专题04 概率与统计初步（考点串讲）-【中职专用】2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（高教版2023·基础模块）

专题04 概率与统计初 1、 随机事件的概念 必然现象： 在一定条件下，发生的结果事先能够确定的现象 例如：太阳从西边升起 随机现象： 发生的结果事先不能确定的现象 例如：三月飘雪 注意事项： 随机试验：我们把在相同条件下，对随机现象进行的观察试验 样本点：随机试验中每一种可能出现的结果，常用小写希腊字母ω表示． 样本空间：所有样本点组成的集合称为，通常用大写希腊字母Ω表示． 必然事件 样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件，又因为Ω包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件． 不可能事件 ∅也是Ω的子集，可以看作一个事件，但由于空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，因此称空集∅为不可能事件 进行n次试验，事件A发生的次数m 频数：事件A发生的次数 频率：比值 概率： 在次重复试验中，事件A发生的频率总稳定在某个常数附近，就把这个常数称为事件发生的概率，记作 二、古典概型 性质： （1） 有限性：样本空间Ω的样本点总数有限； （2） 等可能性：每次试验中，样本空间Ω中的各个样本点出现的可能性相等； 公式： 三、概率的简单性质 互斥事件：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件 和事件：当事件C发生则事件A与事件B中至少有一个发生，记作事件C=A∪B 若事件A和事件B互斥，P(A∪B)=P(A)+P(B) 如果事件A、事件B与事件C两两互斥，则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) 四、抽样方法 从调查的对象中按照一定的方法抽取一部分对象进行调查、研究、分析和观测，获取数据，对调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查． 总体：在统计问题中，把所研究对象的全体． 个体：总体中的每一个对象． 样本：从总体中抽取的一部分个体所组成的集合． 样本量(样本容量):样本中个体的数目． 简单随机抽样 定义 一般地，设总体中的个体数为．从中逐个不放回地抽取个个体作为样本，且每次抽取时总体内的每个个体被抽到的概率相等 基本步骤 （1）编号：把总体中的个个体从1至逐一编号； （2）做签：做编号为1至的签； （3）抽签：做好的签放到容器中，摇动均匀后，从中不放回地逐个抽取个签； （4）取样：以抽取到的签上的号码取出对应的个体，得到一个容量为的样本． 系统抽样 定义 当总体容量较大时，这时我们可将总体分成均衡的若干部分，按照预先确定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到需要的样本 基本步骤 （1）编号：将总体中的个个体编号为1～ （2）确定分段间隔：将总体平均分成段，当为整数时，取；当不是整数时，取等于的整数部分，并随机从总体中剔除个的个体，对余下的个体重新进行编号并分段； （3）确定第一个编号：在第一部分用简单随机抽样确定起始的个体编号 ； （4）取样：将l加上分段间隔的1到倍得到余下的样本编号，分别为，，…，；依次抽取个体编号为，，…，的个个体组成样本． 分层抽样 定义 当总体由差异明显的几部分组成时，可将总体按差异情况分成互不重叠的几个部分（在统计上称为“层”），再从每一层内随机抽取一定数量的个体组成样本. 基本步骤 （1） 分层：将总体按照一定标准分层； （2）计算：样本容量与总体个数的比值； （3）确定各层应抽取的个体数：按（2）中的比值确定各层应该抽取的个体数； （4）取样：在每一层抽样，所抽取的个体合在一起就是所需要的样本． 五、统计图表 频率分布表：可以清楚地反映数据的分布规律． 频率分布直方图：可以将频率分布表中所反映的规律直观、形象地表示出来 列频率分布表，绘制频率分布直方图的步骤如下： （1）计算极差：数据中最大值减去最小值； （2）确定组数与组距：根据数据的多少确定分组数量，数据越多，分组越多．样本容量不超过100时，通常分成5～12组．组距 （3）确定分点：第一组的起点可以是最小值，也可以比最小值小一点； （4）列频率分布表：一般分成三列（分组、频数和频率），最后一行是合计，其中频数合计是样本容量，频率合计是1； （5）绘制频率分布直方图：横坐标表示数据分组情况，纵坐标表示频率与组距的比值．频率分布直方图可以用频率与组距的比值为高、组距为底的矩形绘制．各个矩形的面积等于相应各组的频率．即：(频率分布直方图是以图形的面积形式反映数据落在各个小组内的频率大小) 五、样本的均值和标准差 样本均值 从总体中随机抽取一个容量为的样本，若样本数据为， 则平均数为 样本方差 如果样本由个数，组成，是这个数的均值， 则样本方差： 样本标准差： 题型一:随机事件 例1 下列事件中，是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．抛一枚骰子，点数为7 C．任意三角形的内角和为 D．明天下雨 【答案】D 【分析】根据随机事件，不可能事件，必然事件的概念即可求解. 【详解】对A，太阳从东方升起是必然事件，故A错误. 对B，抛一枚骰子，点数为7是不可能事件，故B错误. 对C，任意三角形的内角和为是必然事件，故C错误. 对D，明天下雨是随机事件，故D正确. 故选：D. 变式训练 1 下列是不可能事件的是（    ） A．导体通电，发热 B．抛一块石头，下落 C．抛一枚硬币，出现正面 D．