专题04 实数（9大题型83题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题04 实数 ( 题型概览 01平方根 02 算术平方根 03 算数平方根的双重非负性 04 立方根 05 无理数 06 实数与数轴 07实数大小比较 08 估算无理数的大小 09 实数的运算 ) ( 题型01 ) 平方根 1．（2023秋•沈丘县期末）9的平方根是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 2．（2024春•民权县期末）若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．16 D．9 3．（2024春•文峰区期末）已知某正数的两个不同平方根分别是m+4和2m﹣16，则m＝　 ． ( 题型0 2 ) 算术平方根 4．（2024春•梁园区期末）4的算术平方根是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D． 5．（2023秋•伊川县期末）100的算术平方根是（　　） A．﹣10 B．10 C．±10 D． 6．（2023秋•二七区校级期末）的平方根是 　　 ． 7．（2023秋•驿城区期末）一个正方形的面积是4，则这个正方形的边长是（　　） A．2 B．±2 C． D． 8．（2024春•夏邑县期末）的平方根是（　　） A．9 B．9或﹣9 C．3 D．3或﹣3 9．（2024春•林州市期末）“4的算术平方根”这句话用数学符号表示为（　　） A． B． C． D． 10．（2024春•洛阳期末）有一个数值转换器，原理如下，当输入的x为81时，输出的y是（　　） A． B．9 C．3 D．2 11．（2024春•长葛市期末）学完平方根后，当堂检测环节周老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况： ①0的平方根是0； ②16的平方根是±4； ③9的算术平方根是3； ④的平方根是±5． 若每做对一道题得25分，则该次检测嘉嘉应得分（　　） A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 12．（2024春•新乡期末）若，则n的值为（　　） A．40 B．50 C．60 D．70 13．（2023秋•二七区校级期末）的平方根是 　 　 ． 14．（2023秋•新乡期末）的算术平方根是 　 　 ． 15．（2024秋•淮阳区校级期末）如图，分别把两个面积为450cm2的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形． （1）大正方形的边长是 　　 cm． （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为3：2，且面积为600cm2？ ( 题型0 3 ) 算术平方根的双重非负性 16．（2024春•顺河区校级期末）若x，y为实数，且，则的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 17．（2024春•平舆县期末）若m，n为实数，且（m+4）20，则（m+n）2的值为 　1　 ． 18．（2024春•汝南县期末）已知|2a+b|与互为相反数． （1）求2a﹣3b的平方根； （2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0． ( 题型0 4 ) 立方根 19．（2024春•民权县期末）下列说法：（1）1的算术平方根是1；（2）±2是8的立方根；（3）﹣2是4的平方根；（4）（﹣3）2的平方根是﹣3．其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2024春•汝南县期末）下面说法正确的是（　　） A．（﹣2）2 的平方根是﹣2 B．16的平方根是4 C．0.25的算术平方根是±0.5 D． 的立方根是﹣2 21．（2023秋•洛阳期末）﹣8的立方根是 　 　 ． 22．（2024春•濮阳期末）求出下列各式中x的值： （1）（x﹣1）2＝4； （2）2x3＝54． 23．（2024春•禹州市期末）已知是m+8的立方根，是n﹣1的算术平方根，求A﹣B的值． 24．（2024春•林州市期末）观察：，，若.18308，则x≈　 　 ． 25．（2024春•潢川县期末）已知某数的平方根是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2，求﹣b﹣a的平方根． 26．（2024春•新县期末）已知a是2的平方根，b是（﹣13）2的平方根，c的立方根是﹣3，d的算术平方根是，回答下列问题． （1）分别求出a，b，c，d的值； （2）d的另外一个平方根落在图中的 　 　 .（填“段①”“段②”“段③”“段④”） ( 题型0 5 ) 无理数 27．（2024春•永城市期末）下列各数中，是无理数的为（　　） A． B． C．﹣3.14 D． 28．（2024春•临颍县期末）实数，，0，﹣π，，，0.1010010001…（相连两个1之间依次多一个0），其中无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 29．（2023秋•太康县期末）在实数﹣1，2，﹣0.5，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（2024春•滑县校级期末）下列五个实数、π、、，0.1010010001…中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．（2023秋•焦作期末）下列一组数﹣8，，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 32．（2024秋•焦作期末）请写出一个大于零小于2的无理数　 　 （写出一个即可）； ( 题型0 6 ) 实数与数轴 33．（2024春•平桥区期末）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是2和．若AB＝BC，则C表示的实数为（　　） A．2 B．2 C．22 D．4 34．（2023秋•西华县期末）如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a，6，c，已知AB＝8，a+c＝0，且c是关于x的方程（m﹣4）x+16＝0的一个解，则m的值为（　　） A．﹣4 B．2 C．4 D．6 35．（2024春•光山县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以点A为圆心，以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（　　） A． B．3.2 C． D． 37．（2024春•濮阳期末）如图，已知线段OA，OB的长度分别是1，，以原点为圆心，分别以OA，OB的长为半径画弧，与数轴负半轴相交，交点对应的数字分别记为a，b，则a﹣b的值为（　　） A． B． C． D． 38．（2023秋•淅川县期末）下列说法正确的有几个：①任何正数的两个平方根的和等于0；②任何实数都有一个立方根；③无限小数都是无理数；④实数和数轴上的点一一对应（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 39．（2023秋•二七区期末）如图，半径为的圆周上有一点A落在数轴上﹣2点处，现将圆在数轴上向右滚动一周后点A所处的位置在连续整数a、b之间，则a+b＝　 　 ． 40．（2023秋•清丰县校级期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简a+|a+b|﹣|b﹣c|＝ 　 ． 41．（2024春•林州市期末）如图，数轴上点A表示的实数是﹣1，半径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上的点A达到A′，则点A′表示的数是　 　 ． 42．（2023秋•汝州市期末）（图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD． （1）在图（1）中，拼成的大正方形ABCD的面积为 　　 ，边AD的长为 　 ； 知识运用： （2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示﹣1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数． 