ∴． 设，． 在中，根据勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． ∵， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴， ∴的半径为3． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质、垂径定理、矩形的判定、等腰三角形的性质、切线的判定、解直角三角形、平行线的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟悉圆的性质和解直角三角形． 13．（2025·广西河池·一模）如图，是的直径，点A在上，点E是的中点，连接并延长交于点D，过点D作交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若点A为的中点，求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下，若的半径长为4，连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂径定理得，再由平行线的性质得，即可得出结论； （2）先由垂径定理得出，进而得出，再由圆周角定理得，由平行线的判定定理得，结合即可得出结论； （3）过点E作于点H，由（2）得，得，进而得，，，，再根据可得答案． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点 ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）证明：∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵点A为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图，过点E作于点H， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定及性质，圆的切线的判定定理，平行四边形的判定，解直角三角形． 14．（2025·广西南宁·一模）如图，已知为的直径，，弦，直线，相交于点． (1)求证：直线是的切线； (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)的半径长为 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，，则，可证明，得，即可证明直线是的切线； （2）由全等三角形的性质得，而，所以，则，由，求得，则的半径长为． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 是的半径，且， 直线是的切线． （2）解：由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， 的半径长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键 15．（2025·广西钦州·一模）如图，四边形内接于是的直径，平分，点在延长线上，． (1)求的度数； (2)若，求半径的长； (3)求证：是的切线． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了圆的综合问题，涉及圆周角定理，切线的判定，勾股定理，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由角平分线结合圆周角定理得，而，即可求解的度数； （2）在（1）的基础上得到，再由勾股定理即可求解直径长，则半径即可求解； （3）连接，证明出，由，证得即可 【详解】（1）解：如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的半径长为； （3）证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线． 16．（2025·广西玉林·一模）如图，内接于，为直径，平分交于点D． (1)过点D作，求证：为的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得，即可得出，而，则，由，得，则，即可证明是的切线； （2）由为的直径，得，则，所以，根据计算即可． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ∴， ， 又， ， ， 又是半径， 为的切线． （2）解：为直径， ，而，， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 限定工具作图题型05 1．（2025·广西梧州·一模）已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（   ） 甲 ①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙 ①利用圆规截取，； ②连接，，相交于点； ③作射线，即为所求． 丙 ①在上取点，利用圆规截取； ②过，作； ③作射线，即为所求． A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是关键． 甲：根据平行线的性质得到，根据等边对等角得到，则，由此即可求解；乙：根据题意可证，得，证明，得，再证明，得，即可求解；丙：条件不足，不能证明，得不到是的平分线，即可求解． 【详解】解：甲：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线，故甲的方案正确； 乙：∵，， ∴， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线，故乙的方案正确； 丙：∵， ∴， ∵， ∴， 不能证明，得不到是的平分线，故丙的方案不正确； 综上所述，只有甲、乙正确， 故选：A ． 2．（2025·广西贵港·一模）如图，在矩形中，，．连接，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G；连接交于点H，则的面积是（    ）    A． B． C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与角平分线的性质．证明，，，如图，过H点作于M，可得，证明，求解，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，，， 如图，过H点作于M，    由作法得平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，而， ∴． ， 故选：C． 3．（2025·广西梧州·一模）如图，在平行四边形中，以点B为圆心，长为半径画弧交于F点，再分别以点A，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点P，连接并延长交于E点，连接，，相交于O点，若，，则的长为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，判断四边形是菱形是解题的关键． 根据尺规作图的步骤可知是的平分线，，再证明四边形是菱形，然后根据勾股定理求出，最后根据菱形的性质即可解答． 【详解】解：根据题意，可知是的平分线，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形， ∴，． ∴在中，， ∴在菱形中，． 故答案为：16． 4．（2025·广西梧州·一模）如图，在平行四边形中，是对角线． (1)实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交于点E，交于点F，连接．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想四边形是什么图形，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）根据证明得，进而可证四边形是平行四边形，由线段垂直平分线的性质得，可得四边形是菱形． 【详解】（1）如图直线、线段为所求 （2）四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ． ，． 为的垂直平分线， ． ． ． 又． ． 四边形是平行四边形 为的垂直平分线， ． 四边形是菱形． 5．（2025·广西南宁·一模）如图，已知． (1)尺规作图：作的平分线，在上截取，连接；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握是解题的关键． （1）根据尺规作图作角平分线即可； （2）由题意得，，，，根据全等三角形判定边角边即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，，，即为所求； （2）解：证明：为平分线， ． 又， ． 在和中， （SAS）． 6．（2025·广西来宾·一模）如图，是等腰三角形，，． (1)尺规作图：作的平分线，交于点；（要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母） (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质，角平分线的定义，掌握角平分线的尺规作图是解题关键． （1）根据角平分线的尺规作图画出图形即可； （2）通过等腰三角形的性质结合角平分线的定义得，将、代入计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求． （2）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵，， ∴的周长为． 7．（2025·广西玉林·一模）如图，已知． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点D和点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，则，进而可得，再根据，可得，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． ； （2）解：如图，连接， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（2025·广西贵港·一模）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，是弦上一点． (1)根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点，交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点（，两点不重合），连接； (2)请连接，，，，引理的结论为：．请你证明此结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）①分别为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线即可得到答案，②按照语句依次作图即可； （2）由作图可得： 再证明 再证明， 从而可得结论． 【详解】（1）解：作出线段的垂直平分线，连接；   以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2）证明：由作图可得：是的垂直平分线， 四边形是圆的内接四边形， ， ． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键． 9．（2025·广西·一模）如图，以的顶点为圆心，长为半径作交于点． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点，且点位于直线上方，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)在（1）所作的图中． ①求证：是的切线； ②若，，三点共线，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）根据尺规作图——作垂直平分线的作图步骤即可求解； （2）①如图2，连接，，根据题意结合垂直平分线的性质可知，可知，，再根据三角形的内角和定理可知，即，进而可证得结论； ②如图2，连接，可知，利用直角三角形两锐角互余可证， 进而可证明，利用其性质可证得结论． 【详解】（1）解：如图1，，即为所求. （2）①证明：如图2，连接，， 由画图知， ， 是的垂直平分线，则， ， ， 在中，， ，即， 又是半径， 是的切线； ②证明：如图2，连接， ，，三点共线， 是的直径， ， ， 是的切线， ， ， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题主要查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，切线的判定及性质，相似三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 1．（2025·广西河池·一模）【课本再现】 如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：．（提示：取的中点G，连接．） 证明过程如下：取边中点G，连接．在正方形中， ∵E是边的中点，G是边的中点， ∴， ∴． ∵是正方形外角的平分线， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【问题解决】 （1）如图1，四边形是正方形，E是边的任一点，，交正方形外角的平分线于点F，结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由； 【拓展探究】 在等边中，E为边上一点，G为延长线上一点，过点E作，交的平分线于点M． （2）如图2，当点E在边的中点位置时，猜想与的数量关系：_______； （3）如图3，若把条件“E是边的中点”改为“E为上任意一点”，其他条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3），证明见解析． 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）如图：在取点G，使得，连接．则，然后根据正方形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质证明，最后根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图：在取的中点H，，然后根据等边三角形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质证明，最后根据全等三角形的性质即可解答； （3）如图：在取点H，使得，连接．则是等边三角形，然后根据等边三角形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质证明，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1），证明如下： 如图：在取点G，使得，连接．则， ∴ ∵在正方形中， ∴，， ∴，即， ∵交正方形外角的平分线于点F， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2），证明如下： 如图：在取的中点H，， ∵点E在边的中点， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即， ∵为的平分线， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3），证明如下： 如图：在取点H，使得，连接．