英语字母共有28个 【答案】D 【分析】由必然事件、不可能事件、随机事件的定义即可求解 【详解】由必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知： A项，导电体通电，发热，是必然事件； B项，抛一块石头，下落，是必然事件； C项，抛一枚硬币，出现正面，是随机事件； D项，英语字母共有28个，是不可能事件。 故选：D. 2 下列事件中，属于随机事件的是（    ）． A．在只装有5个红球的不透明的袋子中摸出1个球，是红球 B．在标准大气压下，水在1℃结冰 C．打开电视机，正在转播足球比赛 D．地球绕着太阳转 【答案】C 【分析】根据随机事件的定义求解. 【详解】A项属于必然事件．B项属于不可能事件．C项属于随机事件．D项属于必然事件． 故选：C. 例2 某人将一枚硬币连抛次，正面朝上的情况出现了次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ） A．频率为 B．概率为 C．频率为 D．概率接近 【答案】A 【分析】根据题意由频率频数总数求出频率，再由频率估计概率即可. 【详解】由一枚硬币连抛次，正面朝上的情况出现了次， 可知事件A的频率为，概率接近为， 所以A选项正确，BCD选项错误， 故选：A. 变式训练 1 一盒内有20个小球，其中红球4个，白球2个，黄球14个，从中任选一个小球，则取得红球的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的公式即可求解. 【详解】解：因为红球有4个，所以取得红球的概率为：. 故选：A 2 若一个样本的容量为，某组数的频率为，则该组数的频数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由样本容量乘以频率得到频数即可解得. 【详解】频数样本容量频率，即频数， 故选：C 3 袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率公式求解即可. 【详解】设2个白球为A，B，2个黑球为a，b， 则有AB，Aa，Ab，Ba，Bb，ab，共6种等可能的结果， 事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为Aa，Ab，Ba，Bb，ab，共5种， ∴所求概率为． 故选：D. 4 袋内装有一个黑球与一个白球，从袋中取出一球，若在100次摸球试验中，摸到黑球的频率为0.49，则摸到白球的次数为（　　） A．49 B．51 C．0.49 D．0.51 【答案】B 【分析】根据频率的概念即得. 【详解】因为摸到黑球的频率为，所以摸到白球的频率为， 从而摸到白球的次数为. 故选：B. 题型二:古典概型 例3 现有，，，四位志愿者到社区服务，随机安排两人去甲社区，另两人去乙社区，则，两人同时被安排到甲社区的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出样本空间所包含的基本事件总数及，两人同时被安排到甲社区的基本事件个数，再根据古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】，，，四位志愿者到社区服务，随机安排两人去甲社区，另两人去乙社区包含的基本事件有：甲（），乙（）；甲（），乙（）；甲（），乙（）； 甲（），乙（）；甲（），乙（）；甲（），乙（），共6个基本事件； ，两人同时被安排到甲社区包含的基本事件有：甲（AB），乙（CD），共1个基本事件. 故“，两人同时被安排到甲社区”的概率为，因此选项B正确. 故选：B. 变式训练 1 一次掷2颗骰子，恰好出现1个偶数点的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为古典概型，可由古典概型的概率公式计算即可. 【详解】设两枚骰子分别为A，B， A有6种可能，B有6种可能，共有36种可能， 恰出现一个偶数有两种情况：（1）A是奇数，B是偶数，有9种情况， （2）A是偶数，B是奇数，共9种情况， 所以出现1个偶数点的概率为. 故选:B. 2 袋中装有6个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球，1个黑球，从中任意取出一球，取到红球的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概型求概率即可. 【详解】共有6个球，从中任取一个有种可能； 红球有个，取到的可能有3种， 故取到红球的概率为. 故选：. 3 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列举满足条件的基本事件，再利用古典概型的概率公式即可得解. 【详解】从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，其基本事件有： ，共10件； 其中一个数是另一个数的两倍的基本事件有，共2件； 则所求概率为. 故选：A. 4 从中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为4的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】从这3个数中任取2个不同的数基本事件有共个， 取出的2个数之差的绝对值为4的基本事件只有这1个， 所以取出的2个数之差的绝对值为4的概率是. 故选：B. 5 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据互斥事件和对立事件概率的简单性质求值即可. 