43．（2024春•新乡期末）如图，数轴上有A，B，C三点，表示实数1和的对应点分别为A，B，点A到B的距离与点C到原点O的距离相等，设A，B，C三点表示的三个数之和为m． （1）求线段AB的长． （2）求m的值． （3）若数轴上点D表示的数为x，且满足（x+1）3＝﹣8．请求出x的值，并在坐标轴上标出点D的位置． ( 题型0 7 ) 实数大小比较 44．（2023秋•郑州期末）下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 45．（2024春•新县期末）比较大小：　　 （填“＞”“＜”“＝”）． 46．（2024春•开封期末）请你写出一个大于1，且小于3的无理数是　 　 ． 47．（2023秋•南召县期末）比较大小： 　 　 5（填“＞”“＜”或“＝”）． ( 题型0 8 ) 估算无理数的大小 48．（2024春•淮滨县期末）如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与5最接近的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 49．（2023秋•驿城区校级期末）一个正方形的面积是17，它的边长在两个相邻整数之间，则这两个整数是（　　） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 50．（2024春•罗山县期末）故宫旧称紫禁城，是世界现存最大、最完整的古建筑群，被誉为世界五大宫之首．故宫太和门庭院的长宽比满足黄金分割比，所以看起来赏心悦目，请你估算的值在（　　） A．﹣1到0之间 B．0到0.5之间 C．0.5到1之间 D．1到2之间 51．（2024春•光山县期末）已知2a﹣1的平方根为±3，3a﹣b﹣1的立方根为2， （1）求6a+b的算术平方根； （2）若c是的整数部分，求2a+3b﹣c的平方根． 52．（2024春•内黄县期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ∵，即23， ∴的整数部分为2，小数部分为（2）． 请解答：（1）的整数部分是 　　 ，小数部分是 　　 ． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值； （3）已知：10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 53．（2023秋•商水县期末）材料：∵4＜6＜9，∴，即23，∴的整数部分是2，小数部分为． 问题：已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求的小数部分； （2）求3a﹣b+c的平方根． 54．（2023秋•南阳期末）【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即23，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用2来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是 　　 ，4的整数部分是 　　 ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值； （3）已知20x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请直接写出xy﹣3的平方根． 55．（2024春•襄城县期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为137的正方形的边长是且1112， ∴设11+x，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积S正方形＝112+2×11•x+x2， 又∵S正方形＝137， ∴112+2×11•x+x2＝137． 当x2＜1时，可忽略x2，得22x+121≈137，得到x≈0.73， 即11.73． （1）写出的整数部分的值； （2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 56．（2023秋•鹤壁期末）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a﹣b+c的平方根． 57．（2023秋•嵩县期末）阅读理解 ∵，即23． ∴的整数部分为2，小数部分为2 ∴11＜2 ∴1的整数部分为1． ∴1的小数部分为2 解决问题：已知：a是3的整数部分，b是3的小数部分， 求：（1）a，b的值； （2）（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 58．（2024春•巩义市期末）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是 　　 的整数部分是 　　 ； （2）若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 59．（2024春•河南期末）已知，c是﹣8的立方根． （1）求a，b，c的值； （2）阅读材料，理解无理数的表示方法． 因为是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分．在（1）的条件下请解答下列问题： ①的整数部分是 　　 ，小数部分是 　 ； ②已知，其中x是整数，0＜y＜1，求的值． 60．（2024春•北关区期末）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号[m]表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： （1）按此规定　　 ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求[a+b]的值． 61．（2024春•济源期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较，大小，c 　　 d（填写＞，＜或者＝） （2）猜想，之间的大小关系，并证明． 62．（2024春•滑县期末）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称[]为a的根整数，例如：，[]＝3． （1）仿照以上方法计算：　　 ，[]＝　　 ； （2）若[]＝1，写出满足题意的正整数x的值 　 　 ； （3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1停止，例如：对10连续求根整数2次，[]＝3→[]＝1，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． ( 题型 9 ) 实数的运算 63．（2024春•濮阳期末）　　 ． 64．（2023秋•浉河区校级期末）　　 ． 65．（2023秋•沈丘县期末）计算： （1）； （2）|3|． 66．（2023秋•沈丘县期末）定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝ab﹣a；当a＜b时，a⊕b＝ab+b． （1）填空：　 　 ； （2）若2x⊕（x+1）＝6，求x的值． 67．（2024春•民权县期末）（1）解方程：； （2）计算：． 68.（2024春•永城市期末）对于有序实数对（a，b），（c，d），定义关于“⊕”的一种运算如下：（a，b）⊕（c，d）＝a•c+b•d．例如：（1，2）⊕（3，4）＝1×3+2×4＝11． （1）求（4，1）⊕（﹣2，3）的值； （2）若（4，﹣y）⊕（x，3）＝﹣4，且（x，1）⊕（2，y）＝3，求x+y的值． 69．（2024春•鹿邑县期末）计算：． 70．（2024春•罗山县期末）计算： （1）； （2）． 71．（2024春•扶沟县期末）（1）计算：． （2）已知4（x﹣1）2＝1，求x的值． 72．（2024春•项城市期末）计算：． 73．（2024春•周口期末）计算：． 74．（2024春•柘城县期末）计算： （1）（﹣4）2； （2）． 75．