专题08 函数的单调性（讲义） - 河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第8个专题集合。本专题涵盖判断函数单调性、函数的最值、由函数单调性确定参数取值范围等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题08 函数的单调性（讲义） 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 3. 函数的最大值和最小值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(或m)满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)__∃x0∈I，使得f(x0)＝M__ (3)∀x∈I，都有f(x)≥m； (4)∃x0∈I，使得f(x0)＝m 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 m为函数y＝f(x)的最小值 【考点1】判断函数单调性 1．(2022年河北）下列函数为偶函数且在内是增函数的是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】由单调性及奇偶性的图像特点定义即可得解. 【详解】如图所示为的图像,由图可知为偶函数且在内为增函数,选项正确. 如图所示为图像,由图像可知为偶函数,在内不是增函数,故选项错误. 如图所示为的图像,由图可知为既不是奇函数也不是偶函数,在内为增函数,故选项错误. 如图所示为的图像,由图可知既不是奇函数也不是偶函数,在内为增函数,故选项错误. 故选:. 2．(2018年河北对口)下列函数中既是奇函数又是减函数的是（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】是偶函数，排除B； 是增函数，排除A；在定义域上不是减函数，排除D；故选C. 3．（2023年河北）已知是幂函数，则此函数的单调递增区间为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先由函数是幂函数求解m的值，再由幂函数的图像即可求解函数的单调递增区间. 【详解】因为函数是幂函数， 所以， 所以幂函数为， 图像如下， 所以该函数的单调递增区间为. 故答案为：. 【考点2】由函数奇偶性确定参数取值范围 4．(2021年)如果函数在上是减函数，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解的取值范围. 【详解】在上是减函数， 则，解得. 故答案为：. 【考点3】抽象函数奇偶性问题 5．（2024年河北）设奇函数在上为增函数，且最大值为，那么在上为（ ）. A. 增函数，且最小值为 B. 增函数，且最大值为 C. 减函数，且最小值为 D. 减函数，且最大值为 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性及单调性的定义即可得解. 【详解】奇函数在上为增函数，且最大值为，所以， 因为奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同， 函数在上为增函数，所以有最小值为， 故选：. 6.（2025年河北样卷）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若实数满足，则a的取值范围是（ ）． A. B. C D. 【答案】C 【详解】函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减，如草图所示，满足的是蓝色部分，所以可得，得到， 故答案为：C. 知识识点1函数单调性和最值 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】由题意知函数， 则函数图像为开口向上，对称轴为的二次函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 2．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性即可解答. 【详解】函数中， 二次项系数，图像开口向下， 对称轴为， 所以在函数的单调递减区间是， 故选：C. 3．下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数及反比例函数的单调性逐项判断即可得解. 【详解】选项，函数，定义域为，，所以在区间上是减函数，故正确； 选项，函数，定义域为，，所以在区间上是增函数，故错误； 选项，函数，定义域为，图像为开口向上的抛物线，对称轴为，所以在区间上是增函数，故错误； 选项，函数，定义域为，，所以在区间上是增函数，故错误； 故选：. 4．下列函数中，在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数，反比例函数及一次函数的性质即可得解. 【详解】函数，定义域为，图像为开口向下的抛物线，对称轴为，在区间上是减函数，故错误； 函数，定义域为，因为，所以在区间上是减函数，故错误； 函数，定义域为，一次项系数，所以在区间上时减函数，故错误； 函数，定义域为，图像为开口向上的抛物线，对称轴为，在区间上是增函数，故正确； 故选：. 5．下列函数中既是奇函数，又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性单调性逐个分析即可. 【详解】对于A，是奇函数，但非单调函数，故A错误， 对于B，是非奇非偶函数，故B错误， 对于C，是偶函数，故C错误， 对于D，既是奇函数，又是减函数，故D正确， 故选：D. 6. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性的概念，即可求解. 【详解】对于A，函数为周期函数，在上不单调递增，故A项错误； 对于B，函数的定义域为，， 所以函数不是奇函数，故B项错误； 对于C，函数的定义域为，， 所以函数是奇函数，但该函数在上单调递减，故C项错误； 对于D，函数的定义域为， 所以函数是奇函数，且在上单调递增，故项正确． 故选：D. 7．函数在上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．存在最小值 D．存在最大值 【答案】A 【分析】根据函数解析式的单调性分析选项即可. 【详解】， 所以，即， 所以函数在上单调递增，故A正确，B错误， 既不存在最大值，也不存在最小值，故C，D错误. 故选：A. 8．函数的最小值、最大值分别为（   ） A．3，5 B．，5 C．1，5 D．5， 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，即可求解最值问题. 【详解】函数，可知一次函数的系数为负， 故是单调递减函数， 故在定义域的左端取得最大值，右端取得最小值， 则， . 故选:B. 9．函数在区间上为增函数，则在该区间的最大值为（    ）． A．0 B．1 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用函数的单调性求最值即可. 【详解】函数在区间上为增函数， 则为最大值； 故选：D. 10．