专题提优2 根的判别式及根与系数的关系（10种题型）专项训练（解析版+原卷版）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）【提优专题+重点题型 】典例剖析及举一反三训练

专题提优2 根的判别式及根与系数的关系（10种题型）专项训练 题型一 不解方程，用根的判别式判别根的情况 1．（2023秋•江阳区期中）下列方程没有实数根的是（　　） A．x2+4x＝1 B．x2+x﹣3＝0 C．x2﹣2x+2＝0 D．（x﹣2）（x﹣3）＝0 2．（2024•息县三模）对于实数a、b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 题型二 利用根的判别式求代数式的值或取值范围 3．（2024•巨野县二模）已知关于x的方程有两个实数根，k的取值范围是 　 　 ． 题型三 根据字母系数的情况，判别根的情况 4．（2024•郸城县三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．（2023秋•南安市月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2其中正确的（　　） A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①②③ 题型四 已知一个根，求另一个根或字母的值 6．（2023•怀化）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为 　 　 ，另一个根为 　 　 ． 题型五 利用根与系数关系求对称式的值 7．（2023•古蔺县模拟）一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，则 　 ． 8．（2023秋•长汀县期中）已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式的值为 　 ． 题型六 利用根与系数关系及根的意义求非对称式的值 9．（2021秋•西湖区期末）已知α，β是方程x2+2022x+1＝0的两个根，则代数式（1+2023α+α2）（1+2026β+β2）的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（2022•江西模拟）已知a、b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是 　 　 ． 11．（2021•南通）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为 　 　 ． 题型七 利用根与系数的关系求代数式的值或取值范围 12．若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为 　 　 ． 13．（2022秋•荔湾区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为（　　） A．2 B．m＞0 C．1 D．0 14．（2024•满洲里市模拟）已知a≥2，m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0（m≠n），则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（　　） A．6 B．3 C．﹣3 D．0 15．（2023秋•沭阳县月考）已知实数p、q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，且p≠2q，则p2+4q2＝　 　 ． 题型八 判别式及根与系数的关系的综合运用 16．（2023•泰山区模拟）如果关于x的一元二次方程x2+2x+6﹣b＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝k，则直线y＝kx+b必定经过的象限是（　　） A．一、二、三 B．一、二、四 C．二、三、四 D．一、三、四 17．（2022•偃师市月考）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 18．（2024秋•田家庵区月考）（1）已知：x1，x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且，则k的值为 　 　 ． （2）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是 　 　 ． 19．（2020•浙江自主招生）设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2﹣6x+a＝0的两根，当这样的三角形只有一个时，则a的取值范围为　 　 ． 20．（2022春•包河区期中）设实数a，b满足a2（b2+1）+b（b+2a）＝40，a（b+1）+b＝8，求的值 　 　 ． 21．（2023•新邱区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根． （1）若x1＝1，求x2及m的值； （2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 22．（2022•浦东新区自主招生）已知关于x的方程有实数根． （1）求a的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且，求a的值． 23．（2022秋•东台市月考）阅读理解： 材料1：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y（a≠0），然后移项可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求x2+2x+5的取值范围； 解：令x2+2x+5＝y ∴x2+2x+（5﹣y）＝0 ∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0 ∴y≥4 ∴x2+2x+5≥4． 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的实数根x1、x2（x1＞x2） 则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集为：x≥x1或x≤x2 则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集为：x2≤x≤x1 请根据上述材料，解答下列问题： （1）若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为﹣6，求a的值； （2）求出代数式的取值范围． 题型九 判别式及根与系数关系和几何图形综合 12．（2024春•沂源县期末）如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2+mx+24＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH值为 　 ． 13．（2023•巴中一模）如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC、BD的长度分别是一元二次方程x2+mx+24＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH值为（　　） A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8 题型十 判别式及根与系数关系和一次函数综合 19．（2024秋•东坡区校级期中）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若一元二次方程为x2＝4，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 　 　 ． （2）若点M是关于x的一元二次方程为x2﹣2（m+1）x+m2+2m＝0的衍生点，若点M在直线y＝﹣x上，求m的值； （3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝﹣kx+2（4+k）的图象上．若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提优2 根的判别式及根与系数的关系（10种题型）专项训练 题型一 不解方程，用根的判别式判别根的情况 1．（2023秋•江阳区期中）下列方程没有实数根的是（　　） A．x2+4x＝1 B．x2+x﹣3＝0 C．x2﹣2x+2＝0 D．（x﹣2）（x﹣3）＝0 【分析】根据计算判别式的值，利用判别式的意义可对A、B、C进行判断；用因式分解法解方程可对D进行判断． 【详解】解：A、x2+4x﹣1＝0，Δ＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，则方程有两个不相等的两个实数根，所以A选项错误； B、Δ＝12﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，则方程有两个不相等的两个实数根，所以B选项错误； C、Δ＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，则方程没有实数根，所以C选项正确； D、解得x1＝2，x2＝3，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 2．（2024•息县三模）对于实数a、b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【分析】根据运算“⊗”的定义将方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1转化为一般式，由根的判别式Δ＝（k﹣1）2+4＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1， ∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1， ∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0， ∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0， ∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键． 题型二 利用根的判别式求代数式的值或取值范围 3．（2024•巨野县二模）已知关于x的方程有两个实数根，k的取值范围是 　0≤k≤2且k≠1　 ． 【分析】依据题意可得，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意可得，， ∴． ∴0≤k≤2且k≠1． 故答案为：0≤k≤2且k≠1． 【点睛】本题主要考查了根的判别式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 题型三 根据字母系数的情况，判别根的情况 4．（2024•郸城县三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】先观察数轴，根据m，n在数轴上的位置，判断其正负，再求出方程根的判别式，根据m，n的值判断判别式的大小，进行解答即可． 【详解】解：观察数轴可知：m＞0，n＜0， ∴m2＞0，﹣4n＞0 ∴x2﹣mx+n＝0， a＝1，b＝﹣m，c＝n， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×n＝m2﹣4n＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了根的判别式和数轴，解题关键是熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 5．（2023秋•南安市月考）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2其中正确的（　　） A．①④ B．①②④ C．①②③④ D．①②③ 【分析】①由a+b+c＝0，可得出x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解，进而可得出Δ＝b2﹣4ac≥0； ②由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根； ③代入x＝c，可得出ac2+bc+c＝0，当c＝0时，无法得出ac+b+1＝0； ④利用求根公式，可得出，变形后即可得出． 【详解】解：①∵a+b+c＝0， ∴x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0，结论①正确； ②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，结论②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， ∴ac2+bc+c＝0， 若c为0，则无法得出ac+b+1＝0，结论③不正确； ④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， ∴， ∴， ∴，结论④正确． ∴正确的结论有①②④． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 题型四 已知一个根，求另一个根或字母的值 6．（2023•怀化）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则m的值为 　﹣1　 ，另一个根为 　2　 ． 【分析】将x＝﹣1代入原方程，可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再结合两根之积等于﹣2，即可求出方程的另一个根． 【详解】解：将x＝﹣1代入原方程可得1﹣m﹣2＝0， 解得：m＝﹣1， ∵方程的两根之积为2， ∴方程的另一个根为﹣2÷（﹣1）＝2． 故答案为：﹣1，2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 题型五 利用根与系数关系求对称式的值 7．（2023•古蔺县模拟）一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2，则 　　 ． 【分析】利用根与系数关系，得到两根和和两根积的值，将所求的式子进行通分，结合完全平方公式，整体代入，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣8， ∴2x1x2＝4+16＝20， ∴2x1x216， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系，得到两根之和和两根之积的值，进行整体代入，是解决问题的关键，同时要注意完全平方公式的运用． 8．（2023秋•长汀县期中）已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则代数式的值为 　　 ． 【分析】直接利用根与系数的关系作答． 【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的两根， ∴x1+x2＝3，x1•x2＝1． ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1•x2． 题型六 利用根与系数关系及根的意义求非对称式的值 9．（2021秋•西湖区期末）已知α，β是方程x2+2022x+1＝0的两个根，则代数式（1+2023α+α2）（1+2026β+β2）的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据根与系数的关系得到αβ＝1，通过根的定义得到α2+2022α+1＝0，β2+2022β+1＝0，即可得到1+2023α+α2＝α，1+2026β+β2＝4β，进一步即可求出答案． 【详解】解：∵α，β是方程x2+2022x+1＝0的两个根， ∴αβ＝1，α2+2022α+1＝0，β2+2022β+1＝0， ∴（1+2023α+α2）（1+2026β+β2） ＝a•4β ＝4αβ ＝4×1 ＝4． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把所求代数式合理变形后再利用根与系数的关系解题． 10．（2022•江西模拟）已知a、b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是 　36　 ． 【分析】利用根与系数的关系求出a+b与ab的值，再将x＝a与x＝b代入方程求出a2﹣3a＝5与b2﹣3b＝5，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵a、b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根， ∴a+b＝3，ab＝﹣5，a2﹣3a＝5，b2﹣3b＝5， 则原式＝2a（a2﹣3a）+（b2﹣3b）+10b+1 ＝10a+5+10b+1 ＝10（a+b）+6 ＝30+6 ＝36． 故答案为：36． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 11．（2021•南通）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为 　3　 ． 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m﹣1＝0，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣3，再将其代入所求式子即可求解． 【详解】解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根， ∴m2+3m﹣1＝0， ∴3m﹣1＝﹣m2， ∴m+n＝﹣3， ∴3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解与方程的关系得到3m﹣1＝﹣m2是解题的关键． 题型七 利用根与系数的关系求代数式的值或取值范围 12．若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为 　12　 ． 【分析】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝8， ∵x1＝3x2， 解得x1＝6，x2＝2， ∴m＝x1x2＝6×2＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 13．（2022秋•荔湾区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为（　　） A．2 B．m＞0 C．1 D．0 【分析】设方程的两根分别为t，t+2，利用根与系数的关系得到t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，利用代入消元法得到（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，然后解关于m的方程得到满足条件的m的值． 【详解】解：设方程的两根分别为t，t+2， 根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2， 把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2， 整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去）， 所以m的值为1． 法二：∵x2﹣4mx+3m2＝（x﹣m）（x﹣3m）， ∴关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的两根分别为x1＝m，x2＝3m，且x2＞x1， ∴x2﹣x1＝2m＝2， ∴m＝1， 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 14．（2024•满洲里市模拟）已知a≥2，m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0（m≠n），则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（　　） A．6 B．3 C．﹣3 D．0 【分析】根据题意和根与系数的关系，可以求得m+n和mn的值，从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵m2﹣2am+2＝0，n2﹣2an+2＝0（m≠n）， ∴m，n是方程x2﹣2ax+2＝0的两个根， ∴m+n＝2a，mn＝2， ∴（m﹣1）2+（n﹣1）2 ＝m2﹣2m+1+n2﹣2n+1 ＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2 ＝4a2﹣2×2﹣2×2a+2 ＝4a2﹣4a﹣2 ＝（2a﹣1）2﹣3， ∵a≥2， ∴（2a﹣1）2﹣3≥6， 即（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是6． 故选：A． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确两根之和和两根之积的公式，求出所求式子的值． 15．（2023秋•沭阳县月考）已知实数p、q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，且p≠2q，则p2+4q2＝　13　 ． 【分析】根据已知条件得到：p2﹣3p＝4q2﹣6q＝2，利用因式分解法分别求得p、q的值，然后代入所求的代数式进行求值即可． 【详解】解：∵由p2＝3p+2得：p2﹣3p＝2． 由2q2＝3q+1得：4q2＝6q+2， ∴4q2﹣6q＝2， 则p2﹣3p＝4q2﹣6q， ∴p2﹣3p﹣4q2+6q＝（p+2q）（p﹣2q）﹣3（p﹣2q）＝（p﹣2q）（p+2q﹣3）＝0， ∵p≠2q， ∴p+2q﹣3＝0， ∴p+2q＝3， ∴p2+4q2＝（2+3p）+（6q+2）＝3（p+2q）+4＝9+4＝13．即p2+4q2＝13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了因式分解的应用．解题时，关键是“整体代入”数学思想的应用． 题型八 判别式及根与系数的关系的综合运用 16．（2023•泰山区模拟）如果关于x的一元二次方程x2+2x+6﹣b＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝k，则直线y＝kx+b必定经过的象限是（　　） A．一、二、三 B．一、二、四 C．二、三、四 D．一、三、四 【分析】由方程有两个相等的实数根可得出根的判别式Δ＝0，解之即可得出b值，由根与系数的关系可得出k的值，再结合一次函数图象与系数的关系即可得出直线y＝kx+b所经过的象限． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+6﹣b＝0有两个相等的实数根x1＝x2＝k， ∴Δ＝22﹣4×（6﹣b）＝0，2k＝﹣2， ∴k＝﹣1，b＝5， ∴直线y＝kx+b经过第一、二、四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标，根据根的判别式结合根与系数的关系求出k、b的值是解题的关键． 17．（2022秋•偃师市月考）关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 【分析】将原方程转化为一般形式，由根的判别式Δ＝9+4p2＞0，可得出原方程有两个不相等的实数根，再结合2﹣p2＜0，可得出原方程有一个正根，一个负根． 【详解】解：将原方程化简成一般形式得x2+x﹣2﹣p2＝0， ∴a＝1，b＝1，c＝﹣2﹣p2， ∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p2）＝9+4p2． ∵p2≥0， ∴9+4p2＞0，即Δ＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 又∵2﹣p2＜0， ∴原方程有一个正根，一个负根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 18．（2024秋•田家庵区月考）（1）已知：x1，x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且，则k的值为 　2　 ． （2）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是 　16　 ． 【分析】（1）根据题意得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，再根据题意进行代数求值即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得到m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4，得到（m+2）（n+2）＝（t+1）2+7，求出t的取值范围，再根据二次函数的性质求出最小值即可． 【详解】解：（1）∵x1，x2是关于x的方程 x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1， ∵， ∴， ∴， 解得k＝2或k＝5， 当k＝2时，关于x的方程 x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意， 当k＝5时，关于x的方程 x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，不符合题意， ∴k＝2， 故答案为：2； （2）∵m，n是关于x的一元二次方程 x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根， ∴（m+2）（n+2）＝mn+2（m+n）+4＝t2+2t+8＝（t+1）2+7， ∵方程有两个实数根， ∴Δ＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0， ∴t≥2， ∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7＝16， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 19．（2020•浙江自主招生）设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2﹣6x+a＝0的两根，当这样的三角形只有一个时，则a的取值范围为　0＜a≤8或a＝9　 ． 【分析】由于方程x2﹣6x+a＝0有两个实数根，所以△≥0，当Δ＝0时可直接求出a的值，此时三角形是等边三角形； 当Δ＞0时可设两根为x1，x2（x1＜x2），由三角形的三边关系先判断出不存在一个等腰三角形底边为x2，腰为x1，再根据根与系数的关系即可判断出a的取值范围． 【详解】解：∵方程x2﹣6x+a＝0有实数根， ∴Δ＝36﹣4a≥0， （1）当Δ＝0时，即Δ＝36﹣4a＝0，解得a＝9，此时三角形为等边三角形； （2）当Δ＞0，即Δ＝36﹣4a＞0时，解得a＜9， 设两根为x1，x2（x1＜x2）此时存在一个等腰三角形底边为x1，腰为x2，此时不存在一个等腰三角形底边为x2，腰为x1即最短两边（即两腰）之和不大于最大边（即底边）即2x1≤x2， 由根与系数的关系可得，3x1≤x1+x2＝6， ∴x1≤2， ∵x1+x2＝6，x1•x2＝a， ∴a＝x1•（6﹣x1）， ＝6x1﹣（x1）2 ＝﹣（3﹣x1）2+9 ∴＝﹣（3﹣x1）2+9≤8， ∴当0＜a≤8，a＝9时，三角形只有一个． 故答案为：0＜a≤8或a＝9． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及三角形的三边关系，在解（2）时先判断出不存在一个等腰三角形底边为x2，腰为x1是解答此题的关键． 20．（2022春•包河区期中）设实数a，b满足a2（b2+1）+b（b+2a）＝40，a（b+1）+b＝8，求的值 　8　 ． 【分析】根据完全平方公式以及配方法对该分式进行变形，然后将a+b与ab的值代入即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：a2b2+a2+2ab+b2＝40， ∴（a+b）2+a2b2＝40，ab+a+b＝8， 令a+b＝m，ab＝n， ∴m2+n2＝40，m+n＝8， ∴m2+（8﹣m）2＝40， 解得m＝2或m＝6， ∴n＝6或n＝2， ∴a+b＝2，ab＝6或a+b＝6，ab＝2， 设a、b是方程x2﹣mx+n＝0的两个实根， ∴Δ＝m2﹣4n， 当m＝2，n＝6时， Δ＝4﹣24＝﹣20＜0， ∴方程没有实数根； 当m＝6，n＝2时， Δ＝36﹣8＝28＞0， ∴a+b＝6，ab＝2； ∵， ∴当a+b＝6，ab＝2时， 原式8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握完全平方公式，分式的加法法则以及一元二次方程判别式是解题的关键． 21．（2023•新邱区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根． （1）若x1＝1，求x2及m的值； （2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据一元二次方程根和系数的关系，得到x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1，即可求出x2及m的值； （2）将x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1代入（x1﹣1）（x2﹣1），整理得：m2﹣8m+12＝0，求出m的值，然后再舍去不合题意的值即可． 【详解】解：（1）根据题意得，x1x22m﹣1，x1+x2＝6， 若x1＝1，1+x2＝6，解得x2＝5， ∵52m﹣1， 解得：x2＝5，m＝3； （2）∵（x1﹣1）（x2﹣1）， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1， ∵x1+x2＝6，x1x2＝2m﹣1， ∴2m﹣1﹣6+1， 整理得：m2﹣8m+12＝0， 解得：m1＝2，m2＝6， 经检验m1＝2，m2＝6为原方程的解， 又∵一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4（2m﹣1）≥0， 解得：m≤5， ∴m＝2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根和系数的关系，解分式方程，熟练掌握一元二次方程根和系数的关系：x1+x2，x1x2是解题关键． 22．（2022•浦东新区自主招生）已知关于x的方程有实数根． （1）求a的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且，求a的值． 【分析】（1）设，分两种情况讨论，①方程为一元一次方程，②方程为一元二次方程，那么有（a2﹣1）y2﹣（2a+3）y+1＝0，根据Δ≥0即可求解； （2）设，，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）设，则原方程化为：（a2﹣1）y2﹣（2a+3）y+1＝0， ①当方程（a2﹣1）y2﹣（2a+3）y+1＝0，为一次方程时， 即a2﹣1＝0，a＝±1． 若a＝1，方程的解为：， 原方程的解为：满足条件； 若a＝﹣1，方程的解为：y＝1， 方程为，此时方程无解，不满足条件， ∴a＝1； ②当方程为二次方程时，a2﹣1≠0，则a≠±1， 要使方程（a2﹣1）y2﹣（2a+3）y+1＝0（2）有解，则Δ＝（2a+3）2﹣4（a2﹣1）＝12a+13≥0， 解得：，此时原方程没有增根， ∴a取值范围是且a≠﹣1． 综上，a的取值范围是且a≠﹣1； （2）设，， 则y1、y2是方程（a2﹣1）y2﹣（2a+3）y+1＝0的两个实数根， 由韦达定理得：， ∵， ∴， 解得：或6， 又∵且a≠﹣1， ∴a＝6． 【点睛】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法的运算法则是关键． 23．（2022秋•东台市月考）阅读理解： 材料1：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y（a≠0），然后移项可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求x2+2x+5的取值范围； 解：令x2+2x+5＝y ∴x2+2x+（5﹣y）＝0 ∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0 ∴y≥4 ∴x2+2x+5≥4． 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的实数根x1、x2（x1＞x2） 则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集为：x≥x1或x≤x2 则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集为：x2≤x≤x1 请根据上述材料，解答下列问题： （1）若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为﹣6，求a的值； （2）求出代数式的取值范围． 【分析】（1）根据材料一设y＝x2+ax+3，化为x的一元二次方程用Δ≥0得y的范围，再列出a的方程求解； （2）设y，用Δ≥0求解，再根据材料2得到结论． 【详解】解：（1）设y＝x2+ax+3，变形为x2+ax+3﹣y＝0， ∵Δ≥0， ∴a2﹣4（3﹣y）≥0可得y≥3a2， 而由已知y≥﹣6，故3a2＝﹣6， ∴a＝6或a＝﹣6； （2）设y，变形为3x2+（6+3y）x﹣2﹣y＝0， ∵Δ≥0， ∴（6+3y）2﹣4×3×（﹣2﹣y）≥0，化简得3y2+16y+20≥0， 先求出3y2+16y+20＝0的二根y1＝﹣2，y2， ∴根据材料2得y或y≥﹣2． 【点睛】本题主要主要考查阅读能力、二次函数与不等式（组），能灵活运用阅读材料，涉及方程、不等式解的关系，对计算要求也较高． 题型九 判别式及根与系数关系和几何图形综合 12．（2024春•沂源县期末）如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2+mx+24＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH值为 　　 ． 【分析】根据菱形的面积公式可得，再根据AC•BD＝24即可解答． 【详解】解：∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2+mx+24＝0的两实数根， ∴AC•BD＝24， ∵菱形的边长为5，DH是AB边上的高， ∴菱形的面积为：， 即24＝5DH， 解得DH． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质和面积，根与系数的关系，熟知菱形面积ab（a、b是两条对角线的长度）是解题关键． 13．（2023•巴中一模）如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC、BD的长度分别是一元二次方程x2+mx+24＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH值为（　　） A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8 【分析】根据题意可得AB•DH，根据根与系数的关系可得AC•BD24，则5DH，进而求出DH即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为边长为5的菱形，DH是AB边上的高， ∴AB•DH，AB＝5， ∴， ∵对角线AC、BD的长度分别是一元二次方程x2+mx+24＝0的两实数根， ∴AC•BD＝x1x224， ∴5DH， ∴DH2.4． 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质和面积，根与系数的关系，熟知菱形面积ab（a、b是两条对角线的长度）是解题关键． 题型十 判别式及根与系数关系和一次函数综合 19．（2024秋•东坡区校级期中）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若一元二次方程为x2＝4，请直接写出该方程的衍生点M的坐标为 　（﹣2，2）　 ． （2）若点M是关于x的一元二次方程为x2﹣2（m+1）x+m2+2m＝0的衍生点，若点M在直线y＝﹣x上，求m的值； （3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝﹣kx+2（4+k）的图象上．若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由． 【分析】（1）解方程x2＝4后，根据定义即可求M点坐标； （2）求出方程的解，再分情况讨论，由题意分别求出m的值即可； （3）y＝﹣kx+2（4+k）＝k（﹣x+2）+8，直线恒过定点（2，8），则方程x2+bx+c＝0的衍生点M为（2，8），代入求值即可． 【详解】解：（1）∵x2＝4， ∴x1＝﹣2，x2＝2， ∴M（﹣2，2）． 故答案为：（﹣2，2）； （2）x2﹣2（m+1）x+m2+2m＝0，解得：x1＝﹣m﹣2，x2＝﹣m，x1＜x2， ∴M（﹣m﹣2，﹣m）， ∵点M在直线y＝﹣x上， ∴﹣m＝﹣（﹣m﹣2），解得：m＝﹣1， ∴m的值为﹣1； （3）存在，理由如下： ∵y＝﹣kx+2（4+k）＝k（﹣x+2）+8， ∴直线恒过定点（2，8），则方程x2+bx+c＝0的衍生点M为（2，8）， ∴根据根与系数的关系有，，即， ∴b＝﹣10，c＝16． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数根与系数的关系，结合题意理解定义，用分类讨论思想分析问题是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$