（2024春•西平县期末）计算： （1）； （2）． 76．（2024春•滑县校级期末）计算： （1）； （2）． 77．（2024春•确山县期末）（1）计算：； （2）求x的值：3（x﹣1）2﹣48＝0． 78．（2024春•梁园区期末）计算： （1）； （2）4x2﹣9＝0． 79．（2024春•临颍县期末）计算： （1）； （2）． 80．（2024春•滑县校级期末）计算： （1）； （2）． 81．（2024春•平桥区期末）计算： （1）； （2）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/21 9:55:18；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 82．（2024春•滑县期末）如图，某品牌的计算器上、、三个按键式并列的，是算术平方根按键；是倒数按键；是平方按键．计算器显示屏上现在显示100这个数字，小敏第一下按，第二下按，第三下按，之后以、、、的顺序轮流按，当她共按100下后，该计算器屏幕上显示的数是 　 　 ． 83．（2023秋•二七区校级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣12，6． （1）A、B两点间的距离为 　 　 ； （2）如图①，如果点P沿线段AB自点A向点B以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B向点A以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间为t秒． Ⅰ．运动t秒时P对应的数为 　　 ，Q对应的数为 　 　 ；（用含t的代数式表示） Ⅱ．当P、Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是 　 　 ； Ⅲ．求P、Q相距3个单位长度时的t值； （3）如图②，若点D在数轴上，点M在数轴上方，且DA＝DM＝DC＝2，∠MDC＝90°，现点M绕着点D以每秒转30°的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点N沿射线BA自点B向点A运动．当M、N两点相遇时，请直接写出点N的运动速度． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 实数 ( 题型概览 01平方根 02 算术平方根 03 算数平方根的双重非负性 04 立方根 05 无理数 06 实数与数轴 07实数大小比较 08 估算无理数的大小 09 实数的运算 ) ( 题型01 ) 平方根 1．（2023秋•沈丘县期末）9的平方根是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：±±3，据此解答即可． 【解答】解：9的平方根是±±3． 故选：C． 2．（2024春•民权县期末）若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．16 D．9 【分析】根据平方根的定义可得出关于m的方程，据此可求出m，进而可求出这个数． 【解答】解：因为2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根， 所以2m﹣5+3m﹣15＝0， 解得m＝4， 所以2m﹣5＝3，3m﹣15＝﹣3， 所以这个数是9． 故选：D． 3．（2024春•文峰区期末）已知某正数的两个不同平方根分别是m+4和2m﹣16，则m＝　4　 ． 【分析】利用一个正数的平方根有两个，且互为相反数得，m+4+2m﹣16＝0，解关于m的一元一次方程即可． 【解答】解：∵正数的两个不同平方根分别是m+4和2m﹣16， ∴m+4+2m﹣16＝0． 解得m＝4． 故答案为：4． ( 题型0 2 ) 算术平方根 4．（2024春•梁园区期末）4的算术平方根是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D． 【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，求出4的算术平方根即可． 【解答】解：4的算术平方根是：， 故选：C． 5．（2023秋•伊川县期末）100的算术平方根是（　　） A．﹣10 B．10 C．±10 D． 【分析】根据算术平方根的定义求解即可求得答案． 【解答】解：∵102＝100， ∴100算术平方根是10； 故选：B． 6．（2023秋•二七区校级期末）的平方根是 　±2　 ． 【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：由于4， 所以的平方根是±2， 故答案为：±2． 7．（2023秋•驿城区期末）一个正方形的面积是4，则这个正方形的边长是（　　） A．2 B．±2 C． D． 【分析】根据算术平方根的概念以及正方形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵2， ∴这个正方形的边长是2， 故选：A． 8．（2024春•夏邑县期末）的平方根是（　　） A．9 B．9或﹣9 C．3 D．3或﹣3 【分析】首先由开平方的知识得出9，然后根据一个正数a的平方根等于±即可解决问题． 【解答】解：∵9， ∴的平方根为±±3． 故选：D． 9．（2024春•林州市期末）“4的算术平方根”这句话用数学符号表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】观察并分析题目从选项中找到4的算术平方根，选出正确选项即可． 【解答】解：4的算术平方根为， 故选：A． 10．（2024春•洛阳期末）有一个数值转换器，原理如下，当输入的x为81时，输出的y是（　　） A． B．9 C．3 D．2 【分析】直接利用算术平方根的定义分析得出答案． 【解答】解：由题意可得：81的算术平方根是9，9的算术平方根是3， 则3的算术平方根是，故输出的y是． 故选：A． 11．（2024春•长葛市期末）学完平方根后，当堂检测环节周老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况： ①0的平方根是0； ②16的平方根是±4； ③9的算术平方根是3； ④的平方根是±5． 若每做对一道题得25分，则该次检测嘉嘉应得分（　　） A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 【分析】根据算术平方根及平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：①0的平方根是0，正确； ②16的平方根是±4，正确； ③9的算术平方根是3，正确； ④5，其平方根是±，则④错误； 那么该次检测嘉嘉应得分为25×3＝75（分）， 故选：C． 12．（2024春•新乡期末）若，则n的值为（　　） A．40 B．50 C．60 D．70 【分析】将原式计算后利用算术平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：原式11， 则2n+1＝121， 解得：n＝60， 故选：C． 13．（2023秋•二七区校级期末）的平方根是 　±2　 ． 【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：由于4， 所以的平方根是±2， 故答案为：±2． 14．（2023秋•新乡期末）的算术平方根是 　2　 ． 【分析】根据算术平方根的概念进行解题即可． 【解答】解：∵8， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 15．（2024秋•淮阳区校级期末）如图，分别把两个面积为450cm2的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形． （1）大正方形的边长是 　30　 cm． （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为3：2，且面积为600cm2？ 【分析】（1）求出大正方形的面积，再由正方形的面积公式求出其边长即可； （2）设裁出的长方形的长为3x cm，宽为2x cm，根据长方形的面积公式列方程并求解；若x的值小于30，则说明能使裁出的长方形的长宽之比为3：2，且面积为600cm2；否则，则不能． 【解答】解：（1）30（cm）， ∴大正方形的边长是30cm． 故答案为：30． （2）设裁出的长方形的长为3x cm，宽为2x cm． 根据题意，得6x2＝600， 解得x1＝10，x2＝﹣10（舍去）， 3×10＝30（cm），2×10＝20（cm）， ∵20＜30， ∴能使裁出的长方形的长宽之比为3：2，且面积为600cm2． ( 题型0 3 ) 算术平方根的双重非负性 16．（2024春•顺河区校级期末）若x，y为实数，且，则的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵且， ∴x+2＝0，y﹣2＝0， 解得x＝﹣2，y＝2， ∴（﹣1）2024＝1． 故选：A． 17．（2024春•平舆县期末）若m，n为实数，且（m+4）20，则（m+n）2的值为 　1　 ． 【分析】利用非负数的性质列出方程，求出方程的解得到m与n的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：∵m，n为实数，且（m+4）20， ∴m+4＝0，n﹣5＝0， 解得m＝﹣4，n＝5， ∴（m+n）2＝（﹣4+5）2＝12＝1． 故答案为：1． 18．（2024春•汝南县期末）已知|2a+b|与互为相反数． （1）求2a﹣3b的平方根； （2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0． 【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依据平方根的定义求解即可； （2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可． 【解答】解：由题意，得2a+b＝0，3b+12＝0，解得 b＝﹣4，a＝2． （1）∵2a﹣3b＝2×2﹣3×（﹣4）＝16， ∴2a﹣3b的平方根为±4． （2）把b＝﹣4，a＝2代入方程，得2x2+4×（﹣4）﹣2＝0，即x2＝9， 解得x＝±3． ( 题型0 4 ) 立方根 19．（2024春•民权县期末）下列说法：（1）1的算术平方根是1；（2）±2是8的立方根；（3）﹣2是4的平方根；（4）（﹣3）2的平方根是﹣3．其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判断可得答案． 【解答】解：1的算术平方根是1，故（1）正确； 2是8的立方根，故（2）错误； ﹣2是4的一个平方根，故（3）正确； （﹣3）2＝9，9的平方根是±3，故（4）错误； 综上可知，正确的说法有2个， 故选：B． 20．（2024春•汝南县期末）下面说法正确的是（　　） A．（﹣2）2 的平方根是﹣2 B．16的平方根是4 C．0.25的算术平方根是±0.5 D． 的立方根是﹣2 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行计算即可． 【解答】解：A．（﹣2）2的平方根是±±2，因此选项A不符合题意； B.16的平方根是±4，因此选项B不符合题意； C.0.25的算术平方根是0.5，因此选项C不符合题意； D．8，而﹣8的立方根为2，因此选项D符合题意； 故选：D． 21．（2023秋•洛阳期末）﹣8的立方根是 　﹣2　 ． 【分析】根据立方根的定义解答即可． 【解答】解：﹣8的立方根是﹣2． 故答案为：﹣2． 22．（2024春•濮阳期末）求出下列各式中x的值： （1）（x﹣1）2＝4； （2）2x3＝54． 【分析】（1）运用开平方运算求解此题结果； （2）运用开立方根的运算进行求解． 【解答】解：（1）开平方得：x﹣1＝±2， 解得x＝3或x＝﹣1； （2）系数化为1，得x327， 开立方，得x＝3， 解得x＝3． 23．（2024春•禹州市期末）已知是m+8的立方根，是n﹣1的算术平方根，求A﹣B的值． 【分析】首先利用算术平方根的定义以及结合立方根的定义得出n，m的值，再求出A，B即可求出答案． 【解答】解：由题意得：m﹣2＝3，2m﹣n﹣5＝2， 解得：m＝5，n＝3， 则， ∴． 24．（2024春•林州市期末）观察：，，若.18308，则x≈　0.006137　 ． 【分析】根据立方根的性质即可求得答案． 【解答】解：∵，.18308， ∴x≈0.006137， 故答案为：0.006137． 25．（2024春•潢川县期末）已知某数的平方根是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2，求﹣b﹣a的平方根． 【分析】根据一个数的平方根互为相反数，有a+3+2a﹣15＝0，可求出a值，又b的立方根是﹣2，可求出b值，继而代入求出答案． 【解答】解：∵一个数的平方根互为相反数，有a+3+2a﹣15＝0， 解得：a＝4， 又b的立方根是﹣2， 解得：b＝﹣8， ∴﹣b﹣a＝4，其平方根为：±2， 即﹣b﹣a的平方根为±2． 26．（2024春•新县期末）已知a是2的平方根，b是（﹣13）2的平方根，c的立方根是﹣3，d的算术平方根是，回答下列问题． （1）分别求出a，b，c，d的值； （2）d的另外一个平方根落在图中的 　“段②”　 .（填“段①”“段②”“段③”“段④”） 【分析】（1）根据平方根和立方根的知识可求得此题结果； （2）先求得d的另外一个平方根为，再比较出它在数轴中所在的位置． 【解答】解：（1）∵（±）22，（±13）2＝（﹣13）2，（﹣3）3＝﹣27，（）2＝2， ∴±是2的平方根，±13是（﹣13）2的平方根，﹣27的立方根是﹣3，2的算术平方根是， ∴a＝±，b＝±13，c＝﹣27，d＝2； （2）∵2的平方根是±， 而﹣21， ∴d的另外一个平方根落在图中的“段②”， 故答案为：“段②”． ( 题型0 5 ) 无理数 27．（2024春•永城市期末）下列各数中，是无理数的为（　　） A． B． C．﹣3.14 D． 【分析】先计算出4，然后根据有理数和无理数的定义进行判断． 【解答】解：和﹣3.14为有理数；4，则为有理数；为无理数． 故选：B． 28．（2024春•临颍县期末）实数，，0，﹣π，，，0.1010010001…（相连两个1之间依次多一个0），其中无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断． 【解答】解：无理数有：，﹣π，0.1010010001…（相连两个1之间依次多一个0），共3个． 故选：C． 29．（2023秋•太康县期末）在实数﹣1，2，﹣0.5，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据无理数的定义：无限不循环的小数为无理数，可知为无理数即可求解． 【解答】解：在实数﹣1，2，﹣0.5，中，是无理数，﹣1，2，﹣0.5是有理数， 故选：A． 30．（2024春•滑县校级期末）下列五个实数、π、、，0.1010010001…中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：∵， ∴在、π、、，0.1010010001…中， ，π，0.1010010001…，是无理数，共有3个， 故选：C． 31．（2023秋•焦作期末）下列一组数﹣8，，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解． 【解答】解：在实数﹣8，，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），中，无理数有，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），共2个． 故选：C． 32．（2024秋•焦作期末）请写出一个大于零小于2的无理数　（答案不唯一）　 （写出一个即可）； 【分析】根据无理数的定义进行解答即可． 【解答】解：∵， ∴， 写出的无理数是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． ( 题型0 6 ) 实数与数轴 33．（2024春•平桥区期末）如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是2和．若AB＝BC，则C表示的实数为（　　） A．2 B．2 C．22 D．4 【分析】数轴上两点的距离，就是右边数减去左边的数，所以设C表示的数为x，则x，解一元一次方程即可． 【解答】解：∵AB＝BC， ∴x， ∴x． 故选：C． 34．