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性即可求解. 【详解】因为. 所以函数在上为增函数. 因为. 所以函数的值域为. 故选：C. 知识点2 由函数单调性确定参数取值范围 1．若函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数单调性即可解得. 【详解】由题，在上单调递减， 则，解得. 故选：D 2．若是减函数，则下列关于实数的说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合一次函数的单调性，即可求解. 【详解】因为是减函数，所以， 所以，即． 故选：B. 3．已知二次函数在区间上是减函数，在区间是增函数，则函数的最小值是（    ）． A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由二次函数的单调区间确定的值，再由单调区间求其最小值即可. 【详解】因为二次函数 在区间上是减函数，在区间是增函数， 所以其对称轴为，解得， 当时，取最小值，最小值为. 故选：B. 4．函数在区间上的最大值与最小值的差是2，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．或 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论，根据单调性确定最值，列式可求解. 【详解】设函数， ①当时，函数在区间上单调递增，由题知， ， 解得； ②当时，函数在区间上单调递减，由题知， 解得； ③当时，不符合题意； 综上所述，a的值为或. 故选：D 5．若函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为， 所以对称轴，图像为开口向上的抛物线， 又因为函数在区间上是减函数， 所以， 解得，所以实数的取值范围， 故选：B. 6．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析二次函数的图象，再利用其单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为函数的开口向上，对称轴为， 又在区间上是减函数， 所以，解得，即. 故选：D. 7．若在区间上是增函数，那么实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质可求. 【详解】开口向上，对称轴为， 若区间上是增函数，则， 解得； 故选：B. 8．若在上是减函数，在上是增函数，则实数a的值为（   ）． A． B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴，再由对称轴公式列方程求解即可. 【详解】由在上是减函数， 在上是增函数，可得函数的对称轴为， 则，即，解得， 故选：A. 9．设函数在上单调递减，在上单调递增，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性可得对称轴为，代入对称轴公式求出的值，再将代入函数解析式求出的值即可. 【详解】由函数在上单调递减， 在上单调递增，可得对称轴为， 即，解得， 所以，由， 得，解得， 所以. 故选：C. 10．函数在上是减函数，在上是增函数，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出为函数的对称轴，求出即可. 【详解】由函数在是减函数，在是增函数， 所以函数图象的对称轴为， 则对称轴， 解得. 故选：A. 知识点3 抽象函数的单调性 1．若偶函数在区间上是增函数，且最大值为6，则在区间上是（   ） A．增函数且最大值是6 B．减函数且最大值是6 C．增函数且最大值是 D．减函数且最大值是 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性的概念，即可求解. 【详解】因为是偶函数，偶函数的图象关于轴对称， 又在区间上是增函数，所以在区间上是减函数， 又因为在区间上最大值为6， 根据其对称性在区间上最大值为6. 故选：B. 2. 如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是（ ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质，结合函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，且在区间上是增函数， 所以在也是增函数； 又因为在区间上最大值为， 所以， 因为， 所以在上的最小值是， 因此在是增函数，且最小值为. 故选：. 3．若偶函数在区间上是增函数且最小值为，则在区间上是（ ） A．减函数且最小值为 B．增函数且最小值为 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 【答案】A 【分析】根据函数的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】在区间,上是增函数，最小值是，. 又偶函数在区间上是增函数，在,上单调递减. 在,上最小值为：. 故选：A． 4．已知是奇函数，在区间上是减函数，且有最小值3，则在区间上（    ） A．是增函数且有最小值3 B．是增函数且有最小值 C．是减函数且有最大值3 D．是减函数且有最大值 【答案】D 【分析】根据奇函数在对称区间上的单调性不变，最值相反即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，所以关于原点对称， 则函数单调性不变，最值相反.即在也是减函数， 且有最大值，最大值为. 故选：D. 5. 若偶函数在上是增函数，且最小值是3，则在上是（    ） A．增函数，最小值是3 B．增函数，最大值是3 C．减函数，最小值是3 D．减函数，最大值是3 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性的性质判断即可； 【详解】因为偶函数在上是增函数，且最小值是3； 由偶函数的图像关于y轴对称，可得在上是减函数，最小值为3； 故选：C. 6．若偶函数在区间上是增函数且，则它在区间上（    ） A．最小值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最大值是 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】因为在区间是增函数，所以， 又是偶函数且，所以，， 即，且在上单调递减， 所以函数在区间上最大值为， 故选：D 7．如果偶函数在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（    ） A．减函数且最小值为5 B．减函数且最大值为5 C．增函数且最小值为5 D．增函数且最大值为5 【答案】A 【分析】由偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反及偶函数定义可判断结果． 【详解】因为偶函数在区间上是增函数，且偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反， 所以在区间上是减函数. 又因为在区间上最小值为5，即， 所以在区间上的最小值为. 故选：A 8．已知是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，是定义在上的增函数， 又， 所以，解得， 即则实数的取值范围是. 故选：B. 9．已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论和的情况，结合一次函数与二次函数的单调性即可得解. 【详解】当时，函数，在上为增函数，满足题意． 当时，为二次函数，对称轴为， 又因为在区间上为增函数， 所以函数图像开口向下，即，且，解得． 综上所述，， 所以实数的取值范围是， 故选：. 10．已知奇函数在区间上是减函数，且最小值为5，那么在区间上是（   ） A．增函数且最小值为 B．增函数且最大值为 C．减函数且最小值 D．减函数且最大值为 【答案】D 【分析】根据奇函数的图像的对称性即可得出结论. 【详解】已知为奇函数， 则函数图像关于原点中心对称， 且区间与区间关于原点对称， 所以它在对称区间的单调性不变， 因为该函数在区间上是减函数， 且最小值为5，即， 所以在区间上是减函数， 最大值为， 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第8个专题集合。本专题涵盖判断函数单调性、函数的最值、由函数单调性确定参数取值范围等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题08 函数的单调性（讲义） 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 3. 函数的最大值和最小值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(或m)满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)__∃x0∈I，使得f(x0)＝M__ (3)∀x∈I，都有f(x)≥m； (4)∃x0∈I，使得f(x0)＝m 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 m为函数y＝f(x)的最小值 【考点1】判断函数单调性 1．(2022年河北）下列函数为偶函数且在内是增函数的是（ ） A. B. C D. 2．(2018年河北对口)下列函数中既是奇函数又是减函数的是（ ） A、 B、 C、 D、 3．（2023年河北）已知是幂函数，则此函数的单调递增区间为_______. 【考点2】由函数奇偶性确定参数取值范围 4．(2021年)如果函数在上是减函数，则实数的取值范围是____________. 【考点3】抽象函数奇偶性问题 5．（2024年河北）设奇函数在上为增函数，且最大值为，那么在上为（ ）. A. 增函数，且最小值为 B. 增函数，且最大值为 C. 减函数，且最小值为 D. 减函数，且最大值为 6.（2025年河北样卷）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若实数满足，则a的取值范围是（ ）． A. B. C D. 知识识点1函数单调性和最值 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中既是奇函数，又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 6. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 7．函数在上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．存在最小值 D．存在最大值 8．函数的最小值、最大值分别为（   ） A．3，5 B．，5 C．1，5 D．5， 9．函数在区间上为增函数，则在该区间的最大值为（    ）． A．0 B．1 C．16 D．25 10．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 知识点2 由函数单调性确定参数取值范围 1．若函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 2．若是减函数，则下列关于实数的说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数在区间上是减函数，在区间是增函数，则函数的最小值是（    ）． A．2 B． C．3 D． 4．函数在区间上的最大值与最小值的差是2，则a的值为（    ） A． B．1 C． D．或 5．若函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若在区间上是增函数，那么实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若在上是减函数，在上是增函数，则实数a的值为（   ）． A． B．3 C．5 D． 9．设函数在上单调递减，在上单调递增，且，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．函数在上是减函数，在上是增函数，则的值是（     ） A． B． C． D． 知识点3 抽象函数的单调性 1．若偶函数在区间上是增函数，且最大值为6，则在区间上是（   ） A．增函数且最大值是6 B．减函数且最大值是6 C．增函数且最大值是 D．减函数且最大值是 2. 如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是（ ） A．增函数且最大值是 B．增函数且最小值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 3．若偶函数在区间上是增函数且最小值为，则在区间上是（ ） A．减函数且最小值为 B．增函数且最小值为 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 4．已知是奇函数，在区间上是减函数，且有最小值3，则在区间上（    ） A．是增函数且有最小值3 B．是增函数且有最小值 C．是减函数且有最大值3 D．是减函数且有最大值 5. 若偶函数在上是增函数，且最小值是3，则在上是（    ） A．增函数，最小值是3 B．增函数，最大值是3 C．减函数，最小值是3 D．减函数，最大值是3 6．若偶函数在区间上是增函数且，则它在区间上（    ） A．最小值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最大值是 7．如果偶函数在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（    ） A．减函数且最小值为5 B．减函数且最大值为5 C．增函数且最小值为5 D．增函数且最大值为5 8．已知是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．已知奇函数在区间上是减函数，且最小值为5，那么在区间上是（   ） A．增函数且最小值为 B．增函数且最大值为 C．减函数且最小值 D．减函数且最大值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$