专题04 随机变量及其分布（14种经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01计算条件概率 题型02利用全概率公式求概率 题型03求离散型随机变量的均值 题型04利用随机变量分布列的性质解题 题型05离散型随机变量的方差与标准差 题型06方差的性质 题型07二项分布的均值 题型08服从二项分布的随机变量概率最大问题 题型09超几何分布的均值 题型10正态曲线的性质 题型11特殊区间的概率 题型12指定区间的概率 题型13正态分布的实际应用 题型14 3δ原则 ( 题型01 ) 计算条件概率 1．（21-22高二下·浙江绍兴·期末）从名男生名女生中任选人参加学校组织的“喜迎二十大，奋进新征程”的演讲比赛，则在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一人被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·浙江温州·期末）冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击一轮，共射击4轮，每轮射击5次，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件为其在前两轮射击中没有被罚时，事件为其在第4轮射击中被罚时2分钟，那么（    ） A． B． C． D． ( 题型0 2 ) 利用全概率公式求概率 1.（22-23高二上·浙江杭州·期末）甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，球的大小，形状完全相同，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是 ． 2．（21-22高二下·浙江湖州·期末）学校有两个餐厅，小明同学的早餐和午餐一定在其中某个餐厅用餐.如果小明同学早餐在餐厅用餐，那么他午餐也在餐厅用餐的概率是；如果小明同学早餐在餐厅用餐，那么他午餐在餐厅用餐的概率是.若小明同学早餐在餐厅用餐的概率是，那么他午餐在餐厅用餐的概率是 . 3.（24-25高三上·浙江宁波·期末）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球． (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率． ( 题型0 3 ) 求离散型随机变量的均值 1．（22-23高二下·浙江台州·期末）在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25.为了减少随机选择也得分的影响，某次考试单项选择题采用选错扣分的规则，选对得6分，选错扣分.若随机选择时得分的均值为0分，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）设一个袋子里有红色球个，蓝色球2个，现每次从中任取两个球，不放回，直到取出两个同色球为止，记取球的次数为，若，则 ； . 2.（22-23高二下·浙江宁波·期末）2023年4月23日是第28个“世界读书日”.为了倡导学生享受阅读带来的乐趣、尊重和保护知识产权，立德中学举办了一次阅读知识竞赛.初赛中每支队伍均要参加两轮比赛，只有两轮比赛均通过的队伍才能晋级.现有甲、乙两队参赛，初赛中甲队通过第一轮和第二轮的概率均为，乙队通过第一轮和第二轮的概率分别为，，且各队各轮比赛互不影响. (1)记甲、乙两队中晋级的队伍数量为X，求X的分布列和数学期望； (2)经过激烈的比拼，甲、乙两队成功进入决赛争夺冠军.决赛共有两道抢答题.第一题中，某支队伍若抢到并答对则加10分，若抢到但答错则对方加10分.第二题中，某支队伍若抢到并答对则加20分，若抢到但答错则对方加20分.最终得分高的队伍获胜.假设两支队伍在每一题中抢到答题权的概率均为，且每一题答对的概率分别与初赛中通过对应轮次的概率相等.各队各题作答互不影响.已知甲队获得了冠军，计算第二题是由甲队抢到答题权的概率. ( 题型0 4 ) 利用随机变量分布列的性质解题 1.（24-25高二下·浙江台州·期中）下表是离散型随机变量的概率分布，则常数的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 2.（22-23高二下·浙江温州·期中）为了中国经济的持续发展制定了从2021年到2025年的发展纲要，简称“十四五”规划，为了普及“十四五”的知识，某党政机关举行“十四五”的知识问答考试．从参加考试的机关人员中，随机抽取100名人员的考试成绩的频率分布直方图如下，其中考试成绩在上的人数没有统计出来．    (1)请尝试计算考试成绩在上的人数； (2)若把上述频率看作概率，把考试成绩的分数在的学员选为“十四五”优秀宣传员．若从党政机关所有工作人员中，任选3名工作人员，其中可以作为优秀宣传员的人数为，求． ( 题型0 5 ) 离散型随机变量的方差与标准差 1．（20-21高三上·浙江绍兴·期末）设，若随机变量ξ的分布列如下： ξ −1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差值中最大的是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二下·浙江嘉兴·期末）设实数，随机变量的分布列是： -1 0 1 则、的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3.（21-22高三上·浙江金华·期末）随机变量的分布列如下表，其中．当 时，取最大值；当 时，有最大值． P p 4.（20-21高二上·浙江温州·期末）甲口袋里有大小相同编号不同的2个黑球和3个白球，乙口袋里有大小相同编号不同的3个黑球和2个白球，现从甲口袋中取出3个球，记黑球个数为，从乙口袋中也取出3个球，记黑球个数为. （1）求时的概率； （2）若，求随机变量的数学期望及的方差. ( 题型0 6 ) 方差的性质 1.（22-23高二下·浙江绍兴·期末）若数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高三上·浙江宁波·期末）将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等． 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（   ） A． B．5 C．7 D．21 ( 题型0 7 ) 二项分布的均值 1.（20-21高二下·浙江·期末）若随机变量，且，，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二下·浙江台州·期中）随机变量，则 ． 3.（20-21高二下·浙江宁波·期末）甲盒中装有3个红球和2个黄球，乙盒中装1红球和4个黄球. （Ⅰ）从甲盒有放回地摸球，每次摸出一个球，摸到红球记1分，摸到黄球记2分.某人摸球4次，求该人得分的分布列以及数学期望； （Ⅱ）若同时从甲、乙两盒中各取出2个球进行交换，记交换后甲、乙两盒中红球的个数分别为、，求数学期望，. ( 题型 8 ) 服从二项分布的随机变量概率最大问题 1.（20-21高二下·浙江·期末）甲从装有除颜色外都相同的3个黑球和m个白球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸出黑球的个数为X，若，则 ， ． 2.（23-24高二下·浙江宁波·期末）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知这一组学生的均值为5，方差为2；求这一组学生的均值和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由. ( 题型 9 ) 超几何分布的均值 1.（21-22高三上·浙江绍兴·期末）某市有名男教师和名女教师（），从中任取两名教师去西部支教，甲被抽中的概率为，一名男教师和一名女教师被抽中的概率为，则 ，记去支教的教师中男教师的人数是，则 . 2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）临近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查. (1)应从A，B，C三种水果各抽多少箱? (2)若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测. ①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望； ②设A为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件A发生的概率. ( 题型 10 ) 正态曲线的性质 1.（22-23高二下·浙江宁波·期末）已知随机变量，，它们的分布密度曲线如下图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 2.（21-22高二下·浙江嘉兴·期末）已知随机变量X，Y分别满足，，且均值，方差，则 . ( 题型 11 ) 特殊区间的概率 1.（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知随机变量，且，则 ． 2.（23-24高二下·浙江温州·期末）在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间内，将样本数据按的分组作出频率分布直方图如图所示. (1)求的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值.假设所有参与者得分，试估计得分在上的人数. 参考数据：若，则 ( 题型 12 ) 指定区间的概率 1.（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知随机变量，，则（   ） A．a B． C． D． 2.（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 . ( 题型 13 ) 正态分布的实际应用 1.（23-24高三上·浙江金华·期末）某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（    ） 参考数据：若，则 A．3173 B．6346 C．6827 D．13654 2．（21-22高二下·浙江湖州·期末）某种包装的大米质量（单位：）服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米1000袋，则大米质量在以上的袋数大约是（    ） A．5 B．10 C．20 D．40 ( 题型 14 ) 3δ原则 1.（22-23高二下·浙江台州·期末）某省的高中数学学业水平考试，分为A，B，C，D，E五个等级，其中A，B等级的比例为16%，34%.假设某次数学学业水平考试成绩服从正态分布，其中王同学得分88分等级为A，李同学得分85分等级为B.请写出一个符合条件的值 . （参考数据：若，则，） 2.（22-23高二下·浙江绍兴·期末）为加快绍兴制造强市建设，《中国制造绍兴实施方案》指出，到年，制造业重点领域全面实现智能化，基本实现“绍兴制造”向“绍兴智造”转型升级.某试点企业对现有的生产设备进行技术升级改造，为监测改造效果，近期每天从生产线上随机抽取件产品，并分析某项质量指标.根据长期经验，可以认为新设备正常状态下生产的产品质量指标服从正态分布. (1)记表示一天内抽取的件产品质量指标在之外的件数，求； 附：若随机变量服从正态分布，则， (2)下面是一天内抽取的件产品的质量指标： 若质量指标大于被认定为一等品，现从以上件产品中随机抽取件，记为这件产品中一等品的件数，求的分布列和数学期望. 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·期中）关于下列命题，其中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．已知随机变量，则， D．已知随机变量，若，则 2．（24-25高二下·浙江·期中）某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩低于70分为不合格，依此估计不合格的学生人数约为（    ） 附：若，则，. A．23 B．46 C．159 D．317 3．（24-25高二下·浙江·期中）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江宁波·期中）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.7，0.2，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，则顾客买下该箱的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高二女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高二女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·浙江·期中）食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1，2，3的三个食物格子，其中1号格子装有2个汉堡和3个鸡腿，2号格子装有3个汉堡和2个鸡腿，3号格子中有5个汉堡.已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入2个汉堡的记为事件A，装入2个鸡腿记为事件B，装入1个鸡腿，1个汉堡记为事件C，事件（，2，3）表示食物取自i号格子，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高二下·浙江宁波·期中）某学校兴趣小组，该兴趣小组内学舞蹈且不学声乐的有3人，既学舞蹈又学声乐的有2人，从该兴趣小组中任选2人，设X为选出的人既学舞蹈又学声乐的人数，若，则该兴趣小组的人数是 人． 8．（24-25高二下·浙江·期中）老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为，则 . 四、解答题 10．（24-25高二下·浙江·期中）小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； (2)求概率，，满足的关系式； (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 11．（24-25高二下·浙江·期中）已知甲袋有4个红球和2个白球，乙袋有2个红球和2个白球，若从甲袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)求4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； (2)设4次摸球中，摸出白球的个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望. 12．（24-25高二下·浙江台州·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，用表示小球最后落入格子的号码． (1)求的分布列； (2)小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，其中，你觉得小州同学能盈利吗？ 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 随机变量及其分布 题型概览 题型01计算条件概率 题型02利用全概率公式求概率 题型03求离散型随机变量的均值 题型04利用随机变量分布列的性质解题 题型05离散型随机变量的方差与标准差 题型06方差的性质 题型07二项分布的均值 题型08服从二项分布的随机变量概率最大问题 题型09超几何分布的均值 题型10正态曲线的性质 题型11特殊区间的概率 题型12指定区间的概率 题型13正态分布的实际应用 题型14 3δ原则 ( 题型01 ) 计算条件概率 1．（21-22高二下·浙江绍兴·期末）从名男生名女生中任选人参加学校组织的“喜迎二十大，奋进新征程”的演讲比赛，则在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一人被选中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是条件概率的理解与计算，男生甲被选中为事件，此时成为样本空间，事件就是积事件，根据古典概型知识进行计算. 【详解】设男生甲被选中为事件，男生乙和女生丙至少一人被选中为事件， 由古典概型知识可知，. 故选：C. 2．（22-23高二下·浙江温州·期末）冬季两项是冬奥会的项目之一，是把越野滑雪和射击两种不同特点的竞赛项目结合在一起进行的运动，其中冬季两项男子个人赛，选手需要携带枪支和20发子弹，每滑行4千米射击一轮，共射击4轮，每轮射击5次，若每有1发子弹没命中，则被罚时1分钟，总用时最少者获胜.已知某男选手在一次比赛中共被罚时3分钟，假设其射击时每发子弹命中的概率都相同，且每发子弹是否命中相互独立，记事件为其在前两轮射击中没有被罚时，事件为其在第4轮射击中被罚时2分钟，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】事件B为前3轮中有一轮中有1发未中，第4轮射击中有2发未中，事件AB是第3轮有1发未中，第4轮有2发未中，然后利用利用条件概率求解. 【详解】由题意得， ，所以C正确. 故选：C ( 题型0 2 ) 利用全概率公式求概率 1.