则是等边三角形， ∴，，即， ∴，即， ∵为的平分线， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·广西柳州·一模）如图，是的外接圆，过点作于点，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，与交于点．已知，，． (1)求证：是等腰直角三角形． (2)求的半径． (3)取线段的两个端点和线段上的一点，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，求的值． (4)在内取一点，使四边形为平行四边形，连接，，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或； (4)． 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过内接四边形的性质，圆周角定理即可求解； （）设的半径为，证明是线段的中垂线， （）连接，则，则，，当时，过点作于点，则，然后通过，即可； （）作平行四边形，连接，延长，交于点，过点作于点，过点作，则，则，设，由勾股定理，得，求出的值，再由面积公式和三角函数即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：设的半径为， ∵， ∴是线段的中垂线， ∵， ∴为等腰直角三角形，即， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 则， （3）如图，连接，则， ∵，，， ∴，， 如图，当时， 在中，，， 则， 过点作于点， 则， 同理， 则， ∴， ∴， 过点作于点， 则， 则，， 故的值为或； （4）解：如图，作平行四边形，连接，延长，交于点，过点作于点， 则，， ∴， 在中，，， 过点作，则，则， 过点作直线的垂线于点， 设， 由勾股定理，得， 解得， 则，， 则． 3．（2025·广西贵港·一模）【阅读理解】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． 【类型一】“定点＋定长”：如图，在中，，，是外一点，且，求的度数． 解：由于，根据圆的定义可知，点、、一定在以点（定点）为圆心，（定长）为半径的上，则是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到的度数． 【类型二】“定角＋定弦”：如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：， ， ． （定角）． 点在以（定弦）为直径的上． 又点在内部， 点在弧上（不包括点、点（如图）…． 【问题探究】 （1）①根据类型一的学习，可求得 °； ②请完成类型二后面的过程； 【问题解决】 （2）如图，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点．点从点开始运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】（1）①根据圆周角定理即可求解；②先判断出，进而得到，进而判断出点在上，即可求出答案； （2）由正方形性质可证可得，可得，，由余角的性质可证，由题意可得点的运动路径是以为直径的圆弧，，由弧长公式可求解． 【详解】（1）①是所对的圆心角，而是所对的圆周角，， ， 故答案为：； ②， ， ． （定角）． 点在以（定弦）为直径的上． 又点在内部， 点在弧上（不包括点、点） 如图2，连接交于点，此时最小， ， ， 在中，，， ， ， 最小值为； （2）四边形是正方形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 如图4，连接，交于点， 点在运动中保持， 点的运动路径是以为直径的圆弧， 点的运动路径长为 ． 【点睛】本题考查了圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 4．（2025·广西玉林·一模）如图1，在矩形中，，，点P从点A出发向点B运动，同时点Q从点B出发向点C运动，且点Q的速度是点P的两倍．的面积为S，求： (1)点P的速度为，后的面积S是多少？ (2)若P、Q运动过程中，S与时间t的关系如图2所示，求点P的速度． (3)在（2）的条件下，求出当t为何值时S取最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)后的面积S是； (2)点P的速度为； (3)当时，最大，最大值为. 【分析】（1）由题意可得点Q的速度为，当时，可得，,再进一步求解即可； （2）由是的二次函数，设的速度为，则的速度为，可得，可得，求解或，结合图象可得不符合题意，从而可得答案； （3）由（2）得：当，则，可得，再结合二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）解：∵点Q的速度是点P的两倍，点P的速度为， ∴点Q的速度为， 当时， ，, ∵， ∴， ∴的面积S是； （2）解：由题意可得：是的二次函数，设的速度为，则的速度为， ∴，，， ∴， 当时，， ∴，即， 解得：或， 结合图象可得不符合题意； ∴点P的速度为； （3）解：由（2）得：当，则， ∴， ∵的最长运动时间为， 的最长运动时间为：， ∴当时，最大， 最大值为：. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，二次函数与几何图形的面积，二次函数的性质，二次根式的运算，一元二次方程的解法，本题的计算量大，掌握基础的计算方法是解题的关键. 5．（2025·广西河池·一模）【阅读理解】在学习《解直角三角形》这一节时，喜欢探索的小明同学在课外学习活动中，探究发现，锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系．下面是小明同学的学习笔记，请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 学习笔记：如图1，在锐角中，，，的对边分别记为a，b，c，锐角的面积记为，过点C作于点D，则， ∴， ∴． 同理可得，， 即． 由以上推理得结论①：锐角三角形的面积等于两边与其夹角正弦积的一半． 又∵，根据等式的基本性质，将，整理，得． 由以上推理得结论②：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请学习上述阅读材料，并用上述材料的结论解答以下问题． 如图2，甲船以54海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西方向的B处，且乙船从B处沿北偏东方向匀速直线航行．当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到达甲船的南偏西方向的C处，此时两船相距18海里． (1)求的面积； (2)求乙船由B处到达C处航行的路程是多少海里．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形—方向角问题、等边三角形的判定与性质等知识点，掌握方向角的概念以及正确使用材料中的结论是解题的关键． （1）根据题意知：，，然后利用材料中锐角三角形的面积公式并代入数据计算即可； （2）先证明是等边三角形，分别求出，在中，由材料中结论②得并代入数据计算即可． 【详解】（1）解：由题意知：海里，海里， 由结论①知： ． ∴的面积为平方海里． （2）解：如图： 由（1）知， ∴是等边三角形， ∴海里， 又∵， ∴， 由题意知， ∴， 由题意可得：， ∴海里． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$