精品解析：北京市第八中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

2024-2025学年度第二学期期中练习题 年级：高二 科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设全集，集合M满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先写出集合,然后逐项验证即可 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误 故选: 2. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，再解不等式即可作答． 【详解】函数定义域为R，求导得：，由，解得， 所以函数的单调递增区间是． 故选：C 3. 设曲线在处的切线与直线垂直，则= A. 0 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由点（0,1）在曲线上得到b的值，再根据切线与直线y=x+5垂直得到a的值，即得a+b的值. 详解：∵点（0,1）在曲线上， ∴1=0+b×1， ∴b=1. 由题得， ∴ ∵切线与直线垂直， ∴， ∴a=-2. ∴a+b=-1. 故选C. 点睛：本题主要考查求导和导数的几何意义，属于基础题. 4. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案. 【详解】由函数的图象可知，当时，单调递减，所以时， ，符合条件的只有D选项，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题. 5. 下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接通过函数图象特征判断. 【详解】是指数函数，图象不关于原点对称；是偶函数，图象关于轴对称；是奇函数，图象关于原点对称，但在定义域内不具有单调性.故排除.选. 【点睛】本题易错之处在判断的单调性时出错.要注意该函数在和上单调递增，但在上不具有单调性. 6. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 7. 如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的意义及直线的斜率公式求解即可. 【详解】由题意，，且， 所以. 故选：C. 8. 已知函数，则在处的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，将代入求即可. 【详解】由已知可得， 所以，所以 故选：A. 9. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解函数零点，排除C、D，再用导函数求解单调区间，排除B. 【详解】令，解得：或，排除C、D； ， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故选：A 10. 已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化有且只有一个负整数解，构造函数与，利用导数法求函数的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解. 【详解】已知函数，则 有且只有一个负整数解. 令，则， 当时，， 当时，， 所以在上递减，在上递增， 当时，取得最小值为. 设，则恒过点 在同一坐标系中分别作出和的图象，如图所示 显然，依题意得且即 且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：将问题转化为有且只有一个负整数解，构造函数 与，利用导数法求函数的最值，作出函数的图象，通过数形结合即可. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 数列中为的前n项和，若，则_______. 【答案】6 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，因为，即，所以数列构成首项，公比为的等比数列，则，解得． 考点：等比数列的概念及等比数列求和． 12. 已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，则椭圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的方程为，运用离心率公式和，，的关系，解方程可得，，进而得到椭圆标准方程； 【详解】解：设椭圆的方程为， 由题意可得，，， 可得，，， 则椭圆的标准方程为. 故答案为：. 13. 设函数 则不等式 的解集是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式可得，按时和时讨论，取并集即可. 【详解】解：因为函数， 所以， 当时，由可得， 即，解得或， 因为，所以或， 当时，由可得， 解得，所以， 综上或， 故答案为： 14. 若函数无极值点，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 本题首先可根据函数解析式得出导函数，然后根据函数无极值点得出，最后通过计算即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为函数无极值点， 所以，解得，实数的取值范围是， 故答案为：. 15. 已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论： ①函数有零点； ②a的取值范围是； ③； ④． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】求出函数定义域以及导函数.由可说明①正确；由已知，有两个不同的正数解，根据二次函数根的分布即可求出的范围，判断②；根据求根公式，解出，结合②中解出的的范围，可得到，即③错误；根据导函数得出函数的单调性，结合③的解析，可得，即④正确. 【详解】由已知可得，定义域为，. 对于①，因为，所以1是函数的一个零点，故①正确； 对于②，因为函数存在两个极值点，所以有两个不同的正数解，即方程有两个不同的正数解， 则应满足，解得，故②错误； 对于③，解方程可得，，因为，所以，由②知，所以，所以，故③错误； 对于④，由可得，即，所以，所以在上单调递增；解可得，或，所以在上单调递减，在上单调递减. 由③知，所以，故④正确. 故答案为：①④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数 （1）求的单调减区间； （2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系即得； （2）根据导数与函数的最值的关系可得函数的最大值，可得，结合条件进而即得. 【小问1详解】 由，求导可得, 由，可得或， 所以函数的单调减区间为，； 【小问2详解】 因为， 令，解得或可得下表： 则，分别是在区间上的最大值和最小值， 所以，解得， 从而得函数在上的最小值为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点. （1）若直线平面，求证：为的中点； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质得出，再由中位线定理得出为的中点； （2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合平面与平面夹角的余弦值得出的值. 【小问1详解】 连接交于点，再连接， 由直线平面，平面，平面平面，，又为的中点，为的中点； 【小问2详解】 以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系 设，则 设，， 设平面的法向量为，则，即 取，则. 设平面的法向量，则，即， 可得平面的法向量， 设平面与平面夹角为 ，整理得， 18. 为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 （1）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； （2）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为，求的分布列和数学期望； （3）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取学生，成绩为89分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小.（只需写出结论） 【答案】（1）； （2）分布列见解析，； （3）. 【解析】 【分析】（1）由古典概型的列举法求男生成绩高于女生成绩的概率. （2）由题设，成绩优秀人数可取且服从分布，应用二项分布的概率求法求各可能值的概率，即可写出分布列，进而求期望即可. （3）应用方差公式求出、、，进而比较它们的大小关系. 【小问1详解】 设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩”为事件A， 由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有种组合， 其中男生成绩高于女生，，，，. 