【详解】已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为， 由，“甲胜”与“和棋或乙胜”为对立事件， 所以甲胜的概率为， 设甲不输为事件，则事件可以看成，“甲胜”与“和棋”的两个互斥事件的和事件， 所以甲不输的概率为. 故选：C. 题型三:概率的简单性质 例5 已知事件、互斥，，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.9 D．1 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】因为事件,互斥，，， 所以. 故选：C. 变式训练 1 已知A，B是互斥事件，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用互斥事件的概率公式即可解得. 【详解】由题可知，为互斥事件，且， 则. 故选：D. 2 一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（    ） A．0.4 B．0.48 C．0.6 D．0.8 【答案】A 【分析】根据概率运算求得正确答案. 【详解】目标受损但未击毁的概率是. 故选：A. 3 抛掷两枚硬币，至少一个正面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合对立事件的概率的性质，即可求解. 【详解】由题意，设“抛掷两枚硬币，两个都反面向上”为事件A，则， 所以至少一个正面向上的概率是. 故选：C. 4 若事件与互斥，且，，则=（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由事件互斥直接计算. 【详解】已知事件和互斥，则， 故选：B. 题型四:抽样方法 例6 某厂生产甲、乙、丙三种产品，产品数量比例是，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中丙产品的数量是21件，则样本容量（    ） A．210 B．140 C．70 D．50 【答案】C 【分析】根据分层抽样的方法计算即可； 【详解】因为甲、乙、丙三种产品的产品数量比例是， 所以，解得， 故选：C 变式训练 1 某公司由三个部门组成，总职工人数是1000名，其中部门（一）有职工 200 人，部门（二）的职工人数只有总职工人数的四分之一，现用分层随机抽样的方法在全公司抽取 100名职工，则在部门（三）中应抽取的职工人数是（   ） A．20 B．25 C．55 D．60 【答案】C 【分析】根据分层抽样的概念计算可得结果. 【详解】由题可知，部门（二）人数：，部门（三）人数：， 所以门（三）中应抽取的职工人数：. 故选：C 2 某班有学生55名，现将所有学生按学号顺序排列，采取系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知样本中有学号为4，15，37，48的学生，则样本中还有一名学生的学号为（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 【答案】C 【分析】根据总数和样本容量计算出组数和组距，再根据等距抽样方法求解即可. 【详解】根据系统抽样的方法，将55名同学按学号顺序平均分为5组，每组为11人，即组距为11． 由题意知，第组抽取的学号为4，则后面第组抽取的学号应为， 即第组抽取的学号应为． 故选：C． 3 电视台从已经确认编号的10000名观众中随机抽取10名幸运观众，采用系统抽样的方法进行抽取，则分段间隔为（   ） A．10 B．100 C．1000 D．10000 【答案】C 【分析】根据题意，结合系统抽样的方法，即可求解. 【详解】由题意，分段间隔为. 故选：C. 4 某学校有男生1200人，女生800人，现在采用分层抽样的方法从中抽取容量为100的样本，则男生应该抽取的人数是（   ） A．40 B．48 C．60 D．72 【答案】C 【分析】先求出抽取样本的比例是多少，再计算应抽取的男生人数． 【详解】由题可知，该校共有人，因为从中抽取容量为100的样本， 所以抽取样本的比例是， 所以男生应该抽取的人数为人. 故选：C. 5 某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（   ） A．40人 B．28人 C．12人 D．8人 【答案】C 【分析】求出行政人员占的比例，从而得到应抽取人数. 【详解】行政人员占的比例为， 故行政人员应抽取的人数为. 故选：C． 题型五:统计图表 例7 在一组样本中，数据的最大值是41，最小值是20，分成5组，则组距为（   ） A．4 B．4.2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据组距的计算公式即可得解. 【详解】一组样本中，数据的最大值是41，最小值是20，分成5组， 则组距为， 故选：. 变式训练 1 从一块稻田里随机抽取株稻谷，测量各株稻谷的高度（单位：）.根据测量的数据得到频率分布直方图（如图所示），则样本高度落在区间上的频数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据频率之和等于1，求出在区间上的频率，再由频数与频率的关系求值即可. 【详解】设在区间上的频率为， 由频率分布直方图可得，， 解得，因为共株稻谷， 所以落在区间上的频数为， 故选：B. 2 某中学举办知识竞赛，共人参加初试，成绩如下． 成绩／分 以下 人数 1 4 6 5 4 6 7 8 9 如果有的学生可以参加复试，则进入复试的分数线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出有个学生，再由表格确定分数从高到低的前名，确定分数线. 