课时检测训练8 函数的奇偶性、周期性与对称性-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版2019）

10.解(1)任取x?,x?,且0<x?<x?, 则f()-f(z)-昙+2-(+2)-会-会 -3z) 因为0<x?<x2,所以x?-x?>0,x?x?>0, 所以f(x?)-f(x?)>0,即f(x?)>f(x?), f(x)=3+2所以 在区间(0,+∞)上是减函数. f(z)=3+2(2)因为函数 在区间[2,7]上是减函数， 所以f(x)=f(2)=2,f(x)=f(7)=7 11.解(1)由题意设f(x)=ax+b(a≠0), a)=5,甲(c-1-5, {b=1,解得由题意得 所以f(x)的解析式为f(x)=4.x+1. (2)g(x)=f(x)·(x+m)=(4x+1)(x+m)=4x2+(4m +1)x+m, z=-4m+1,则函数g(x)的图象的对称轴为直线： 由已知g(x)在(1,+○)上单调递增，则-4m+1≤1, 解得m9 [B级·能力提升] 12.ABC 解析 由题意得y=f(x)为偶函数，且在(-∞,0) 上单调递减， 故y=f(x)在(0,+○)上单调递增， 因为f(2ax)<f(2x2+1), 故f(|2ax|)<f(2x2+1), 所以|2ax|<2x2+1, 当x=0时，|0|<1恒成立，即对Va∈R满足要求， 当x≠0时，12al<1=2lal+高在 x∈(-∞,0)U(0,+∞)上恒成立， 其中2lal+m≥2√21al·高=22,当且仅当2|zl= a|=受时，等号成立，文,即 故|2a|<2√2,解得-√2<a<√2, 综上，a的取值范围为-√2<a<√2. A选项，由于(-√2,-1)E(-√2,√2),A正确； [-1,1]s(-√2,√2),B正确；B选项， C选项，[0,√2]≤(-√2,√2),C正确； D选项，(√2,+∞)显然不是(-√2,√2)的子集，D错误. 13.A 解析∵f(x)=x2-2x+2≥f(1)=1,∴f(a),f(b), f(c)三个数中的最小值为1,又要满足f(a),f(b),f(c)构 成三角形的三条边，则三个数中的最大值小于或等于2.又 f(x)=x2-2x+2=2,得x=0或x=2,∴m2-m+2≤2, ∴0≤m≤1. 14.解(1)证明：由题意，得f(1)=f(1)+f(1)→f(1)=0, f(1)=f(x)+f(1)=0. 当x∈(0,1)时，∈(1,+∞),f(x)>0>f(1)<0, ∴当x>1时，f(x)<0. (2)单调递减. 证明：Vx?,x?∈(0,+∞),且x?<x?,f(x?)-f(x?)= (), ∵x?<x?,>1∴f()<0,即f(z?)>f(?), ∴f(x)单调递减. (3)∵函数f(x)的定义域是(0,+一),∴a>0. f(x3+x2)≤f(a)+f(x?x?)→f(x2+x2)≤f(ax?x?) 恒成立. 由(2),f(x)单调递减，∴xi+x2≥ax?x?恒成立，即a≤ 恒成立. 2+≥2,,当且仅当x?=x2时等号成立， ∴a≤2. 综上，a∈[0,2]. 课时检测训练8 函数的奇偶性、周期性与对称性 [A级·基础巩固] f(x)=+1.B 解析 对于A,设 ,函数定义域为R,但 f(-1)=e2-1,f(1)=21,则f(-1)≠f(1),故A错误； g(z)=s+1,对于B,设 ,函数定义域为R,且g(-x)= os(-)+1x)=osx+=g(x),,则g(x)为偶函数， 故B正确； 对于C,设h(x)=+,,函数定义域为{x|x≠-1},不关于 原点对称，则h(x)不是偶函数，故C错误； q(x)=sine+4对于D,设 ,函数定义域为R,因为φ(1)= sin1+4,(-1)==sine1-4, 则φ(1)≠φ(-1),则φ(x)不是偶函数，故D错误. 2.A 解析 因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f(x)=log?x,所以f(-3)=-f(3)=-logs3=-1. f(-x)=e+1m+1,故f(-x)+3.B 解析 因为. f(x)=e+1+e+1=6+1++1=6, 故f(-2022)+f(2022)=6,故选B. 4.D 解析 ∵f(x)对于任意x∈R都有 f(x+2)=f(x), ∴f(x)的周期为2, ∵偶函数f(x)在区间[0,1]上单调递增， f(-6.5)=f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1), ∴f(0)<f(0.5)<f(1), 即f(0)<f(-6.5)<f(-1). 5.C 解析 因为f(-x)=2-lal++11=f(x), 所以f(x)为偶函数，图象关于y轴对称， y=2+11又因为当x>0时，y=2-|x|和 均单调递减， 所以f(x)=2-|xl++11在(0,+∞)上单调递减， 因为f(2m)<f(m+1), 所以|m+1|<|2m|,即(m+1)2<(2m)2, 展开可得3m2-2m-1>0, 解得m∈(-,-3)u(1,+∞). 