第二章 函数概念与基本初等函数-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习易错小练（人教A版2019）

见此图标器微信料音扫码精准备考层层突破 第二章 函数概念与基本初等函数 易错点1应用换元法求函数的解析式忽略新 =3(3a-1)-1=9a-4,2=22-1,方程无解. 元的取值范围 当a>1时，f(a)=2>1,此时f(f(a)=2,2 【例1】已知f(√x-1)=3一x,则f(x) =2,方程恒成立，故选D, [错因分析]对字母a的讨论不全而造成了漏解， [错解]令√x-1=t,则x=+1,所以f()=3 实际上应先对3a一1与1的大小进行探讨，即参数 -(2+1)=2-t, a的分界点应该有2个，a=号或a=1,所以在分段 即有f(x)=2-x2 [错因分析]本例的错误是由于忽视了已知条件 函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分 中“f”作用的对象“√工一工”是有范围限制的.利用 类讨论， 换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元 [正解] ①当a<号时，/a)=3a-1<1,fa) 的限制条件。 =3(3a-1)-1=9a-4,2a=23a-1,显然f(f(a) [正解]令√x-1=t,则t≥0，且x=产+1，所以 ≠2@： f(t)=3-(2+1)=2-2(≥0)，即f(x)=2-x (x≥0). ②当号≤a<1时，fa)=3a-1≥1ffa》 [答案]f(x)=2-x2(x≥0) 2a-1,2@=2a-1,故f(f(a)=2a0, 易错点击 ③当a≥1时，f(a)=2>1,f(f(a)=2°，2e= 利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自 22°，故f(f(a)=2w 变量的取值范围。 见固练习 综合①②③知a≥ 3 已知f(WE一1)=x一2√元，则f(x)的解析式为 [答案]C 易错点击 A.f(x)=x2-1 求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值(x)时， B.f(x)=x2+1(x≥-1) 首先要判断x。属于定义城的哪个子集，然后再代人相应 C.f(x)=x2-1(x≥-1) 的关系式，分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各 D.f(x)=x2+1 关系式的取值范围的并集， [解析]令t=√元一1，≥一1， 风固练习 由f(WE-1)=x-2√F=(WE-1)-1, 1,x<2, 则f(t)=2-1,t≥-1，即f(x)=x2-1(x≥-1). 已知函数f(x)=x-1,2≤x<3,且f(x)=2, [答案]C x2-7,x≥3， 易错点2忽略分段函数中参数的范围致错 则x。= () A.1 B.2 C.3 D.6 【例2】设函数∫(x)= 3x-1,x<1, 则满足 2,x≥1， 1,x<2, f(f(a)=2的a的取值范围是 [解析]因为f(x)=x一1,2≤x<3,且f(x)=2, A[导] B.[0,1] x2-7,x≥3， 2≤x<3,x≥3， c[3+a D.[1,+o∞) 则 或 解得x。=3. x。-1=2x8-7=2, [错解]当a<1时，f(a)=3a-1,此时f(f(a):[答案]C 见此图标贸微信抖音扫码精准备考层层突破 易错点3混淆函数的单调区间和在某区间上 [错解]1f)=(-D·√-V2. 单调 :f(-x)=√（-x)-1=f(x),.f(x)为偶 【例3】若函数f(x)=x2+2ax十4的单调递诚区间 是（一∞，2]，则实数a的取值范围是 函数. [错解]函数f(x)的图象的对称轴为直线x= (2)f(-x)= 1-(-x)1-x =x+2-2=x-21-2 一a,由于函数在区间（一c∞，2]上单调递减，因此 ,f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x),.f(x)为非 -a≥2，即a≤-2. 