（2023秋•西华县期末）如图，数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a，6，c，已知AB＝8，a+c＝0，且c是关于x的方程（m﹣4）x+16＝0的一个解，则m的值为（　　） A．﹣4 B．2 C．4 D．6 【分析】首先根据数轴上两点间的距离的求法，求出a的值是多少，进而求出c的值是多少；然后根据c是关于x的方程（m﹣4）x+16＝0的一个解，求出m的值为多少即可． 【解答】解：∵AB＝8， ∴6﹣a＝8， 解得a＝﹣2， ∵a+c＝0， ∴c＝2， ∵c是关于x的方程（m﹣4）x+16＝0的一个解， ∴2（m﹣4）+16＝0， 解得m＝﹣4． 故选：A． 35．（2024春•光山县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以点A为圆心，以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（　　） A． B．3.2 C． D． 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AB＝AE， ∴， ∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 故选：A． 36．（2023秋•南阳期末）如图，根据尺规作图痕迹，判断数轴上点C所表示的数是（　　） A．2 B．3.7 C．3.8 D． 【分析】由图可得AB的长度和点A到原点的长度，即可得出点B到原点的距离，即可得到答案． 【解答】解：∵点A表示的数为3， ∴点A到原点的距离为3， 由图可得AB＝3﹣1＝2， ∴点B到原点的距离， ∵点C到原点的距离和点B到原点的距离相等， ∴点C到原点的距离为， ∴点C表示的数为， 故选：D． 37．（2024春•濮阳期末）如图，已知线段OA，OB的长度分别是1，，以原点为圆心，分别以OA，OB的长为半径画弧，与数轴负半轴相交，交点对应的数字分别记为a，b，则a﹣b的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出a和b，再计算a﹣b即可． 【解答】解：∵线段OA，OB的长度分别是1，， ∴b为，a为﹣1， ∴a﹣b＝﹣1﹣（）＝﹣1， 故选：B． 38．（2023秋•淅川县期末）下列说法正确的有几个：①任何正数的两个平方根的和等于0；②任何实数都有一个立方根；③无限小数都是无理数；④实数和数轴上的点一一对应（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①根据平方根的性质解答；②根据立方根的定义解答；③根据无理数的定义回答；④根据实数与数轴的关系解答． 【解答】解：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数，故本选项正确； ②立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（cube root）（也叫做三次方根），故本选项正确； ③无限不循环小数是无理数，故本选项错误． ④实数和数轴上的点一一对应，故本选项正确． 所以①②④正确． 故选：C． 39．（2023秋•二七区期末）如图，半径为的圆周上有一点A落在数轴上﹣2点处，现将圆在数轴上向右滚动一周后点A所处的位置在连续整数a、b之间，则a+b＝　3　 ． 【分析】先求出圆的周长，再估算出周长的值即可得出结论． 【解答】解：∵圆的半径为， ∴圆的周长＝π， ∵3＜π＜4， ∴3﹣2＜π﹣2＜4﹣2，即1＜π﹣2＜2， ∴向右滚动一周后点A所处的位置在1与2之间，即a＝1，b＝2， ∴a+b＝1+2＝3． 故答案为：3． 40．（2023秋•清丰县校级期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简a+|a+b|﹣|b﹣c|＝ 　﹣c　 ． 【分析】根据点在数轴上的位置，判断出式子的符号，化简绝对值即可． 【解答】解：由图可知：b＜c＜0＜a，|b|＞a， ∴a+b＜0，b﹣c＜0， ∴原式＝a﹣a﹣b﹣c+b＝﹣c； 故答案为：﹣c． 41．（2024春•林州市期末）如图，数轴上点A表示的实数是﹣1，半径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上的点A达到A′，则点A′表示的数是　2π﹣1　 ． 【分析】首先根据圆周长公式求出圆的周长，然后结合数轴的特点即可确定A表示的数． 【解答】解：∵圆的周长为2π， ∴滚动一圈的路程为2π， ∵点A表示的实数是﹣1， ∴点A′所表示的是2π﹣1 故答案为：2π﹣1． 42．（2023秋•汝州市期末）（图1）是由10个边长均为1的小正方形组成的图形，我们沿图的虚线AB，BC将它剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD． （1）在图（1）中，拼成的大正方形ABCD的面积为 　10　 ，边AD的长为 　　 ； 知识运用： （2）现将图（1）水平放置在如图（2）所示的数轴上，使得大正方形的顶点B与数轴上表示﹣1的点重合，若以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，求点E表示的数． 【分析】（1）根据10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD可得正方形ABCD的面积，由正方形面积公式可得AD的长度； （2）根据数轴上的点表示的数的特点可得E表示的数． 【解答】解：（1）∵由10个边长均为1的小正方形剪开后，重新拼成一个大正方形ABCD， ∴大正方形ABCD的面积为10×12＝10； ∴AD2＝10， ∴AD； 故答案为：10，； （2）∵BC＝AD， ∴以点B为圆心，BC边的长为半径画圆，与数轴交于点E，点E表示的数为﹣1或﹣1． 43．（2024春•新乡期末）如图，数轴上有A，B，C三点，表示实数1和的对应点分别为A，B，点A到B的距离与点C到原点O的距离相等，设A，B，C三点表示的三个数之和为m． （1）求线段AB的长． （2）求m的值． （3）若数轴上点D表示的数为x，且满足（x+1）3＝﹣8．请求出x的值，并在坐标轴上标出点D的位置． 【分析】（1）根据已知条件，利用两点间的距离公式求出AB即可； （2）先根据条件求出OC，再利用两点间的距离公式求出点C表示的数，从而求出m即可； （3）先根据立方根的定义，求出点D表示的数，即可在坐标轴上标出点D的位置． 【解答】解：（1）∵表示实数1和的对应点分别为A，B， ∴； （2）∵点A到B的距离与点C到原点O的距离相等， ∴， ∵点C在原点左侧， ∴点C所表示的数为：， ∴； （3）∵（x+1）3＝﹣8， ∴x+1＝﹣2， ∴x＝﹣3； 在坐标轴上标出点D的位置如图所示： ( 题型0 7 ) 实数大小比较 44．（2023秋•郑州期末）下面四个数中，比1小的正无理数是（　　） A． B． C． D． 【分析】无理数即无限不循环小数，结合实数比较大小的方法判断即可． 【解答】解：A、是分数，不是无理数，故此选项不符合题意； B、是负无理数，故此选项不符合题意； C、∵π＞3，∴，故此选项不符合题意； D、∵，即，∴，故此选项符合题意； 故选：D． 45．（2024春•新县期末）比较大小：　＞　 （填“＞”“＜”“＝”）． 【分析】首先确定1与1的大小，进行比较即可求解． 【解答】解：∵4＜5＜9， ∴23， ∴11＜2， ∴． 故答案为：＞． 46．（2024春•开封期末）请你写出一个大于1，且小于3的无理数是　　 ． 【分析】根据算术平方根的性质可以把1和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可． 【解答】解：∵1，3， ∴写出一个大于1且小于3的无理数是． 故答案为（本题答案不唯一）． 47．（2023秋•南召县期末）比较大小： 　＞　 5（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】先把5化成，再与进行比较，即可得出答案． 【解答】解：∵5， ∴， ∴5； 故答案为：＞． ( 题型0 8 ) 估算无理数的大小 48．（2024春•淮滨县期末）如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与5最接近的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】直接利用二次根式的性质进而得出答案． 【解答】解：∵ ∴在3～4之间 ∴5在1～2之间 故选：D． 49．（2023秋•驿城区校级期末）一个正方形的面积是17，它的边长在两个相邻整数之间，则这两个整数是（　　） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【分析】由正方形的面积等于边长的平方，可求出正方形的边长为，由16＜17＜25可得的取值范围． 【解答】解：设正方形的边长为a， 由正方形的面积为17得：a2＝17， 又∵a＞0， ∴a， ∵16＜17＜25， ∴45． 故选：C． 50．（2024春•罗山县期末）故宫旧称紫禁城，是世界现存最大、最完整的古建筑群，被誉为世界五大宫之首．故宫太和门庭院的长宽比满足黄金分割比，所以看起来赏心悦目，请你估算的值在（　　） A．﹣1到0之间 B．0到0.5之间 C．0.5到1之间 D．1到2之间 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再根据等式的性质进而得到的近似值即可． 【解答】解：∵23， ∴11＜2， ∴0.51， 故选：C． 51．（2024春•光山县期末）已知2a﹣1的平方根为±3，3a﹣b﹣1的立方根为2， （1）求6a+b的算术平方根； （2）若c是的整数部分，求2a+3b﹣c的平方根． 【分析】（1）根据平方根的定义可求出a、b的值，代入计算6a+b的值，再求其算术平方根即可； （2）估算无理数的大小，确定c的值，进而求出2a+3b﹣c的值，再求其平方根即可． 【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根为±3，3a﹣b﹣1的立方根为2， ∴2a﹣1＝9，3a﹣b﹣1＝8， 解得a＝5，b＝6， ∴6a+b＝36， ∵36的算术平方根为6， ∴6a+b的算术平方根是6； （2）∵34， ∴的整数部分为3， 即c＝3， 由（1）得a＝5，b＝6， ∴2a+3b﹣c＝10+18﹣3＝25， 而25的平方根为±5， ∴2a+3b﹣c的平方根±5． 52．（2024春•内黄县期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ∵，即23， ∴的整数部分为2，小数部分为（2）． 请解答：（1）的整数部分是 　4　 ，小数部分是 　4　 ． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值； （3）已知：10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数． 【分析】（1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，再代入求出即可． 【解答】解：（1）∵45， ∴的整数部分是4，小数部分是 ， 故答案为：4，4； （2）∵23， ∴a2， ∵34， ∴b＝3， ∴a+b2+31； （3）∵1＜3＜4， ∴12， ∴11＜1012， ∵10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1， ∴x＝11，y＝10111， ∴x﹣y＝11﹣（1）＝12， ∴x﹣y的相反数是﹣12． 53．（2023秋•商水县期末）材料：∵4＜6＜9，∴，即23，∴的整数部分是2，小数部分为． 问题：已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求的小数部分； （2）求3a﹣b+c的平方根． 【分析】（1）估算出的范围，即可得到的小数部分； （2）根据5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分求出a，b，c的值，然后求出3a﹣b+c的值，再求它的平方根． 【解答】解：（1）∵9＜15＜16， ∴34， ∴的整数部分是3，小数部分是3； （2）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴5a+2＝33＝27，3a+b﹣1＝42＝16，c＝3， ∴a＝5，b＝2，c＝3， ∴3a﹣b+c＝15﹣2+3＝16， ∴3a﹣b+c的平方根是±4． 54．（2023秋•南阳期末）【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即23，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用2来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是 　　 ，4的整数部分是 　1　 ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值； （3）已知20x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请直接写出xy﹣3的平方根． 【分析】（1）根据题干中给出的方法估算的取值范围，即可得出其小数部分；根据题干中给出的方法估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可得出其整数部分； （2）根据题干中给出的方法分别估算、的取值范围，即可求出a、b的值，再代入要求的式子计算即可； （3）根据题干中给出的方法估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可得出x、y的值，再代入要求的式子计算，求其结果的平方根即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴4的整数部分是1； 故答案为：，1； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是2，小数部分是， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分为6， ∴b＝6， ∴a+b4； （3）∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是24，小数部分是， ∵20x+y，其中x是整数，且0＜y＜1， ∴x＝24，y， ∴xy﹣3＝2425， ∵25的平方根是±5， ∴xy﹣3的平方根是±5． 55．（2024春•襄城县期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为137的正方形的边长是且1112， ∴设11+x，其中0＜x＜1，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积S正方形＝112+2×11•x+x2， 又∵S正方形＝137， ∴112+2×11•x+x2＝137． 当x2＜1时，可忽略x2，得22x+121≈137，得到x≈0.73， 即11.73． （1）写出的整数部分的值； （2）仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【分析】（1）判断出，即可解答； （2）仿造示例画出图形，即可解答． 【解答】解：（1）∵， ∴1516， ∴ 的整数部分是15； （2）示意图如图所示， ∵面积为249的正方形的边长是 ， 且 ， ∴设 ，其中0＜x＜1， 根据示意图，可得图中正方形的面积 ， 又∵S正方形＝249， ∴152+2×15•x+x2＝249， 当 x2＜1 时，可忽略 x2，得 30x+225≈249，得到 x≈0.8， 即 ． 56．（2023秋•鹤壁期末）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a﹣b+c的平方根． 【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【解答】解：∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4， ∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16， ∴a＝5，b＝2， ∵c是的整数部分， ∴c＝3， ∴3a﹣b+c＝16， 3a﹣b+c的平方根是±4． 57．（2023秋•嵩县期末）阅读理解 ∵，即23． ∴的整数部分为2，小数部分为2 ∴11＜2 ∴1的整数部分为1． ∴1的小数部分为2 解决问题：已知：a是3的整数部分，b是3的小数部分， 求：（1）a，b的值； （2）（﹣a）3+（b+4）2的平方根． 