所以事件A有17种组合 ，因此； 【小问2详解】 由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀（>90分）的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为. 因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数可取且 , ，，， 所以随机变量的分布列 0 1 2 3 数学期望. 【小问3详解】 男生的平均成绩为，则； 女生的平均成绩为，则； 由于从参加活动的男生中抽取成绩为89分的学生组成新的男生样本， 所以，则； 所以. 19. 已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合离心率的定义和的平方关系，求得的值，进而得到椭圆的方程. （2）分析可得四边形为梯形的充分必要条件是，设,可转化为证明，然后联立方程组，利用韦达定理证得此式，即证得结论. 【小问1详解】 解：由已知得,解得, ∴椭圆的方程. 【小问2详解】 证明：由（1）的结论可知，椭圆的左焦点, 设,则,. ，. ∵直线与椭圆交于、两点， ∴ 由于直线与直线不平行， ∴四边形为梯形的充分必要条件是，即， 即,即, ∵,∴上式又等价于， 即（*）. 由,得, ∴, ， ∴（*）成立， ∴四边形为梯形. 20. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：； （3）若函数在区间上无零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，即可得，结合，由点斜式即可求解切线方程； （2）将不等式转化为，构造函数，求出最值即可证明结论成立； （3）对分情况讨论，在时，，通过二阶求导，结合即可求解，在时，求导，结合零点存在性定理可得存在使得，进而结合导数即可求解. 【小问1详解】 ，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 【小问2详解】 因为 所以， 要证明，只需要证明，即证. 令，则， 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减， 故在取极大值也是最大值，故， 所以恒成立，即原不等式成立. 【小问3详解】 ， 当时，， 故当时，在区间上恒成立，符合题意； 当时，， 令，则在区间上恒成立， 所以在单调递减，且， ①当时，此时，在区间上恒成立， 所以在区间单调递减，所以在上恒成立，符合题意， ②当时，此时，由于且， 所以， 所以 ，故存在使得， 故当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减， 故时，取极大值也是最大值，故， 由，可得， 令 ，得，所以在上存在零点，不符合题意，舍去， 综上可知， a的取值范围为. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. 21. 已知数列A：的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为． （1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出的值； （2）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”； （3）若，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用列举法写出符合题意的所有的的取值可能，得出的值； （2）先假设数列为递增的等差数列，公差为，则可知，当时，，则可知的最大值为，最小值为，成立；反之若，因为A是递增数列，所以，可推出，那么，又，且互不相等，则可知，所以，可得数列A是等差数列; (3)当数列A由这个数组成，则任意两个不同的数作差，差值只可能为和，共个值，又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以，则可得出，再说明可以取得之间的所有整数，得到的值为. 【详解】解：（1）因为，，，，则的可能情况有： ，，，，，， 所以，． （2）充分性：若A是等差数列，设公差为d． 因为数列A是递增数列，所以． 则当时，， 所以，． 必要性：若． 因为A是递增数列，所以， 所以，且互不相等， 所以． 又， 所以，且互不相等． 所以， 所以， 所以A为等差数列． （3）因为数列A由这个数组成，任意两个不同的数作差，差值只可能为和． 共个不同的值；且对任意的， m和这两个数中至少有一个在集合T中． 又因为这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以． 综上，，且． 设数列：，此时． 现对数列分别作如下变换： 把一个1移动到2，3之间，得到数列：， 此时，． 把一个1移动到3，4之间，得到数列：， 此时，． 把一个1移动到，n之间得到数列：， 此时，． 把一个1移动到n，之间，得到数列：， 此时，． 再对数列依次作如下变换： 把一个1移为的后一项，得到数列：， 此时，； 再把一个2移为的后一项：得到数列：， 此时，； 依此类推 最后把一个n移为的后一项：得到数列：， 此时，． 综上所述，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为． 【点睛】本题考查新定义数列问题，难度较大，解答的关键在于根据数列中项的大小及数字特征分析清楚任意两项的所有可能取值，从而得出的值，注意在解答的过程中，项的顺序不同，的值不同. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中练习题 年级：高二 科目：数学 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设全集，集合M满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 设曲线在处的切线与直线垂直，则= A. 0 B. 1 C. -1 D. -2 4. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为 A. B. C. D. 5. 下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是 A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，曲线在点处的切线为直线，直线经过原点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则在处的导数为（ ） A. B. C. D. 9. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 数列中为的前n项和，若，则_______. 12. 已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，则椭圆的标准方程为______. 13. 设函数 则不等式 的解集是_____________. 14. 若函数无极值点，则实数的取值范围是_________． 15. 已知函数存在两个极值点，给出下列四个结论： ①函数有零点； ②a的取值范围是； ③； ④． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数 （1）求的单调减区间； （2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点. （1）若直线平面，求证：为的中点； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 18. 为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动.从参加该活动的学生中随机抽取了12名学生的竞赛成绩，数据如下表： 男生 81 84 86 86 88 91 女生 72 80 84 88 92 97 （1）从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率； （2）从该校的高一学生中，随机抽取3人，记成绩为优秀（分）的学生人数为，求的分布列和数学期望； （3）表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取学生，成绩为89分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小.（只需写出结论） 19. 已知椭圆过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形． 20. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：； （3）若函数在区间上无零点，求a的取值范围． 21. 已知数列A：的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为． （1）若数列A：1，2，4，3，求集合T，并写出的值； （2）若A是递增数列，求证：“”的充要条件是“A为等差数列”； （3）若，数列A由这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $