10.2事件的相互独立性课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.2 事件的相互独立性 第十章 概率 人教2019 A版 必修 第二册 教学目标 人教2019 A版 必修 第二册 教学重难点 人教2019 A版 必修 第二册 前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？ 我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系，那么这种关系会是怎样的呢？ 下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。 引入课题 人教2019 A版 必修 第二册 探究 合作探究 人教2019 A版 必修 第二册 探究 合作探究 人教2019 A版 必修 第二册 合作探究 人教2019 A版 必修 第二册 合作探究 人教2019 A版 必修 第二册 合作探究 人教2019 A版 必修 第二册 探究 合作探究 人教2019 A版 必修 第二册 合作探究 人教2019 A版 必修 第二册 1.判断下列事件是否为相互独立事件. ① 篮球比赛的“罚球两次”中， 事件A：第一次罚球，球进了. 事件B：第二次罚球，球进了. ②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球. ③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球. 事件A：第一次从中任取一个球是白球. 事件B：第二次从中任取一个球是白球. 小试牛刀 人教2019 A版 必修 第二册 12 广东省阳江市第一中学周如钢 A 小试牛刀 人教2019 A版 必修 第二册 3.抛掷一枚均匀的骰子一次,记事件A=“出现偶数点”,B=“出现3点或6点”, 则事件A与B的关系是( ) A.互斥 B.相互独立 C.既相互互斥又相互独立事件 D.既不互斥又不相互独立事件 解析:因为A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},所以 B 小试牛刀 人教2019 A版 必修 第二册 学以致用 人教2019 A版 必修 第二册 学以致用 人教2019 A版 必修 第二册 学以致用 人教2019 A版 必修 第二册 学以致用 人教2019 A版 必修 第二册 学以致用 人教2019 A版 必修 第二册 学以致用 人教2019 A版 必修 第二册 学以致用 人教2019 A版 必修 第二册 学以致用 人教2019 A版 必修 第二册 B B 课堂训练 人教2019 A版 必修 第二册 0.72 0.9702 课堂训练 人教2019 A版 必修 第二册 课堂训练 人教2019 A版 必修 第二册 课堂小结 人教2019 A版 必修 第二册 布置作业 人教2019 A版 必修 第二册 人教2019 A版 必修 第二册 数学抽象素养：通过对具体实例（如抛掷硬币、有放回摸球等）的分析，抽象概括出事件相互独立性的定义，理解相互独立事件的本质特征，提升从具体到抽象的思维能力。 逻辑推理素养：推导出相互独立事件的性质（如若事件 A 与 B 相互独立，则其他相关事件也相互独立），能运用定义和性质判断事件的独立性，培养逻辑推理和论证能力。 数学运算素养：熟练掌握相互独立事件积事件概率的计算方法，准确进行与相互独立事件相关的概率运算，提高运算的准确性和速度，培养严谨的运算习惯。 重点：事件相互独立性的定义、判断方法，相互独立事件积事件概率的计算，以及利用相互独立事件解决实际问题。 难点：对事件相互独立性概念的理解，区分相互独立事件与互斥事件，以及在复杂问题中正确运用相互独立事件的概率公式进行计算。 下面两个随机试验各定义了一对随机事件 和 ，你觉得事件 发生与否会影响事件 发生的概率吗？ 试验 1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币， “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”. 试验 2：一个袋子中装有标号分别是 1，2，3，4 的 4 个球，除标号外没有其他差异. 采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设 “第一次摸到球的标号小于 3”， “第二次摸到球的标号小于 3”. 分别计算 ， ， ，你有什么发现？ 显然，对于试验 1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件 发生与否不影响事件 发生的概率. 下面两个随机试验各定义了一对随机事件 和 ，你觉得事件 发生与否会影响事件 发生的概率吗？ 试验 1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币， “第一枚硬币正面朝上”， “第二枚硬币反面朝上”. 试验 2：一个袋子中装有标号分别是 1，2，3，4 的 4 个球，除标号外没有其他差异. 采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. 设 “第一次摸到球的标号小于 3”， “第二次摸到球的标号小于 3”. 分别计算 ， ， ，你有什么发现？ 对于试验 2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件 发生与否也不影响事件 发生的概率. 在试验 1 中，用 1 表示硬币“正面朝上”，用 0 表示硬币“反面朝上”， 则样本空间为 ，包含 4 个等可能的样本点. 而 ， ，所以 . 由古典概型概率计算公式，得 ， . 于是 . 积事件 的概率 恰好等于 与 的乘积. 在试验 2 中，样本空间 ，而 ， ， ， 于是也有 。 积事件 的概率 也等于 与 的乘积。 所以 ， 。 从上述两个试验的共性中得到启发，我们引入这种事件关系的一般定义： 由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件 、不可能事件 都与任意事件相互独立。这是因为必然事件 总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件 总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响。当然，它们也不影响其他事件是否发生。 对任意两个事件 与 ，如果 成立，则称事件 与事件 相互独立，简称为独立。 互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系。如果事件 与事件 相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验为例，分别验证 与 ， 与 ， 与 是否独立，你有什么发现？ 对于 与 ，因为 ，而且 与 互斥，所以 所以 我们知道，如果三个事件 ， ， 两两互斥，那么概率加法公式 成立。但当三个事件 ， ， 两两独立时，等式 一般不成立。 由事件的独立性定义， 与 相互独立。 类似地，可以证明事件 与 ， 与 也都相互独立。 是 是 不是 2.下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　) A．一枚硬币掷两次，A＝{第一次为正面}，B＝{第二次为反面} B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝{第一次摸到白球}，B＝{第二次摸到白球} C．掷一枚骰子，A＝{出现点数为奇数}，B＝{出现点数为偶数} D．A＝{人能活到20岁}，B＝{人能活到50岁} 解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件； B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立； 对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立； D是条件概率，事件B受事件A的影响． P(A)=,P(B)=,P(AB)=,所以A与B相互独立. 例 1: 一个袋子中有标号分别为 1，2，3，4 的 4 个球，除标号外没有其他差异。采用不放回方式从中任意摸球两次。设事件 = “第一次摸出球的标号小于 3”，事件 = “第二次摸出球的标号小于 3”，那么事件 与事件 是否相互独立？ 解：因为样本空间且 ， ， ， 所以 ， 。 此时 ，因此，事件 与事件 不独立。 例 2: 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.9，求下列事件的概率： 两人都中靶； 恰好有一人中靶； 两人都脱靶； 至少有一人中靶。 分析：设 = “甲中靶”， = “乙中靶”。从要求的概率可知，需要先分别求 ， 的对立事件 ， 的概率，并利用 ， ， ， 构建相应的事件。 两人都中靶； 解：设 = “甲中靶”， = “乙中靶”，则 = “甲脱靶”， = “乙脱靶”。由于两个人射击的结果互不影响，所以 与 相互独立， 与 ， 与 ， 与 都相互独立。 由已知可得， ， ， ， 。 = “两人都中靶”，由事件的独立性定义，得 . （2）恰好有一人中靶； “恰好有一人中靶” = ，且 与 互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得 。 （3）两人都脱靶； 事件“两人都脱靶” = ，所以 . （4）至少有一人中靶。 方法 1：事件“至少有一人中靶” = ，且 ， 与 两两互斥，所以 （4）至少有一人中靶。 方法 2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为 . 例 3 :甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为 。在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响。求“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率。 分析：两轮活动猜对 3 个成语，相当于事件“甲猜对 1 个，乙猜对 2 个”、事件“甲猜对 2 个，乙猜对 1 个”的和事件发生。 解：设 ， 分别表示甲两轮猜对 1 个，2 个成语的事件， ， 分别表示乙两轮猜对 1 个，2 个成语的事件。根据独立性假定，得 ， 。 ， 。 设 = “两轮活动‘星队’猜对 3 个成语”，则 ，且 与 互斥， 与 ， 与 分别相互独立，所以 因此，“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率是 . 若事件 与 相互独立，且 ，则 的值等于( ) A. B. C. D. 甲、乙、丙三名同学独立解决同一个问题，已知三名同学能够正确解决这个问题的概率分别为 ， ， ，则有人能够解决这个问题的概率为( ) A. B. C. D. 3.甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别是 与 ，且预报准确与否相互独立，那么在一次预报中，两个气象台都能预报准确的概率是______ 。 4.若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为 ， ，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是______ 。（结果用小数表示） 4.甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别是 与 ，且预报准确与否相互独立，那么在一次预报中，两个气象台都能预报准确的概率是______ 。 5.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是 ， ，求： （1）两人都成功破译的概率； （2）密码被成功破译的概率。 答案：（1）两人都成功破译的概率为 ；（2）密码被成功破译的概率为 。 总结知识： 相互独立事件的定义：事件 发生与否对事件 发生的概率没有影响，即 。 相互独立事件的概率计算：利用定义公式进行计算。 判断事件是否相互独立的方法： 定义法：验证 。 实际意义法：分析事件发生是否相互影响。 方法总结： 列表比较互斥事件和相互独立事件的定义和概率公式。 在解决实际问题时，先判断事件之间的关系，再选择合适的方法进行概率计算。 作业布置： 课本习题10.2第3、4、5题。 补充习题： 袋中有2个白球和3个黑球，采取有放回的方式依次摸出两球，设 第一次摸到白球 ，第二次摸到白球 ，判断 与 是否相互独立。 甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲解决问题的概率为0.6，乙解决问题的概率为0.5，求问题被解决的概率。 $$