奇非偶函数. [错因分析]错解中把单调区间误认为是在区间 [错因分析]要判断函数的奇偶性，必须先求函数 上单调. 的定义域（看定义域是否关于原点对称），有时还需 [正解]因为函数f(x)的单调递减区间为（一∞， 要在定义域制约条件下将f(x)进行变形，以利于 2],且函数f(x)的图象的对称轴为直线x=一a, 判断其奇偶性 所以有-a=2,即a=-2. [答案]a=-2 [正解] （1油>0得z1>1孩<-1. 易错流击… ,f(x)的定义域关于原点不对称，f(x)为非奇 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是 非偶函数。 1,指的是函数递减的最大范围为区间1.而函数在某一区 1-x≥0， 闻上单调，则指此区间是相应单周区间的子区间.所以我 (2)由 得一1≤x≤1且x≠0，定义 x+21-2≠0 们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条 件的含义 域关于原点对称.又一1≤x≤1且x≠0时，f（x)= 见固练习 1-z=-z x+2-2 x 已知函数f(x)=x一kx-6在[2,8]上是单调 “-)==立=三=-f, 函数，则k的取值范围是 () 一x A.(4,16) B.[4,16] ,.f(x)为奇函数 C.[16,+∞) D.(-∞，4]U[16,+∞) 易错点击 [解析]根据题意，函数f(x)=x°一kx一6的对称 判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数，偶函数 的定义域应关于原点对称，不关于原点对称的既不是奇函 轴为x=会，若f(x)在[2,8]上是单调函数，必有会 数也不是偶函数.再找f(x)与f(一x)的关系，若f(一x) <2或号>8，解得<4或k>≥16，即友的取值范围是 =f(x),则函数f(x)为偶函数：若f(一x)=一f(x),则函 数f(x)为奇函数. (-∞，4]U[16,十∞)，故选D. 见固练习 [答案]D 下列函数是奇函数的是 易错点4判断函数的奇偶性忽略函数的定 A.y=c0sx十x B.y=x'sin r 义域 【例4】判断下列函数的奇偶性： C.y=ln(√/x+1-x) D.y=e'+e [解析]：cosx十x≠cos(一x)一x,cosx十x≠ x+1 Vr 1fx)=x-D2f)=+22 一[cos(一x)一x],.A为非奇非偶函数 见此图标双微信料音扫码精准备考层层突破 ,r'sin x=[(-x)'sin(-x)],x∈R,.B为偶函数. 见固练习 √2+I-x>-x≥0，∴x∈R 函数y=ln(x2-2x)的单调递减区间是() A.(-∞，1) B.(1,+∞) ,ln(√x+1-x)+ln(/(-x)+1-(-x))=ln1 C.(-∞，0) D.(2,十∞) =0,.C为奇函数。 [解析]由y=ln(x2-2x), :e十er=e十e-”,x∈R,.D为偶函数，故 ∴x2-2x>0,解得x<0或x>2, 选C. 所以函数y=ln(x-2x)的定义域为（一o∞，0）U(2, [答案]C 十∞)， 令u=x2一2x,则函数u=x2一2x在（一∞，0）上单调 易错点5 求函数的单调区间忽略函数的定 递减，在(2，十∞)上单调递增， 义域 而函数y=lnu在(0，十∞)上为增函数， 【例5】函数f(x)-log:(x2一4x)的单调递减区 由复合函数单调性可得y=ln(x2一2x)的单调递减 间为 ( 区间为(-∞，0). [答案]C A.(-∞，2) B.(2,+∞) 易错点6不理解复合函数的意义致错 C.(-∞，0) D.(4,十oo） 【例6】已知函数y=log(x2-x-a)的值域为R,求 [错解]设函数u=x2一4x,可知为二次函数，且 实数a的取值范围。 开口向上，则函数u=x2一4x在区间（一∞，2）内为 [错解]设f(x)=x2-x一a,则y=log2f(x).依 减函数，在区间(2，十∞)内为增函数， 题意，f(x)>0恒成立，△=1十4a<0,a< 而对数函数y=logu在(0，十∞)上为减函数， 一子即a的取值范围为（一©，一）月 由复合函数单调性“同增异诚”可知，函数(x)= =x log(x2-4x)的单调递减区间为(2，十∞). [正解]解不等式x2-4x>0,解得x<0或x>4, 所以函数y=f(x)的定义域为（一∞，0）U [错因分析]以上解法错误在于没有准确地理解 (4,十0∞). y=log,(x-x一a)值域为R的含义.根据对数函 设函数u=x2一4x>0,可知为二次函数，且开口向 数的图象和性质，我们知道，当且仅当f(x)=x 上，则函数u=x一4x在区间（一∞，0）内为减函 x一a的值能够取遍一切正实数时，y= 数，在区间(4，十∞)内为增函数. log(x2-x-a)的值域才为R.而当△<0时，f(x) 面对数函数y=og“在(0，十∞)上为减函数， >0恒成立，仅仅说明函数定义域为R,而f(x)不 一定能取遍一切正实数（一个不漏），要使∫(x)能 由复合函数单调性“同增异减”可知，函数f(x)= 取遍一切正实数，作为二次函数，∫(x)图象应与 1og(x2-4x)的单调递诚区间为(4，十c∞). x轴有交点（但此时定义域不再为R). [答案]D [正解]要使函数y=log2(x°一x一a)的值域为 易错点击 R,应使f(x)=x2一x一a能取遍一切正实数，要使 求复合函数的单调区间时，除了要注意两个函数的单调 f(x)=x2-x一a能取遍一切正实数，应有△=1十 性，遵循“同增异减”原则外，还要特别注意函数的定义域， 4a≥0，a>≥-子，所求a的取值范围 要在函数的定义域内求单调区间，离开了函数的定义域讨 论函数的性质是没有意义的， 为[-+∞ 见此图标殴微信抖音扫码精准备考层层突破 易错点击 [错因分析]函数的定义域决定了函数的一切性 对于复合函数来说，内函数的值域就是外函数的定义域， 质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义 而外函数的值域则依赖于内函数的值域来确定. 域.通过作图（图略），可知函数f(x)=x十上的图 巩固练习 象不是连续不斯的，而零点存在性定理不能在包含 设函数f(x)=2-√x2+4,g(x)=ln(a.x2-4z 间断点的区间上使用 +1),若对任意的x1∈R,都存在实数x1,使得f(x) [正解]函数f(x)的定义域为{xx≠0)，当x>0 =g(x2)成立，则实数a的取值范围为 时，f(x)>0:当x<0时，f(x)<0.所以函数f(x) A.(-∞，4] B.(0,4] 没有零点，故选A. C.[0,4] D.(0,2] [答案]A [解析]设g(x)的值域为A,而f(x)的值域为 易错点击 (-∞，0]，由已知有(-∞，0]二A,所以(0,1]是y 零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件 ax2-4x十1值域的子集. 不成立，那么就不能使用该定理 当a<0时，y开口向下且对称轴x-2<0,又yl。 a 风固练习 =1,显然(0,1门是y值域上的子集，符合题设： 若函数f(x)=x+ax2十bx十c有三个零点-1， 当a=0时，y=一4x+1,显然(0,1]是y值域上的子 1,x。,若c∈(2,3)，则零点x。所在区间为() 集，符合题设： A.(2,3》 B.(3,4) 当a>0时，y开口向上且对称轴x=2>0,此时只需 C.(4,5) D.(5,6) a f(1)=1+a+b+c=0, △=16-4a≥0，即a≤4时，(0,1]是y值域上的子集. [解析] 依题意可得 f(-1)=-1+a-b+c=0, 综上，a≤4. a+c=0, [答案]A 则 b=-1, 易错点7忽略函数零点存在的条件 所以f(x)=x一cx2-x十c,显然f(x)为连续函数， 【例7】函数f(x)=x十上的零点个数为 ( 又c∈(2,3)，所以f(2)=6-3c<0,f(3)=24-8c> x 0,f(4)=60-15c>0. A.0 B.1 C.2 D.3 f(5)=120-24c>0,f(6)=210-35c>0, [错解]因为f(-1)=-2<0,f(1)=2>0,所以 根据零点存在定理可知f(x)的第三个零点x∈(2,3). 函数f(x)有一个零点，故选B. [答案]A