（22-23高二上·浙江杭州·期末）甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，球的大小，形状完全相同，现随机从甲袋中取出1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出的球是红球的概率是 ． 【答案】 【分析】分两种情况讨论：甲袋中取出黄球和甲袋中取出红球；分别求出对应概率，再求和即可. 【详解】解：分两种情况讨论如下： 甲袋中取出黄球，则乙袋中有3个黄球和2个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为； 甲袋中取出红球，则乙袋中有2个黄球和3个红球，从乙袋中取出的球是红球的概率为； 综上，所求概率为. 故答案为：． 2．（21-22高二下·浙江湖州·期末）学校有两个餐厅，小明同学的早餐和午餐一定在其中某个餐厅用餐.如果小明同学早餐在餐厅用餐，那么他午餐也在餐厅用餐的概率是；如果小明同学早餐在餐厅用餐，那么他午餐在餐厅用餐的概率是.若小明同学早餐在餐厅用餐的概率是，那么他午餐在餐厅用餐的概率是 . 【答案】/0.625 【分析】根据全概率公式，分小明同学早餐在餐厅分别用餐的两种情况求解即可 【详解】由题意，他午餐在餐厅用餐的概率是 故答案为： 3.（24-25高三上·浙江宁波·期末）甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球． (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先求出从甲箱中任取2个小球的事件数，再求出这2个小球同色的事件数即可得出； （2）先求出从从甲箱中取出的2个小球的各种情况的概率，再利用条件概率公式求解. 【详解】（1）从甲箱中任取2个小球的事件数为， 这2个小球同色的事件数为， 所以这2个小球同色的概率为． （2）设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”， 则事件，，彼此互斥． ，，， ，，， 所以 ， 所以取出的这个小球是白球的概率为． ( 题型0 3 ) 求离散型随机变量的均值 1．（22-23高二下·浙江台州·期末）在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25.为了减少随机选择也得分的影响，某次考试单项选择题采用选错扣分的规则，选对得6分，选错扣分.若随机选择时得分的均值为0分，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据随机变量的均值概念列出方程，然后解方程即可. 【详解】选对得6分，选错扣分.， 则有，则. 故选：B. 2.（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）设一个袋子里有红色球个，蓝色球2个，现每次从中任取两个球，不放回，直到取出两个同色球为止，记取球的次数为，若，则 ； . 【答案】 6 【分析】根据可求的值，然后求出，结合期望公式可得答案. 【详解】由题意，解得（舍）； ，， ； 故答案为：   2.（22-23高二下·浙江宁波·期末）2023年4月23日是第28个“世界读书日”.为了倡导学生享受阅读带来的乐趣、尊重和保护知识产权，立德中学举办了一次阅读知识竞赛.初赛中每支队伍均要参加两轮比赛，只有两轮比赛均通过的队伍才能晋级.现有甲、乙两队参赛，初赛中甲队通过第一轮和第二轮的概率均为，乙队通过第一轮和第二轮的概率分别为，，且各队各轮比赛互不影响. (1)记甲、乙两队中晋级的队伍数量为X，求X的分布列和数学期望； (2)经过激烈的比拼，甲、乙两队成功进入决赛争夺冠军.决赛共有两道抢答题.第一题中，某支队伍若抢到并答对则加10分，若抢到但答错则对方加10分.第二题中，某支队伍若抢到并答对则加20分，若抢到但答错则对方加20分.最终得分高的队伍获胜.假设两支队伍在每一题中抢到答题权的概率均为，且每一题答对的概率分别与初赛中通过对应轮次的概率相等.各队各题作答互不影响.已知甲队获得了冠军，计算第二题是由甲队抢到答题权的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）设“甲队晋级”为事件，“乙队晋级”为事件，求得，，得到的可能取值为，求得相应的概率，出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）记事件 “甲队获得冠军”， “该题由甲队抢到答题权”，结合条件概率的公式，即可求解. 【详解】（1）解：设“甲队晋级”为事件，“乙队晋级”为事件， 可得，， 则随机变量的可能取值为， 可得；. . 所以随机变量的分布列为 0 1 2 则期望. （2）由题意，第二题得分的那队获得胜利， 记事件 “甲队获得冠军”， “第二题由甲队抢到答题权”， 可得， 又由， 故 ( 题型0 4 ) 利用随机变量分布列的性质解题 1.（24-25高二下·浙江台州·期中）下表是离散型随机变量的概率分布，则常数的值是（   ） 3 4 5 6 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率和为1，列方程求得的值. 【详解】根据概率和为1，列方程得： , 解得. 故选：C. 2.（22-23高二下·浙江温州·期中）为了中国经济的持续发展制定了从2021年到2025年的发展纲要，简称“十四五”规划，为了普及“十四五”的知识，某党政机关举行“十四五”的知识问答考试．从参加考试的机关人员中，随机抽取100名人员的考试成绩的频率分布直方图如下，其中考试成绩在上的人数没有统计出来．    (1)请尝试计算考试成绩在上的人数； (2)若把上述频率看作概率，把考试成绩的分数在的学员选为“十四五”优秀宣传员．若从党政机关所有工作人员中，任选3名工作人员，其中可以作为优秀宣传员的人数为，求． 【答案】(1)人 (2) 【分析】（1）设分数在内的频率为x，根据频率分布直方图所有小长方形的面积和为1可得答案； （2）根据频率分布直方图可知考试成绩在的频率，再根据或可得答案. 