【分析】（1）首先得出接近的整数，进而得出a，b的值； （2）根据平方根即可解答． 【解答】解：（1）∵， ∴45， ∴13＜2， ∴a＝1，b4， （2）（﹣a）3+（b+4）2 ＝（﹣1）3+（4+4）2 ＝﹣1+17 ＝16， 故（﹣a）3+（b+4）2的平方根是：±4． 58．（2024春•巩义市期末）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是 　　 的整数部分是 　1　 ； （2）若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 【分析】（1）估算无理数的近似数，减去整数部分，即为小数部分． （2）估算，的整数部分，得到a，b代入代数式求值． 【解答】解：（1）∵23， ∴小数部分为； ∵34， ∴1＜52， ∴5的整数部分为1， 故答案为：，1； （2）∵， ∴ 的整数部分为8，即a＝8， ∵， ∴ 的整数部分为2， 的小数部分为 ，即 ， ∴ ＝9， ∵ ∴的平方根为±3． 59．（2024春•河南期末）已知，c是﹣8的立方根． （1）求a，b，c的值； （2）阅读材料，理解无理数的表示方法． 因为是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分．在（1）的条件下请解答下列问题： ①的整数部分是 　3　 ，小数部分是 　3　 ； ②已知，其中x是整数，0＜y＜1，求的值． 【分析】（1）根据偶次方、算术平方根的非负性求出a、b的值，根据立方根的定义求出c的值即可； （2）①把a＝1，b＝2，c＝﹣2代入求出2a+3b﹣c的值，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； ②估算无理数的大小，进而得出5的大小即可确定x、y的值，再代入计算即可． 【解答】解：（1）∵，而（a﹣1）2≥0，0， ∴a﹣1＝0，2a﹣b＝0， 解得a＝1，b＝2， 又∵c是﹣8的立方根， ∴c2， 即a＝1，b＝2，c＝﹣2； （2）①当a＝1，b＝2，c＝﹣2时，2a+3b﹣c＝10， ∵34， ∴的整数部分是3，小数部分是3， 即的整数部分是3，小数部分是3， 故答案为：3，3； ②由于b＝2，， ∵12， ∴6＜57， 即6＜57， 又∵，其中x是整数，0＜y＜1， ∴x＝6，y＝561， ∴61＝7， 答：求的值为7． 60．（2024春•北关区期末）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号[m]表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： （1）按此规定　5　 ； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求[a+b]的值． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到2的大小即可； （2）根据算术平方根估算无理数、的大小，进而确定a、b的值，再利用算术平方根的定义估算无理数2的大小即可． 【解答】解：（1）∵，即34， ∴52＜6， 即2的整数部分是5， ∴5， 故答案为：5； （2）∵，即23， ∴的整数部分是2，小数部分是2，即a2， ∵，即45， ∴的整数部分是4，即b＝4， ∴a+b2+42， ∵23， ∴42＜5， 即2的整数部分是4， ∴[a+b]＝4． 61．（2024春•济源期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2＜b2，∴a＜b 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较，大小，c 　＜　 d（填写＞，＜或者＝） （2）猜想，之间的大小关系，并证明． 【分析】（1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴c2＝54，d2＝80， ∵c2＜d2， ∴c＜d； 故答案为：＜； （2）猜想m＞n，证明如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴m2＞n2， ∴m＞n． 62．（2024春•滑县期末）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称[]为a的根整数，例如：，[]＝3． （1）仿照以上方法计算：　2　 ，[]＝　6　 ； （2）若[]＝1，写出满足题意的正整数x的值 　1或2或3　 ； （3）如果我们对a连续求根整数，直到结果为1停止，例如：对10连续求根整数2次，[]＝3→[]＝1，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． 【分析】（1）计算，估算无理数的大小，再根据[x]的定义进行计算即可； （2）根据[]的定义以及[]＝1进行计算即可； （3）根据[]的定义，将400连续求根整数，直至结果等于1为止． 【解答】解：（1）2，而[2]＝2， ∵67， ∴[]＝6， 故答案为：2，6； （2）∵[]＝1，[]＝1，[]＝1， ∴若[]＝1，写出满足题意的正整数x的值为1或2或3， 故答案为：1或2或3； （3）对400连续求根整数，如图所示： 所以对400连续求根整数，4次之后结果为1． ( 题型 9 ) 实数的运算 63．（2024春•濮阳期末）　1　 ． 【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别计算得出答案． 【解答】解：原式＝﹣3+4＝1． 故答案为：1． 64．（2023秋•浉河区校级期末）　﹣6　 ． 【分析】分别计算绝对值，乘方，负指数幂和零指数幂，再算加减法． 【解答】解： ＝2+1×1﹣9 ＝2+1﹣9 ＝﹣6， 故答案为：﹣6． 65．（2023秋•沈丘县期末）计算： （1）； （2）|3|． 【分析】（1）先按照求立方根、求平方根的法则化简，再进行实数的加减运算即可； （2）先按照求平方根、求立方根、绝对值的化简法则计算，再合并同类项及同类二次根式即可． 【解答】解：（1） 2 ＝﹣2； （2）|3| 5+3 ． 66．（2023秋•沈丘县期末）定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝ab﹣a；当a＜b时，a⊕b＝ab+b． （1）填空：　　 ； （2）若2x⊕（x+1）＝6，求x的值． 【分析】（1）先判断与的大小，然后根据题中的新规定运算即可； （2）分两种情况讨论：当2x＜x+1时或当2x≥x+1时，分别计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴43； 故答案为：43； （2）当2x＜x+1时，x＜1，可得 2x2+3x+1＝6， 解得 （舍去）， 当2x≥x+1时，x≥1，可得 2x2＝6， 解得 （舍去）， 所以x的值为或 ． 67．（2024春•民权县期末）（1）解方程：； （2）计算：． 【分析】（1）根据立方根的定义求解即可． （2）根据算术平方根的定义，立方根的定义求解，再合并同类项计算即可． 【解答】解：（1）， 则， ， 解得：； （2）． ． 68.（2024春•永城市期末）对于有序实数对（a，b），（c，d），定义关于“⊕”的一种运算如下：（a，b）⊕（c，d）＝a•c+b•d．例如：（1，2）⊕（3，4）＝1×3+2×4＝11． （1）求（4，1）⊕（﹣2，3）的值； （2）若（4，﹣y）⊕（x，3）＝﹣4，且（x，1）⊕（2，y）＝3，求x+y的值． 【分析】（1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算可得4x﹣3y＝﹣4①，2x+y＝3②，然后利用整体的思想进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：（4，1）⊕（﹣2，3） ＝4×（﹣2）+1×3 ＝﹣8+3 ＝﹣5； （2）∵（4，﹣y）⊕（x，3）＝﹣4， ∴4x﹣3y＝﹣4①， ∵（x，1）⊕（2，y）＝3， ∴2x+y＝3②， ∴①﹣②得：2x﹣4y＝﹣7， 解得：， ∴x+y． 69．（2024春•鹿邑县期末）计算：． 