【详解】由得有个学生可以进入复试． 因为，则分以上的有人， 所以进入复试的分数线为， 故选：C. 3 为了解学生的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间，分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，则的值为（    ） A．0.028 B．0.003 C．0.025 D．0.010 【答案】A 【分析】根据频率分布直方图即可求解. 【详解】由题意得，，解得. 故选：A. 4 某校1000名学生的高中历史学业水平考试成绩的频率直方图如图所示．规定90分及以上为优秀等级，则该校学生的高中历史学业水平考试成绩为优秀等级的人数是（    ） A．15 B．30 C．150 D．300 【答案】C 【分析】根据频率直方图求出频率即可得解. 【详解】根据频率直方图得该校学生的高中历史学业水平考试成绩为优秀等级的频率是， 故该校学生的高中历史学业水平考试成绩为优秀等级的人数是人． 故选：. 5 某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查，将受访用户按年龄分成5组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图，则（    ） A．0.35 B．0.25 C．0.035 D．0.025 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图各小矩形的面积之和为可得结果． 【详解】根据频率分布直方图可知， ， 解得 ． 故选：C． 题型六:样本的均值和标准差 例8 关于样本方差的计算公式，则（   ） A．数据的个数为7，方差为10 B．数据的个数为6，方差为10 C．数据的个数为7，算术平均数为10 D．数据的个数为6，算术平均数为10 【答案】C 【分析】利用方差公式的结构特征即可得解. 【详解】关于样本方差的计算公式， 解法一：（对应人教版） 样本方差的计算公式为 由题可知，这个公式中的数值为6，算术平均数为10. 故选：D. 解法二：（对应高教版） 样本方差的计算公式为，， 由题可知，这个公式中的数值为7，算数平均值为10． 故选：C. 变式训练 1 一组数据：的中位数为5，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，结合中位数的计算，即可求解. 【详解】因为一组数据的中位数为5， 所以，解得. 故选：B. 2 数据：95，93，87，82，89，94，92，99，96，83的极差为（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】先找出数据中的最大与最小值，相减即可. 【详解】 由题意得，数据：95，93，87，82，89，94，92，99，96，83中最大值为99，最小值为82， 所以极差为. 故选：B. 3 已知一组数据5，7，7，a，10，11的平均值为8，则它们的方差是（   ） A．2 B．2.4 C．4 D．4.8 【答案】D 【分析】先利用平均数求出，然后利用方差公式可求. 【详解】数据5，7，7，a，10，11的平均值为8， 则，解得， 解法一（对应高教版） 方差； 故选：D. 解法二（对应人教版） 方差； 故选：C. 4 已知数据的平均数为5，方差为2，则数据的方差为（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】已知数据的方差, 所以数据的方差. 故选：C. 5 若一组数据，，，…，的平均数为3，则，，，…，的平均数为（    ） A．3 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【分析】根据平均数的概念可求解. 【详解】根据题意可知． 对于，，，…，，其平均数为： ． 故选：B 大题专练 1．从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）统计成频率分布直方图如下． (1)这一组的频数、频率分别是多少？ (2)从成绩为分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率． 【答案】(1)频数为4，频率为 (2) 【分析】（1）观察频率分布直方图，结合所有的频率之和为1确定频率，再由频率与频数的关系即可求出频数.. （2）首先列出从成绩为分以上的学生中选两人的所有基本事件，再得出他们在同一分数段的基本事件的个数，再由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 的这一组的频率为， 的这一组的频率为， 的这一组的频率为， 的这一组的频率为， 所以这一组的频率为， 因为共抽取名学生，则这一组的频数为． （2）记“取出的2人在同一分数段”为事件， 由（1）可知，这一分数段有（人），设为， 这一分数段有（人），设为． 从这6人中选出2人，有，，，， ，，，，，， ，，，，，共个基本事件， 其中事件包括，，，，，，， 共7个基本事件， 所以． 2．为了解某校高二年级某班的期中考试数学成绩，将该班60名学生的期中考试数学成绩（均为整数，满分100分）分为，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)用分层抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则在分数段抽取的人数是多少？ 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求解； （2）根据分层抽样的原理即可求解. 