高考一轮总复习·数学·RJA ·476· 6.AD 解析 因为f(x+2)为奇函数，所以f(x+2)= -f(-x+2),所以函数 f(x)关于点(2,0)对 称. 又f(2x+1)为偶函数，所以f(2x+1)=f(-2x+1),所以 函数f(x)关于直线x=1对称. 7.0 解析 因为f(x)是奇函数，故f(-x)+f(x)=0,即x3 +a+(-x)?+a=0, 故a=0. 8.[-1,1] 解析 f(x)周期是4,则f(x)=f(4-x)= f(-x),所以f(x)是偶函数. x∈[0,2]时，f(x)=x3-1是增函数，且f(1)=0, 不等式f(x)≤0化为f(x|)≤f(1),所以|x|≤1,-1≤ x≤1. 9.2 解析 因为函数y=f(2x+1)为偶函数，所以f(2x+1) =f(-2x+1), 即f(1-x)=f(1+x),即函数关于x=1对称，则f(x)= f(2-x),即f(-x-2)=f(x+4)①. 又因为f(x)+f(-x)=2,即函数关于(0,1)对称，则f(0) =1,且f(x+2)=2-f(-x-2)②. 由①②可得f(x+2)=2-f(x+4)③,所以f(x+4)=2— f(x+6)代入③得f(x+2)=f(x+6),即f(x)=f(x+4), 即函数的周期是4, 所以f(2 022)+f(2 024)=f(2)+f(0).因为 f(x)=f(2-x),所以f(2)=f(O)=1.故f(2022)+ f(2024)=f(2)+f(0)=2. 10.解(1)证明：∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+ 2)=f(x). ∴f(x)是周期为4的周期函数. (2)当x∈[-2,0]时，-x∈[0,2],由已知，得f(-x)= 2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2, ∴f(x)=x2+2x. 又当x∈[2,4]时，x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 从而求得x∈[2,4]时，f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期 为4的周期函数， ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =⋯=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015) =f(2016)+f(2017)+f(2018)+f(2019)=0. 而f(2 020)+f(2021)+f(2022)=f(0)+f(1)+f(2)=1, 所以f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2022)=1. 11.解(1)根据题意，函数f(x)=9-x是定义在(-3,3)上 f(o)=9=0,解得b=0.的奇函数，则 f(1)=4,则有f(1)=8=4,又由 ,解得a=2,则f(x) =92 f(x)=9-,设-3<x?<x?<3,(2)证明：由(1)的结论， 则f(z?)-f(x?)=9-9-= 29-)9--)-9-)--2) 又由-3<x?<x?<3,则9+x?x?>0,x?-x?<0,9-x3> 0,9-x2>0, 则f(x?)-f(x?)<0,即f(x?)<f(x?),则函数f(x)在 (-3,3)上为增函数. (3)由(1)(2)知，f(x)为奇函数且在(-3,3)上为增函数. f(t-1)+f(t)<0→f(t-1)<-f(t)→f(t-1)< -- 3 解得-2<t<2 (-2,2).,即不等式的解集为 [B级·能力提升] 12.C 解析 由题意，函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),可 得f(x)=f(x+4), 所以函数f(x)是周期为4的函数.又由f(x)为R上的奇 函数，可得f(-x)=-f(x), 所以f(x+2)=f(-x),可得函数f(x)的图象关于直线 x=1对称. 因为当0≤x≤1时，f(x)=x,可得函数f(x)的图象，如 图所示， x=2 x=2,所f(x)=2 或,解得当x∈L-1,3]时，令 [4k+2,4k+是](k∈Z).以不等式f(x)≥2的解集为 y -1 234 =2 O1 5 13.BCD 解析 ∵定义在R上的减函数y=f(x-2)的图象 关于点(2,0)对称， 将y=f(x-2)的图象向左平移2个单位长度即可得到函 数y=f(x)的图象， ∴函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函 数，∴f(0)=0, ∵g(x)=f(x)+1,∴g(0)=f(0)+1, ∴g(0)=1,故B选项正确； ∵y=f(x-2)为减函数，∴f(x)为减函数， ∴g(x)=f(x)+1为减函数， 又g(0)=1,则g(2)≠1,故A选项错误； ∵f(x+1)>f(1-2x),且f(x)为减函数， ∴x+1<1-2x,解得x<0,故C选项正确； g(-1)+g(2)=f(-1)+f(2)+2 =-f(1)+f(2)+2, ∵f(1)>f(2), ∴g(-1)+g(2)<2,故D选项正确. 14.解(1)令x=y=0,可得f(0)=1, 令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,所以f(x) +f(-x)=2, 所以g(-x)+g(x)=f(x)-1+f(-x)-1=0, 所以g(x)为奇函数. (2)f(x)+f(m-2√x)≤3,即f(x)+f(m-2√x)-1≤2, 所以f(x+m-2√x)≤f(1). fz)f(2>0成立，又当x≠y时， 所以f(x)为增函数， 所以x-2√x+m≤1在x∈[0,9]上恒成立， 令√x=t,可得1-m≥t2-2t在t∈[0,3]上恒成立. 又y=t2-2t,t∈[0,3],所以当t=3时，(t2-2t)m=3, 所以1-m≥3,即m≤-2. ·477· 高考一轮总复习·数学·RJA 课时检测训练8函数的奇偶性、周期性与对称性 ,对应答案P476 应A级·基础巩固 6.(多选)(2023·江苏无锡·联考)已知函数f(x) 1.(2024·新高考天津卷)下列函数是偶函数的是 的定义域为R,f(x十2)为奇函数，f(2x十1)为 偶函数，则 () A.y=e-r B.y=cos z+r" A.f(x)的图象关于直线x=1对称 x2+1 x2+1 B.f(x)的图象关于点(1,0)对称 C.y D.y=sin t+4r C.f(x)的图象关于直线x=2对称 D.f(x)的图象关于点(2,0)对称 2.(2023·河★开封·统考三模)已知f(x)是定义 7.(2024·新高考上海卷)已知f(x)=x2十a,x∈ 在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=logx,则 R,且f(x)是奇函数，则a= f(-3)= 8.(2023·江西景德镇·三模)周期为4的函数 A.-1 B.0 C.1 D.2 f(x)满足∫(x)=f(4-x),且当x∈[0,2]时， 3.(2024·山东日照·换拟预测)已知定义在R上 f(x)=x-1.则不等式f(.x)≤0在[-2,2]上 的函数f(x)= A十aeR且m0. 的解集为 (e为自然对数的底数，e≈2.71828)，则 9.(2023·斯江绍兴·就考二模)已知函数y f(-2022)+f(2022)= f(2.x+1)为偶函数，且f(x)+f(-x)=2,则 A.3 f(2022)+f(2024)= B.6 10.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数 C.3e x,恒有f(x+2)=一f(x).当x∈[0,2]时， D.与实数m的取值有关 f(x)=2x-x. 4.(2025·长沙模拟)已知偶函数f(x)对于任意x (1)求证：f(x)是周期函数： ∈R都有f(x+2)=f(x),且f(x)在区间[0,1] (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式： 上单调递增，则f(一6.5)，f(一1)，f(0)的大小 (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2022) 关系是 的值 A.f(-1)<f(0)<f(-6.5) B.f(-6.5)<f(0)<f(-1) C.f(-1)<f(-6.5)<f(0) D.f(0)<f(-6.5)<f(-1) 5.(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=2一|x1+ ·则使得不等式f2m)<f(m十1)成立的 2 实数m的取值范围是 A(3 B(←3 C(-e,-3U1,+∞) D.(,]Ua,+o) 课时检测训练·数学·RJA 244 11.函数f(x)=二是定义在(-3,3)上的奇函 13.(多选)(2025·大连质检)若定义在R上的减函 9-x 数y=∫(x-2)的图象关于点(2,0)对称，且 数，且f1)=4 1 g(x)=f(x)+1,则下列结论一定成立的是 () (1)确定f(x)的解析式： (2)证明：f(x)在（一3,3）上的单调性： Ag(2)=1 (3)解关于t的不等式f(1一1)+f(t)<0. B.g(0)=1 C.不等式f(x+1)>f1一2x)的解集为(-o∞，0) D.g(-1)+g(2)<2 14.已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)十f(y) 1(x,yER),当x≠y时.)-卫>0成 x一y 立，且f(1)=2. (1)求f(0),并证明函数g(.x)=f(x)-1的奇 偶性： (2)当x∈[0,9]，不等式f(x)+f(m-2x)≤ 3恒成立，求实数m的取值范围。 罕B级·能力提升 12.(2023·四川凉山·二糗)定义在R上的奇函数 f(x),满足f(x十2)=一f(x),当0≤x≤1时， fx)=x,则f(x)>号的解集为 () A[3+) B[合】 C.[+E 2」 D[2+22+]ez 245 课时检测训练·数学·RJA