【详解】（1）设分数在内的频率为x，根据频率分布直方图得， ，解得， 因此，考试成绩在上的人数为（人）； （2）根据频率分布直方图可知考试成绩在的频率为， 因此 . （另解：）. ( 题型0 5 ) 离散型随机变量的方差与标准差 1．（20-21高三上·浙江绍兴·期末）设，若随机变量ξ的分布列如下： ξ −1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差值中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率分布列求出参数，然后求出相应的均值和方差再比较． 【详解】由题意，， ，， ， ． ，，． 其中最大． 故选：C． 2．（20-21高二下·浙江嘉兴·期末）设实数，随机变量的分布列是： -1 0 1 则、的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由分布列的概率和为1求参数a，即可求，再求即可. 【详解】由分布列的概率的性质，知：，得， ∴，而， ∴. 故选：A 3.（21-22高三上·浙江金华·期末）随机变量的分布列如下表，其中．当 时，取最大值；当 时，有最大值． P p 【答案】 / 【分析】求出、的表达式，利用一次函数和二次函数的基本性质可求得结果. 【详解】由题意可得，故当时，取最大值； ， 故当时，取最大值. 故答案为：；. 4.（20-21高二上·浙江温州·期末）甲口袋里有大小相同编号不同的2个黑球和3个白球，乙口袋里有大小相同编号不同的3个黑球和2个白球，现从甲口袋中取出3个球，记黑球个数为，从乙口袋中也取出3个球，记黑球个数为. （1）求时的概率； （2）若，求随机变量的数学期望及的方差. 【答案】（1）；（2），. 【分析】（1）分别求出，，利用概率的乘法公式即可求得； （2）随机变量的取值分别为0、1、2，依次求得对应的概率，即可写出的分布列，求得随机变量的数学期望及的方差. 【详解】（1）当时，即， 则，， 故时的概率 （2）随机变量的取值分别为0、1、2，相应的概率依次为：， ，， 则随机变量的分布列如下表： 0 1 2 则， 可得. 又，故. ( 题型0 6 ) 方差的性质 1.（22-23高二下·浙江绍兴·期末）若数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用期望、方差性质求新数据的期望、方差. 【详解】由期望、方差的性质知：，. 故选：C 2．（21-22高三上·浙江宁波·期末）将3只小球放入3个盒子中， 盒子的容量不限， 且每个小球落入盒子的概率相等． 记为分配后所剩空盒的个数， 为分配后不空盒子的个数， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型计算公式、数学期望的公式，结合数学期望和方差的性质进行判断即可. 【详解】因为一共有3个盒子，所以， 因此，， 由题意可知：， ，， ， ，所以， 故选：C 3．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）已知随机变量的分布列如下表： 0 1 2 若，则（   ） A． B．5 C．7 D．21 【答案】D 【分析】先根据分布列的性质与确定的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意：. 所以. 所以. 故选：D ( 题型0 7 ) 二项分布的均值 1.（20-21高二下·浙江·期末）若随机变量，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项分布的期望公式和方差公式列方程组求解即可 【详解】解：因为随机变量，且，， 所以，解得， 故选：A 2.（24-25高二下·浙江台州·期中）随机变量，则 ． 【答案】 【分析】应用二项分布期望公式计算求解. 【详解】随机变量，则． 故答案为：. 3.（20-21高二下·浙江宁波·期末）甲盒中装有3个红球和2个黄球，乙盒中装1红球和4个黄球. （Ⅰ）从甲盒有放回地摸球，每次摸出一个球，摸到红球记1分，摸到黄球记2分.某人摸球4次，求该人得分的分布列以及数学期望； （Ⅱ）若同时从甲、乙两盒中各取出2个球进行交换，记交换后甲、乙两盒中红球的个数分别为、，求数学期望，. 【答案】（Ⅰ）分布列见解析，5.6；（Ⅱ），. 【分析】（Ⅰ）利用二项分布的概率公式，求出概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可； （Ⅱ） 先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求解，再利用与之间的关系求解即可. 【详解】解：（Ⅰ）， 所以的分布列为： 4 5 6 7 8 （或） （Ⅱ）； ； ； ； ， . ( 题型 8 ) 服从二项分布的随机变量概率最大问题 1.（20-21高二下·浙江·期末）甲从装有除颜色外都相同的3个黑球和m个白球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸出黑球的个数为X，若，则 ， ． 【答案】 3 【分析】根据已知可得，由得；由此可以得到的值. 【详解】甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次， 记摸得黑球个数为，则， ∵，∴，∴， ∴. 故答案为：3；. 2.（23-24高二下·浙江宁波·期末）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知这一组学生的均值为5，方差为2；求这一组学生的均值和方差； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，写出的值，并说明理由. 【答案】(1)11.5 (2)平均值为9，方差为 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，得出再计算高一学生阅读时间的上四分位数； （2）根据分层抽样抽取人数，利用平均数和方差公式解出结果； （3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，根据最大不等式节出的值； 【详解】（1）由频率分布直方图得： ，解得 频率分布直方图中，第一个小长方形面积为 第二个小长方形面积为 第三、四个小长方形面积为 第五个小长方形面积为 第六个小长方形面积为 前六个长方形面积和为0.8， 所以高一学生阅读时间的上四分位数在第六个小长方形内， 设高一学生阅读时间的上四分位数为；，解得 （2）按分层抽样二组内的学生抽取的学生分别为5人，15人 设这一组的平均值，方差 所以总体方差是，解得 （3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题， 由频率分布直方图可知内的概率是， 由 得 解得 所以当最大时， ( 题型 9 ) 超几何分布的均值 1.（21-22高三上·浙江绍兴·期末）某市有名男教师和名女教师（），从中任取两名教师去西部支教，甲被抽中的概率为，一名男教师和一名女教师被抽中的概率为，则 ，记去支教的教师中男教师的人数是，则 . 【答案】 【分析】利用题中所给的概率，列式，即可求解；首先求的分布列，再求期望. 【详解】由随机抽样的概率可知，， 且，得，且，解得：，， 所以； ， ，，， 分布列如下： 1 . 故答案为：； 2．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）临近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查. (1)应从A，B，C三种水果各抽多少箱? (2)若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测. ①用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望； ②设A为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件A发生的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2)①分布列见详解，；② 【分析】（1）根据题意结合分层抽样的性质分析求解； （2）①根据题意结合超几何分别求分布列和期望；②根据题意利用对立事件以及①中结果运算求解. 【详解】（1）由题意知：， 所以应从A，B，C三种水果各抽4，3，2箱. （2）①由题意可知：X的可能取值为0，1，2，3，4，则有： ，， ，， ， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以随机变量X的期望为； ②由题意可知：为事件“抽取的4箱水果中，都是质量上乘的，或都是质量一般的水果”， 所以. ( 题型 10 ) 正态曲线的性质 1.（22-23高二下·浙江宁波·期末）已知随机变量，，它们的分布密度曲线如下图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由图结合正态分布曲线特点可得答案. 【详解】由图可得随机变量的均值比随机变量的均值小，则.又由图得，随机变量的分布比随机变量的分布更加分散，则. 故选：B 2.（21-22高二下·浙江嘉兴·期末）已知随机变量X，Y分别满足，，且均值，方差，则 . 【答案】/0.2 【分析】由二项分布和正态分布的期望、方差公式建立方程，求解即可. 【详解】解：因为随机变量X，Y分别满足，， 所以，， 解得， 故答案为：. ( 题型 11 ) 特殊区间的概率 1.（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知随机变量，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由正态分布的对称性得出概率. 【详解】. 故答案为： 2.（23-24高二下·浙江温州·期末）在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间内，将样本数据按的分组作出频率分布直方图如图所示. (1)求的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值.假设所有参与者得分，试估计得分在上的人数. 参考数据：若，则 【答案】(1)，估计抽取的100位参与者得分的平均值为75分 (2)估计得分在上的人数约为人. 【分析】（1）由频率和为1解得，再根据频率分布直方图求出平均值； （2）取，标准差，利用正态分布的性质可得答案. 【详解】（1）由题意得，解得， 因为上的频率分别为， 所以样本的平均值为， 估计抽取的100位参与者得分的平均值为75分； （2）取，则，可得标准差， ， ， ， ， 估计得分在上的人数约为人. ( 题型 12 ) 指定区间的概率 1.（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知随机变量，，则（   ） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】由正态分布的性质可得正态分布的图像的对称轴为，由，可得，进而求得. 【详解】随机变量， 正态曲线关于对称， ， ， 故选：B. 2.（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】0.38 【分析】根据正态分布的特点即可得到答案. 【详解】根据正态分布的对称性得 . 故答案为：0.38. ( 题型 13 ) 正态分布的实际应用 1.（23-24高三上·浙江金华·期末）某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（    ） 参考数据：若，则 A．3173 B．6346 C．6827 D．13654 【答案】A 【分析】借助正态分布的概率的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得，又， 故， 则80分以上的人数大约是人. 故选：A. 2．（21-22高二下·浙江湖州·期末）某种包装的大米质量（单位：）服从正态分布，根据检测结果可知，某公司购买该种包装的大米1000袋，则大米质量在以上的袋数大约是（    ） A．5 B．10 C．20 D．40 【答案】B 【分析】根据大米质量，利用正态分布的对称性求出，再列式计算作答. 【详解】因大米质量，且， 则， 所以大米质量在以上的袋数大约为. 故选：B. ( 题型 14 ) 3δ原则 1.（22-23高二下·浙江台州·期末）某省的高中数学学业水平考试，分为A，B，C，D，E五个等级，其中A，B等级的比例为16%，34%.假设某次数学学业水平考试成绩服从正态分布，其中王同学得分88分等级为A，李同学得分85分等级为B.请写出一个符合条件的值 . （参考数据：若，则，） 【答案】7（答案不唯一，只需要填区间内的任意一个值） 【分析】根据已知条件及正态分布的特点即可求解. 【详解】由题意可知，，解得. 故答案为：（答案不唯一，只需要填区间内的任意一个值）. 2.（22-23高二下·浙江绍兴·期末）为加快绍兴制造强市建设，《中国制造绍兴实施方案》指出，到年，制造业重点领域全面实现智能化，基本实现“绍兴制造”向“绍兴智造”转型升级.某试点企业对现有的生产设备进行技术升级改造，为监测改造效果，近期每天从生产线上随机抽取件产品，并分析某项质量指标.根据长期经验，可以认为新设备正常状态下生产的产品质量指标服从正态分布. (1)记表示一天内抽取的件产品质量指标在之外的件数，求； 附：若随机变量服从正态分布，则， (2)下面是一天内抽取的件产品的质量指标： 若质量指标大于被认定为一等品，现从以上件产品中随机抽取件，记为这件产品中一等品的件数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据对立事件以及独立事件的概率公式可求得的值； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）解：随机变量服从正态分布，则， . （2）解：由表格中的数据可知，件产品中一等品的件数为， 由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、， 由题意知，， ，，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以. 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江·期中）关于下列命题，其中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．已知随机变量，则， D．已知随机变量，若，则 【答案】D 【分析】对于选项A，利用数学期望的性质进行判断；对于选项B，利用方差的性质进行判断；对于选项C，利用二项分布的期望和方差公式进行判断；对于选项D，利用正态分布的性质进行判断. 【详解】选项A: 根据数学期望的性质：若，则. 所以，选项A正确. 选项B： 根据方差的性质：若，则. 所以，选项B正确. 选项C： 根据二项分布的性质：若随机变量，其期望，方差. 所以在随机变量中，其期望，方差. 所以选项C正确. 选项D： 因为随机变量，则正态分布曲线关于对称. 所以，那么. 所以.所以D错误. 故选：D. 2．（24-25高二下·浙江·期中）某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩低于70分为不合格，依此估计不合格的学生人数约为（    ） 附：若，则，. A．23 B．46 C．159 D．317 【答案】A 【分析】计算出，结合，得到答案. 【详解】，故， 又，故， ， 所以估计不合格的学生人数约为23人. 故选：A 3．（24-25高二下·浙江·期中）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率的概率公式即可求出. 【详解】用事件表示“第1，2次都摸到红球”，事件表示“第3次摸到红球”， 则，， 则， 故在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是. 故选：C. 4．（24-25高二下·浙江宁波·期中）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.7，0.2，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看4只，若无残次品，则买下该箱，否则退回，则顾客买下该箱的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设箱中有只残次品，顾客买下该箱玻璃杯，分别求得，以及，结合全概率公式，即可求解. 【详解】设箱中有只残次品，其中，顾客买下该箱玻璃杯， 则， 则， 由全概率公式，可得. 故选：D. 二、多选题 5．（24-25高二下·浙江绍兴·期中）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试，为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一，已知某地区进行体育达标测试，统计得到高二女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高二女生中随机抽取3人，记在区间的人数为，则正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据题意结合正态分布的对称性求解判断，对于B，由题意可知，然后根据二项分的期望公式及性质分析判断，对于C，根据二项分布的方差公式计算判断，对于D，根据对立事件的概率公式计算判断. 【详解】对于A，因为高二女生坐位体前屈的成绩（单位：cm）服从正态分布，且， 所以， 所以，所以A正确， 对于B，由选项A可知在区间的概率为，则， 所以，所以，所以B正确， 对于C，由选项B可知，所以，所以C错误， 对于D，由题意得，所以D正确. 