【详解】（1）根据频率直方图的性质，由题意可得，，解得． （2）易知分数在内的频率为， 所以在分数段抽取的人数为． 3．已知某职业学校的技能兴趣小组有男生3名，记为，，；有女生2名，记为，.现从中任选2名学生代表学校去参加技能大赛. (1)写出所有样本空间的样本点； (2)求参赛学生中恰好有1名男生的概率； (3)求参赛学生中至少有1名男生的概率. 【答案】(1)，，，，，，，，，. (2) (3) 【分析】（1）由题意直接写出全部基本事件； （2）首先确定参赛学生中恰好有1名男生的基本事件，进而求得概率； （3）首先确定参赛学生中至少有1名男生的基本事件，进而求得概率. 【详解】（1）从中任选2名学生代表学校去参加技能大赛的样本点有10个，分别为： ，，，，，，，，，. （2）参赛学生中恰好有1名男生包含的样本点有6个，分别为： ，，，，，， 参赛学生中恰好有1名男生的概率. （3）参赛学生中至少有1名男生包含的样本点有9个，分别为： ，，，，，，，，， 参赛学生中至少有1名男生的概率. 4．甲、乙两人参加知识竞赛，测得5次成绩如下； 甲：92，91，93，94，95 乙：89，91，95，93，97 问甲乙两人谁的成绩更稳定. 【答案】甲的成绩更稳定 【分析】利用样本的均值与方差，进行比较，即可判断. 【详解】由题意知甲的5次成绩分别为92，91，93，94，95； 乙的5次成绩分别为89，91，95，93，97； 则， ， （对应人教版）： ， ， 因为，， 所以甲的成绩更稳定； （对应高教版）： ， ， 因为，， 所以甲的成绩更稳定. 5．甲、乙两机床同时加工直径为的零件，为检验它们加工的零件的质量，各从中抽取6件测量，所得数据统计如下： 甲 99 100 98 100 100 103 乙 99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工的零件的质量更稳定． 【答案】(1)（对应高教版），；； （对应人教版），； (2)乙机床 【分析】（1）根据题意，结合平均数和方差的计算公式，即可求解； （2）根据题意，结合甲、乙两机床的平均数和方差的值，即可判断. 【详解】（1）解法一（对应高教版）： ， ， ， ． 解法二（对应人教版）： ， ， ， ． （2）由（1）得，， 所以乙机床加工的零件的质量更稳定． 6．甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击次，组委会从两人的成绩中各随机抽取次成绩（满分分，分及以上为优秀），如下表所示： 甲射击成绩 乙射击成绩 (1)分别求出甲、乙两名运动员次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好？ 【答案】(1)甲：平均数；方差（对应高教版），（对应人教版）； 乙：平均数，方差（对应高教版），（对应人教版）. (2)甲运动员成绩更好 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式可解. （2）比较平均数和方差的大小可得. 【详解】（1）甲随机抽取的次射击成绩的平均数为， 解法一（对应高教版）： 方差； 解法二（对应人教版）：方差 方差为； 乙随机抽取的次射击成绩的平均数为， 解法一（对应高教版）： 方差为. 解法二（对应人教版）： 方差为. （2）因为，，所以甲随机抽取的次射击成绩比乙稳定，故甲运动员成绩更好. 7．为了解某校高二年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试．已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如下． (1)求a的值； (2)估计这次数学考试的平均成绩． 【答案】(1)0.024 (2)67.6 【分析】（1）根据频率分布直方图相关数据求得各组频率，进而列式计算即可； （2）根据平均数相关知识直接求解即可. 【详解】（1）由题意得，各组频率依次为， 所以，解得. （2）由（1）可知， 各组频率依次为， 所以平均成绩为：. 8．人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． (1)求图中的值； (2)估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； (3)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 【答案】(1). (2)秒. (3)次. 【分析】（）根据频率分布直方图的性质列出方程即可得解. （）确定频率分布直方图中频率为的位置，结合中位数的定义即可得解. （）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可得解. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，， 解得. （2）因为，， 所以中位数位于第三组中， 设中位数为，则，解得秒， 所以中位数的估计值为秒. （3）根据频率分布直方图可知，红灯等待时间低于85秒的频率为， 估计10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数为次. 9．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 年级性别 七年级 八年级 九年级 女生 373 男生 377 370 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率是． (1)求的值； (2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在九年级抽取多少名？ 