【分析】首先计算乘方、算术平方根和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解答】解： 0.125+2.5 ＝1.875． 70．（2024春•罗山县期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算立方根和平方根，再计算加减； （2）先计算平方根和绝对值，再计算加减． 【解答】解：（1） ＝2+0 ＝2； （2） 5 ＝5． 71．（2024春•扶沟县期末）（1）计算：． （2）已知4（x﹣1）2＝1，求x的值． 【分析】（1）首先计算乘方、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可； （2）首先求出（x﹣1）2的值，然后根据平方根的含义和求法，求出x﹣1的值，进而求出x的值即可． 【解答】解：（1）（﹣1）2023|1| ＝﹣1﹣21+4 ． （2）∵4（x﹣1）2＝1， ∴（x﹣1）2， ∴x﹣1或x﹣1， 解得x或x． 72．（2024春•项城市期末）计算：． 【分析】先计算二次根式、零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【解答】解： ＝4． 73．（2024春•周口期末）计算：． 【分析】利用有理数的乘方法则，负整数指数幂，零指数幂计算即可． 【解答】解：原式＝﹣1+4+1 ＝4． 74．（2024春•柘城县期末）计算： （1）（﹣4）2； （2）． 【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案； （2）直接利用绝对值的性质化简，再合并二次根式得出答案． 【解答】解：（1）原式＝316+4 ＝34 ； （2）原式2（1） 21 ＝3﹣2． 75．（2024春•西平县期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据算术平方根，立方根的定义分别计算即可； （2）根据有理数的乘方、算术平方根、绝对值、立方根的定义分别计算即可． 【解答】解：（1） ＝5+（﹣3）﹣3 ＝﹣1； （2） ＝1﹣4+3（﹣2） ＝1﹣4+32 ＝2． 76．（2024春•滑县校级期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用绝对值，整数指数和平方根的性质的运算法则计算即可； （2）利用平方根和立方根的性质的运算法则，实数混合运算法则计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 77．（2024春•确山县期末）（1）计算：； （2）求x的值：3（x﹣1）2﹣48＝0． 【分析】（1）利用绝对值的性质，算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【解答】（1）原式＝22﹣4 4； （2）原方程整理得：（x﹣1）2＝16， 则x﹣1＝±4， 解得：x＝5或x＝﹣3． 78．（2024春•梁园区期末）计算： （1）； （2）4x2﹣9＝0． 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根和绝对值，再计算加减； （2）先整理后运用平方根知识进行求解． 【解答】解：（1） ＝25+22 ＝35； （2）整理，得x2， 开平方，得x． 79．（2024春•临颍县期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）首先计算开平方和开立方，然后计算乘法，最后计算减法，求出算式的值即可； （2）首先计算开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解答】解：（1） 2 2 ． （2） ＝3﹣（1）+2 ＝31+2 ＝4． 80．（2024春•滑县校级期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算二次根式、绝对值、乘方和立方根，再计算加减； （2）先计算二次根式、立方根和绝对值，最后计算加减． 【解答】解：（1） ＝5+1﹣3﹣2 ＝1； （2） 2+2+[﹣（2）] ． 81．（2024春•平桥区期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减； （2）先去括号和绝对值号，再计算加减． 【解答】解：（1） ＝6﹣3﹣4 ＝﹣1； （2） ＝33+223 ＝31． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/5/21 9:55:18；用户：19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 19902929970；邮箱：19902929970；学号：37357472 82．（2024春•滑县期末）如图，某品牌的计算器上、、三个按键式并列的，是算术平方根按键；是倒数按键；是平方按键．计算器显示屏上现在显示100这个数字，小敏第一下按，第二下按，第三下按，之后以、、、的顺序轮流按，当她共按100下后，该计算器屏幕上显示的数是 　0.1　 ． 【分析】通过对数字100进行三种符号的依次计算，我们可以通过所发现得出的数的规律，求出当按下100次后，所得的数为多少． 【解答】解：对100进行符号运算第一次10，第二次0.1，第三次x2＝0.01，第四次0.1，第五次10，第六次x2＝100，......， 以此类推，由此发现，每按下6次，屏幕上的数字循环一次， ∵需要按100次， ∴100÷6＝16......4， ∴当按下96下后，屏幕上显示的数为100，那么按下第100次时，该计算器屏幕显示的数为0.1． 故答案为：0.1． 83．（2023秋•二七区校级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣12，6． （1）A、B两点间的距离为 　18　 ； （2）如图①，如果点P沿线段AB自点A向点B以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q沿线段BA自点B向点A以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间为t秒． Ⅰ．运动t秒时P对应的数为 　t﹣12　 ，Q对应的数为 　6﹣2t　 ；（用含t的代数式表示） Ⅱ．当P、Q两点相遇时，点P在数轴上对应的数是 　﹣6　 ； Ⅲ．求P、Q相距3个单位长度时的t值； （3）如图②，若点D在数轴上，点M在数轴上方，且DA＝DM＝DC＝2，∠MDC＝90°，现点M绕着点D以每秒转30°的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点N沿射线BA自点B向点A运动．当M、N两点相遇时，请直接写出点N的运动速度． 【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）Ⅰ用含有t的代数式表示点P、点Q的所表示的数即可； Ⅱ当P、Q两点相遇时，根据线段之间的和差关系列方程求解即可； Ⅲ分两种情况分别进行解答，即当点P在Q左侧，当点P在Q右侧时分别列方程求解即可； （3）根据旋转的角度求出旋转的时间，再根据点N移动的路程即可求出速度． 【解答】解：（1）由数轴可知：A、B两点间的距离为：|﹣12﹣6|＝18， 故答案为：18； （2）Ⅰ．由题意可知：点P表示的数为：t﹣12，点Q对应的数为：6﹣2t， 故答案为：t﹣12，6﹣2t； Ⅱ．当P、Q两点相遇时，t﹣12＝6﹣2t， t+2t＝12+6， 3t＝18， t＝6， ∴点P在数轴上表示的数为：6﹣12＝﹣6， 故答案为：﹣6； Ⅲ．由题意得：当点P在Q左侧时得：t+2t+3＝18， 3t＝15， t＝5； 点P在点Q的右侧，t+2t﹣3＝18， 3t＝21， t＝7， ∴P、Q相距3个单位长度时的t值为5或7； （3）由题意可知，点D所表示的数是﹣10，点C所表示的数是﹣8， 此时BC＝|﹣8﹣6|＝14， 点M绕着点D顺时针方向旋转到点C所用的时间为90÷30＝3（秒）， 所以，此时点N的速度为14÷3（单位长度/秒）， 点M绕着点D顺时针方向旋转到点A所用的时间为270÷30＝9（秒）， 所以，此时点N的速度为18÷9＝2（单位长度/秒）， 答：点N的速度为单位长度/秒或2单位长度/秒． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$