故选：ABD 6．（24-25高二下·浙江·期中）食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1，2，3的三个食物格子，其中1号格子装有2个汉堡和3个鸡腿，2号格子装有3个汉堡和2个鸡腿，3号格子中有5个汉堡.已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入2个汉堡的记为事件A，装入2个鸡腿记为事件B，装入1个鸡腿，1个汉堡记为事件C，事件（，2，3）表示食物取自i号格子，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据条件概率即可求解AD，根据全概率公式即可求解BC. 【详解】对于A, ,故A错误， 对于B, ,故B正确， 对于C, ，故C错误， 对于D,由于,故，D正确， 故选：BD 三、填空题 7．（24-25高二下·浙江宁波·期中）某学校兴趣小组，该兴趣小组内学舞蹈且不学声乐的有3人，既学舞蹈又学声乐的有2人，从该兴趣小组中任选2人，设X为选出的人既学舞蹈又学声乐的人数，若，则该兴趣小组的人数是 人． 【答案】7 【分析】设该兴趣小组的人数是，再求出分布列计算即可. 【详解】由题意，可能的取值为0，1，2， 设该兴趣小组的人数是，，则 ，， 故，即，则， 故，即，因为为整数，故. 故答案为：7 8．（24-25高二下·浙江·期中）老师从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，背诵篇数没达到2篇的为不合格，不合格者积分扣1分；能背诵篇数2篇的为合格，不扣分也不加分；3篇都能背诵的为优秀，优秀者积分加2分，某位同学只能背诵其中的6篇课文，记该同学的得分为，则 . 【答案】0 【分析】根据超几何概率公式，求概率，再写出分布列，进而计算期望. 【详解】设该同学抽到能背诵的得分，的可能取值为， 所以， ，， 则的分布列为： 0 2 所以. 9．（24-25高二下·浙江台州·期中）如果随机变量，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 则. 故答案为： 四、解答题 10．（24-25高二下·浙江·期中）小明同学在学了概率统计的知识后，设计了如下的掷骰子跳台阶的游戏：台阶从下往上依次编号为1，2，3，……，n，选手掷两颗骰子，若点数之和大于等于10，则可以跳2级台阶，点数之和小于10，则只可以跳1级台阶，选手初始位置记为0，记跳到n级台阶的概率为. (1)求，，的大小； (2)求概率，，满足的关系式； (3)记概率的值构成的数列为（），求的最大值与最小值. 【答案】(1)，， (2) (3)的最大值为，最小值为 【分析】（1）先求得，，然后结合全概率公式可得； （2）由全概率公式即可得解； （3）首先求得，对分奇数、偶数两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）记事件“掷两颗骰子所得的点数之和大于等于10”， 则“掷两颗骰子所得的点数之和小于10”， 易得，，故 ，； （2）； （3）由（2）有，即，（，） 所以，即， 设，解得，. 所以为等比数列，公比为的等比数列， 所以，所以， 当n为偶数时，，由于单调递减， ∵，∴最大值为； 当n为奇数时，，由于单调递增， ∵，∴最小值为； 综上，的最大值为，最小值为. 11．（24-25高二下·浙江·期中）已知甲袋有4个红球和2个白球，乙袋有2个红球和2个白球，若从甲袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. (1)求4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； (2)设4次摸球中，摸出白球的个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型计算概率，利用对立事件的概率计算，可得答案； （2）由题意明确随机变量的所有取值，根据分布列的计算步骤，结合均值的计算，可得答案. 【详解】（1）从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为， 从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为， 设“4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件A，则“4次摸球中，摸出的都是红球”为事件， 且，所以. （2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，由（1）得， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以. 12．（24-25高二下·浙江台州·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，用表示小球最后落入格子的号码． (1)求的分布列； (2)小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，其中，你觉得小州同学能盈利吗？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)能 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式求解，列出分布列即可； （2）列出的分布列，求出其期望，即可得到结论. 【详解】（1）由题知，的取值为1，2，3，4，5，6，7． ， ， ， ， 则的分布列为： 1 2 3 4 5 6 7 P （2）由（1）得，， 的分布列为： Y 0 1 5 10 P 则， 小州同学能盈利． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$