【答案】(1)人. (2)名. 【分析】（）根据抽到八年级女生的概率是，列出方程即可得解. （）求出九年级人数，结合分层抽样的定义即可得解. 【详解】（1）初级中学共有学生2000名，到八年级女生的概率是， 所以，解得人， （2）由题意可知九年级人数为人， 分层抽样的方法在全校抽取48名学生，则设在九年级抽取人， 所以，解得， 所以在九年级抽取名学生. 10．高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm． (1)如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高． (2)如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？ 【答案】(1)男生49人，女生51人，平均身高 (2)答案见解析 【分析】（1）根据分层抽样的概念计算男女生人数并估算平均身高即可. （2）根据样本量进行计算即可. 【详解】（1）高二年级共有人， 抽样比为， 所以男生有人， 女生有人， 高二年级全体学生的平均身高为. （2）仍按（1）中方式进行估计，和样本数量无关系， 即高二年级全体学生的平均身高为. 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 概率与统计初 1、 随机事件的概念 必然现象： 在一定条件下，发生的结果事先能够确定的现象 例如：太阳从西边升起 随机现象： 发生的结果事先不能确定的现象 例如：三月飘雪 注意事项： 随机试验：我们把在相同条件下，对随机现象进行的观察试验 样本点：随机试验中每一种可能出现的结果，常用小写希腊字母ω表示． 样本空间：所有样本点组成的集合称为，通常用大写希腊字母Ω表示． 必然事件 样本空间Ω是其自身的子集，因此Ω也是一个事件，又因为Ω包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点出现，Ω都必然发生，因此称Ω为必然事件． 不可能事件 ∅也是Ω的子集，可以看作一个事件，但由于空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，因此称空集∅为不可能事件 进行n次试验，事件A发生的次数m 频数：事件A发生的次数 频率：比值 概率： 在次重复试验中，事件A发生的频率总稳定在某个常数附近，就把这个常数称为事件发生的概率，记作 二、古典概型 性质： （1） 有限性：样本空间Ω的样本点总数有限； （2） 等可能性：每次试验中，样本空间Ω中的各个样本点出现的可能性相等； 公式： 三、概率的简单性质 互斥事件：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件 和事件：当事件C发生则事件A与事件B中至少有一个发生，记作事件C=A∪B 若事件A和事件B互斥，P(A∪B)=P(A)+P(B) 如果事件A、事件B与事件C两两互斥，则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) 四、抽样方法 从调查的对象中按照一定的方法抽取一部分对象进行调查、研究、分析和观测，获取数据，对调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查． 总体：在统计问题中，把所研究对象的全体． 个体：总体中的每一个对象． 样本：从总体中抽取的一部分个体所组成的集合． 样本量(样本容量):样本中个体的数目． 简单随机抽样 定义 一般地，设总体中的个体数为．从中逐个不放回地抽取个个体作为样本，且每次抽取时总体内的每个个体被抽到的概率相等 基本步骤 （1）编号：把总体中的个个体从1至逐一编号； （2）做签：做编号为1至的签； （3）抽签：做好的签放到容器中，摇动均匀后，从中不放回地逐个抽取个签； （4）取样：以抽取到的签上的号码取出对应的个体，得到一个容量为的样本． 系统抽样 定义 当总体容量较大时，这时我们可将总体分成均衡的若干部分，按照预先确定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到需要的样本 基本步骤 （1）编号：将总体中的个个体编号为1～ （2）确定分段间隔：将总体平均分成段，当为整数时，取；当不是整数时，取等于的整数部分，并随机从总体中剔除个的个体，对余下的个体重新进行编号并分段； （3）确定第一个编号：在第一部分用简单随机抽样确定起始的个体编号 ； （4）取样：将l加上分段间隔的1到倍得到余下的样本编号，分别为，，…，；依次抽取个体编号为，，…，的个个体组成样本． 分层抽样 定义 当总体由差异明显的几部分组成时，可将总体按差异情况分成互不重叠的几个部分（在统计上称为“层”），再从每一层内随机抽取一定数量的个体组成样本. 基本步骤 （1） 分层：将总体按照一定标准分层； （2）计算：样本容量与总体个数的比值； （3）确定各层应抽取的个体数：按（2）中的比值确定各层应该抽取的个体数； （4）取样：在每一层抽样，所抽取的个体合在一起就是所需要的样本． 五、统计图表 频率分布表：可以清楚地反映数据的分布规律． 频率分布直方图：可以将频率分布表中所反映的规律直观、形象地表示出来 列频率分布表，绘制频率分布直方图的步骤如下： （1）计算极差：数据中最大值减去最小值； （2）确定组数与组距：根据数据的多少确定分组数量，数据越多，分组越多．样本容量不超过100时，通常分成5～12组．组距 （3）确定分点：第一组的起点可以是最小值，也可以比最小值小一点； （4）列频率分布表：一般分成三列（分组、频数和频率），最后一行是合计，其中频数合计是样本容量，频率合计是1； （5）绘制频率分布直方图：横坐标表示数据分组情况，纵坐标表示频率与组距的比值．频率分布直方图可以用频率与组距的比值为高、组距为底的矩形绘制．各个矩形的面积等于相应各组的频率．即：(频率分布直方图是以图形的面积形式反映数据落在各个小组内的频率大小) 五、样本的均值和标准差 样本均值 从总体中随机抽取一个容量为的样本，若样本数据为， 则平均数为 样本方差 如果样本由个数，组成，是这个数的均值， 则样本方差： 样本标准差： 题型一:随机事件 例1 下列事件中，是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．抛一枚骰子，点数为7 C．任意三角形的内角和为 D．明天下雨 变式训练 1 下列是不可能事件的是（    ） A．导体通电，发热 B．抛一块石头，下落 C．抛一枚硬币，出现正面 D．英语字母共有28个 2 下列事件中，属于随机事件的是（    ）． A．在只装有5个红球的不透明的袋子中摸出1个球，是红球 B．在标准大气压下，水在1℃结冰 C．打开电视机，正在转播足球比赛 D．地球绕着太阳转 例2 某人将一枚硬币连抛次，正面朝上的情况出现了次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ） A．频率为 B．概率为 C．频率为 D．概率接近 变式训练 1 一盒内有20个小球，其中红球4个，白球2个，黄球14个，从中任选一个小球，则取得红球的概率（    ） A． B． C． D． 2 若一个样本的容量为，某组数的频率为，则该组数的频数为（    ） A． B． C． D． 3 袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（    ）． A． B． C． D． 4 袋内装有一个黑球与一个白球，从袋中取出一球，若在100次摸球试验中，摸到黑球的频率为0.49，则摸到白球的次数为（　　） A．49 B．51 C．0.49 D．0.51 题型二:古典概型 例3 现有，，，四位志愿者到社区服务，随机安排两人去甲社区，另两人去乙社区，则，两人同时被安排到甲社区的概率为（    ） A． B． C． D． 变式训练 1 一次掷2颗骰子，恰好出现1个偶数点的概率为（    ） A． B． C． D． 2 袋中装有6个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球，1个黑球，从中任意取出一球，取到红球的概率为（     ） A． B． C． D． 3 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是（    ） A． B． C． D． 4 从中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为4的概率是（    ） A． B． C． D． 5 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型三:概率的简单性质 例5 已知事件、互斥，，则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.9 D．1 变式训练 1 已知A，B是互斥事件，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2 一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则使目标受损但未击毁的概率是（    ） A．0.4 B．0.48 C．0.6 D．0.8 3 抛掷两枚硬币，至少一个正面向上的概率是（    ） A． B． C． D． 4 若事件与互斥，且，，则=（  ） A． B． C． D． 题型四:抽样方法 例6 某厂生产甲、乙、丙三种产品，产品数量比例是，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中丙产品的数量是21件，则样本容量（    ） A．210 B．140 C．70 D．50 变式训练 1 某公司由三个部门组成，总职工人数是1000名，其中部门（一）有职工 200 人，部门（二）的职工人数只有总职工人数的四分之一，现用分层随机抽样的方法在全公司抽取 100名职工，则在部门（三）中应抽取的职工人数是（   ） A．20 B．25 C．55 D．60 2 某班有学生55名，现将所有学生按学号顺序排列，采取系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知样本中有学号为4，15，37，48的学生，则样本中还有一名学生的学号为（   ） A．24 B．25 C．26 D．27 3 电视台从已经确认编号的10000名观众中随机抽取10名幸运观众，采用系统抽样的方法进行抽取，则分段间隔为（   ） A．10 B．100 C．1000 D．10000 4 某学校有男生1200人，女生800人，现在采用分层抽样的方法从中抽取容量为100的样本，则男生应该抽取的人数是（   ） A．40 B．48 C．60 D．72 5 某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（   ） A．40人 B．28人 C．12人 D．8人 题型五:统计图表 例7 在一组样本中，数据的最大值是41，最小值是20，分成5组，则组距为（   ） A．4 B．4.2 C．5 D．6 变式训练 1 从一块稻田里随机抽取株稻谷，测量各株稻谷的高度（单位：）.根据测量的数据得到频率分布直方图（如图所示），则样本高度落在区间上的频数为（   ） A． B． C． D． 2 某中学举办知识竞赛，共人参加初试，成绩如下． 成绩／分 以下 人数 1 4 6 5 4 6 7 8 9 如果有的学生可以参加复试，则进入复试的分数线为（    ） A． B． C． D． 3 为了解学生的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间，分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，则的值为（    ） A．0.028 B．0.003 C．0.025 D．0.010 4 某校1000名学生的高中历史学业水平考试成绩的频率直方图如图所示．规定90分及以上为优秀等级，则该校学生的高中历史学业水平考试成绩为优秀等级的人数是（    ） A．15 B．30 C．150 D．300 5 某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查，将受访用户按年龄分成5组：，，…，，并整理得到如下频率分布直方图，则（    ） A．0.35 B．0.25 C．0.035 D．0.025 题型六:样本的均值和标准差 例8 关于样本方差的计算公式，则（   ） A．数据的个数为7，方差为10 B．数据的个数为6，方差为10 C．数据的个数为7，算术平均数为10 D．数据的个数为6，算术平均数为10 变式训练 1 一组数据：的中位数为5，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2 数据：95，93，87，82，89，94，92，99，96，83的极差为（   ） A．16 B．17 C．18 D．19 3 已知一组数据5，7，7，a，10，11的平均值为8，则它们的方差是（   ） A．2 B．2.4 C．4 D．4.8 4 已知数据的平均数为5，方差为2，则数据的方差为（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 5 若一组数据，，，…，的平均数为3，则，，，…，的平均数为（    ） A．3 B．6 C．5 D．2 大题专练 1．从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）统计成频率分布直方图如下． (1)这一组的频数、频率分别是多少？ (2)从成绩为分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率． 2．为了解某校高二年级某班的期中考试数学成绩，将该班60名学生的期中考试数学成绩（均为整数，满分100分）分为，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)用分层抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则在分数段抽取的人数是多少？ 3．已知某职业学校的技能兴趣小组有男生3名，记为，，；有女生2名，记为，.现从中任选2名学生代表学校去参加技能大赛. (1)写出所有样本空间的样本点； (2)求参赛学生中恰好有1名男生的概率； (3)求参赛学生中至少有1名男生的概率. 4．甲、乙两人参加知识竞赛，测得5次成绩如下； 甲：92，91，93，94，95 乙：89，91，95，93，97 问甲乙两人谁的成绩更稳定. 5．甲、乙两机床同时加工直径为的零件，为检验它们加工的零件的质量，各从中抽取6件测量，所得数据统计如下： 甲 99 100 98 100 100 103 乙 99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工的零件的质量更稳定． 6．甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击次，组委会从两人的成绩中各随机抽取次成绩（满分分，分及以上为优秀），如下表所示： 甲射击成绩 乙射击成绩 (1)分别求出甲、乙两名运动员次射击成绩的平均数与方差； (2)判断哪位运动员的射击成绩更好？ 7．为了解某校高二年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试．已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如下． (1)求a的值； (2)估计这次数学考试的平均成绩． 8．人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示． (1)求图中的值； (2)估计该用户红灯等待时间的中位数（结果精确到0.1）； (3)根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数． 9．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 年级性别 七年级 八年级 九年级 女生 373 男生 377 370 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率是． (1)求的值； (2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在九年级抽取多少名？ 10．高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm． (1)如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高． (2)如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？ 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$